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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한 전체 문제

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186문제 · 5 / 10쪽

81.OpenStax 2권 · 5.2절 · 29번우리말 번역

다음과 같은 an{a}_{n} 에 대하여, 그 합을 ∑n=1∞arn\sum_{n=1}^{\infty }a{r}^{n} 꼴의 등비급수로 나타내세요. 이 급수가 수렴하는지 말하고, 수렴하면 ∑an\sum {a}_{n} 의 값을 구하세요.

모든 n≥1n\ge 1 에 대해 a1=10{a}_{1}=10 이고 an/an+1=10{a}_{n}/{a}_{n+1}=10 이다.

영어 원문 보기

For an{a}_{n} as follows, write the sum as a geometric series of the form ∑n=1∞arn.\sum_{n=1}^{\infty }a{r}^{n}. State whether the series converges and if it does, find the value of ∑an.\sum {a}_{n}.

a1=10{a}_{1}=10 and an/an+1=10{a}_{n}/{a}_{n+1}=10 for n≥1.n\ge 1.

정답·풀이 보기

∑n=1∞100⋅(1/10)n,\sum_{n=1}^{\infty }100\cdot {(1/10)}^{n}, 100/9100/9 로 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

∑n=1∞100⋅(1/10)n,\sum_{n=1}^{\infty }100\cdot {(1/10)}^{n}, converges to 100/9100/9

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 5번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
82.OpenStax 2권 · 5.2절 · 30번우리말 번역

다음과 같은 an{a}_{n} 에 대하여, 그 합을 ∑n=1∞arn\sum_{n=1}^{\infty }a{r}^{n} 꼴의 등비급수로 나타내세요. 이 급수가 수렴하는지 말하고, 수렴하면 ∑an\sum {a}_{n} 의 값을 구하세요.

모든 n≥1n\ge 1 에 대해 a1=1/10{a}_{1}=1/10 이고 an/an+1=−10{a}_{n}/{a}_{n+1}=-10 이다.

영어 원문 보기

For an{a}_{n} as follows, write the sum as a geometric series of the form ∑n=1∞arn.\sum_{n=1}^{\infty }a{r}^{n}. State whether the series converges and if it does, find the value of ∑an.\sum {a}_{n}.

a1=1/10{a}_{1}=1/10 and an/an+1=−10{a}_{n}/{a}_{n+1}=-10 for n≥1.n\ge 1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
83.OpenStax 2권 · 5.2절 · 31번우리말 번역

항등식 11−y=∑n=0∞yn\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n} 을 이용하여 다음 함수를 지시된 항에 대한 등비급수로 나타내세요.

xx 에 대한 x1+x\frac{x}{1+x}

영어 원문 보기

Use the identity 11−y=∑n=0∞yn\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n} to express the function as a geometric series in the indicated term.

x1+x\frac{x}{1+x} in xx

정답·풀이 보기

x∑n=0∞(−x)n=∑n=1∞(−1)n−1xnx\sum_{n=0}^{\infty }{(-x)}^{n}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{x}^{n}

원본 교재 풀이(영어)

x∑n=0∞(−x)n=∑n=1∞(−1)n−1xnx\sum_{n=0}^{\infty }{(-x)}^{n}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}{x}^{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 47번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
84.OpenStax 2권 · 5.2절 · 32번우리말 번역

항등식 11−y=∑n=0∞yn\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n} 을 이용하여 다음 함수를 지시된 항에 대한 등비급수로 나타내세요.

x1−x3/2\frac{\sqrt{x}}{1-{x}^{3/2}} (x\sqrt{x} 에 대한 급수)

영어 원문 보기

Use the identity 11−y=∑n=0∞yn\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n} to express the function as a geometric series in the indicated term.

x1−x3/2\frac{\sqrt{x}}{1-{x}^{3/2}} in x\sqrt{x}

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 2번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
85.OpenStax 2권 · 5.2절 · 33번우리말 번역

항등식 11−y=∑n=0∞yn\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n} 을 이용하여 함수를 주어진 항에 대한 등비급수로 나타내세요.

11+sin⁡2x\frac{1}{1+{\sin }^{2}x} 를 sin⁡x\sin x 에 대한 등비급수로

영어 원문 보기

Use the identity 11−y=∑n=0∞yn\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n} to express the function as a geometric series in the indicated term.

11+sin⁡2x\frac{1}{1+{\sin }^{2}x} in sin⁡x\sin x

정답·풀이 보기

∑n=0∞(−1)nsin⁡2n(x)\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\sin }^{2n}(x)

원본 교재 풀이(영어)

∑n=0∞(−1)nsin⁡2n(x)\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\sin }^{2n}(x)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 55번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
86.OpenStax 2권 · 5.2절 · 34번우리말 번역

항등식 11−y=∑n=0∞yn\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n} 을 이용하여 함수를 주어진 항에 대한 등비급수로 나타내세요.

sec⁡2x{\sec }^{2}x 를 sin⁡x\sin x 에 대한 등비급수로

영어 원문 보기

Use the identity 11−y=∑n=0∞yn\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty }{y}^{n} to express the function as a geometric series in the indicated term.

sec⁡2x{\sec }^{2}x in sin⁡x\sin x

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
87.OpenStax 2권 · 5.2절 · 35번우리말 번역

다음 망원급수의 값을 구하거나 급수가 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞21/n−21/(n+1)\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{1/n}-{2}^{1/(n+1)}

영어 원문 보기

Evaluate the following telescoping series or state whether the series diverges.

∑n=1∞21/n−21/(n+1)\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{1/n}-{2}^{1/(n+1)}

정답·풀이 보기

Sk=2−21/(k+1)→1{S}_{k}=2-{2}^{1/(k+1)}\to 1 as k→∞.k\to \infty .

원본 교재 풀이(영어)

Sk=2−21/(k+1)→1{S}_{k}=2-{2}^{1/(k+1)}\to 1 as k→∞.k\to \infty .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 23번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
88.OpenStax 2권 · 5.2절 · 36번우리말 번역

다음 망원급수의 값을 구하거나 급수가 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞1n13−1(n+1)13\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{13}}-\frac{1}{{(n+1)}^{13}}

영어 원문 보기

Evaluate the following telescoping series or state whether the series diverges.

∑n=1∞1n13−1(n+1)13\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{13}}-\frac{1}{{(n+1)}^{13}}

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 5번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
89.OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번우리말 번역

다음 망원급수의 값을 구하거나 급수가 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞(n−n+1)\sum_{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)

영어 원문 보기

Evaluate the following telescoping series or state whether the series diverges.

∑n=1∞(n−n+1)\sum_{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)

정답·풀이 보기

Sk=1−k+1{S}_{k}=1-\sqrt{k+1} 이고 발산한다

원본 교재 풀이(영어)

Sk=1−k+1{S}_{k}=1-\sqrt{k+1} diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 27번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
90.OpenStax 2권 · 5.2절 · 38번우리말 번역

다음 망원급수의 값을 구하거나 급수가 발산하는지 말하세요.

∑n=1∞(sin⁡n−sin⁡(n+1))\sum_{n=1}^{\infty }(\sin n-\sin (n+1))

영어 원문 보기

Evaluate the following telescoping series or state whether the series diverges.

∑n=1∞(sin⁡n−sin⁡(n+1))\sum_{n=1}^{\infty }(\sin n-\sin (n+1))

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 11번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
91.OpenStax 2권 · 5.2절 · 40번우리말 번역

다음 급수를 망원합으로 나타내고 제 n 번째 부분합을 구하세요.

∑n=1∞2n+1(n2+n)2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2n+1}{{({n}^{2}+n)}^{2}} (힌트: 분모를 인수분해하고 부분분수를 이용하세요.)

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

∑n=1∞2n+1(n2+n)2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2n+1}{{({n}^{2}+n)}^{2}} (Hint: Factor denominator and use partial fractions.)

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 63번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
92.OpenStax 2권 · 5.2절 · 41번우리말 번역

다음 급수를 망원합으로 나타내고 제 n 번째 부분합을 구하세요.

∑n=2∞ln⁡(1+n1)ln⁡nln⁡(n+1)\sum_{n=2}^{\infty }\frac{\ln \left(1{+}_{n}^{1}\right)}{\ln n\ln (n+1)}

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

∑n=2∞ln⁡(1+n1)ln⁡nln⁡(n+1)\sum_{n=2}^{\infty }\frac{\ln \left(1{+}_{n}^{1}\right)}{\ln n\ln (n+1)}

정답·풀이 보기

an=1ln⁡n−1ln⁡(n+1){a}_{n}=\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln (n+1)} 이고 Sk=1ln⁡(2)−1ln⁡(k+1)→1ln⁡(2){S}_{k}=\frac{1}{\ln (2)}-\frac{1}{\ln (k+1)}\to \frac{1}{\ln (2)}

원본 교재 풀이(영어)

an=1ln⁡n−1ln⁡(n+1){a}_{n}=\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln (n+1)} and Sk=1ln⁡(2)−1ln⁡(k+1)→1ln⁡(2){S}_{k}=\frac{1}{\ln (2)}-\frac{1}{\ln (k+1)}\to \frac{1}{\ln (2)}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 31번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
93.OpenStax 2권 · 5.2절 · 42번우리말 번역

다음 급수를 망원급수으로 나타내고 제 n 번째 부분합을 구하세요.

∑n=1∞(n+2)n(n+1)2n+1\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+2)}{n(n+1){2}^{n+1}} (힌트: 1/(n2n).)1/(n{2}^{n}).) 를 살펴보세요.)

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

∑n=1∞(n+2)n(n+1)2n+1\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+2)}{n(n+1){2}^{n+1}} (Hint: Look at 1/(n2n).)1/(n{2}^{n}).)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
94.OpenStax 2권 · 5.2절 · 44번우리말 번역

일반적인 망원급수란 연속하는 일정한 개수의 항을 더했을 때, 처음 몇 개의 항을 제외한 나머지 항이 모두 소거되는 급수이다.

an=f(n)−f(n+1)−f(n+2)+f(n+3){a}_{n}=f(n)-f(n+1)-f(n+2)+f(n+3) 이고 f(n)→0f(n)\to 0 (n→∞.n\to \infty .) 일 때, ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

an=f(n)−f(n+1)−f(n+2)+f(n+3),{a}_{n}=f(n)-f(n+1)-f(n+2)+f(n+3), in which f(n)→0f(n)\to 0 as n→∞.n\to \infty . Find ∑n=1∞an.\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 28번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
95.OpenStax 2권 · 5.2절 · 45번우리말 번역

an=c0f(n)+c1f(n+1)+c2f(n+2)+c3f(n+3)+c4f(n+4){a}_{n}={c}_{0}f(n)+{c}_{1}f(n+1)+{c}_{2}f(n+2)+{c}_{3}f(n+3)+{c}_{4}f(n+4) 이고 f(n)→0f(n)\to 0 (n→∞.n\to \infty .) 이라 하자. 이 급수가 일반적인 망원급수가 되도록 하는 계수 c0,…,c4{c}_{0},\ldots ,{c}_{4} 에 대한 조건을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that an=c0f(n)+c1f(n+1)+c2f(n+2)+c3f(n+3)+c4f(n+4),{a}_{n}={c}_{0}f(n)+{c}_{1}f(n+1)+{c}_{2}f(n+2)+{c}_{3}f(n+3)+{c}_{4}f(n+4), where f(n)→0f(n)\to 0 as n→∞.n\to \infty . Find a condition on the coefficients c0,…,c4{c}_{0},\ldots ,{c}_{4} that make this a general telescoping series.

정답·풀이 보기

c0+c1+c2+c3+c4=0{c}_{0}+{c}_{1}+{c}_{2}+{c}_{3}+{c}_{4}=0

원본 교재 풀이(영어)

c0+c1+c2+c3+c4=0{c}_{0}+{c}_{1}+{c}_{2}+{c}_{3}+{c}_{4}=0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 35번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
96.OpenStax 2권 · 5.2절 · 46번우리말 번역

일반적인 망원급수란 연속하는 일정한 개수의 항을 더했을 때, 처음 몇 개의 항을 제외한 나머지 항이 모두 소거되는 급수이다.

∑n=1∞1n(n+1)(n+2)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)(n+2)} 의 값을 구하세요. (힌트: 1n(n+1)(n+2)=12n−1n+1+12(n+2))\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+2)})

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Evaluate ∑n=1∞1n(n+1)(n+2)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)(n+2)} (Hint: 1n(n+1)(n+2)=12n−1n+1+12(n+2))\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+2)})

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 55번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
97.OpenStax 2권 · 5.2절 · 47번우리말 번역

일반적인 망원급수란 연속하는 일정한 개수의 항을 더했을 때, 처음 몇 개의 항을 제외한 나머지 항이 모두 소거되는 급수이다.

∑n=2∞2n3−n\sum_{n=2}^{\infty }\frac{2}{{n}^{3}-n} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Evaluate ∑n=2∞2n3−n.\sum_{n=2}^{\infty }\frac{2}{{n}^{3}-n}.

정답·풀이 보기

2n3−1=1n−1−2n+1n+1,\frac{2}{{n}^{3}-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}, Sn=(1−1+1/3)+(1/2−2/3+1/4){S}_{n}=(1-1+1/3)+(1/2-2/3+1/4) +(1/3−2/4+1/5)+(1/4−2/5+1/6)+⋯=1/2+(1/3-2/4+1/5)+(1/4-2/5+1/6)+\cdots =1/2

원본 교재 풀이(영어)

2n3−1=1n−1−2n+1n+1,\frac{2}{{n}^{3}-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}, Sn=(1−1+1/3)+(1/2−2/3+1/4){S}_{n}=(1-1+1/3)+(1/2-2/3+1/4) +(1/3−2/4+1/5)+(1/4−2/5+1/6)+⋯=1/2+(1/3-2/4+1/5)+(1/4-2/5+1/6)+\cdots =1/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
98.OpenStax 2권 · 5.2절 · 48번우리말 번역

일반적인 망원 급수는 연속한 항을 주어진 개수만큼 더하면 처음 몇 개의 항을 제외한 나머지 항이 모두 소거되는 급수이다.

NN 이 양의 정수일 때 ∑n=1∞1n(n+N)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+N)} 의 공식을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Find a formula for ∑n=1∞1n(n+N)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+N)} where NN is a positive integer.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 4번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
99.OpenStax 2권 · 5.2절 · 51번우리말 번역

다음 무한급수는 각각 주어진 π\pi 의 배수 또는 1/π1/\pi 의 배수로 수렴한다.

각 경우에 대해, 급수의 NthN\text{th} 부분합이 좌변을 주어진 소수 자리 수까지 정확하게 근사하도록 하는 NN 의 최솟값을 구하고, 그때의 근삿값을 구하세요. 소수 1515 째 자리까지 π=3.141592653589793\pi =3.141592653589793 이다.

[계산기 사용] π=−3+∑n=1∞n2nn!2(2n)!\pi =-3+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{2}^{n}n{!}^{2}}{(2n)!}, 오차 <0.0001<0.0001

영어 원문 보기

Each of the following infinite series converges to the given multiple of π\pi or 1/π.1/\pi .

In each case, find the minimum value of NN such that the NthN\text{th} partial sum of the series accurately approximates the left-hand side to the given number of decimal places, and give the desired approximate value. Up to 1515 decimals place, π=3.141592653589793....\pi =3.141592653589793....

[T] π=−3+∑n=1∞n2nn!2(2n)!,\pi =-3+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n{2}^{n}n{!}^{2}}{(2n)!}, error <0.0001<0.0001

정답·풀이 보기

N=22,N=22, SN=6.1415{S}_{N}=6.1415

원본 교재 풀이(영어)

N=22,N=22, SN=6.1415{S}_{N}=6.1415

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 53번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
100.OpenStax 2권 · 5.2절 · 52번우리말 번역

다음 무한급수는 각각 π\pi 또는 1/π1/\pi 의 주어진 배수로 수렴합니다.

각 경우에 대해, 급수의 NthN\text{th} 부분합이 좌변을 주어진 소수 자리까지 정확하게 근사하도록 하는 NN 의 최솟값을 구하고, 구하려는 근삿값을 쓰세요. 소수점 아래 15째 자리까지 π=3.141592653589793\pi =3.141592653589793 입니다.

[계산기 사용] π2=∑k=0∞k!(2k+1)!!=∑k=0∞2kk!2(2k+1)!\frac{\pi }{2}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{{2}^{k}k{!}^{2}}{(2k+1)!}, 오차 <10−4<{10}^{-4}

영어 원문 보기

Each of the following infinite series converges to the given multiple of π\pi or 1/π.1/\pi .

In each case, find the minimum value of NN such that the NthN\text{th} partial sum of the series accurately approximates the left-hand side to the given number of decimal places, and give the desired approximate value. Up to 1515 decimals place, π=3.141592653589793....\pi =3.141592653589793....

[T] π2=∑k=0∞k!(2k+1)!!=∑k=0∞2kk!2(2k+1)!,\frac{\pi }{2}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{{2}^{k}k{!}^{2}}{(2k+1)!}, error <10−4<{10}^{-4}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)