다변수 미분 전체 연습문제

521.APEX · 12.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(3,1) = 7$ , $f_x(3,1) = 9$ , $f_y(3,1) = -2$ . $f(3.05, 0.9)$ 를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(3,1) = 7$ , $f_x(3,1) = 9$ , $f_y(3,1) = -2$ . Approximate $f(3.05, 0.9)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.05$ , $dy = -0.1$ . $dz = 9(.05)+(-2)(-0.1) = 0.65$ . So $f(3.05,0.9) \approx 7+0.65=7.65$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.05$ , $dy = -0.1$ . $dz = 9(.05)+(-2)(-0.1) = 0.65$ . So $f(3.05,0.9) \approx 7+0.65=7.65$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 19번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

522.APEX · 12.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(-4,2) = 13$ , $f_x(-4,2) = 2.6$ , $f_y(-4,2) = 5.1$ . $f(-4.12, 2.07)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(-4,2) = 13$ , $f_x(-4,2) = 2.6$ , $f_y(-4,2) = 5.1$ . Approximate $f(-4.12, 2.07)$ .

정답·풀이 보기

$dx = -0.12$ , $dy = 0.07$ . $dz = 2.6(-.12)+(5.1)(0.07) = 0.045$ . So $f(-4.12, 2.07) \approx 13+0.045=13.045$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = -0.12$ , $dy = 0.07$ . $dz = 2.6(-.12)+(5.1)(0.07) = 0.045$ . So $f(-4.12, 2.07) \approx 13+0.045=13.045$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.7절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

523.APEX · 12.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(2,4,5) = -1$ , $f_x(2,4,5) = 2$ , $f_y(2,4,5) = -3$ , $f_z(2,4,5) = 3.7$ . $f(2.5,4.1,4.8)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(2,4,5) = -1$ , $f_x(2,4,5) = 2$ , $f_y(2,4,5) = -3$ , $f_z(2,4,5) = 3.7$ . Approximate $f(2.5,4.1,4.8)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.5$ , $dy = 0.1$ , $dz = -0.2$ .

$dw = 2(0.5) + (-3)(0.1) + 3.7(-0.2) = -0.04$ , so $f(2.5, 4.1, 4.8) \approx -1-0.04 = -1.04$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.5$ , $dy = 0.1$ , $dz = -0.2$ .

$dw = 2(0.5) + (-3)(0.1) + 3.7(-0.2) = -0.04$ , so $f(2.5, 4.1, 4.8) \approx -1-0.04 = -1.04$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 18번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

524.APEX · 12.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(3,3,3) = 5$ , $f_x(3,3,3) = 2$ , $f_y(3,3,3) = 0$ , $f_z(3,3,3) = -2$ . $f(3.1, 3.1,3.1)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(3,3,3) = 5$ , $f_x(3,3,3) = 2$ , $f_y(3,3,3) = 0$ , $f_z(3,3,3) = -2$ . Approximate $f(3.1, 3.1,3.1)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.1$ , $dy = 0.1$ , $dz = 0.1$ .

$dw = 2(0.1) + (0)(0.1) + (-2)(.1) = 0$ , so $f(3.1,3.1,3.1) \approx 5+0=5$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.1$ , $dy = 0.1$ , $dz = 0.1$ .

$dw = 2(0.1) + (0)(0.1) + (-2)(.1) = 0$ , so $f(3.1,3.1,3.1) \approx 5+0=5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 12번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

525.APEX · 12.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

방향도함수와 편도함수의 차이는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the difference between a directional derivative and a partial derivative?

정답·풀이 보기

편도함수는 본질적으로 방향도함수의 특수한 경우이다. 즉, $x$ 방향 또는 $y$ 방향, 곧 $\left\langle 1,0\right\rangle$ 또는 $\left\langle 0,1\right\rangle$ 방향의 방향도함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

A partial derivative is essentially a special case of a directional derivative; it is the directional derivative in the direction of $x$ or $y$ , i.e., $\left\langle 1,0\right\rangle$ or $\left\langle 0,1\right\rangle$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 6번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

526.APEX · 12.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

어떤 $\vec u$ 에 대해 $D_{\vec u\,} f = f_x$ 인가요?

영어 원문 보기

For what $\vec u$ is $D_{\vec u\,} f = f_x$ ?

정답·풀이 보기

$\vec u = \left\langle 1,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec u = \left\langle 1,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 3번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

527.APEX · 12.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 $\vec u$ 에 대해 $D_{\vec u\,} f = f_y$ 인가요?

영어 원문 보기

For what $\vec u$ is $D_{\vec u\,} f = f_y$ ?

정답·풀이 보기

$\vec u = \left\langle 0,1\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec u = \left\langle 0,1\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 1번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

528.APEX · 12.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

기울기벡터는 등위곡선에 _____ 이다.

영어 원문 보기

The gradient is _____ to level curves.

정답·풀이 보기

수직

원본 교재 풀이(영어)

orthogonal

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 5번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

529.APEX · 12.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

기울기벡터는 _____ 증가의 방향을 가리킨다.

영어 원문 보기

The gradient points in the direction of _____ increase.

정답·풀이 보기

최대, 즉 가장 큰

원본 교재 풀이(영어)

maximal, or greatest

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 7번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

530.APEX · 12.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

방향도함수를 극한의 결과로 보기보다는 _____ 곱의 결과로 보는 것이 일반적으로 더 유익하다.

영어 원문 보기

It is generally more informative to view the directional derivative not as the result of a limit, but rather as the result of a _____ product.

정답·풀이 보기

내적

원본 교재 풀이(영어)

dot

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 4번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

531.APEX · 12.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$f(x,y) = -x^2y+xy^2+xy$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$f(x,y) = -x^2y+xy^2+xy$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle -2xy+y^2+y, -x^2+2xy+x\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle -2xy+y^2+y, -x^2+2xy+x\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 8번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

532.APEX · 12.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sin x\cos y$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = \sin x\cos y$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle \cos x\cos y, -\sin x\sin y\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle \cos x\cos y, -\sin x\sin y\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 23번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

533.APEX · 12.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle \frac{-2x}{(x^2+y^2+1)^2}, \frac{-2y}{(x^2+y^2+1)^2}\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle \frac{-2x}{(x^2+y^2+1)^2}, \frac{-2y}{(x^2+y^2+1)^2}\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 27번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

534.APEX · 12.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = -4x+3y$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = -4x+3y$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle -4,3\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle -4,3\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 19번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

535.APEX · 12.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2y^2-xy-7x$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2y^2-xy-7x$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle 2x-y-7,4y-x\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle 2x-y-7,4y-x\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 41번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

536.APEX · 12.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2y^3-2x$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = x^2y^3-2x$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle 2xy^3-2,3x^2y^2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle 2xy^3-2,3x^2y^2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 4번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

537.APEX · 12.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28번에서 함수 $w=F(x,y,z)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다.

(a) $\nabla F(x,y,z)$ 를 구하세요. (b) $P$ 에서 $D_{\vec u\,}F$ 를 구하세요. 단, $\vec u$ 는 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터이다.

$\displaystyle F(x,y,z) = 3x^2z^3+4xy-3z^2$ , $\vec v = \left\langle 1,1,1\right\rangle$ , $P = (3,2,1)$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, a function $w=F(x,y,z)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given.

(a) Find $\nabla F(x,y,z)$ . (b) Find $D_{\vec u\,}F$ at $P$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$\displaystyle F(x,y,z) = 3x^2z^3+4xy-3z^2$ , $\vec v = \left\langle 1,1,1\right\rangle$ , $P = (3,2,1)$

정답·풀이 보기

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle 6xz^3+4y, 4x, 9x^2z^2-6z\right\rangle$ (b) $113/\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle 6xz^3+4y, 4x, 9x^2z^2-6z\right\rangle$ (b) $113/\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 27번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

538.APEX · 12.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서 함수 $w=F(x,y,z)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다.

(a) $\nabla F(x,y,z)$ 를 구하세요. (b) $\vec u$ 가 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터일 때, $P$ 에서 $D_{\vec u\,}F$ 를 구하세요.

$\displaystyle F(x,y,z) = \sin(x)\cos(y)e^z$ , $\vec v = \left\langle 2,2,1\right\rangle$ , $P = (0,0,0)$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, a function $w=F(x,y,z)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given.

(a) Find $\nabla F(x,y,z)$ . (b) Find $D_{\vec u\,}F$ at $P$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$\displaystyle F(x,y,z) = \sin(x)\cos(y)e^z$ , $\vec v = \left\langle 2,2,1\right\rangle$ , $P = (0,0,0)$

정답·풀이 보기

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle \cos x\cos ye^z, -\sin x\sin ye^z, \sin x\cos ye^z\right\rangle$ (b) $2/3$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle \cos x\cos ye^z, -\sin x\sin ye^z, \sin x\cos ye^z\right\rangle$ (b) $2/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 1번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

539.APEX · 12.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서 함수 $w=F(x,y,z)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다.

(a) $\nabla F(x,y,z)$ 를 구하세요. (b) $\vec u$ 가 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터일 때, $P$ 에서 $D_{\vec u\,}F$ 를 구하세요.

$\displaystyle F(x,y,z) = x^2y^2-y^2z^2$ , $\vec v = \left\langle -1,7,3\right\rangle$ , $P = (1,0,-1)$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, a function $w=F(x,y,z)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given.

(a) Find $\nabla F(x,y,z)$ . (b) Find $D_{\vec u\,}F$ at $P$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$\displaystyle F(x,y,z) = x^2y^2-y^2z^2$ , $\vec v = \left\langle -1,7,3\right\rangle$ , $P = (1,0,-1)$

정답·풀이 보기

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle 2xy^2, 2y(x^2-z^2), -2y^2z\right\rangle$ (b) $0$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle 2xy^2, 2y(x^2-z^2), -2y^2z\right\rangle$ (b) $0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 5번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

540.APEX · 12.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서 함수 $w=F(x,y,z)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다.

(a) $\nabla F(x,y,z)$ 를 구하세요. (b) $\vec u$ 가 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터일 때, $P$ 에서 $D_{\vec u\,}F$ 를 구하세요.

$\displaystyle F(x,y,z) = \frac{2}{x^2+y^2+z^2}$ , $\vec v = \left\langle 1,1,-2\right\rangle$ , $P = (1,1,1)$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, a function $w=F(x,y,z)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given.

(a) Find $\nabla F(x,y,z)$ . (b) Find $D_{\vec u\,}F$ at $P$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$\displaystyle F(x,y,z) = \frac{2}{x^2+y^2+z^2}$ , $\vec v = \left\langle 1,1,-2\right\rangle$ , $P = (1,1,1)$

정답·풀이 보기

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle -\frac{4x}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{4y}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{4z}{(x^2+y^2+z^2)^2}\right\rangle$ (b) $0$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle -\frac{4x}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{4y}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{4z}{(x^2+y^2+z^2)^2}\right\rangle$ (b) $0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 17번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

다변수 미분 전체 문제