매개변수와 극좌표 전체 연습문제

441.APEX · 9.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

반지름이 3이고 $(1,1)$ 이 중심인 원이 $[0,1]$ 에서 시계 반대 방향으로 한 바퀴 그려진다.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

A circle of radius 3, centered at $(1,1)$ , that is traced once counter–clockwise on $[0,1]$ .

정답·풀이 보기

$x=3\cos (2\pi t)+1$ , $y=3\sin (2\pi t)+1$ ; 다른 답도 가능하다

원본 교재 풀이(영어)

$x=3\cos (2\pi t)+1$ , $y=3\sin (2\pi t)+1$ ; other answers possible

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 55번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

442.APEX · 9.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

$(1,3)$ 이 중심이고, 장축이 세로 방향으로 길이가 6이며 단축의 길이가 2인 타원.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

An ellipse centered at $(1,3)$ with vertical major axis of length 6 and minor axis of length 2.

정답·풀이 보기

$x=\cos t+1$ , $y=3\sin t +3$ ; 다른 답도 가능하다

원본 교재 풀이(영어)

$x=\cos t+1$ , $y=3\sin t +3$ ; other answers possible

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 29번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

443.APEX · 9.2절 · 53번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

초점이 $(\pm 1,0)$ 이고 꼭짓점이 $(\pm 5,0)$ 인 타원.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

An ellipse with foci at $(\pm 1,0)$ and vertices at $(\pm 5,0)$ .

정답·풀이 보기

$x=5\cos t$ , $y=\sqrt{24}\sin t$ ; 다른 답도 가능하다

원본 교재 풀이(영어)

$x=5\cos t$ , $y=\sqrt{24}\sin t$ ; other answers possible

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 2번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

444.APEX · 9.2절 · 54번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

초점이 $(5,-3)$ 과 $(-1,-3)$ 이고, 꼭짓점이 $(1,-3)$ 과 $(3,-3)$ 인 쌍곡선.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

A hyperbola with foci at $(5,-3)$ and $(-1,-3)$ , and with vertices at $(1,-3)$ and $(3,-3)$ .

정답·풀이 보기

$x=\pm\sec t+2$ , $y=\sqrt{8}\tan t-3$ ; 다른 답도 가능하다

원본 교재 풀이(영어)

$x=\pm\sec t+2$ , $y=\sqrt{8}\tan t-3$ ; other answers possible

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 1번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

445.APEX · 9.2절 · 55번대학 수준우리말 번역

연습문제 47–55에서, 주어진 상황을 나타내는 매개변수 방정식을 구하세요.

꼭짓점이 $(0,\pm 6)$ 이고 점근선이 $y=\pm 3x$ 인 쌍곡선.

영어 원문 보기

In Exercises 47–55, find parametric equations that describe the given situation.

A hyperbola with vertices at $(0,\pm 6)$ and asymptotes $y=\pm 3x$ .

정답·풀이 보기

$x=2\tan t$ , $y=\pm 6\sec t$ ; 다른 답도 가능하다

원본 교재 풀이(영어)

$x=2\tan t$ , $y=\pm 6\sec t$ ; other answers possible

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 23번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

446.APEX · 9.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 매개변수 방정식 $x=f(t)$ 와 $y=g(t)$ 가 주어질 때, $g'(t) \neq 0$ 인 한 $\frac{dy}{dx} = f\,'(t)/g'(t)$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: Given parametric equations $x=f(t)$ and $y=g(t)$ , $\frac{dy}{dx} = f\,'(t)/g'(t)$ , as long as $g'(t) \neq 0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 3번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

447.APEX · 9.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 매개변수 방정식 $x=f(t)$ 와 $y=g(t)$ 가 주어질 때, $\frac{d^2y}{dx^2}$ 를 구하려면 단순히 $\frac{d}{dt}\Big(\frac{dy}{dx}\Big)$ 를 계산하면 된다.

영어 원문 보기

T/F: Given parametric equations $x=f(t)$ and $y=g(t)$ , to find $\frac{d^2y}{dx^2}$ , one simply computes $\frac{d}{dt}\Big(\frac{dy}{dx}\Big).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 8번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

448.APEX · 9.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $t=t_0$ 에서 $\frac{dy}{dx}=0$ 이면, $t=t_0$ 에서 곡선의 법선은 수직선이다.

영어 원문 보기

T/F: If $\frac{dy}{dx}=0$ at $t=t_0$ , then the normal line to the curve at $t=t_0$ is a vertical line.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 2번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

449.APEX · 9.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 곡선의 매개변수 방정식이 주어져 있다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=t$ , $y=t^2$ ; $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=t$ , $y=t^2$ ; $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = 2t$ (b) 접선: $y= 2(x-1)+1$ ; 법선: $y = -1/2(x-1)+1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = 2t$ (b) Tangent line: $y= 2(x-1)+1$ ; normal line: $y = -1/2(x-1)+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 3번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

450.APEX · 9.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=\sqrt{t}$ , $y=5t+2$ ; $t=4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=\sqrt{t}$ , $y=5t+2$ ; $t=4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = 10\sqrt{t}$ (b) 접선: $y= 20(x-2)+22$ ; 법선: $y = -1/20(x-2)+22$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = 10\sqrt{t}$ (b) Tangent line: $y= 20(x-2)+22$ ; normal line: $y = -1/20(x-2)+22$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 22번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

451.APEX · 9.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=t^2-t$ , $y=t^2+t$ ; $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=t^2-t$ , $y=t^2+t$ ; $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{2 t+1}{2 t-1}$ (b) 접선: $y= 3x+2$ ; 법선: $y = -1/3x+2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{2 t+1}{2 t-1}$ (b) Tangent line: $y= 3x+2$ ; normal line: $y = -1/3x+2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 4번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

452.APEX · 9.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=t^2-1$ , $y=t^3-t$ ; $t=0$ 과 $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=t^2-1$ , $y=t^3-t$ ; $t=0$ and $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-1}{2 t}$ (b) $t=0$ : 접선: $x=-1$ ; 법선: $y = 0$

$t=1$ : 접선: $y=x$ ; 법선: $y=-x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-1}{2 t}$ (b) $t=0$ : Tangent line: $x=-1$ ; normal line: $y = 0$

$t=1$ : Tangent line: $y=x$ ; normal line: $y=-x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 18번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

453.APEX · 9.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=\sec t$ , $y=\tan t$ (구간 $(-\pi/2,\pi/2)$ 에서); $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=\sec t$ , $y=\tan t$ on $(-\pi/2,\pi/2)$ ; $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \csc t$ (b) $t=\pi/4$ : 접선: $y=\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+1$ ; 법선: $y = -1/\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \csc t$ (b) $t=\pi/4$ : Tangent line: $y=\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+1$ ; normal line: $y = -1/\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 42번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

454.APEX · 9.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=\cos t$ , $y=\sin(2t)$ (구간 $[0,2\pi]$ 에서); $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=\cos t$ , $y=\sin(2t)$ on $[0,2\pi]$ ; $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = -2\cos(2t)\csc t$ (b) $t=\pi/4$ : 접선: $y=1$ ; 법선: $x=\sqrt{2}/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = -2\cos(2t)\csc t$ (b) $t=\pi/4$ : Tangent line: $y=1$ ; normal line: $x=\sqrt{2}/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 34번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

455.APEX · 9.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서는 곡선의 매개변수 방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=\cos t\sin(2t)$ , $y=\sin t\sin(2t)$ , 구간 $[0,2\pi]$ ; $t=3\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=\cos t\sin(2t)$ , $y=\sin t\sin(2t)$ on $[0,2\pi]$ ; $t=3\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t\sin(2t)+2\sin t\cos(2t)}{-\sin t\sin(2t)+2\cos t\cos(2t)}$ (b) 접선: $y=x-\sqrt{2}$ ; 법선: $y=-x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t\sin(2t)+2\sin t\cos(2t)}{-\sin t\sin(2t)+2\cos t\cos(2t)}$ (b) Tangent line: $y=x-\sqrt{2}$ ; normal line: $y=-x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 1번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

456.APEX · 9.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서는 곡선의 매개변수 방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=e^{t/10}\cos t$ , $y=e^{t/10}\sin t$ ; $t=\pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=e^{t/10}\cos t$ , $y=e^{t/10}\sin t$ ; $t=\pi/2$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin (t)+10 \cos (t)}{\cos (t)-10 \sin (t)}$ (b) 접선: $y=-x/10+e^{\pi/20}$ ; 법선: $y=10x+e^{\pi/20}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin (t)+10 \cos (t)}{\cos (t)-10 \sin (t)}$ (b) Tangent line: $y=-x/10+e^{\pi/20}$ ; normal line: $y=10x+e^{\pi/20}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 52번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

457.APEX · 9.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24번에서, 주어진 매개변수 방정식의 그래프가 매끄럽지 않은 $t=t_0$ 을 구한 다음 $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$\displaystyle x=\frac{1}{t^2+1}$ , $y=t^3$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find $t=t_0$ where the graph of the given parametric equations is not smooth, then find $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ .

$\displaystyle x=\frac{1}{t^2+1}$ , $y=t^3$

정답·풀이 보기

$t_0=0$ ; $\lim_{t\to 0} \frac{dy}{dx} = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$t_0=0$ ; $\lim_{t\to 0} \frac{dy}{dx} = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 6번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

458.APEX · 9.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24번에서, 주어진 매개변수 방정식의 그래프가 매끄럽지 않은 $t=t_0$ 을 구한 다음 $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$x=-t^3+7t^2-16t+13$ , $y=t^3-5t^2+8t-2$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find $t=t_0$ where the graph of the given parametric equations is not smooth, then find $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ .

$x=-t^3+7t^2-16t+13$ , $y=t^3-5t^2+8t-2$

정답·풀이 보기

$t_0=2$ ; $\lim_{t\to 2} \frac{dy}{dx} = 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$t_0=2$ ; $\lim_{t\to 2} \frac{dy}{dx} = 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 46번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

459.APEX · 9.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24번에서, 주어진 매개변수 방정식의 그래프가 매끄럽지 않은 $t=t_0$ 을 구한 다음 $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$x=t^3-3t^2+3t-1$ , $y=t^2-2t+1$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find $t=t_0$ where the graph of the given parametric equations is not smooth, then find $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ .

$x=t^3-3t^2+3t-1$ , $y=t^2-2t+1$

정답·풀이 보기

$t_0=1$ ; $\lim_{t\to 1} \frac{dy}{dx} = \infty$ .

원본 교재 풀이(영어)

$t_0=1$ ; $\lim_{t\to 1} \frac{dy}{dx} = \infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 14번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

460.APEX · 9.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 매개변수방정식의 그래프가 매끄럽지 않은 $t=t_0$ 를 구한 다음, $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$\displaystyle x=\cos^2t$ , $y=1-\sin^2t$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find $t=t_0$ where the graph of the given parametric equations is not smooth, then find $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ .

$\displaystyle x=\cos^2t$ , $y=1-\sin^2t$

정답·풀이 보기

$t_0=\ldots,-\pi/2,0,\pi/2,\pi,\ldots$ ; $\lim_{t\to 0} \frac{dy}{dx} = 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$t_0=\ldots,-\pi/2,0,\pi/2,\pi,\ldots$ ; $\lim_{t\to 0} \frac{dy}{dx} = 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 44번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

매개변수와 극좌표 전체 문제