다변수 연쇄법칙 연습문제

21.OpenStax 3권 · 4.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

${x}^{2/3}+{y}^{2/3}={a}^{2/3}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

${x}^{2/3}+{y}^{2/3}={a}^{2/3}$

정답·풀이 보기

$\frac{dy}{dx}=-\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=-\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 19번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

22.OpenStax 3권 · 4.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$x\,\cos (xy)+y\,\cos \,x=2$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

$x\,\cos (xy)+y\,\cos \,x=2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 4번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

23.OpenStax 3권 · 4.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

${e}^{xy}+y{e}^{y}=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

${e}^{xy}+y{e}^{y}=1$

정답·풀이 보기

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y{e}^{xy}}{x{e}^{xy}+{e}^{y}(1+y)}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y{e}^{xy}}{x{e}^{xy}+{e}^{y}(1+y)}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 13번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

24.OpenStax 3권 · 4.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

${x}^{2}{y}^{3}+\cos \,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

${x}^{2}{y}^{3}+\cos \,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 23번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

25.OpenStax 3권 · 4.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$z=3{x}^{2}{y}^{3},x={t}^{4}$ , 그리고 $y={t}^{2}$ 일 때, 연쇄 법칙을 이용하여 $\frac{dz}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

Find $\frac{dz}{dt}$ using the chain rule where $z=3{x}^{2}{y}^{3},x={t}^{4},$ and $y={t}^{2}.$

정답·풀이 보기

$\frac{dz}{dt}=42{t}^{13}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dz}{dt}=42{t}^{13}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 9번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

26.OpenStax 3권 · 4.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$z=3\,\cos \,x-\sin (xy),x=\frac{1}{t}$ , 그리고 $y=3t$ 라 할 때, $\frac{dz}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

Let $z=3\,\cos \,x-\sin (xy),x=\frac{1}{t},$ and $y=3t.$ Find $\frac{dz}{dt}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 1번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

27.OpenStax 3권 · 4.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$z={e}^{1-xy},x={t}^{1/3}$ , 그리고 $y={t}^{3}$ 이라 할 때, $\frac{dz}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

Let $z={e}^{1-xy},x={t}^{1/3},$ and $y={t}^{3}.$ Find $\frac{dz}{dt}.$

정답·풀이 보기

$\frac{dz}{dt}=-\frac{10}{3}{t}^{7/3}\,\times \,{e}^{1-{t}^{10/3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dz}{dt}=-\frac{10}{3}{t}^{7/3}\,\times \,{e}^{1-{t}^{10/3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 21번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

28.OpenStax 3권 · 4.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$z={\cosh }^{2}(xy),x=\frac{1}{2}t$ , 그리고 $y={e}^{t}$ 일 때, 연쇄 법칙을 이용하여 $\frac{dz}{dt}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

Find $\frac{dz}{dt}$ by the chain rule where $z={\cosh }^{2}(xy),x=\frac{1}{2}t,$ and $y={e}^{t}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 17번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

29.OpenStax 3권 · 4.5절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$z=\frac{x}{y},x=2\,\cos \,u$ , 그리고 $y=3\,\sin \,v$ 라 할 때, $\frac{\partial z}{\partial u}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial v}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

Let $z=\frac{x}{y},x=2\,\cos \,u,$ and $y=3\,\sin \,v.$ Find $\frac{\partial z}{\partial u}$ and $\frac{\partial z}{\partial v}.$

정답·풀이 보기

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{-2\,\sin \,u}{3\,\sin \,v}$ 그리고 $\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{-2\,\cos \,u\,\cos \,v}{3\,{\sin }^{2}v}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{-2\,\sin \,u}{3\,\sin \,v}$ and $\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{-2\,\cos \,u\,\cos \,v}{3\,{\sin }^{2}v}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 25번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

30.OpenStax 3권 · 4.5절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$z={e}^{{x}^{2}y}$ 이고 $x=\sqrt{uv}$ 이고 $y=\frac{1}{v}$ 일 때, $\frac{\partial z}{\partial u}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial v}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

Let $z={e}^{{x}^{2}y},$ where $x=\sqrt{uv}$ and $y=\frac{1}{v}.$ Find $\frac{\partial z}{\partial u}$ and $\frac{\partial z}{\partial v}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 19번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

31.OpenStax 3권 · 4.5절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$z=xy{e}^{x/y},$ $x=r\,\cos \,\theta ,$ $y=r\,\sin \,\theta$ 일 때, $r=2$ 이고 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 일 때의 $\frac{\partial z}{\partial r}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial \theta }$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

If $z=xy{e}^{x/y},$ $x=r\,\cos \,\theta ,$ and $y=r\,\sin \,\theta ,$ find $\frac{\partial z}{\partial r}$ and $\frac{\partial z}{\partial \theta }$ when $r=2$ and $\theta =\frac{\pi }{6}.$

정답·풀이 보기

$\frac{\partial z}{\partial r}=\sqrt{3}{e}^{\sqrt{3}},$ $\frac{\partial z}{\partial \theta }=\left(2-4\sqrt{3}\right){e}^{\sqrt{3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\partial z}{\partial r}=\sqrt{3}{e}^{\sqrt{3}},$ $\frac{\partial z}{\partial \theta }=\left(2-4\sqrt{3}\right){e}^{\sqrt{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 4번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

32.OpenStax 3권 · 4.5절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$w=4x+{y}^{2}+{z}^{3},x={e}^{r{s}^{2}},y=\ln \left(\frac{r+s}{t}\right)$ 이고 $z=rs{t}^{2}$ 일 때, $\frac{\partial w}{\partial s}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

Find $\frac{\partial w}{\partial s}$ if $w=4x+{y}^{2}+{z}^{3},x={e}^{r{s}^{2}},y=\ln \left(\frac{r+s}{t}\right),$ and $z=rs{t}^{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 4번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

33.OpenStax 3권 · 4.5절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 편도함수를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$w=\sin (xyz),x=1-3t,y={e}^{1-t}$ 이고 $z=4t$ 일 때, $\frac{\partial w}{\partial t}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ using partial derivatives.

If $w=\sin (xyz),x=1-3t,y={e}^{1-t},$ and $z=4t,$ find $\frac{\partial w}{\partial t}.$

정답·풀이 보기

$\frac{\partial w}{\partial t}=(-12t{e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t))+4t(1-3t){e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t))-4(1-3t){e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t)).$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\partial w}{\partial t}=(-12t{e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t))+4t(1-3t){e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t))-4(1-3t){e}^{1-t}\cos ((1-3t){e}^{1-t}(-4t)).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 31번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

34.OpenStax 3권 · 4.5절 · 42번대학 수준우리말 번역

세 개의 저항 $x,y$ , 그리고 $z$ 로 이루어진 회로의 전체 저항은 공식 $R(x,y,z)=\frac{xyz}{yz+xz+xy}$ 로 주어진다. 어느 순간 $x$ 저항은 $100\Omega ,$ y 저항은 $200\Omega ,$ $z$ 저항은 $300\Omega$ 이라고 하자. 또 $x$ 저항은 $2\Omega /\min$ 의 비율로 변하고, $y$ 저항은 $1\Omega /\min$ 의 비율로 변하며, $z$ 저항은 변화가 없다고 하자. 이 순간 이 회로의 전체 저항의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

The total resistance in a circuit that has three individual resistances represented by $x,y,$ and $z$ is given by the formula $R(x,y,z)=\frac{xyz}{yz+xz+xy}.$ Suppose at a given time the $x$ resistance is $100\Omega ,$ the y resistance is $200\Omega ,$ and the $z$ resistance is $300\Omega .$ Also, suppose the $x$ resistance is changing at a rate of $2\Omega /\min ,$ the $y$ resistance is changing at the rate of $1\Omega /\min ,$ and the $z$ resistance has no change. Find the rate of change of the total resistance in this circuit at this time.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 13번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

35.OpenStax 3권 · 4.5절 · 45번대학 수준우리말 번역

$u=u(x,y,z)$ 이고 $x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w,t),w=w(r,s),\text{그리고}\,t=t(r,s)$ 라 하자. 수형도와 연쇄 법칙을 이용하여 $\frac{\partial u}{\partial r}$ 의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $u=u(x,y,z),$ where $x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w,t),w=w(r,s),\text{and}\,t=t(r,s).$ Use a tree diagram and the chain rule to find an expression for $\frac{\partial u}{\partial r}.$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial r} & =\frac{\partial u}{\partial x}\left(\frac{\partial x}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial x}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right)+\frac{\partial u}{\partial y}\left(\frac{\partial y}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial y}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right) \\ & \,+\frac{\partial u}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right)\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial r} & =\frac{\partial u}{\partial x}\left(\frac{\partial x}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial x}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right)+\frac{\partial u}{\partial y}\left(\frac{\partial y}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial y}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right) \\ & \,+\frac{\partial u}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right)\end{array}$