벡터 미적분 전체 연습문제

301.OpenStax 3권 · 6.6절 · 33번대학 수준우리말 번역

밀도가 $\rho (x,y,z)=z$ 이고 반구 $z={({a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2})}^{1/2}$ 모양인 얇은 판의 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the mass of a lamina of density $\rho (x,y,z)=z$ in the shape of hemisphere $z={({a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2})}^{1/2}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$m=\pi {a}^{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$m=\pi {a}^{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 23번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

302.OpenStax 3권 · 6.6절 · 34번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=x\text{i}-5y\text{j}+4z\text{k}$ 이고 N 은 S 의 바깥쪽 법선벡터이며, S 는 두 정사각형 ${S}_{1}:x=0,\,0\le y\le 1,\,0\le z\le 1$ 과 ${S}_{2}:z=1,\,0\le x\le 1,\,0\le y\le 1$ 의 합집합이다.

3차원 공간의 그림이다. 성분이 x=0, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 1 인 정사각형이 나타나 있다. 또한 성분이 z=1, 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 인 정사각형도 나타나 있다.

영어 원문 보기

Compute ${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS,$ where $\text{F}(x,y,z)=x\text{i}-5y\text{j}+4z\text{k}$ and N is an outward normal vector of S, where S is the union of two squares ${S}_{1}:x=0,\,0\le y\le 1,\,0\le z\le 1$ and ${S}_{2}:z=1,\,0\le x\le 1,\,0\le y\le 1.$

A diagram in three dimensions. It shows the square formed by the components x=0, 0 <= y <= 1, and 0 <= z <= 1. It also shows the square formed by the components z=1, 0 <= x <= 1, and 0 <= y <= 1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 3번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

303.OpenStax 3권 · 6.6절 · 35번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=xy\text{i}+z\text{j}+(x+y)\text{k}$ 이고 N 은 $S$ 의 위쪽을 향하는 법선벡터이며, S 는 제1팔분공간에 있는 평면 $x+y+z=1$ 의 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

Compute ${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS,$ where $\text{F}(x,y,z)=xy\text{i}+z\text{j}+(x+y)\text{k}$ and N is an upward pointing normal vector $S$ , where S is the triangular region of the plane $x+y+z=1$ in the first octant.

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{13}{24}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{13}{24}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 21번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

304.OpenStax 3권 · 6.6절 · 36번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=2yz\text{i}+({\tan }^{-1}(xz))\text{j}+{e}^{xy}\text{k}$ 이고 N 은 S 의 바깥쪽 법선벡터이며, S 는 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 의 표면이다.

영어 원문 보기

Compute ${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS,$ where $\text{F}(x,y,z)=2yz\text{i}+({\tan }^{-1}(xz))\text{j}+{e}^{xy}\text{k}$ and N is an outward normal vector of S, where S is the surface of sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 3번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

305.OpenStax 3권 · 6.6절 · 37번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=xyz\text{i}+xyz\text{j}+xyz\text{k}$ 이고 N 은 S 의 바깥쪽 법선벡터이며, S 는 단위 정육면체 $0\le x\le 1,\,0\le y\le 1,\,0\le z\le 1$ 의 여섯 면 중 $z=0$ 인 면을 제외한 다섯 면으로 이루어진 곡면이다.

영어 원문 보기

Compute ${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS,$ where $\text{F}(x,y,z)=xyz\text{i}+xyz\text{j}+xyz\text{k}$ and N is an outward normal vector S, where S is the surface of the five faces of the unit cube $0\le x\le 1,\,0\le y\le 1,\,0\le z\le 1$ missing $z=0.$

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{3}{4}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{3}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 27번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

306.OpenStax 3권 · 6.6절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 S 를 yz 평면에 사영하여 면적분을 반복 이중적분으로 나타내세요.

${\iint }_{S}x{y}^{2}{z}^{3}dS;$ S 는 평면 $2x+3y+4z=12$ 의 제1팔분공간 부분이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, express the surface integral as an iterated double integral by using a projection on S on the yz-plane.

${\iint }_{S}x{y}^{2}{z}^{3}dS;$ S is the first-octant portion of plane $2x+3y+4z=12.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 23번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

307.OpenStax 3권 · 6.6절 · 39번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}({x}^{2}-2y+z)dS;$ S는 좌표평면과 평면 $z=6$ 으로 유계인 $4x+y=8$ 의 그래프 부분이다.

영어 원문 보기

${\iint }_{S}({x}^{2}-2y+z)dS;$ S is the portion of the graph of $4x+y=8$ bounded by the coordinate planes and plane $z=6.$

정답·풀이 보기

$\int_{0}^{8}\int_{0}^{6}\left(4-3y+\frac{1}{16}{y}^{2}+z\right)\left(\frac{1}{4}\sqrt{17}\right)dzdy$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{0}^{8}\int_{0}^{6}\left(4-3y+\frac{1}{16}{y}^{2}+z\right)\left(\frac{1}{4}\sqrt{17}\right)dzdy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 29번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

308.OpenStax 3권 · 6.6절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, S 를 xz평면에 사영하여 곡면적분을 반복 이중적분으로 나타내세요.

${\iint }_{S}x{y}^{2}{z}^{3}dS;$ S는 평면 $2x+3y+4z=12$ 의 제1팔분공간 부분이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, express the surface integral as an iterated double integral by using a projection on S on the xz-plane

${\iint }_{S}x{y}^{2}{z}^{3}dS;$ S is the first-octant portion of plane $2x+3y+4z=12.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 29번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

309.OpenStax 3권 · 6.6절 · 41번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}({x}^{2}-2y+z)dS;$ S는 좌표평면과 평면 $z=6$ 으로 유계인 $4x+y=8$ 의 그래프 부분이다.

영어 원문 보기

${\iint }_{S}({x}^{2}-2y+z)dS;$ S is the portion of the graph of $4x+y=8$ bounded by the coordinate planes and plane $z=6.$

정답·풀이 보기

$\int_{0}^{2}\int_{0}^{6}[{x}^{2}-2(8-4x)+z]\sqrt{17}dzdx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{0}^{2}\int_{0}^{6}[{x}^{2}-2(8-4x)+z]\sqrt{17}dzdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 43번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

310.OpenStax 3권 · 6.6절 · 42번대학 수준우리말 번역

곡면적분 ${\iint }_{S}yzdS$ 의 값을 구하세요. 여기서 S는 평면 $x+y+z=\lambda$ 의 제1팔분공간 부분이고, $\lambda$ 는 양의 상수이다.

영어 원문 보기

Evaluate surface integral ${\iint }_{S}yzdS,$ where S is the first-octant part of plane $x+y+z=\lambda ,$ where $\lambda$ is a positive constant.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 13번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

311.OpenStax 3권 · 6.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, S 를 xz평면에 사영하여 곡면적분을 반복 이중적분으로 나타내세요.

곡면적분 ${\iint }_{S}({x}^{2}z+{y}^{2}z)dS$ 의 값을 구하세요. 여기서 S는 반구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\ge 0$ 이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, express the surface integral as an iterated double integral by using a projection on S on the xz-plane

Evaluate surface integral ${\iint }_{S}({x}^{2}z+{y}^{2}z)dS,$ where S is hemisphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},z\ge 0.$

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}({x}^{2}z+{y}^{2}z)dS=\frac{\pi {a}^{5}}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}({x}^{2}z+{y}^{2}z)dS=\frac{\pi {a}^{5}}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 42번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

312.OpenStax 3권 · 6.6절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, S 를 xz-평면에 사영하여 면적분을 반복 이중적분으로 나타내세요.

면적분 ${\iint }_{S}zdS$ 의 값을 구하세요. 여기서 S 는 곡면 $z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}},0\le z\le 2$ 입니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, express the surface integral as an iterated double integral by using a projection on S on the xz-plane

Evaluate surface integral ${\iint }_{S}zdS,$ where S is surface $z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}},0\le z\le 2.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 3번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

313.OpenStax 3권 · 6.6절 · 45번대학 수준우리말 번역

곡면적분 ${\iint }_{S}{x}^{2}yzdS$ 의 값을 구하세요. 여기서 S는 평면 $z=1+2x+3y$ 의 일부로, 직사각형 $0\le x\le 3\,\text{그리고}\,0\le y\le 2$ 의 위쪽에 놓인 부분이다.

영어 원문 보기

Evaluate surface integral ${\iint }_{S}{x}^{2}yzdS,$ where S is the part of plane $z=1+2x+3y$ that lies above rectangle $0\le x\le 3\,\text{and}\,0\le y\le 2.$

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}{x}^{2}yzdS=171\sqrt{14}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}{x}^{2}yzdS=171\sqrt{14}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 37번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

314.OpenStax 3권 · 6.6절 · 46번대학 수준우리말 번역

면적분 ${\iint }_{S}yzdS$ 의 값을 구하세요. 여기서 S 는 제1팔분공간에 놓인 평면 $x+y+z=1$ 입니다.

영어 원문 보기

Evaluate surface integral ${\iint }_{S}yzdS,$ where S is plane $x+y+z=1$ that lies in the first octant.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 27번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

315.OpenStax 3권 · 6.6절 · 47번대학 수준우리말 번역

면적분 ${\iint }_{S}yzdS$ 의 값을 구하세요. 여기서 S 는 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 의 내부에 놓인 평면 $z=y+3$ 의 부분입니다.

영어 원문 보기

Evaluate surface integral ${\iint }_{S}yzdS,$ where S is the part of plane $z=y+3$ that lies inside cylinder ${x}^{2}+{y}^{2}=1.$

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}yzdS=\frac{\sqrt{2}\pi }{4}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}yzdS=\frac{\sqrt{2}\pi }{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 25번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

316.OpenStax 3권 · 6.6절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 기하학적 추론을 이용하여 주어진 면적분의 값을 구하세요.

${\iint }_{S}\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}dS$ , 여기서 S 는 곡면 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4,z\ge 0$ 입니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use geometric reasoning to evaluate the given surface integrals.

${\iint }_{S}\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}dS,$ where S is surface ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4,z\ge 0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 53번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

317.OpenStax 3권 · 6.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}(x\text{i}+y\text{j})\cdot dS$ , 여기서 S 는 곡면 ${x}^{2}+{y}^{2}=4,1\le z\le 3$ 이고, 단위법선벡터가 바깥쪽을 향하도록 방향이 주어져 있다.

영어 원문 보기

${\iint }_{S}(x\text{i}+y\text{j})\cdot dS,$ where S is surface ${x}^{2}+{y}^{2}=4,1\le z\le 3,$ oriented with unit normal vectors pointing outward

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}(x\text{i}+y\text{j})\cdot dS=16\pi$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}(x\text{i}+y\text{j})\cdot dS=16\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 33번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

318.OpenStax 3권 · 6.6절 · 50번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}(z\text{k})\cdot dS$ , 여기서 S 는 평면 $z=4$ 위의 원판 ${x}^{2}+{y}^{2}\le 9$ 이고, 단위법선벡터가 위쪽을 향하도록 방향이 주어져 있다.

영어 원문 보기

${\iint }_{S}(z\text{k})\cdot dS,$ where S is disc ${x}^{2}+{y}^{2}\le 9$ on plane $z=4,$ oriented with unit normal vectors pointing upward

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 21번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

319.OpenStax 3권 · 6.6절 · 51번대학 수준우리말 번역

얇은 판이 원뿔 $z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 안쪽에 놓인 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ 의 일부분 모양이다. S 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 a 인 구껍질이라 하고, C 는 꼭짓점이 원점에 있고 대칭축이 z축과 일치하는 직원뿔이라 하자. $\rho (x,y,z)={x}^{2}{y}^{2}z$ 일 때, 이 얇은 판의 질량을 구하세요.

3차원 그림이다. 원뿔이 위쪽으로 벌어져 있고, 뾰족한 끝은 원점에 있으며 대칭축은 *z*축과 일치한다. 원점을 중심으로 하는 반구의 윗부분이 아래쪽으로 열린 모양이며, *xy*평면에서 잘려 있다.

영어 원문 보기

A lamina has the shape of a portion of sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ that lies within cone $z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.$ Let S be the spherical shell centered at the origin with radius a, and let C be the right circular cone with a vertex at the origin and an axis of symmetry that coincides with the z-axis. Determine the mass of the lamina if $\rho (x,y,z)={x}^{2}{y}^{2}z.$

A diagram in three dimensions. A cone opens upward with point at the origin and an asic of symmetry that coincides with the z-axis. The upper half of a hemisphere with center at the origin opens downward and is cut off by the xy-plane.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$m=\frac{\pi {a}^{7}}{192}$

원본 교재 풀이(영어)

$m=\frac{\pi {a}^{7}}{192}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 45번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

320.OpenStax 3권 · 6.6절 · 52번대학 수준우리말 번역

얇은 판이 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ 의 일부분이고 원뿔 $z=\cot {\varphi }_{0}\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 안쪽에 놓여 있다. S 를 원점을 중심으로 하고 반지름이 a 인 구껍질이라 하고, C 를 꼭짓점이 원점에 있고 대칭축이 z축과 일치하는 직원뿔이라 하자. 원뿔의 옆면과 z축 사이의 각이 ${\phi }_{0},\,\text{이고}\,0\le {\phi }_{0}<\frac{\pi }{2}$ 라 하자. S 와 C 의 교차 부분에 둘러싸인 도형 부분의 질량을 구하세요. $\rho (x,y,z)={x}^{2}{y}^{2}z$ 라 가정하세요.

3차원 그림이다. 원뿔이 위쪽으로 열려 있으며, 꼭짓점이 원점에 있고 대칭축이 z축과 일치한다. 원점을 중심으로 하는 반구의 윗부분이 아래쪽으로 열려 있으며 xy평면으로 잘려 있다.

영어 원문 보기

A lamina has the shape of a portion of sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ that lies within cone $z=\cot {\varphi }_{0}\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ Let S be the spherical shell centered at the origin with radius a, and let C be the right circular cone with a vertex at the origin and an axis of symmetry that coincides with the z-axis. Suppose the angle between the sides of the cone and the z-axis is ${\phi }_{0},\,\text{with}\,0\le {\phi }_{0}<\frac{\pi }{2}.$ Determine the mass of that portion of the shape enclosed in the intersection of S and C. Assume $\rho (x,y,z)={x}^{2}{y}^{2}z.$

A diagram in three dimensions. A cone opens upward with point at the origin and an asic of symmetry that coincides with the z-axis. The upper half of a hemisphere with center at the origin opens downward and is cut off by the xy-plane.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 42번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

벡터 미적분 전체 문제