매개변수와 극좌표 전체 연습문제

421.APEX · 9.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요. 직교좌표 형태를 바탕으로 매개변수 방정식이 나타내는 곡선을 설명하세요.

$\displaystyle x=at+x_0$ , $\displaystyle y=bt+y_0$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, eliminate the parameter in the given parametric equations. Describe the curve defined by the parametric equations based on its rectangular form.

$\displaystyle x=at+x_0$ , $\displaystyle y=bt+y_0$

정답·풀이 보기

$y=\frac{b}{a}(x-x_0)+y_0$ ; 점 $(x_0,y_0)$ 을 지나고 기울기가 $b/a$ 인 직선이다.

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac{b}{a}(x-x_0)+y_0$ ; line through $(x_0,y_0)$ with slope $b/a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 1번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

422.APEX · 9.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요. 직교좌표 형태를 바탕으로 매개변수 방정식이 나타내는 곡선을 설명하세요.

$\displaystyle x=r\cos t$ , $\displaystyle y=r\sin t$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, eliminate the parameter in the given parametric equations. Describe the curve defined by the parametric equations based on its rectangular form.

$\displaystyle x=r\cos t$ , $\displaystyle y=r\sin t$

정답·풀이 보기

$x^2+y^2=r^2$ ; 중심이 $(0,0)$ 이고 반지름이 $r$ 인 원이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x^2+y^2=r^2$ ; circle centered at $(0,0)$ with radius $r$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 21번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

423.APEX · 9.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요. 직교좌표 형태를 바탕으로 매개변수 방정식이 나타내는 곡선을 설명하세요.

$\displaystyle x=a\cos t+h$ , $\displaystyle y=b\sin t+k$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, eliminate the parameter in the given parametric equations. Describe the curve defined by the parametric equations based on its rectangular form.

$\displaystyle x=a\cos t+h$ , $\displaystyle y=b\sin t+k$

정답·풀이 보기

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ; 중심이 $(h,k)$ 이고 가로축의 길이가 $2a$ , 세로축의 길이가 $2b$ 인 타원이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ; ellipse centered at $(h,k)$ with horizontal axis of length $2a$ and vertical axis of length $2b$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 39번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

424.APEX · 9.2절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요. 직교좌표 형태를 바탕으로 매개변수 방정식이 나타내는 곡선을 설명하세요.

$\displaystyle x=a\sec t+h$ , $\displaystyle y=b\tan t+k$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, eliminate the parameter in the given parametric equations. Describe the curve defined by the parametric equations based on its rectangular form.

$\displaystyle x=a\sec t+h$ , $\displaystyle y=b\tan t+k$

정답·풀이 보기

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ; 중심이 $(h,k)$ 이고 가로 방향의 주축을 가지며 점근선의 기울기가 $b/a$ 인 쌍곡선이다. 이 매개변수 방정식은 쌍곡선의 절반만 나타낸다. $a>0$ 일 때는 오른쪽 절반이고, $a<0$ 일 때는 왼쪽 절반이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ; hyperbola centered at $(h,k)$ with horizontal transverse axis and asymptotes with slope $b/a$ . The parametric equations only give half of the hyperbola. When $a>0$ , the right half; when $a<0$ , the left half.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 13번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

425.APEX · 9.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$y=3x^2-11x+2$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=3x^2-11x+2$

정답·풀이 보기

$x=(t+11)/6$ , $y=(t^2-97)/12$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=2$ , $y=-8$ 이다.

$y'=6x-11$ 이고, $x=2$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=(t+11)/6$ , $y=(t^2-97)/12$ . At $t=1$ , $x=2$ , $y=-8$ .

$y'=6x-11$ ; when $x=2$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 7번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

426.APEX · 9.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$y=e^x$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=e^x$

정답·풀이 보기

$x=\ln t$ , $y=t$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=0$ , $y=1$ 이다.

$y'=e^x$ 이고, $x=0$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=\ln t$ , $y=t$ . At $t=1$ , $x=0$ , $y=1$ .

$y'=e^x$ ; when $x=0$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 51번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

427.APEX · 9.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$[0,\pi]$ 에서 $y=\sin x$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=\sin x$ on $[0,\pi]$

정답·풀이 보기

$x=\cos^{-1} t$ , $y=\sqrt{1-t^2}$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=0$ , $y=0$ 이다.

$y'=\cos x$ 이고, $x=0$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=\cos^{-1} t$ , $y=\sqrt{1-t^2}$ . At $t=1$ , $x=0$ , $y=0$ .

$y'=\cos x$ ; when $x=0$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 15번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

428.APEX · 9.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$[0,\infty)$ 에서 $y=\sqrt{x}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=\sqrt{x}$ on $[0,\infty)$

정답·풀이 보기

$x=1/(4t^2)$ , $y=1/(2t)$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=1/4$ , $y=1/2$ 이다.

$y'=1/(2\sqrt{x})$ 이고, $x=1/4$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=1/(4t^2)$ , $y=1/(2t)$ . At $t=1$ , $x=1/4$ , $y=1/2$ .

$y'=1/(2\sqrt{x})$ ; when $x=1/4$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 37번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

429.APEX · 9.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

39~42번 문제에서, 매개변수 방정식의 그래프가 자기 자신과 교차하는 $t$ 의 값을 구하세요.

$x=t^3-t+3$ , $y=t^2-3$

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, find the values of $t$ where the graph of the parametric equations crosses itself.

$x=t^3-t+3$ , $y=t^2-3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$t=\pm 1$

원본 교재 풀이(영어)

$t=\pm 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 59번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

430.APEX · 9.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서, 매개변수 방정식의 그래프가 스스로 교차하는 $t$ 의 값을 구하세요.

$x=t^3-4t^2+t+7$ , $y=t^2-t$

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, find the values of $t$ where the graph of the parametric equations crosses itself.

$x=t^3-4t^2+t+7$ , $y=t^2-t$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$t=-1,\ 2$

원본 교재 풀이(영어)

$t=-1,\ 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 2번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

431.APEX · 9.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서, 매개변수 방정식의 그래프가 스스로 교차하는 $t$ 의 값을 구하세요.

$x=\cos t$ , $y=\sin (2t)$ ( $[0,2\pi]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, find the values of $t$ where the graph of the parametric equations crosses itself.

$x=\cos t$ , $y=\sin (2t)$ on $[0,2\pi]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$t=\pi/2, 3\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$t=\pi/2, 3\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 25번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

432.APEX · 9.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

연습문제 39–42에서, 매개변수 방정식의 그래프가 스스로 교차하는 $t$ 의 값을 구하세요.

$x=\cos t\cos (3t)$ , $y=\sin t\cos(3t)$ ( $[0,\pi]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, find the values of $t$ where the graph of the parametric equations crosses itself.

$x=\cos t\cos (3t)$ , $y=\sin t\cos(3t)$ on $[0,\pi]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$t=\pi/6, \pi/2, 5\pi/6$

원본 교재 풀이(영어)

$t=\pi/6, \pi/2, 5\pi/6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 1번

# 매개변수 방정식과 곡선그래프·표 해석자동 분류

433.APEX · 9.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

연습문제 43–46에서, 매개변수 방정식으로 정의된 곡선이 매끄럽지 않은 $t$ 의 값을 구하세요.

$x=t^3+t^2-t$ , $y=t^2+2t+3$

영어 원문 보기

In Exercises 43–46, find the value(s) of $t$ where the curve defined by the parametric equations is not smooth.

$x=t^3+t^2-t$ , $y=t^2+2t+3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$t=-1$

원본 교재 풀이(영어)

$t=-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 29번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

434.APEX · 9.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

연습문제 43–46에서, 매개변수 방정식으로 정의된 곡선이 매끄럽지 않은 $t$ 의 값을 구하세요.

$x=t^2-4t$ , $y=t^3-2t^2-4t$

영어 원문 보기

In Exercises 43–46, find the value(s) of $t$ where the curve defined by the parametric equations is not smooth.

$x=t^2-4t$ , $y=t^3-2t^2-4t$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$t=2$

원본 교재 풀이(영어)

$t=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 55번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

435.APEX · 9.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

연습문제 43–46에서, 매개변수 방정식으로 정의된 곡선이 매끄럽지 않게 되는 $t$ 의 값을 구하세요.

$x=\cos t$ , $y=2\cos t$

영어 원문 보기

In Exercises 43–46, find the value(s) of $t$ where the curve defined by the parametric equations is not smooth.

$x=\cos t$ , $y=2\cos t$

정답·풀이 보기

$t=n\pi$ , 여기서 $n$ 은 정수이다

원본 교재 풀이(영어)

$t=n\pi$ , where $n$ is an integer

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 51번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

436.APEX · 9.2절 · 46번대학 수준우리말 번역

연습문제 43–46에서, 매개변수 방정식으로 정의된 곡선이 매끄럽지 않게 되는 $t$ 의 값을 구하세요.

$x=2\cos t-\cos(2t)$ , $y=2\sin t-\sin(2t)$

영어 원문 보기

In Exercises 43–46, find the value(s) of $t$ where the curve defined by the parametric equations is not smooth.

$x=2\cos t-\cos(2t)$ , $y=2\sin t-\sin(2t)$

정답·풀이 보기

$t=n\pi$ , 여기서 $n$ 은 짝수인 정수이다

원본 교재 풀이(영어)

$t=n\pi$ , where $n$ is an even integer

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 7번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

437.APEX · 9.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

발사체가 높이 0ft 에서 발사되어 4s 후에 16ft 떨어진 곳에 떨어진다.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

A projectile is fired from a height of 0ft, landing 16ft away in 4s.

정답·풀이 보기

$x=4t$ , $y=-16t^2 + 64t$

원본 교재 풀이(영어)

$x=4t$ , $y=-16t^2 + 64t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 37번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

438.APEX · 9.2절 · 48번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

발사체가 높이 0ft 에서 발사되어 4s 후에 200ft 떨어진 곳에 떨어진다.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

A projectile is fired from a height of 0ft, landing 200ft away in 4s.

정답·풀이 보기

$x=50t$ , $y=-16t^2 + 64t$

원본 교재 풀이(영어)

$x=50t$ , $y=-16t^2 + 64t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 15번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

439.APEX · 9.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

발사체가 높이 0ft 에서 발사되어 20s 후에 200ft 떨어진 곳에 착지한다.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

A projectile is fired from a height of 0ft, landing 200ft away in 20s.

정답·풀이 보기

$x=10t$ , $y=-16t^2 + 320t$

원본 교재 풀이(영어)

$x=10t$ , $y=-16t^2 + 320t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 21번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

440.APEX · 9.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

반지름이 2이고 원점이 중심인 원이 $[0,2\pi]$ 에서 시계 방향으로 한 바퀴 그려진다.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

A circle of radius 2, centered at the origin, that is traced clockwise once on $[0,2\pi]$ .

정답·풀이 보기

$x=2\cos t$ , $y=-2\sin t$ ; 다른 답도 가능하다

원본 교재 풀이(영어)

$x=2\cos t$ , $y=-2\sin t$ ; other answers possible

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 1번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

매개변수와 극좌표 전체 문제