다변수 미분 전체 연습문제

501.APEX · 12.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^3y^2+x^3z+y^2z$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = x^3y^2+x^3z+y^2z$

정답·풀이 보기

$f_x = 3x^2y^2+3x^2z$ , $f_y = 2x^3y+2yz$ , $f_z = x^3+y^2$

$f_{yz} = 2y$ , $f_{zy} = 2y$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = 3x^2y^2+3x^2z$ , $f_y = 2x^3y+2yz$ , $f_z = x^3+y^2$

$f_{yz} = 2y$ , $f_{zy} = 2y$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 5번

# 편도함수계산자동 분류

502.APEX · 12.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{3x}{7y^2z}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{3x}{7y^2z}$

정답·풀이 보기

$f_x = \frac{3}{7y^2z}$ , $f_y = -\frac{6x}{7y^3z}$ , $f_z = -\frac{3x}{7y^2z^2}$

$f_{yz} = \frac{6x}{7y^3z^2}$ , $f_{zy} = \frac{6x}{7y^3z^2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = \frac{3}{7y^2z}$ , $f_y = -\frac{6x}{7y^3z}$ , $f_z = -\frac{3x}{7y^2z^2}$

$f_{yz} = \frac{6x}{7y^3z^2}$ , $f_{zy} = \frac{6x}{7y^3z^2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 10번

# 편도함수계산자동 분류

503.APEX · 12.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \ln(xyz)$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = \ln(xyz)$

정답·풀이 보기

$f_x = \frac1x$ , $f_y = \frac1y$ , $f_z = \frac1z$

$f_{yz} = 0$ , $f_{zy} = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = \frac1x$ , $f_y = \frac1y$ , $f_z = \frac1z$

$f_{yz} = 0$ , $f_{zy} = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 2번

# 편도함수계산자동 분류

504.APEX · 12.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $f(x,y)$ 가 $S$ 에서 미분가능하면, $f$ 는 $S$ 에서 연속이다.

영어 원문 보기

T/F: If $f(x,y)$ is differentiable on $S$ , the $f$ is continuous on $S$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.4절 · 4번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

505.APEX · 12.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $f_x$ 와 $f_y$ 가 $S$ 에서 연속이면, $f$ 는 $S$ 에서 미분가능하다.

영어 원문 보기

T/F: If $f_x$ and $f_y$ are continuous on $S$ , then $f$ is differentiable on $S$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.4절 · 1번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

506.APEX · 12.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $z=f(x,y)$ 가 미분가능하면, $x$ 와 $y$ 의 작은 변화량 $dx$ 와 $dy$ 에 대한 $z$ 의 변화량은 근사적으로 $dz$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: If $z=f(x,y)$ is differentiable, then the change in $z$ over small changes $dx$ and $dy$ in $x$ and $y$ is approximately $dz$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.4절 · 2번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

507.APEX · 12.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

문장을 완성하세요: “새로운 $z$ 값은 대략 이전 $z$ 값에 대략적인 _____ 을(를) 더한 것이다.”

영어 원문 보기

Finish the sentence: “The new $z$ -value is approximately the old $z$ -value plus the approximate _____.”

정답·풀이 보기

변화량

원본 교재 풀이(영어)

amount of change

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 7번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

508.APEX · 12.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = x\sin y + x^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = x\sin y + x^2$

정답·풀이 보기

$dz = (\sin y + 2x)dx + (x\cos y)dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (\sin y + 2x)dx + (x\cos y)dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 41번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

509.APEX · 12.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = (2x^2+3y)^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = (2x^2+3y)^2$

정답·풀이 보기

$dz = 8x(2x^2+3y)dx + 6(2x^2+3y)dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = 8x(2x^2+3y)dx + 6(2x^2+3y)dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

510.APEX · 12.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = 5x-7y$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = 5x-7y$

정답·풀이 보기

$dz = 5dx -7dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = 5dx -7dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 7번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

511.APEX · 12.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = xe^{x+y}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = xe^{x+y}$

정답·풀이 보기

$dz = (e^{x+y}+xe^{x+y})dx +xe^{x+y}dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (e^{x+y}+xe^{x+y})dx +xe^{x+y}dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

512.APEX · 12.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \sqrt{x^2+y}$ . $f(3,7) = 4$ 임을 이용하여 $f(2.95,7.1)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \sqrt{x^2+y}$ . Approximate $f(2.95,7.1)$ knowing $f(3,7) = 4$ .

정답·풀이 보기

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2+y}}dx + \frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}dy$ , 이때 $dx = -0.05$ , $dy = .1$ 이다. $(3,7)$ 에서 $dz = 3/4(-0.05) + 1/8(.1) = -0.025$ 이므로 $f(2.95,7.1) \approx -0.025+4 = 3.975$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2+y}}dx + \frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}dy$ , with $dx = -0.05$ and $dy = .1$ . At $(3,7)$ , $dz = 3/4(-0.05) + 1/8(.1) = -0.025$ , so $f(2.95,7.1) \approx -0.025+4 = 3.975$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 2번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

513.APEX · 12.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \sin x\cos y$ . $f(0,0) = 0$ 임을 이용하여 $f(0.1,-0.1)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \sin x\cos y$ . Approximate $f(0.1,-0.1)$ knowing $f(0,0) = 0$ .

정답·풀이 보기

$dz = (\cos x\cos y)dx - (\sin x\sin y)dy$ , 이때 $dx = 0.1$ , $dy = -0.1$ 이다. $(0,0)$ 에서 $dz = 1(.1) - (0)(-0.1) = 0.1$ 이므로 $f(0.1,-0.1) \approx 0.1+0 = 0.1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (\cos x\cos y)dx - (\sin x\sin y)dy$ , with $dx = 0.1$ and $dy = -0.1$ . At $(0,0)$ , $dz = 1(.1) - (0)(-0.1) = 0.1$ , so $f(0.1,-0.1) \approx 0.1+0 = 0.1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 25번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

514.APEX · 12.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = x^2y-xy^2$ . $f(2,3) = -6$ 임을 이용하여 $f(2.04,3.06)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = x^2y-xy^2$ . Approximate $f(2.04,3.06)$ knowing $f(2,3) = -6$ .

정답·풀이 보기

$dz = (2xy-y^2)dx + (x^2-2xy)dy$ , 이때 $dx = 0.04$ , $dy = 0.06$ 이다. $(2,3)$ 에서 $dz = 3(0.04) + (-8)(0.06) = -0.36$ 이므로 $f(2.04,3.06) \approx -0.36-6 = -6.36$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (2xy-y^2)dx + (x^2-2xy)dy$ , with $dx = 0.04$ and $dy = 0.06$ . At $(2,3)$ , $dz = 3(0.04) + (-8)(0.06) = -0.36$ , so $f(2.04,3.06) \approx -0.36-6 = -6.36$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 23번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

515.APEX · 12.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. 전미분을 이용하여 지시된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \ln(x-y)$ . $f(5,4) = 0$ 임을 이용하여 $f(5.1,3.98)$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \ln(x-y)$ . Approximate $f(5.1,3.98)$ knowing $f(5,4) = 0$ .

정답·풀이 보기

$dz = \frac1{x-y}dx -\frac{1}{x-y}dy$ 이고, $dx = 0.1$ , $dy = -0.02$ 이다. $(5,4)$ 에서 $dz = 1(0.1) + (-1)(-0.02) = 0.12$ 이므로 $f(5.1,3.98) \approx 0.12+0 = 0.12$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = \frac1{x-y}dx -\frac{1}{x-y}dy$ , with $dx = 0.1$ and $dy = -0.02$ . At $(5,4)$ , $dz = 1(0.1) + (-1)(-0.02) = 0.12$ , so $f(5.1,3.98) \approx 0.12+0 = 0.12$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 16번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

516.APEX · 12.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16번은 근삿값 오차와 민감도 분석에 관한 다양한 질문을 다룹니다.

원기둥 모양의 저장 탱크를 높이 2ft, 반지름 1ft로 만들려고 한다. 탱크의 부피는 반지름의 변화와 높이의 변화 중 어느 쪽에 더 민감한가?

영어 원문 보기

Exercises 13–16 ask a variety of questions dealing with approximating error and sensitivity analysis.

A cylindrical storage tank is to be 2ft tall with a radius of 1ft. Is the volume of the tank more sensitive to changes in the radius or the height?

정답·풀이 보기

부피의 전미분은 $dV = 4\pi dr + \pi dh$ 이다. $dr$ 의 계수가 $dh$ 의 계수보다 크므로 부피는 반지름의 변화에 더 민감하다.

원본 교재 풀이(영어)

The total differential of volume is $dV = 4\pi dr + \pi dh$ . The coefficient of $dr$ is greater than the coefficient of $dh$ , so the volume is more sensitive to changes in the radius.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 10번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

517.APEX · 12.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16번은 오차의 근삿값과 민감도 분석에 관한 여러 가지 문제를 다룬다.

포물체 운동: 포물체 운동의 원리에 따라 움직이는 물체의 $x$ 값은 $x(\theta,v_0,t)= (v_0\cos\theta)t$ 이다. 어떤 포물체를 처음 속도 $v_0=250$ ft/s, 발사각 $\theta = 60^\circ$ 로 쏘아 올렸다. 이 물체는 3초 동안 $375$ ft를 이동한다.

포물체는 처음 속력의 오차와 발사각의 오차 중 어느 쪽에 더 민감한지 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 13–16 ask a variety of questions dealing with approximating error and sensitivity analysis.

Projectile Motion: The $x$ -value of an object moving under the principles of projectile motion is $x(\theta,v_0,t)= (v_0\cos\theta)t$ . A particular projectile is fired with an initial velocity of $v_0=250$ ft/s and an angle of elevation of $\theta = 60^\circ$ . It travels a distance of $375$ ft in 3 seconds.

Is the projectile more sensitive to errors in initial speed or angle of elevation?

정답·풀이 보기

포물체의 이동 거리는 ( $t=3$ 으로 두면) 두 변수의 함수 $D(v_0,\theta) = 3v_0\cos\theta$ 이다. $D$ 의 전미분은 $dD = 3\cos\theta dv_0-3v_0\sin\theta d\theta$ 이다. $d\theta$ 의 계수의 크기가 $dv_0$ 의 계수의 크기보다 훨씬 크므로, 발사각의 작은 변화가 처음 속도의 작은 변화보다 이동 거리에 훨씬 큰 영향을 준다.

원본 교재 풀이(영어)

Distance of the projectile is a function of two variables (leaving $t=3$ ): $D(v_0,\theta) = 3v_0\cos\theta$ . The total differential of $D$ is $dD = 3\cos\theta dv_0-3v_0\sin\theta d\theta$ . The coefficient of $d\theta$ has a much greater magnitude than the coefficient of $dv_0$ , so a small change in the angle of elevation has a much greater effect on distance traveled than a small change in initial velocity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 39번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

518.APEX · 12.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16은 오차 근사와 민감도 분석에 관한 여러 가지 질문을 다룹니다.

먼 거리를 짧은 줄자보다 긴 줄자로 재는 것이 훨씬 낫다는 것은 "상식"입니다. 측정한 거리 $D$ 는 줄자의 길이 $\ell$ 과 줄자를 사용한 횟수 $n$ 의 곱으로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 3' 줄자를 10번 사용하면 길이는 30'가 됩니다. 같은 거리를 12' 줄자로 재려면 줄자를 2.5번 사용하게 됩니다. (즉, $30=12\times 2.5$ .) 따라서 $D = n\ell$ 입니다.

줄자로 한 번 측정할 때마다 기록된 거리가 실제 거리와 1/16” 이내로 차이 난다고 가정합니다. (즉, $d\ell = 1/16'' \approx 0.005$ ft.) 미분을 이용하여, 먼 거리를 잴 때 긴 줄자를 쓰는 것이 더 낫다는 상식이 옳음을 보이세요.

영어 원문 보기

Exercises 13–16 ask a variety of questions dealing with approximating error and sensitivity analysis.

It is “common sense” that it is far better to measure a long distance with a long measuring tape rather than a short one. A measured distance $D$ can be viewed as the product of the length $\ell$ of a measuring tape times the number $n$ of times it was used. For instance, using a 3' tape 10 times gives a length of 30'. To measure the same distance with a 12' tape, we would use the tape 2.5 times. (I.e., $30=12\times 2.5$ .) Thus $D = n\ell$ .

Suppose each time a measurement is taken with the tape, the recorded distance is within 1/16” of the actual distance. (I.e., $d\ell = 1/16'' \approx 0.005$ ft). Using differentials, show why common sense proves correct in that it is better to use a long tape to measure long distances.

정답·풀이 보기

$D = n\ell$ 이므로 전미분은 $dD = \ell\, dn+ n\,d\ell$ 이다. 짧은 줄자로 측정하면 $n$ 이 커야 하므로, $n\,d\ell$ 은 긴 줄자를 사용할 때( $n$ 이 작을 때)보다 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

With $D = n\ell$ , the total differential is $dD = \ell\, dn+ n\,d\ell.$ If one measures with a short tape, $n$ must be large and hence $n\,d\ell$ is going to be greater than when a large tape is used (wherein $n$ will be small).