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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터와 공간 전체 문제

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39문제 · 2 / 2쪽

21.CLP-3 · 1.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

기둥에 설치된 카메라는 한 바퀴 전체를 돌 수 있다. 이 카메라는 시각 tt 초일 때 기둥에서 동쪽으로 x(t)x(t) 미터, 북쪽으로 y(t)y(t) 미터 떨어진 곳에 있는 물체를 추적하고 있다.

카메라가 항상 물체를 정면으로 향하게 하려면, 시각 tt 에서 카메라가 얼마나 빠르게 회전하도록 설정해야 하는지 구하세요. (답은 x(t)x(t), y(t)y(t) 와 이들의 도함수를 이용하여 단위 rad/sec 로 나타내세요.)

영어 원문 보기

A camera mounted to a pole can swivel around in a full circle. It is tracking an object whose position at time tt seconds is x(t)x(t) metres east of the pole, and y(t)y(t) metres north of the pole.

In order to always be pointing directly at the object, how fast should the camera be programmed to rotate at time tt? (Give your answer in terms of x(t)x(t) and y(t)y(t) and their derivatives, in the units rad/sec.)

정답·풀이 보기

이 문제는 카메라를 원점에 둔 xyxy–평면으로 이미 설정되어 있으므로, 카메라가 향하는 방향의 벡터는 (x(t),y(t))(x(t),y(t)) 이다. θ\theta 를 카메라가 양의 xx축(정동쪽)과 이루는 각이라 하자. 카메라, 물체, 정동쪽 방향(양의 xx축)은 직각삼각형을 이룬다.

그림

tan⁡θ=yxt에 대해 음함수 미분하면:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{$t$에 대해 음함수 미분하면:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The question is already set up as an xyxy–plane, with the camera at the origin, so the vector in the direction the camera is pointing is (x(t),y(t))(x(t),y(t)). Let θ\theta be the angle the camera makes with the positive xx-axis (due east). The camera, the object, and the due-east direction (positive xx-axis) make a right triangle.

figure

tan⁡θ=yxDifferentiating implicitly with respect to t:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{Differentiating implicitly with respect to $t$:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 25번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
22.CLP-3 · 1.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

중력의 영향을 받아 떨어지면서 속력에 비례하는 공기 저항 때문에 느려지는 발사체의 위치가 다음을 만족한다. d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{d\mathbf{r}}{dt} 여기서 α\alpha 는 양의 상수이다. 시각 t=0t=0 에서 r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 이고 drdt=v0\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}_0 일 때, r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요. (힌트: u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하고, 주어진 미분방정식에 drdt(t)=e−αtu(t)\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)=e^{-\alpha t}\mathbf{u}(t) 를 대입하여 u\mathbf{u} 에 대한 미분방정식을 구하세요.)

영어 원문 보기

A projectile falling under the influence of gravity and slowed by air resistance proportional to its speed has position satisfying d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{d\mathbf{r}}{dt} where α\alpha is a positive constant. If r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 and drdt=v0\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}_0 at time t=0t=0, find r(t)\mathbf{r}(t). (Hint: Define u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) and substitute drdt(t)=e−αtu(t)\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)=e^{-\alpha t}\mathbf{u}(t) into the given differential equation to find a differential equation for u\mathbf{u}.)

정답·풀이 보기

u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하자. 그러면

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{d\mathbf{u}}{dt}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

이 식의 양변을 t=0t=0 에서 t=Tt=T 까지 적분하면

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^  ⟹  u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\begin{aligned} &\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{d\mathbf{r}}{dt}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) 를 대입하고 양변에 e−αTe^{-\alpha T} 를 곱하면 drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} 이 식의 양변을 T=0T=0 에서 T=tT=t 까지 적분하면

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^  ⟹  r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} &\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Define u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t). Then

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{d\mathbf{u}}{dt}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

Integrating both sides of this equation from t=0t=0 to t=Tt=T gives

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^  ⟹  u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\begin{aligned} &\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{d\mathbf{r}}{dt}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Substituting in u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) and multiplying through by e−αTe^{-\alpha T} drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} Integrating both sides of this equation from T=0T=0 to T=tT=t gives

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^  ⟹  r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} &\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 17번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
23.CLP-3 · 1.6절 · 28번대학 수준우리말 번역

시각 t=0t=0 에서 어떤 입자의 위치 벡터와 속도 벡터가 r(0)=<−1,0,0>\mathbf{r}(0)=\left< -1,0,0\right>, v(0)=<0,−1,1>\mathbf{v}(0)=\left< 0,-1,1\right> 이다. 시각 tt 에서 이 입자의 가속도 벡터는

a(t)=<cos⁡t,sin⁡t,0>\mathbf{a}(t)=\left< \cos t,\sin t,0\right>

이다.

(a) tt 초 후 입자의 위치를 구하세요. (b) 모든 tt 에 대해 입자의 속도와 가속도가 항상 수직임을 보이세요. (c) t=−π/2t=-\pi/2 에서 입자의 경로에 접하는 접선의 방정식을 구하세요. (d) 참 또는 거짓: 입자의 경로에 접하는 직선 중 (0,0,0)(0,0,0) 을 지나는 것은 하나도 없다. 답의 이유를 밝히세요.

영어 원문 보기

At time t=0t=0 a particle has position and velocity vectors r(0)=<−1,0,0>\mathbf{r}(0)=\left< -1,0,0\right> and v(0)=<0,−1,1>\mathbf{v}(0)=\left< 0,-1,1\right>. At time tt, the particle has acceleration vector

a(t)=<cos⁡t,sin⁡t,0>\mathbf{a}(t)=\left< \cos t,\sin t,0\right>

(a) Find the position of the particle after tt seconds. (b) Show that the velocity and acceleration of the particle are always perpendicular for every tt. (c) Find the equation of the tangent line to the particle's path at t=−π/2t=-\pi/2. (d) True or False: None of the lines tangent to the path of the particle pass through (0,0,0)(0,0,0). Justify your answer.

정답·풀이 보기

(a) 정의에 의해

v′(t)=a(t)=<cos⁡t,sin⁡t,0>  ⟹  v(t)=<sin⁡t+c1,−cos⁡t+c2,c3>\mathbf{v}'(t)=\mathbf{a}(t)=\left< \cos t,\sin t,0\right> \implies \mathbf{v}(t)=\left< \sin t+c_1, -\cos t+c_2, c_3\right>

이고, 여기서 c1c_1, c2c_2, c3c_3 은 어떤 상수이다. v(0)=<0,−1,1>\mathbf{v}(0)=\left< 0,-1,1\right> 을 만족하려면 c1=0c_1=0, c2=0c_2=0, c3=1c_3=1 이어야 한다. 따라서 v(t)=<sin⁡t,−cos⁡t,1>\mathbf{v}(t)=\left< \sin t, -\cos t, 1\right> 이다. 마찬가지로

r′(t)=v(t)=<sin⁡t,−cos⁡t,1>  ⟹  r(t)=<−cos⁡t+d1,−sin⁡t+d2,t+d3>\mathbf{r}'(t)=\mathbf{v}(t)=\left< \sin t,-\cos t,1\right> \implies \mathbf{r}(t)=\left< -\cos t+d_1, -\sin t+d_2, t+d_3\right>

이고, 여기서 d1d_1, d2d_2, d3d_3 은 어떤 상수이다. r(0)=<−1,0,0>\mathbf{r}(0)=\left< -1,0,0\right> 을 만족하려면 d1=0d_1=0, d2=0d_2=0, d3=0d_3=0 이어야 한다. 따라서 r(t)=<−cos⁡t,−sin⁡t,t>\mathbf{r}(t)=\left< -\cos t, -\sin t, t\right> 이다.

(b) 수직 여부를 확인하기 위해 내적을 계산하면

v(t)⋅a(t)=<sin⁡t,−cos⁡t,1>⋅<cos⁡t,sin⁡t,0>=sin⁡tcos⁡t−cos⁡tsin⁡t+1×0=0\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=\left< \sin t, -\cos t, 1\right>\cdot\left< \cos t,\sin t,0\right> =\sin t\cos t-\cos t \sin t+1\times 0=0

이므로 모든 tt 에 대해 v(t)⊥a(t)\mathbf{v}(t)\perp\mathbf{a}(t) 이다.

(c) t=−π2t=-\frac{\pi}{2} 에서 입자는 r(−π2)=<0,1,−π2>\mathbf{r}\big(-\frac{\pi}{2}\big)=\left< 0,1,-\frac{\pi}{2}\right> 에 있고 속도는 v(−π2)=<−1,0,1>\mathbf{v}\big(-\frac{\pi}{2}\big)=\left< -1,0,1\right> 이다. 따라서 접선은 <0,1,−π2>\left< 0,1,-\frac{\pi}{2}\right> 을 지나고 방향 벡터가 <−1,0,1>\left< -1,0,1\right> 이어야 한다. 다음은 접선의 벡터 매개변수 방정식이다.

r(u)=<0,1,−π2>+u<−1,0,1>\mathbf{r}(u)=\left< 0,1,-\frac{\pi}{2}\right>+u\left< -1,0,1\right>

(d) 참이다. 입자가 지나는 경로를 위에서 내려다보아 xx 좌표와 yy 좌표만 보이게 하자. 우리가 보는 경로(이를 사영 경로라 하자)는 x(t)=−cos⁡tx(t)=-\cos t, y(t)=−sin⁡ty(t)=-\sin t 이며, 이는 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원이다. 원의 어떤 접선이든 항상 그 원의 바깥에 놓인다. 따라서 사영 경로에 접하는 어떤 접선도 (0,0)(0,0) 을 지날 수 없다. 그러므로 입자가 지나는 경로에 접하는 어떤 접선도 zz 축을 지날 수 없고, 특히 (0,0,0)(0,0,0) 을 지날 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By definition,

v′(t)=a(t)=<cos⁡t,sin⁡t,0>  ⟹  v(t)=<sin⁡t+c1,−cos⁡t+c2,c3>\mathbf{v}'(t)=\mathbf{a}(t)=\left< \cos t,\sin t,0\right> \implies \mathbf{v}(t)=\left< \sin t+c_1, -\cos t+c_2, c_3\right>

for some constants c1c_1, c2c_2, c3c_3. To satisfy v(0)=<0,−1,1>\mathbf{v}(0)=\left< 0,-1,1\right>, we need c1=0c_1=0, c2=0c_2=0 and c3=1c_3=1. So v(t)=<sin⁡t,−cos⁡t,1>\mathbf{v}(t)=\left< \sin t, -\cos t, 1\right>. Similarly,

r′(t)=v(t)=<sin⁡t,−cos⁡t,1>  ⟹  r(t)=<−cos⁡t+d1,−sin⁡t+d2,t+d3>\mathbf{r}'(t)=\mathbf{v}(t)=\left< \sin t,-\cos t,1\right> \implies \mathbf{r}(t)=\left< -\cos t+d_1, -\sin t+d_2, t+d_3\right>

for some constants d1d_1, d2d_2, d3d_3. To satisfy r(0)=<−1,0,0>\mathbf{r}(0)=\left< -1,0,0\right>, we need d1=0d_1=0, d2=0d_2=0 and d3=0d_3=0. So r(t)=<−cos⁡t,−sin⁡t,t>\mathbf{r}(t)=\left< -\cos t, -\sin t, t\right>.

(b) To test for orthogonality, we compute the dot product

v(t)⋅a(t)=<sin⁡t,−cos⁡t,1>⋅<cos⁡t,sin⁡t,0>=sin⁡tcos⁡t−cos⁡tsin⁡t+1×0=0\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=\left< \sin t, -\cos t, 1\right>\cdot\left< \cos t,\sin t,0\right> =\sin t\cos t-\cos t \sin t+1\times 0=0

so v(t)⊥a(t)\mathbf{v}(t)\perp\mathbf{a}(t) for all tt.

(c) At t=−π2t=-\frac{\pi}{2} the particle is at r(−π2)=<0,1,−π2>\mathbf{r}\big(-\frac{\pi}{2}\big)=\left< 0,1,-\frac{\pi}{2}\right> and has velocity v(−π2)=<−1,0,1>\mathbf{v}\big(-\frac{\pi}{2}\big)=\left< -1,0,1\right>. So the tangent line must pass through <0,1,−π2>\left< 0,1,-\frac{\pi}{2}\right> and have direction vector <−1,0,1>\left< -1,0,1\right>. Here is a vector parametric equation for the tangent line.

r(u)=<0,1,−π2>+u<−1,0,1>\mathbf{r}(u)=\left< 0,1,-\frac{\pi}{2}\right>+u\left< -1,0,1\right>

(d) True. Look at the path followed by the particle from the top so that we only see xx and yy coordinates. The path we see (call this the projected path) is x(t)=−cos⁡tx(t)=-\cos t, y(t)=−sin⁡ty(t)=-\sin t, which is a circle of radius one centred on the origin. Any tangent line to any circle always remains outside the circle. So no tangent line to the projected path can pass through the (0,0)(0,0). So no tangent line to the path followed by the particle can pass through the zz–axis and, in particular, through (0,0,0)(0,0,0).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 18번
# 벡터함수의 미분과 적분개념 확인도전자동 분류
24.CLP-3 · 1.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

시각 tt (단위: 초 s)에서 입자의 위치가 다음과 같이 주어져 있다.

r(t)=tcos⁡(πt2)ı^+tsin⁡(πt2)ȷ^+t k^\mathbf{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) 입자의 경로가 원뿔 z2=x2+y2z^2=x^2+y^2 위에 있음을 보이세요. (b) 시각 tt 에서의 속도 벡터와 속력을 구하세요. (c) 시각 t=1t=1s 에서 입자가 경로를 벗어나, 경로에 접하는 방향의 직선 LL 을 따라 날아간다고 하자. 직선 LL 의 방정식을 구하세요. (d) 입자가 직선 LL 을 따라 움직이기 시작한 후, 평면 x=−1x=-1 에 부딪히기까지 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

The position of a particle at time tt (measured in seconds s) is given by

r(t)=tcos⁡(πt2)ı^+tsin⁡(πt2)ȷ^+t k^\mathbf{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) Show that the path of the particle lies on the cone z2=x2+y2z^2=x^2+y^2. (b) Find the velocity vector and the speed at time tt. (c) Suppose that at time t=1t=1s the particle flies off the path on a line LL in the direction tangent to the path. Find the equation of the line LL. (d) How long does it take for the particle to hit the plane x=−1x=-1 after it started moving along the straight line LL?

정답·풀이 보기

(a) x(t)2+y(t)2=t2cos⁡2(πt2)+t2sin⁡2(πt2)=t2그리고z(t)2=t2x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{그리고}\qquad z(t)^2=t^2

은 서로 같으므로, 입자의 경로는 원뿔 z2=x2+y2z^2=x^2+y^2 위에 있다.

(b) 정의에 의해,

속도=r′(t)=[cos⁡(πt2)−πt2sin⁡(πt2)]ı^+[sin⁡(πt2)+πt2cos⁡(πt2)]ȷ^+k^속력=∣r′(t)∣=[cos⁡(πt2)−πt2sin⁡(πt2)]2+[sin⁡(πt2)+πt2cos⁡(πt2)]2+12=[cos⁡2(πt2)−2πt2cos⁡(πt2)sin⁡(πt2)+(πt2)2sin⁡2(πt2)+sin⁡2(πt2)+2πt2cos⁡(πt2)sin⁡(πt2)+(πt2)2cos⁡2(πt2)+1]1/2=2+π2t24\begin{aligned} \text{속도}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{속력}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}

(c) t=1t=1 일 때 입자는 r(1)=(0,1,1)\mathbf{r}(1)=(0,1,1) 에 있고 속도는 r′(1)=<−π2,1,1>\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right> 이다. 따라서 t≥1t\ge 1 일 때 입자의 위치는

<x,y,z>=<0,1,1>+(t−1)<−π2,1,1>\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>

이다. 이것은 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이기도 하다.

(d) 입자가 LL 을 따라 날아가는 동안 속력이 일정하게 유지된다고 가정하자. 그러면 시각 tt (t≥1t\ge 1)에서 입자의 xx 좌표는 −π2(t−1)-\frac{\pi}{2}(t-1) 이다. 이 값은 t−1=2πt-1=\frac{2}{\pi} 일 때 −1-1 이 된다. 따라서 입자는 원뿔을 벗어난 지 2π\frac{2}{\pi} 초 후에 x=−1x=-1 에 부딪힌다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

x(t)2+y(t)2=t2cos⁡2(πt2)+t2sin⁡2(πt2)=t2andz(t)2=t2x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{and}\qquad z(t)^2=t^2

are the same, the path of the particle lies on the cone z2=x2+y2z^2=x^2+y^2.

(b) By definition,

velocity=r′(t)=[cos⁡(πt2)−πt2sin⁡(πt2)]ı^+[sin⁡(πt2)+πt2cos⁡(πt2)]ȷ^+k^speed=∣r′(t)∣=[cos⁡(πt2)−πt2sin⁡(πt2)]2+[sin⁡(πt2)+πt2cos⁡(πt2)]2+12=[cos⁡2(πt2)−2πt2cos⁡(πt2)sin⁡(πt2)+(πt2)2sin⁡2(πt2)+sin⁡2(πt2)+2πt2cos⁡(πt2)sin⁡(πt2)+(πt2)2cos⁡2(πt2)+1]1/2=2+π2t24\begin{aligned} \text{velocity}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{speed}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}

(c) At t=1t=1, the particle is at r(1)=(0,1,1)\mathbf{r}(1)=(0,1,1) and has velocity r′(1)=<−π2,1,1>\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>. So for t≥1t\ge 1, the particle is at

<x,y,z>=<0,1,1>+(t−1)<−π2,1,1>\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>

This is also a vector parametric equation for the line.

(d) Assume that the particle's speed remains constant as it flies along LL. Then the xx-coordinate of the particle at time tt (for t≥1t\ge 1) is −π2(t−1)-\frac{\pi}{2}(t-1). This takes the value −1-1 when t−1=2πt-1=\frac{2}{\pi}. So the particle hits x=−1x=-1, 2π\frac{2}{\pi} seconds after it flew off the cone.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 11번
# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술도전자동 분류
25.CLP-3 · 1.6절 · 30번대학 수준우리말 번역

(a) 곡선 r1(t)=<1+t,t2,t3>\mathbf{r}_1(t)=\left< 1+t, t^2, t^3\right> 과 r2(t)=<cos⁡t,sin⁡t,t>\mathbf{r}_2(t)=\left< \cos t, \sin t, t\right> 는 점 P(1,0,0)P(1,0,0) 에서 만난다. 점 PP 에서 두 곡선이 만나는 각을 구하세요. (b) 평면 x+y−z=4x+y-z=4 와 2x−z=42x-z=4 의 교선과 직선 r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right> 사이의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

(a) The curve r1(t)=<1+t,t2,t3>\mathbf{r}_1(t)=\left< 1+t, t^2, t^3\right> and r2(t)=<cos⁡t,sin⁡t,t>\mathbf{r}_2(t)=\left< \cos t, \sin t, t\right> intersect at the point P(1,0,0)P(1,0,0). Find the angle of intersection between the curves at the point PP. (b) Find the distance between the line of intersection of the planes x+y−z=4x+y-z=4 and 2x−z=42x-z=4 and the line r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right>.

답 쓰고 채점
(a)
°
(b)
정답·풀이 보기

(a) 두 곡선의 접선벡터는 다음과 같다.

r1′(t)=<1,2t,3t2>r2′(t)=<−sin⁡t,cos⁡t,1>\mathbf{r}'_1(t)=\left< 1, 2t, 3t^2\right>\qquad \mathbf{r}'_2(t)=\left<-\sin t, \cos t, 1\right>

두 곡선은 모두 t=0t=0 일 때 PP 를 지나므로 이때의 접선벡터는 다음과 같다.

r1′(0)=<1,0,0>r2′(0)=<0,1,1>\mathbf{r}'_1(0)=\left< 1, 0, 0\right>\qquad \mathbf{r}'_2(0)=\left< 0, 1, 1\right>

따라서 두 곡선이 만나는 각 θ\theta 는 다음 식으로 정해진다.

r1′(0)⋅r2′(0)=∣r1′(0)∣ ∣r2′(0)∣ cos⁡θ  ⟹  <1,0,0>⋅<0,1,1>=1⋅2⋅cos⁡θ  ⟹  cos⁡θ=0  ⟹  θ=90∘\begin{aligned} \mathbf{r}'_1(0)\cdot\mathbf{r}'_2(0)=|\mathbf{r}'_1(0)|\,|\mathbf{r}'_2(0)|\,\cos\theta &\implies \left< 1, 0, 0\right>\cdot\left< 0, 1, 1\right>=1\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\theta \\ &\implies\cos\theta=0\implies \theta=90^\circ \end{aligned}

(b) 풀이 전략은 다음과 같다.

  • 시점이 한 직선 위에 있고 종점이 다른 직선 위에 있는 벡터 v\mathbf{v} 를 구한다.
  • 두 직선에 모두 수직인 벡터 n\mathbf{n} 을 구한다.
  • 그러면 v\mathbf{v} 와 n\mathbf{n} 사이의 각을 θ\theta 라 할 때, 두 직선 사이의 거리는 ∣v∣cos⁡θ=∣v⋅n∣∣n∣|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} 이다.

이제 풀어 보자.

  • 먼저 v\mathbf{v} 를 구한다.

  • 직선 r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right> 위의 한 점은 r(0)=<0,−1,1>\mathbf{r}(0)=\left< 0,-1,1\right> 이다.

  • (x,y,z)(x,y,z) 가 다른 직선 위에 있을 필요충분조건은 x+y−z=4x+y-z=4 이고 2x−z=42x-z=4 인 것이다. 특히 z=0z=0 이면 x+y=4x+y=4 이고 2x=42x=4 이므로 x=2x=2, y=2y=2 이다.

  • 따라서 벡터 v=<2−0 , 2−(−1) , 0−1>=<2,3,−1>\mathbf{v}=\left< 2-0\,,\,2-(-1)\,,\,0-1\right>=\left< 2,3,-1\right> 은 종점이 한 직선 위에 있고 시점이 다른 직선 위에 있다.

  • 다음으로 두 직선에 모두 수직인 벡터 n\mathbf{n} 을 구한다.

  • 먼저 직선 x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4 의 방향벡터를 구한다. x=y=2x=y=2, z=0z=0 이 이 직선 위의 점임은 이미 알고 있다. 이 직선 위의 두 번째 점은, 예를 들어 z=2z=2 로 놓고 x+y=6x+y=6, 2x=62x=6 을 풀면 x=3x=3, y=3y=3 으로 구할 수 있다. 따라서 직선 x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4 의 방향벡터 하나는 d1=<3−2 , 3−2 , 2−0>=<1,1,2>\mathbf{d}_1=\left<3-2\,,\,3-2\,,\,2-0 \right> = \left< 1,1,2\right> 이다.

  • 직선 x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4 의 방향벡터를 구하는 두 번째 방법은 다음과 같다. <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> 은 x+y−z=4x+y-z=4 의 법선벡터이므로 이 직선에 수직이고, <2,0,−1>\left< 2,0,-1\right> 은 2x−z=42x-z=4 의 법선벡터이므로 역시 이 직선에 수직이다. 따라서 <1,1,−1>×<2,0,−1>\left< 1,1,-1\right>\times\left< 2,0,-1\right> 이 이 직선의 방향벡터이다.

  • 직선 r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right> 의 방향벡터는 d2=r′(t)=<1,2,3>\mathbf{d}_2=\mathbf{r}'(t)=\left< 1,2,3\right> 이다.

  • 그러므로

n=d2×d1=det⁡[ı^ȷ^k^123112]=ı^+ȷ^−k^\mathbf{n}=\mathbf{d}_2\times\mathbf{d}_1 =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}\right] = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}

은 두 직선에 모두 수직이다.

따라서 두 직선 사이의 거리는 다음과 같다.

∣v∣cos⁡θ=∣v⋅n∣∣n∣=<2,3,−1>⋅<1,1,−1>∣<1,1,−1>∣=63=23|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} =\frac{\left< 2,3,-1\right> \cdot\left< 1,1,-1\right>}{|\left< 1,1,-1\right>|} =\frac{6}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The tangent vectors to the two curves are

r1′(t)=<1,2t,3t2>r2′(t)=<−sin⁡t,cos⁡t,1>\mathbf{r}'_1(t)=\left< 1, 2t, 3t^2\right>\qquad \mathbf{r}'_2(t)=\left<-\sin t, \cos t, 1\right>

Both curves pass through PP at t=0t=0 and then the tangent vectors are

r1′(0)=<1,0,0>r2′(0)=<0,1,1>\mathbf{r}'_1(0)=\left< 1, 0, 0\right>\qquad \mathbf{r}'_2(0)=\left< 0, 1, 1\right>

So the angle of intersection, θ\theta, is determined by

r1′(0)⋅r2′(0)=∣r1′(0)∣ ∣r2′(0)∣ cos⁡θ  ⟹  <1,0,0>⋅<0,1,1>=1⋅2⋅cos⁡θ  ⟹  cos⁡θ=0  ⟹  θ=90∘\begin{aligned} \mathbf{r}'_1(0)\cdot\mathbf{r}'_2(0)=|\mathbf{r}'_1(0)|\,|\mathbf{r}'_2(0)|\,\cos\theta &\implies \left< 1, 0, 0\right>\cdot\left< 0, 1, 1\right>=1\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\theta \\ &\implies\cos\theta=0\implies \theta=90^\circ \end{aligned}

(b) Our strategy will be to

  • find a vector v\mathbf{v} whose tail is on one line and whose head is on the other line and then
  • find a vector n\mathbf{n} that is perpendicular to both lines.
  • Then, if we denote by θ\theta the angle between v\mathbf{v} and n\mathbf{n}, the distance between the two lines is ∣v∣cos⁡θ=∣v⋅n∣∣n∣|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}

Here we go

  • So the first step is to find a v\mathbf{v}.

  • One point on the line r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right> is r(0)=<0,−1,1>\mathbf{r}(0)=\left< 0,-1,1\right>.

  • (x,y,z)(x,y,z) is on the other line if and only if x+y−z=4x+y-z=4 and 2x−z=42x-z=4. In particular, if z=0z=0 then x+y=4x+y=4 and 2x=42x=4 so that x=2x=2 and y=2y=2.

  • So the vector v=<2−0 , 2−(−1) , 0−1>=<2,3,−1>\mathbf{v}=\left< 2-0\,,\,2-(-1)\,,\,0-1\right>=\left< 2,3,-1\right> has its head on one line and its tail on the other line.

  • Next we find a vector n\mathbf{n} that is perpendicular to both lines.

  • First we find a direction vector for the line x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4. We already know that x=y=2x=y=2, z=0z=0 is on that line. We can find a second point on that line by choosing, for example, z=2z=2 and then solving x+y=6x+y=6, 2x=62x=6 to get x=3x=3, y=3y=3. So one direction vector for the line x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4 is d1=<3−2 , 3−2 , 2−0>=<1,1,2>\mathbf{d}_1=\left<3-2\,,\,3-2\,,\,2-0 \right> = \left< 1,1,2\right>.

  • A second way to get a direction vector for the line x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4 is to observe that <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> is normal to x+y−z=4x+y-z=4 and so is perpendicular to the line and <2,0,−1>\left< 2,0,-1\right> is normal to 2x−z=42x-z=4 and so is also perpendicular to the line. So <1,1,−1>×<2,0,−1>\left< 1,1,-1\right>\times\left< 2,0,-1\right> is a direction vector for the line.

  • A direction vector for the line r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right> is d2=r′(t)=<1,2,3>\mathbf{d}_2=\mathbf{r}'(t)=\left< 1,2,3\right>.

  • So

n=d2×d1=det⁡[ı^ȷ^k^123112]=ı^+ȷ^−k^\mathbf{n}=\mathbf{d}_2\times\mathbf{d}_1 =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}\right] = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}

is perpendicular to both lines.

The distance between the two lines is then

∣v∣cos⁡θ=∣v⋅n∣∣n∣=<2,3,−1>⋅<1,1,−1>∣<1,1,−1>∣=63=23|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} =\frac{\left< 2,3,-1\right> \cdot\left< 1,1,-1\right>}{|\left< 1,1,-1\right>|} =\frac{6}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 23번
# 벡터함수의 미분과 적분계산도전자동 분류
26.CLP-3 · 1.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

아래 곡면은 zz축을 중심으로 하는 원형 등위곡선을 가집니다. 주어진 직선들은 이 곡면과 yzyz평면의 오른쪽 절반이 만나서 생기는 것입니다. 이 곡면의 방정식을 구하세요.

그림

영어 원문 보기

The surface below has circular level curves, centred along the zz-axis. The lines given are the intersection of the surface with the right half of the yzyz-plane. Give an equation for the surface.

figure

정답·풀이 보기

등위곡선이 (xyxy평면에서) 원점을 중심으로 하는 원이므로, zz가 상수일 때 방정식은 어떤 상수 cc에 대하여 x2+y2=cx^2+y^2=c 꼴이다. 즉 방정식은 다음과 같은 꼴이다. x2+y2=g(z),x^2+y^2=g(z), 여기서 g(z)g(z)는 zz에만 의존하는 함수이다.

단면이 매우 대칭적이므로, 이 도형이 yzyz평면의 왼쪽과 만나는 부분도 알 수 있다: z=3(−y−1)=−3(y+1)z=3(-y-1)=-3(y+1) (z≥0z\ge0 일 때)이고 z=−3(−y−1)=3(y+1)z=-3(-y-1)=3(y+1) (z<0z<0 일 때)이다. 아래는 이 곡면과 yzyz평면이 만나는 부분이다.

그림

x=0x=0 을 대입하면 방정식은 y2=g(z)y^2=g(z) 가 된다. yzyz평면의 오른쪽을 보면 다음을 얻는다: {z=3(y−1)z≥0, y≥1 일 때z=−3(y−1)z<0, y≥1 일 때}\left.\begin{cases} z=3(y-1) &z\geq 0,\ y\ge 1 \text{ 일 때}\\ z=-3(y-1) &z< 0,\ y\ge 1 \text{ 일 때} \end{cases}\right\} . 즉,

∣z∣=3(y−1)∣z∣3+1=y(∣z∣3+1)2=y2(∗)\begin{aligned} |z|&=3(y-1)\\ \frac{|z|}{3}+1&=y\\ \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2&=y^2 &(*) \end{aligned}

간단한 확인: (∗)(*) 에서 양변을 제곱할 때 또 다른 해 ∣z∣3+1=−y\frac{|z|}{3}+1=-y 가 추가되었다. 그림과 달라지지 않았는지 확인해 보자.

(∣z∣3+1)2=y2⇔∣z∣3+1⏟양수=±y⇔{∣z∣3+1=yy>0∣z∣3+1=−yy<0⇔{∣z∣3+1=yy≥1∣z∣3+1=−yy≤−1⇔{∣z∣=3(y−1)y≥1∣z∣=−3(y+1)y≤−1⇔{z=±3(y−1)⏟양수y≥1z=±3(y+1)⏟음수y≤−1⇔{z=3(y−1)y≥1, z≥0z=−3(y−1)y≥1, z≤0z=−3(y+1)y≤−1, z≥0z=3(y+1)y≤−1, z≤0\begin{aligned} &&& \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2=y^2\\ &\Leftrightarrow&& \underbrace{\frac{|z|}{3}+1}_{\text{양수}}=\pm y\\ &\Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y>0\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y<0 \end{cases}\\[0.1in] & \Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y\ge1\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} |z| =3(y-1) & y\ge1\\[0.05in] |z|=-3(y+1) & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =\pm \underbrace{3(y-1)}_{\text{양수}} & y\ge1\\ z=\pm \underbrace{3(y+1)}_{\text{음수}} & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =3(y-1) & y\ge1,\ z\ge0\\ z =-3(y-1) & y\ge1,\ z\le0\\ z=-3(y+1) & y\le-1,\ z \ge 0\\ z=3(y+1) & y\le-1,\ z\le 0 \end{cases} \end{aligned}

이는 그림과 정확히 일치한다. 따라서 이 곡면의 방정식은 다음과 같다. x2+y2=(∣z∣3+1)2x^2+y^2=\left( \frac{|z|}{3}+1\right)^2

원본 교재 풀이(영어)

Since the level curves are circles centred at the origin (in the xyxy-plane), when zz is a constant, the equation will have the form x2+y2=cx^2+y^2=c for some constant. That is, our equation looks like x2+y2=g(z),x^2+y^2=g(z), where g(z)g(z) is a function depending only on zz.

Because our cross-sections are so nicely symmetric, we know the intersection of the figure with the left side of the yzyz-plane as well: z=3(−y−1)=−3(y+1)z=3(-y-1)=-3(y+1) (when z≥0z\ge0) and z=−3(−y−1)=3(y+1)z=-3(-y-1)=3(y+1) (when z<0z<0). Below is the intersection of our surface with the yzyz plane.

figure

Setting x=0x=0, our equation becomes y2=g(z)y^2=g(z). Looking at the right side of the yzyz plane, this should lead to: {z=3(y−1)if z≥0, y≥1z=−3(y−1)if z<0, y≥1}\left.\begin{cases} z=3(y-1) &\text{if } z\geq 0,\ y\ge 1\\ z=-3(y-1) &\text{if } z< 0,\ y\ge 1 \end{cases}\right\} . That is:

∣z∣=3(y−1)∣z∣3+1=y(∣z∣3+1)2=y2(∗)\begin{aligned} |z|&=3(y-1)\\ \frac{|z|}{3}+1&=y\\ \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2&=y^2 &(*) \end{aligned}

A quick check: when we squared both sides of the equation in (∗)(*), we added another solution, ∣z∣3+1=−y\frac{|z|}{3}+1=-y. Let's make sure we haven't diverged from our diagram.

(∣z∣3+1)2=y2⇔∣z∣3+1⏟positive=±y⇔{∣z∣3+1=yy>0∣z∣3+1=−yy<0⇔{∣z∣3+1=yy≥1∣z∣3+1=−yy≤−1⇔{∣z∣=3(y−1)y≥1∣z∣=−3(y+1)y≤−1⇔{z=±3(y−1)⏟positivey≥1z=±3(y+1)⏟negativey≤−1⇔{z=3(y−1)y≥1, z≥0z=−3(y−1)y≥1, z≤0z=−3(y+1)y≤−1, z≥0z=3(y+1)y≤−1, z≤0\begin{aligned} &&& \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2=y^2\\ &\Leftrightarrow&& \underbrace{\frac{|z|}{3}+1}_{\text{positive}}=\pm y\\ &\Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y>0\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y<0 \end{cases}\\[0.1in] & \Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y\ge1\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} |z| =3(y-1) & y\ge1\\[0.05in] |z|=-3(y+1) & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =\pm \underbrace{3(y-1)}_{\text{positive}} & y\ge1\\ z=\pm \underbrace{3(y+1)}_{\text{negative}} & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =3(y-1) & y\ge1,\ z\ge0\\ z =-3(y-1) & y\ge1,\ z\le0\\ z=-3(y+1) & y\le-1,\ z \ge 0\\ z=3(y+1) & y\le-1,\ z\le 0 \end{cases} \end{aligned}

This matches our diagram eactly. So, all together, the equation of the surface is x2+y2=(∣z∣3+1)2x^2+y^2=\left( \frac{|z|}{3}+1\right)^2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 11번
# 이차곡면과 곡면 그리기그래프·표 해석도전자동 분류
27.CLP-4 · 1.1절 · 25번대학 수준우리말 번역

한 입자가 곡면 z2=12yz^2=12y 와 18x=yz18x=yz 의 교선인 곡선 C\mathcal{C} 를 따라 위쪽 방향으로 움직인다. 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때 속도 v\mathbf{v} 와 가속도 a\mathbf{a} 는 다음과 같다. v=6 ı^+12 ȷ^+12 k^a=27 ı^+30 ȷ^+6 k^\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

(a) u=z6u=\frac{z}{6} 를 매개변수로 사용하여 C\mathcal{C} 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) (0,0,0)(0,0,0) 에서 (1,3,6)(1,3,6) 까지 C\mathcal{C} 의 길이를 구하세요. (c) u=u(t)u=u(t) 가 시각 tt 에서 입자의 위치에 해당하는 매개변수 값일 때, 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때의 dudt\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} 를 구하세요. (d) 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때의 d2udt2\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} 를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves along the curve C\mathcal{C} of intersection of the surfaces z2=12yz^2=12y and 18x=yz18x=yz in the upward direction. When the particle is at (1,3,6)(1,3,6) its velocity v\mathbf{v} and acceleration a\mathbf{a} are given by v=6 ı^+12 ȷ^+12 k^a=27 ı^+30 ȷ^+6 k^\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

(a) Write a vector parametric equation for C\mathcal{C} using u=z6u=\frac{z}{6} as a parameter. (b) Find the length of C\mathcal{C} from (0,0,0)(0,0,0) to (1,3,6)(1,3,6). (c) If u=u(t)u=u(t) is the parameter value for the particle's position at time tt, find dudt\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} when the particle is at (1,3,6)(1,3,6). (d) Find d2udt2\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} when the particle is at (1,3,6)(1,3,6).

정답·풀이 보기

(a) z=6uz=6u 이므로 y=z212=3u2y=\frac{z^2}{12}=3u^2 이고 x=yz18=u3x=\frac{yz}{18}=u^3 이다.

r(u)=u3 ı^+3u2 ȷ^+6u k^\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b)

r′(u)=3u2 ı^+6u ȷ^+6 k^r′′(u)=6u ı^+6 ȷ^dsdu(u)=∣r′(u)∣=9u4+36u2+36=3(u2+2)\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}

∫C ds=∫01dsdu du=∫013(u2+2) du=[u3+6u]01=7\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7

(c) 시각 tt 에서 입자의 위치를 R(t)\mathbf{R}(t) 라 하자. 그러면 R(t)=r(u(t))  ⟹  R′(t)=r′(u(t))dudt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} 특히, 입자가 시각 t1t_1 에 (1,3,6)(1,3,6) 에 있다면 u(t1)=1u(t_1)=1 이고 6 ı^+12 ȷ^+12 k^=R′(t1)=r′(1)dudt(t1)=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)dudt(t1)6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) 이므로 dudt(t1)=2\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2 이다.

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해 R′(t)=r′(u(t))dudt  ⟹  R′′(t)=r′′(u(t))(dudt)2+r′(u(t))d2udt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} 특히,

27 ı^+30 ȷ^+6 k^=R′′(t1)=r′′(1)(dudt(t1))2+r′(1)d2udt2(t1)=(6 ı^+6 ȷ^)22+(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}

간단히 하면 3 ı^+6 ȷ^+6 k^=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)  ⟹  d2udt2(t1)=13\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since z=6uz=6u, y=z212=3u2y=\frac{z^2}{12}=3u^2 and x=yz18=u3x=\frac{yz}{18}=u^3,

r(u)=u3 ı^+3u2 ȷ^+6u k^\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b)

r′(u)=3u2 ı^+6u ȷ^+6 k^r′′(u)=6u ı^+6 ȷ^dsdu(u)=∣r′(u)∣=9u4+36u2+36=3(u2+2)\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}

∫C ds=∫01dsdu du=∫013(u2+2) du=[u3+6u]01=7\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7

(c) Denote by R(t)\mathbf{R}(t) the position of the particle at time tt. Then R(t)=r(u(t))  ⟹  R′(t)=r′(u(t))dudt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} In particular, if the particle is at (1,3,6)(1,3,6) at time t1t_1, then u(t1)=1u(t_1)=1 and 6 ı^+12 ȷ^+12 k^=R′(t1)=r′(1)dudt(t1)=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)dudt(t1)6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) which implies that dudt(t1)=2\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2.

(d) By the product and chain rules, R′(t)=r′(u(t))dudt  ⟹  R′′(t)=r′′(u(t))(dudt)2+r′(u(t))d2udt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} In particular,

27 ı^+30 ȷ^+6 k^=R′′(t1)=r′′(1)(dudt(t1))2+r′(1)d2udt2(t1)=(6 ı^+6 ȷ^)22+(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}

Simplifying 3 ı^+6 ȷ^+6 k^=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)  ⟹  d2udt2(t1)=13\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 24번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
28.CLP-4 · 1.1절 · 26번대학 수준우리말 번역

질량이 m=1m = 1 인 입자가 시각 00 에서 위치 r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 이고 속도 v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 이다. 이 입자는 다음 힘을 받아 움직인다.

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) 입자의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 를 tt 에 대한 식으로 구하세요. (b) 시각 t=0t = 0 이후 입자가 평면 x=0x = 0 을 처음으로 지나는 시각은 언제인지 구하세요. (c) (b)에서 입자가 평면 x=0x = 0 을 지날 때의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle of mass m=1m = 1 has position r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} and velocity v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} at time 00. It moves under a force

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) Determine the position r(t)\mathbf{r}(t) of the particle depending on tt. (b) At what time after time t=0t = 0 does the particle cross the plane x=0x = 0 for the first time? (c) What is the velocity of the particle when it crosses the plane x=0x = 0 in part (b)?

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 법칙에 따라

mr′′(t)=F(t)이므로r′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

한 번 적분하면

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건 r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 에서 c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} 이므로

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

한 번 더 적분하면

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건 r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 에서 c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} 이므로

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

(b) 입자가 평면 x=0x=0 위에 있는 것은

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

일 때이다. 따라서 구하는 시각은 t=πt=\pi 이다.

(c) 시각 t=πt=\pi 에서의 속도는

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) According to Newton,

mr′′(t)=F(t)so thatr′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{so that}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

Integrating once gives

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

for some constant vector c\mathbf{c}. We are told that r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}. This forces c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} so that

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Integrating a second time gives

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

for some (other) constant vector c\mathbf{c}. We are told that r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}. This forces c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} so that

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) The particle is in the plane x=0x=0 when

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

So the desired time is t=πt=\pi.

(c) At time t=πt=\pi, the velocity is

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 31번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
29.CLP-4 · 1.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

CC 를 곡면 y=x2y=x^2 과 z=23x3z=\frac{2}{3}x^3 의 교선이 만드는 곡선이라 하자. 한 입자가 dxdt>0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0 이고 일정한 속력으로 CC 를 따라 움직인다. 이 입자는 시각 t=0t=0 에 (0,0,0)(0,0,0) 에 있고, 시각 t=72t=\frac{7}{2} 에 (3,9,18)(3,9,18) 에 있다.

(a) CC 에서 (0,0,0)(0,0,0) 과 (3,9,18)(3,9,18) 사이 부분의 길이를 구하세요. (b) 입자의 일정한 속력을 구하세요. (c) 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때 입자의 속도를 구하세요. (d) 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때 입자의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Let CC be the curve of intersection of the surfaces y=x2y=x^2 and z=23x3z=\frac{2}{3}x^3. A particle moves along CC with constant speed such that dxdt>0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0. The particle is at (0,0,0)(0,0,0) at time t=0t=0 and is at (3,9,18)(3,9,18) at time t=72t=\frac{7}{2}.

(a) Find the length of the part of CC between (0,0,0)(0,0,0) and (3,9,18)(3,9,18). (b) Find the constant speed of the particle. (c) Find the velocity of the particle when it is at (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big). (d) Find the acceleration of the particle when it is at (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big).

정답·풀이 보기

(a) CC 를 xx 로 매개화한다. y=x2y=x^2 이고 z=23x3z=\frac{2}{3}x^3 이므로

r(x)=x ı^+x2 ȷ^+23x3 k^r′(x)=ı^+2x ȷ^+2x2 k^r′′(x)=2 ȷ^+4x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+4x2+4x4=1+2x2\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2 \end{aligned}

이고 ∫C ds=∫03dsdx dx=∫03(1+2x2) dx=[x+23x3]03=21\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21

(b) 입자는 72\frac{7}{2} 시간 단위 동안 21 단위의 거리를 이동했다. 따라서 속력은 217/2=6\frac{21}{7/2}=6 이다.

(c) 시각 tt 에서 입자의 위치를 R(t)\mathbf{R}(t) 라 하자. 그러면 R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} (a), (b)와 합성함수의 미분법에 의해 6=dsdt=dsdxdxdt=(1+2x2)dxdt  ⟹  dxdt=61+2x26=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2} 특히, 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있는 때는 x=1x=1 일 때이다. 이때 dxdt=61+2×1=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2 이고 R′=r′(1)dxdt=(ı^+2 ȷ^+2 k^)2=2ı^+4 ȷ^+4 k^\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 R′(t)=r′(x(t))dxdt  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt)2+r′(x(t))d2xdt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 6=(1+2x(t)2)dxdt(t)6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) 의 양변에 ddt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 를 적용하면 0=4x(dxdt)2+(1+2x2)d2xdt20=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 특히, x=1x=1 이고 dxdt=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2 일 때, 0=4×1(2)2+(3)d2xdt20=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 에서 d2xdt2=−163\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3} 이고 R′′=(2 ȷ^+4 k^)(2)2−(ı^+2 ȷ^+2 k^)163=−83(2ı^+ ȷ^−2 k^)\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)

원본 교재 풀이(영어)

(a) Parametrize CC by xx. Since y=x2y=x^2 and z=23x3z=\frac{2}{3}x^3,

r(x)=x ı^+x2 ȷ^+23x3 k^r′(x)=ı^+2x ȷ^+2x2 k^r′′(x)=2 ȷ^+4x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+4x2+4x4=1+2x2\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2 \end{aligned}

and ∫C ds=∫03dsdx dx=∫03(1+2x2) dx=[x+23x3]03=21\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21

(b) The particle travelled a distance of 21 units in 72\frac{7}{2} time units. This corresponds to a speed of 217/2=6\frac{21}{7/2}=6.

(c) Denote by R(t)\mathbf{R}(t) the position of the particle at time tt. Then R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} By parts (a) and (b) and the chain rule 6=dsdt=dsdxdxdt=(1+2x2)dxdt  ⟹  dxdt=61+2x26=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2} In particular, the particle is at (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) at x=1x=1. At this time dxdt=61+2×1=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2 and R′=r′(1)dxdt=(ı^+2 ȷ^+2 k^)2=2ı^+4 ȷ^+4 k^\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(d) By the product and chain rules, R′(t)=r′(x(t))dxdt  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt)2+r′(x(t))d2xdt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} Applying ddt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} to 6=(1+2x(t)2)dxdt(t)6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) gives 0=4x(dxdt)2+(1+2x2)d2xdt20=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} In particular, when x=1x=1 and dxdt=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2, 0=4×1(2)2+(3)d2xdt20=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} gives d2xdt2=−163\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3} and R′′=(2 ȷ^+4 k^)(2)2−(ı^+2 ȷ^+2 k^)163=−83(2ı^+ ȷ^−2 k^)\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 30번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
30.CLP-4 · 1.1절 · 28번대학 수준우리말 번역

기둥에 설치된 카메라는 한 바퀴 전체를 돌 수 있다. 이 카메라가 한 물체를 추적하고 있는데, 시각 tt초에서 그 물체의 위치는 기둥으로부터 동쪽으로 x(t)x(t) 미터, 북쪽으로 y(t)y(t) 미터이다.

카메라가 항상 물체를 똑바로 향하려면, 시각 tt에서 카메라가 얼마나 빠르게 회전하도록 프로그램해야 하는지 구하세요. (답은 x(t)x(t), y(t)y(t) 및 이들의 도함수를 이용하여 rad/sec 단위로 나타내세요.)

영어 원문 보기

A camera mounted to a pole can swivel around in a full circle. It is tracking an object whose position at time tt seconds is x(t)x(t) metres east of the pole, and y(t)y(t) metres north of the pole.

In order to always be pointing directly at the object, how fast should the camera be programmed to rotate at time tt? (Give your answer in terms of x(t)x(t) and y(t)y(t) and their derivatives, in the units rad/sec.)

정답·풀이 보기

이 문제는 이미 카메라를 원점으로 하는 xyxy평면으로 설정되어 있으므로, 카메라가 향하는 방향의 벡터는 (x(t),y(t))(x(t),y(t))이다. θ\theta를 카메라가 양의 xx축(정동쪽)과 이루는 각이라 하자. 카메라, 물체, 정동쪽 방향(양의 xx축)은 직각삼각형을 이룬다.

그림

tan⁡θ=yxt에 대해 음함수 미분하면:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{$t$에 대해 음함수 미분하면:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The question is already set up as an xyxy-plane, with the camera at the origin, so the vector in the direction the camera is pointing is (x(t),y(t))(x(t),y(t)). Let θ\theta be the angle the camera makes with the positive xx-axis (due east). The camera, the object, and the due-east direction (positive xx-axis) make a right triangle.

figure

tan⁡θ=yxDifferentiating implicitly with respect to t:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{Differentiating implicitly with respect to $t$:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 27번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
31.CLP-4 · 1.1절 · 29번대학 수준우리말 번역

반지름이 3인 관이 곡선 r(t)=(223t3/2 , 12t2 , t+2)\mathbf{r}(t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2}~,~\frac12t^2~,~t+2) (0≤t≤100 \le t \le 10)의 경로를 따라 놓여 있다.

이 관의 내부 부피를 구하세요. 또 이 관의 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

A pipe of radius 3 follows the path of the curve r(t)=(223t3/2 , 12t2 , t+2)\mathbf{r}(t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2}~,~\frac12t^2~,~t+2), for 0≤t≤100 \le t \le 10.

What is the volume inside the pipe? What is the surface area of the pipe?

정답·풀이 보기

파푸스의 정리를 이용하면, 이 관과 길이와 반지름이 같은 관의 겉넓이와 부피를 계산할 수 있다. 따라서 관의 길이 LL을 구해야 한다.

drdt=(2t,t,1)∣drdt∣=2t+t2+1=∣t+1∣L=∫010(t+1)dt=60\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}&=(\sqrt{2t},t,1)\\ \left| \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right|&=\sqrt{2t+t^2+1}=|t+1|\\ L&=\int_0^{10}(t+1)\mathrm{d}t=60 \end{aligned}

반지름이 3이고 길이가 60인 관의 겉넓이는 60(2π⋅3)=360π60(2\pi\cdot 3)=360\pi이고, 부피는 60(π⋅32)=540π60(\pi \cdot3^2)=540\pi이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the Theorem of Pappus, we can calculate the surface area and volume of a pipe with the same length and radius as this pipe. So, we need to find the length of the pipe, LL.

drdt=(2t,t,1)∣drdt∣=2t+t2+1=∣t+1∣L=∫010(t+1)dt=60\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}&=(\sqrt{2t},t,1)\\ \left| \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right|&=\sqrt{2t+t^2+1}=|t+1|\\ L&=\int_0^{10}(t+1)\mathrm{d}t=60 \end{aligned}

A pipe with radius 3 and length 60 has surface area 60(2π⋅3)=360π60(2\pi\cdot 3)=360\pi and volume 60(π⋅32)=540π60(\pi \cdot3^2)=540\pi.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 28번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
32.CLP-4 · 1.1절 · 30번대학 수준우리말 번역

전체 길이가 1000cm인 철사를 원형 나선 모양의 유연한 코일로 만들었습니다. 높이 1 cm마다 10번씩 감겨 있고 나선의 반지름이 3 cm일 때, 코일의 높이는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A wire of total length 1000cm is formed into a flexible coil that is a circular helix. If there are 10 turns to each centimetre of height and the radius of the helix is 3 cm, how tall is the coil?

정답·풀이 보기

일반적으로 나선은 다음과 같이 매개변수로 나타낼 수 있다.

r(θ)=acos⁡θ ı^+asin⁡θ ȷ^+bθ k^\mathbf{r}(\theta)=a\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b\theta\,\hat{\mathbf{k}}

먼저 aa와 bb를 구해야 한다. 나선의 반지름이 33 cm이므로 a=3a=3 cm이다. 10번 감긴 후(즉 θ=20π\theta=20\pi) 높이 bθb\theta는 1 cm이다. 따라서 b(20π)=1b(20\pi)=1이고 b=120πb=\frac{1}{20\pi}cm/rad이다. 그러므로 r(θ)=3cos⁡θ ı^+3sin⁡θ ȷ^+120πθk^\mathbf{r}(\theta)=3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\theta\hat{\mathbf{k}}이다.

나선이 한 바퀴 감길 때마다(즉 θ\theta가 2π2\pi만큼 증가할 때마다) 나선의 높이는 2πb=110cm2\pi b=\frac{1}{10}\textrm{cm}만큼 증가한다. 따라서 나선 한 바퀴에 들어가는 철사의 길이를 구하면, 나선이 모두 몇 바퀴 감기는지 쉽게 구할 수 있고, 이로부터 나선의 전체 높이를 구할 수 있다.

r′(θ)=−3sin⁡θ ı^+3cos⁡θ ȷ^+120πk^\mathbf{r}'(\theta)=-3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\hat{\mathbf{k}}이므로 dsdθ=∣r′(θ)∣=9+1400π2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\big|\mathbf{r}'(\theta)\big|=\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}이다. 따라서 나선 한 바퀴의 길이는

∫02π9+1400π2 dθ=2π9+1400π2\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}\ \mathrm{d}\theta &=2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}} \end{aligned}

이고, 1000cm의 철사로는

10002π9+1400π2=500π9+1400π2\frac{1000}{2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} =\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}

바퀴를 만들 수 있다. 한 바퀴마다 높이가 110cm\frac{1}{10}\textrm{cm}씩 늘어나므로 전체 높이는

500π9+1400π2⋅110=50π9+1400π2≈5.3 cm\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}\cdot \frac{1}{10} =\frac{50}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} \approx 5.3\textrm{ cm}

이다.

참고. 각 바퀴가 늘리는 높이는 (반지름에 비해) 매우 작다는 점을 이용하면 이 답이 타당한지 확인할 수 있다. 따라서 한 바퀴의 길이는 반지름이 같은 원의 둘레, 즉 6π6\pi와 거의 같을 것으로 예상된다. 철사로 실제 원을 만든다면 10006π\frac{1000}{6\pi}개를 만들 수 있다. 1 cm당 10개씩 쌓으면 높이는 10006π⋅10\frac{1000}{6\pi\cdot 10}cm가 된다. 이 값도 약 5.35.3cm이므로 우리가 구한 결과가 타당하다고 할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

In general a helix can be parametrized by

r(θ)=acos⁡θ ı^+asin⁡θ ȷ^+bθ k^\mathbf{r}(\theta)=a\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b\theta\,\hat{\mathbf{k}}

Our first task is to determine aa and bb. The radius of the helix is 33 cm, so a=3a=3 cm. After 10 turns (i.e. θ=20π\theta=20\pi) the height, bθb\theta, is 1 cm. So b(20π)=1b(20\pi)=1 and b=120πb=\frac{1}{20\pi}cm/rad. Thus r(θ)=3cos⁡θ ı^+3sin⁡θ ȷ^+120πθk^\mathbf{r}(\theta)=3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\theta\hat{\mathbf{k}}.

With each full turn of the helix (i.e. each increase of θ\theta by 2π2\pi) the height of the helix increases by 2πb=110cm2\pi b=\frac{1}{10}\textrm{cm}. So if we can determine the length of wire in one full turn of the helix, we can easily determine how many turns the helix goes through in total, and from that we can determine the total height of the helix.

As r′(θ)=−3sin⁡θ ı^+3cos⁡θ ȷ^+120πk^\mathbf{r}'(\theta)=-3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\hat{\mathbf{k}} we have dsdθ=∣r′(θ)∣=9+1400π2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\big|\mathbf{r}'(\theta)\big|=\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}. So the length of one full turn of the helix is

∫02π9+1400π2 dθ=2π9+1400π2\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}\ \mathrm{d}\theta &=2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}} \end{aligned}

and 1000cm of wire generates

10002π9+1400π2=500π9+1400π2\frac{1000}{2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} =\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}

turns. Each turn adds 110cm\frac{1}{10}\textrm{cm} to the height, so the total height is

500π9+1400π2⋅110=50π9+1400π2≈5.3 cm\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}\cdot \frac{1}{10} =\frac{50}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} \approx 5.3\textrm{ cm}

Remark. We can check that this answer is reasonable by taking advantage of the fact that each coil adds only a very small height (relative to the radius). So we expect the length of one coil to be about the same as the circumference of a circle of the same radius, namely 6π6\pi. If we were making actual circles of the wire, there would be 10006π\frac{1000}{6\pi} of them. Stacking up at 10 per centimetre, this would make a pile of height 10006π⋅10\frac{1000}{6\pi\cdot 10}cm. Since this number is also approximately 5.35.3cm, we feel our result is reasonable.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 26번
# 벡터함수의 미분과 적분계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
33.CLP-4 · 1.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

중력의 영향을 받아 떨어지면서 속력에 비례하는 공기 저항으로 느려지는 발사체의 위치는 다음을 만족한다.

d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}

여기서 α\alpha 는 양의 상수이다. 시각 t=0t=0 에서 r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 이고 drdt=v0\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_0 일 때, r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

A projectile falling under the influence of gravity and slowed by air resistance proportional to its speed has position satisfying

d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}

where α\alpha is a positive constant. If r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 and drdt=v0\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_0 at time t=0t=0, find r(t)\mathbf{r}(t).

정답·풀이 보기

u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하자. 그러면

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이 등식의 양변을 t=0t=0 에서 t=Tt=T 까지 적분하면

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이므로

u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이다. u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) 를 대입하고 양변에 e−αTe^{-\alpha T} 를 곱하면

drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이다. 이 등식의 양변을 T=0T=0 에서 T=tT=t 까지 적분하면

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이므로

r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Define u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t). Then

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Integrating both sides of this equation from t=0t=0 to t=Tt=T gives

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

so that

u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

Substituting in u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) and multiplying through by e−αTe^{-\alpha T} gives

drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

Integrating both sides of this equation from T=0T=0 to T=tT=t gives

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

so that

r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 25번
# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
34.CLP-4 · 1.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 정의하세요. r(t)=(11+t2, arctan⁡t1+t−2, arctan⁡t)\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right) 단, 0≤t0 \le t 입니다. z=arctan⁡tz=\arctan t 를 사용하여 이 함수를 다시 매개화하고, 그것이 나타내는 곡선을 설명하세요. 새로운 매개변수 zz 의 기하학적 의미는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Define r(t)=(11+t2, arctan⁡t1+t−2, arctan⁡t)\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right) for 0≤t0 \le t. Reparametrize the function using z=arctan⁡tz=\arctan t, and describe the curve it defines. What is the geometric interpretation of the new parameter zz?

정답·풀이 보기

arctan⁡t=z\arctan t = z 이므로 t=tan⁡zt=\tan z 이다.

r(t)=(11+t2, arctan⁡t1+t−2, arctan⁡t)=(11+tan⁡2z, z1+cot⁡2z, z)=(1∣sec⁡z∣, z∣csc⁡z∣, z)=(∣cos⁡z∣, z∣sin⁡z∣, z)0≤t 이고 arctan⁡t<π/2 이므로 0≤z<π/2 이고, 따라서 cos⁡z 와 sin⁡z 는 모두 음이 아니다.=(cos⁡z, zsin⁡z, z)\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2z}},~ \frac{z}{\sqrt{1+\cot^{2}z}},~z\right)\\ &=\left(\frac{1}{|\sec z|},~ \frac{z}{|\csc z|},~z\right)\\ &=\left(|\cos z|,~ z|\sin z|,~z\right) \\ \text{$0 \le t $ 이고 $\arctan t < \pi/2$ 이므로 $0 \le z < \pi/2$ 이고, 따라서 $\cos z$ 와 $\sin z$ 는 모두 음이 아니다.} \\ &=\left(\cos z,~ z\sin z,~z\right) \end{aligned}

정의역을 제한하지 않았다면 이 곡선은 위로 올라가는 나선이 된다. zz 는 나선의 높이이면서 동시에 라디안 값이다. 나선의 ı^\hat{\boldsymbol{\imath}} 성분은 −1-1 과 11 사이에 머무르고, ȷ^\hat{\boldsymbol{\jmath}} 성분은 증가한다. 따라서 이 나선은 "두께"는 그대로이면서 점점 더 "넓어진다".

그림

정의역이 제한되어 있으므로 실제 곡선은 이 나선의 4분의 1 "바퀴"뿐이며, 위 그림에서 빨간색으로 표시되어 있다.

매개변수 zz 는 높이를 나타내는 값이며, 나선이 돌아가는 동안의 라디안 값이기도 하다.

원본 교재 풀이(영어)

Using arctan⁡t=z\arctan t = z, and so t=tan⁡zt=\tan z:

r(t)=(11+t2, arctan⁡t1+t−2, arctan⁡t)=(11+tan⁡2z, z1+cot⁡2z, z)=(1∣sec⁡z∣, z∣csc⁡z∣, z)=(∣cos⁡z∣, z∣sin⁡z∣, z)Since 0≤t, and arctan⁡t<π/2 we have 0≤z<π/2, so cos⁡z and sin⁡z are both nonnegative.=(cos⁡z, zsin⁡z, z)\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2z}},~ \frac{z}{\sqrt{1+\cot^{2}z}},~z\right)\\ &=\left(\frac{1}{|\sec z|},~ \frac{z}{|\csc z|},~z\right)\\ &=\left(|\cos z|,~ z|\sin z|,~z\right) \\ \text{Since $0 \le t $, and $\arctan t < \pi/2$ we have $0 \le z < \pi/2$, so $\cos z$ and $\sin z$ are both nonnegative.} \\ &=\left(\cos z,~ z\sin z,~z\right) \end{aligned}

If we didn't have the restricted domain, this would make a spiral going up: zz is both the height of the spiral and a radian measure. The ı^\hat{\boldsymbol{\imath}}-component of the spiral stays between −1-1 and 11, while the ȷ^\hat{\boldsymbol{\jmath}}-component increases. So, our spiral gets increasingly “wide," while staying the same “thickness."

figure

Due to the restricted domain, our actual curve is only one-quarter of a “turn" of this spiral, indicated in red above.

The parameter zz is a measure of height, and it is also a radian measure as the spiral turns.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 7번
# 호의 길이와 곡률계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
35.CLP-4 · 1.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

함수 r(t)=(12t2,13t3)\mathbf{r}(t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3) 을 t=−1t=-1 에서부터 잰 호의 길이에 대해 재매개화하세요.

영어 원문 보기

Reparametrize the function r(t)=(12t2,13t3)\mathbf{r}(t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3) in terms of arclength from t=−1t=-1.

정답·풀이 보기

r(t)=(12t2,13t3)r′(t)=(t,t2)∣r′(t)∣=t2+t4=∣t∣1+t2s(t)=∫−1t∣x∣1+x2dx={∫−1t−x1+x2dxt≤0 일 때∫−10−x1+x2dx+∫0tx1+x2dxt>0 일 때u=1+x2, 12du=xdx 로 놓는다.={−∫21+t212udut≤0 일 때−∫2112udu+∫11+t212udut>0 일 때={−13u3/2∣21+t2t≤0 일 때−13u3/2∣21+13u3/2∣11+t2t>0 일 때={23/23−13(1+t2)3/2t≤0 일 때−23+23/23+13(1+t2)3/2t>0 일 때s 에 대해 t 를 풀면:1+t2={(22−3s)2/3t≤0 일 때(3s+2−22)2/3t>0 일 때t2={(22−3s)2/3−1t≤0 일 때(3s+2−22)2/3−1t>0 일 때t2=∣t∣ 임에 유의하면:t={−(22−3s)2/3−1t≤0 일 때(3s+2−22)2/3−1t>0 일 때s=13(22−1) 일 때 t=0 임에 유의하면, (12t2,13t3) 의 재매개화는 다음과 같다.R(s)={(12[(22−3s)2/3−1],−13[(22−3s)2/3−1]3/2)s≤13(22−1) 일 때(12[(3s+2−22)2/3−1],13[(3s+2−22)2/3−1]3/2)s>13(22−1) 일 때\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\\ \mathbf{r}'(t)&=(t,t^2)\\ |\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^2+t^4}=|t|\sqrt{1+t^2}\\ s(t)&=\int_{-1}^t|x|\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=\begin{cases} \int_{-1}^t -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & t \le 0 \text{ 일 때}\\ \int_{-1}^0 -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x +\int_{0}^t x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\ \text{$u=1+x^2$, $\frac12\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x$ 로 놓는다.} \\ &=\begin{cases} -\int_{2}^{1+t^2} \frac{1}{2}\sqrt{u}\mathrm{d}u & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\int_{2}^1 \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u+ \int_{1}^{1+t^2} \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1+t^2} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1}+ \frac13u^{3/2}|_{1}^{1+t^2} & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac{2^{3/2}}{3}-\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\frac23+\frac{2^{3/2}}{3}+\frac13(1+t^2)^{3/2} & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\ \text{$s$ 에 대해 $t$ 를 풀면:} \\ 1+t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3} & t>0 \text{ 일 때}\end{cases}\\ t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1 & t \le 0 \text{ 일 때}\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1 & t>0 \text{ 일 때} \end{cases} \\ \text{$\sqrt{t^2}=|t|$ 임에 유의하면:} \\ t&=\begin{cases}-\sqrt{(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ \sqrt{(3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1} & t>0 \text{ 일 때} \end{cases} \\ \text{$s=\tfrac{1}{3}(2\sqrt2-1)$ 일 때 $t=0$ 임에 유의하면, $(\tfrac12t^2,\tfrac13t^3)$ 의 재매개화는 다음과 같다.} \\ \mathbf{R}(s)&=\begin{cases} \Big(\frac12\left[ (2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right],-\frac13\left[(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)& s\le \frac13(2\sqrt2-1) \text{ 일 때}\\ \Big(\frac12\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1 \right],\frac13\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)& s>\frac13(2\sqrt2-1) \text{ 일 때} \end{cases} \end{aligned}

참고: 이처럼 계산이 길고 자세한 경우에는 몇 개의 점을 확인하여 답이 타당한지 검증해 보는 것이 좋다. 예를 들어 s=0s=0 일 때 tt 는 −1-1 이어야 하고, 그 역도 성립한다. 또한 t=0t=0 이 s=13(22−1)s=\frac13(2\sqrt2-1) 에 대응함을 구하였다. 따라서 r(0)=R(13(22−1))\mathbf{r}(0)=\mathbf{R}\left(\frac13(2\sqrt2-1)\right) 과 r(−1)=R(0)\mathbf{r}(-1)=\mathbf{R}(0) 을 확인할 수 있어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

r(t)=(12t2,13t3)r′(t)=(t,t2)∣r′(t)∣=t2+t4=∣t∣1+t2s(t)=∫−1t∣x∣1+x2dx={∫−1t−x1+x2dxwhen t≤0∫−10−x1+x2dx+∫0tx1+x2dxwhen t>0Let u=1+x2, 12du=xdx={−∫21+t212uduwhen t≤0−∫2112udu+∫11+t212uduwhen t>0={−13u3/2∣21+t2when t≤0−13u3/2∣21+13u3/2∣11+t2when t>0={23/23−13(1+t2)3/2when t≤0−23+23/23+13(1+t2)3/2when t>0Solving for t in terms of s:1+t2={(22−3s)2/3when t≤0(3s+2−22)2/3when t>0t2={(22−3s)2/3−1when t≤0(3s+2−22)2/3−1when t>0Remembering that t2=∣t∣:t={−(22−3s)2/3−1when t≤0(3s+2−22)2/3−1when t>0Noting that t=0 when s=13(22−1), we find our reparametrization of (12t2,13t3).R(s)={(12[(22−3s)2/3−1],−13[(22−3s)2/3−1]3/2) when s≤13(22−1)(12[(3s+2−22)2/3−1],13[(3s+2−22)2/3−1]3/2) when s>13(22−1)\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\\ \mathbf{r}'(t)&=(t,t^2)\\ |\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^2+t^4}=|t|\sqrt{1+t^2}\\ s(t)&=\int_{-1}^t|x|\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=\begin{cases} \int_{-1}^t -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & \text{when } t \le 0\\ \int_{-1}^0 -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x +\int_{0}^t x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\ \text{Let $u=1+x^2$, $\frac12\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x$} \\ &=\begin{cases} -\int_{2}^{1+t^2} \frac{1}{2}\sqrt{u}\mathrm{d}u & \text{when } t \le 0\\ -\int_{2}^1 \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u+ \int_{1}^{1+t^2} \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1+t^2} & \text{when } t \le 0\\ -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1}+ \frac13u^{3/2}|_{1}^{1+t^2} & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac{2^{3/2}}{3}-\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} & \text{when } t \le 0\\ -\frac23+\frac{2^{3/2}}{3}+\frac13(1+t^2)^{3/2} & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\ \text{Solving for $t$ in terms of $s$:} \\ 1+t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3} &\text{when } t \le 0\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3} &\text{when }t>0\end{cases}\\ t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1 &\text{when } t \le 0\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1 &\text{when }t>0 \end{cases} \\ \text{Remembering that $\sqrt{t^2}=|t|$:} \\ t&=\begin{cases}-\sqrt{(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1} &\text{when } t \le 0\\ \sqrt{(3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1} &\text{when }t>0 \end{cases} \\ \text{Noting that $t=0$ when $s=\tfrac{1}{3}(2\sqrt2-1)$, we find our reparametrization of $(\tfrac12t^2,\tfrac13t^3)$.} \\ \mathbf{R}(s)&=\begin{cases} \Big(\frac12\left[ (2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right],-\frac13\left[(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)&\text{ when }s\le \frac13(2\sqrt2-1)\\ \Big(\frac12\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1 \right],\frac13\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)&\text{ when }s>\frac13(2\sqrt2-1) \end{cases} \end{aligned}

Remark: after a computation with this much detail, it's nice to find a few points to check, to verify that our answer is reasonable. For instance, when s=0s=0, tt should be −1-1, and vice-versa. Also, we found that t=0t=0 corresponds to s=13(22−1)s=\frac13(2\sqrt2-1). So, we should be able to verify that r(0)=R(13(22−1))\mathbf{r}(0)=\mathbf{R}\left(\frac13(2\sqrt2-1)\right) and r(−1)=R(0)\mathbf{r}(-1)=\mathbf{R}(0).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.2절 · 2번
# 호의 길이와 곡률계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
36.CLP-4 · 1.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

곡선

x(θ)=∫0θcos⁡(12πt2)dty(θ)=∫0θsin⁡(12πt2)dtx(\theta)=\int_0^\theta \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi t^2\big)dt\quad \quad y(\theta)=\int_0^\theta \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi t^2\big)dt

에 대해 곡률 κ\kappa 를 호의 길이 ss ((0,0)(0,0) 에서부터 잰 길이)의 함수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the curvature κ\kappa as a function of arclength ss (measured from (0,0)(0,0)) for the curve

x(θ)=∫0θcos⁡(12πt2)dty(θ)=∫0θsin⁡(12πt2)dtx(\theta)=\int_0^\theta \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi t^2\big)dt\quad \quad y(\theta)=\int_0^\theta \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi t^2\big)dt

정답·풀이 보기

속도 벡터는

v(θ)=x′(θ) ı^+y′(θ) ȷ^=cos⁡(12πθ2) ı^+sin⁡(12πθ2) ȷ^\mathbf{v}(\theta)=x'(\theta)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y'(\theta)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi\theta^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi\theta^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

이다. 따라서 속력은

dsdθ(θ)=∣v(θ)∣=1  ⟹  s(θ)=θ+s(0)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}(\theta)= |\mathbf{v}(\theta)|=1 \implies s(\theta)=\theta+s(0)

이다. θ=0\theta=0 일 때 s(θ)s(\theta) 가 0 이므로 s(θ)=θs(\theta)=\theta 이고, 따라서

T^(s)=v(s)=cos⁡(12πs2) ı^+sin⁡(12πs2) ȷ^\hat{\mathbf{T}}(s)=\mathbf{v}(s) = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

이므로

κ(s)=∣dT^ds(s)∣=∣−πssin⁡(12πs2) ı^+πscos⁡(12πs2) ȷ^∣=πs\kappa (s)=\left|\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}(s)\right| =\big|-\pi s\sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\pi s \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big| =\pi s

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity vector is

v(θ)=x′(θ) ı^+y′(θ) ȷ^=cos⁡(12πθ2) ı^+sin⁡(12πθ2) ȷ^\mathbf{v}(\theta)=x'(\theta)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y'(\theta)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi\theta^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi\theta^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

Consequently the speed

dsdθ(θ)=∣v(θ)∣=1  ⟹  s(θ)=θ+s(0)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}(\theta)= |\mathbf{v}(\theta)|=1 \implies s(\theta)=\theta+s(0)

Since s(θ)s(\theta) is zero when θ=0\theta=0, we have s(θ)=θs(\theta)=\theta and hence

T^(s)=v(s)=cos⁡(12πs2) ı^+sin⁡(12πs2) ȷ^\hat{\mathbf{T}}(s)=\mathbf{v}(s) = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

so that

κ(s)=∣dT^ds(s)∣=∣−πssin⁡(12πs2) ı^+πscos⁡(12πs2) ȷ^∣=πs\kappa (s)=\left|\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}(s)\right| =\big|-\pi s\sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\pi s \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big| =\pi s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 38번
# 호의 길이와 곡률계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
37.CLP-4 · 1.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

R2\mathbb{R}^2 에서 함수 y=x33y=\frac{x^3}{3} 의 그래프로 주어진 곡선을 CC 라 하고, 점 (x,x3/3)(x, x^3/3) 에서 CC 의 곡률을 κ(x)\kappa(x) 라 하자. κ(x)\kappa (x) 가 최댓값을 갖는 점을 모두 구하세요. 그러한 점이 없다면 그 이유를 설명하세요. x→∞x \rightarrow \infty 일 때와 x→−∞x \rightarrow -\infty 일 때 κ(x)\kappa(x) 의 극한은 각각 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Let CC be the curve in R2\mathbb{R}^2 given by the graph of the function y=x33y=\frac{x^3}{3}. Let κ(x)\kappa(x) be the curvature of CC at the point (x,x3/3)(x, x^3/3). Find all points where κ(x)\kappa (x) attains its maximal values, or else explain why such points do not exist. What are the limits of κ(x)\kappa(x) as x→∞x \rightarrow \infty and x→−∞x \rightarrow -\infty?

정답·풀이 보기

곡선은 y=y(x)=x3/3y=y(x)={x^3}/{3} 이다. y′(x)=x2y'(x) = x^2 이고 y′′(x)=2xy''(x) = 2x 이므로 곡률은 다음과 같다.

κ(x)=∣d2ydx2(x)∣[1+(dydx(x))2]3/2=∣2x∣[1+x4]3/2\begin{aligned} \kappa (x) &=\frac{\big|\frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}{x}^2}(x)\big|} {\Big[1+\big(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} =\frac{\big|2x\big|} {\big[1+x^4\big]^{3/2}} \end{aligned}

κ(x)\kappa (x) 의 임계점을 구하고 싶지만, 직접 미분하면 식이 복잡해 보인다. κ(x)\kappa (x) 는 음이 아닌 값만 가지므로, 그 최댓값은 함수 κ2(x)\kappa ^2(x) 의 최댓값에 대응한다. 따라서 계산 수고를 덜기 위해 대신 κ2(x)\kappa ^2(x) 의 임계점을 구한다.

0=ddxκ(x)2=ddx4x2(1+x4)3=8x(1+x4)3−316x5(1+x4)4=8x(1+x4)−3×16x5(1+x4)4=8x(1−5x4)(1+x4)4\begin{aligned} 0&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\kappa (x)^2 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{4x^2}{{(1+x^4)}^3} =\frac{8x}{{(1+x^4)}^3} - 3\frac{16x^5}{{(1+x^4)}^4} =\frac{8x(1+x^4)-3\times 16x^5}{{(1+x^4)}^4} \\ &=\frac{8x(1-5x^4)}{{(1+x^4)}^4} \end{aligned}

κ(0)=0\kappa (0)=0 이고 x→±∞x\rightarrow\pm \infty 일 때 κ(x)→0\kappa (x)\rightarrow 0 임에 주목한다. 따라서 최댓값은 x=±1/54x=\pm 1/\sqrt[4]{5} 일 때 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The curve is y=y(x)=x3/3y=y(x)={x^3}/{3}. Since y′(x)=x2y'(x) = x^2 and y′′(x)=2xy''(x) = 2x, the curvature is

κ(x)=∣d2ydx2(x)∣[1+(dydx(x))2]3/2=∣2x∣[1+x4]3/2\begin{aligned} \kappa (x) &=\frac{\big|\frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}{x}^2}(x)\big|} {\Big[1+\big(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} =\frac{\big|2x\big|} {\big[1+x^4\big]^{3/2}} \end{aligned}

We'd like to find the critical points of κ(x)\kappa (x), but differentiating it looks messy. Since κ(x)\kappa (x) has only nonnegative values, its maxima correspond the maxima of the function κ2(x)\kappa ^2(x). So, we find the critical points of κ2(x)\kappa ^2(x) instead, to save ourselves some computational toil.

0=ddxκ(x)2=ddx4x2(1+x4)3=8x(1+x4)3−316x5(1+x4)4=8x(1+x4)−3×16x5(1+x4)4=8x(1−5x4)(1+x4)4\begin{aligned} 0&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\kappa (x)^2 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{4x^2}{{(1+x^4)}^3} =\frac{8x}{{(1+x^4)}^3} - 3\frac{16x^5}{{(1+x^4)}^4} =\frac{8x(1+x^4)-3\times 16x^5}{{(1+x^4)}^4} \\ &=\frac{8x(1-5x^4)}{{(1+x^4)}^4} \end{aligned}

Note that κ(0)=0\kappa (0)=0 and κ(x)→0\kappa (x)\rightarrow 0 as x→±∞x\rightarrow\pm \infty. So the maximum occurs when x=±1/54x=\pm 1/\sqrt[4]{5}.

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두 언덕 사이의 경주 트랙이 매개변수 곡선

r(θ)=(4cos⁡θ , 2sin⁡θ , 14cos⁡(2θ)),0≤θ≤2π\mathbf{r}(\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \tfrac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi

로 나타내어진다.

(a) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서 트랙의 곡률을 구하세요. (b) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서 굽은 부분을 가장 잘 근사하는 원의 반지름(즉, 그 점에서의 접촉원의 반지름)을 구하세요. (c) 자동차가 트랙을 따라 달리며, 시각 tt 에서의 위치가 r(t2)\mathbf{r}(t^2) 으로 주어진다. (tt 와 θ\theta 의 관계는 θ=t2\theta = t^2 임에 유의하세요.) 다음 양을 구하세요.

(i) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서의 속력 (ii) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서의 가속도 (iii) 점 (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) 에서 가속도의 법선 성분의 크기

영어 원문 보기

A race track between two hills is described by the parametric curve

r(θ)=(4cos⁡θ , 2sin⁡θ , 14cos⁡(2θ)),0≤θ≤2π\mathbf{r}(\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \tfrac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi

(a) Compute the curvature of the track at the point (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big). (b) Compute the radius of the circle that best approximates the bend at the point (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) (that is, the radius of the osculating circle at that point). (c) A car drives down the track so that its position at time tt is given by r(t2)\mathbf{r}(t^2). (Note the relationship between tt and θ\theta is θ=t2\theta = t^2). Compute the following quantities.

(i) The speed at the point (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big). (ii) The acceleration at the point (−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big). (iii) The magnitude of the normal component of the acceleration at the point

(−4,0,14)\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big).

정답·풀이 보기

(a) 주어진 곡선에서 r(π)=(−4,0,14)\mathbf{r}(\pi) = \big(-4,0,\frac{1}{4}\big) 이고

r(θ)=(4cos⁡θ , 2sin⁡θ , 14cos⁡(2θ))v(θ)=r′(θ)=(−4sin⁡θ , 2cos⁡θ , −12sin⁡(2θ))a(θ)=r′′(θ)=(−4cos⁡θ , −2sin⁡θ , −cos⁡(2θ))v(π)=(0 , −2 , 0)a(π)=(4 , 0 , −1)v(π)×a(π)=(2 , 0 , 8)\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta) &= \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta) &= \Big(-4 \sin\theta\,,\, 2\cos\theta\,,\, -\frac{1}{2}\sin(2\theta)\Big) \\ \mathbf{a}(\theta) = \mathbf{r}''(\theta) &= \Big(-4 \cos\theta\,,\, -2\sin\theta\,,\, -\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\pi) &= \big(0\,,\, -2\,,\, 0\big) \\ \mathbf{a}(\pi) &= \big(4\,,\, 0\,,\, -1\big) \\ \mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi) &= \big(2\,,\, 0\,,\, 8\big) \end{aligned}

따라서 θ=π\theta=\pi 에서의 곡률은

κ(π)=∣v(π)×a(π)∣∣v(π)∣3=∣(2,0,8)∣∣(0,−2,0)∣3=174\begin{aligned} \kappa (\pi)&=\frac{|\mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi)|}{|\mathbf{v}(\pi)|^3} =\frac{|(2,0,8)|}{|(0,-2,0)|^3} =\frac{\sqrt{17}}{4} \end{aligned}

이다.

(b) 반지름은

1κ(π)=417\frac{1}{\kappa (\pi)} = \frac{4}{\sqrt{17}}

이다.

(c) R(t)=r(t2)\mathbf{R}(t) = \mathbf{r}(t^2) 이라 하면

R′(t)=2t r′(t2)R′′(t)=2 r′(t2)+4t2 r′′(t2)\begin{aligned} \mathbf{R}'(t)&=2t\,\mathbf{r}'(t^2) \\ \mathbf{R}''(t) &= 2\,\mathbf{r}'(t^2) +4t^2\,\mathbf{r}''(t^2) \end{aligned}

이다. 특히,

R(π)=(−4 , 0 , 14)R′(π)=2π v(π)=(0 , −4π , 0)속력=∣R′(π)∣=4π가속도=R′′(π)=2 v(π)+4π a(π)=(16π , −4 , −4π)\begin{aligned} \mathbf{R}(\sqrt{\pi}) &= \Big(-4\,,\, 0\,,\, \frac{1}{4}\Big) \\ \mathbf{R}'(\sqrt{\pi}) &= 2\sqrt{\pi}\,\mathbf{v}(\pi) =\big(0\,,\, -4\sqrt{\pi}\,,\, 0\big) \\ \text{속력} = \big|\mathbf{R}'(\sqrt{\pi})\big| &=4\sqrt{\pi} \\ \text{가속도}=\mathbf{R}''(\sqrt{\pi}) &= 2\,\mathbf{v}(\pi)+4\pi\,\mathbf{a}(\pi) = \big( 16\pi\,,\, -4\,,\, -4\pi\big) \end{aligned}

이다.

가속도의 법선 성분의 크기는

κ(dsdt)2=174(4π)2=417 π\begin{aligned} \kappa \Big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\Big)^2 = \frac{\sqrt{17}}{4}\big(4\sqrt{\pi}\big)^2 =4\sqrt{17}\,\pi \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For the specified curve r(π)=(−4,0,14)\mathbf{r}(\pi) = \big(-4,0,\frac{1}{4}\big) and

r(θ)=(4cos⁡θ , 2sin⁡θ , 14cos⁡(2θ))v(θ)=r′(θ)=(−4sin⁡θ , 2cos⁡θ , −12sin⁡(2θ))a(θ)=r′′(θ)=(−4cos⁡θ , −2sin⁡θ , −cos⁡(2θ))v(π)=(0 , −2 , 0)a(π)=(4 , 0 , −1)v(π)×a(π)=(2 , 0 , 8)\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta) &= \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta) &= \Big(-4 \sin\theta\,,\, 2\cos\theta\,,\, -\frac{1}{2}\sin(2\theta)\Big) \\ \mathbf{a}(\theta) = \mathbf{r}''(\theta) &= \Big(-4 \cos\theta\,,\, -2\sin\theta\,,\, -\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\pi) &= \big(0\,,\, -2\,,\, 0\big) \\ \mathbf{a}(\pi) &= \big(4\,,\, 0\,,\, -1\big) \\ \mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi) &= \big(2\,,\, 0\,,\, 8\big) \end{aligned}

So the curvature at θ=π\theta=\pi is

κ(π)=∣v(π)×a(π)∣∣v(π)∣3=∣(2,0,8)∣∣(0,−2,0)∣3=174\begin{aligned} \kappa (\pi)&=\frac{|\mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi)|}{|\mathbf{v}(\pi)|^3} =\frac{|(2,0,8)|}{|(0,-2,0)|^3} =\frac{\sqrt{17}}{4} \end{aligned}

(b) The radius is

1κ(π)=417\frac{1}{\kappa (\pi)} = \frac{4}{\sqrt{17}}

(c) Set R(t)=r(t2)\mathbf{R}(t) = \mathbf{r}(t^2). Then

R′(t)=2t r′(t2)R′′(t)=2 r′(t2)+4t2 r′′(t2)\begin{aligned} \mathbf{R}'(t)&=2t\,\mathbf{r}'(t^2) \\ \mathbf{R}''(t) &= 2\,\mathbf{r}'(t^2) +4t^2\,\mathbf{r}''(t^2) \end{aligned}

In particular,

R(π)=(−4 , 0 , 14)R′(π)=2π v(π)=(0 , −4π , 0)speed=∣R′(π)∣=4πacceleration=R′′(π)=2 v(π)+4π a(π)=(16π , −4 , −4π)\begin{aligned} \mathbf{R}(\sqrt{\pi}) &= \Big(-4\,,\, 0\,,\, \frac{1}{4}\Big) \\ \mathbf{R}'(\sqrt{\pi}) &= 2\sqrt{\pi}\,\mathbf{v}(\pi) =\big(0\,,\, -4\sqrt{\pi}\,,\, 0\big) \\ \text{speed} = \big|\mathbf{R}'(\sqrt{\pi})\big| &=4\sqrt{\pi} \\ \text{acceleration}=\mathbf{R}''(\sqrt{\pi}) &= 2\,\mathbf{v}(\pi)+4\pi\,\mathbf{a}(\pi) = \big( 16\pi\,,\, -4\,,\, -4\pi\big) \end{aligned}

The normal component of the acceleration has magnitude

κ(dsdt)2=174(4π)2=417 π\begin{aligned} \kappa \Big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\Big)^2 = \frac{\sqrt{17}}{4}\big(4\sqrt{\pi}\big)^2 =4\sqrt{17}\,\pi \end{aligned}

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39.CLP-4 · 1.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

마찰이 없는 롤러코스터 트랙은 매개변수 표현이  (acos⁡θ,asin⁡θ,bθ)\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta) 인 원형 나선의 한 바퀴 모양이다. 자동차가  θ=2π \ \theta=2\pi\ 인 점에서 속도 0으로 출발하여 중력을 받으며  θ=0\ \theta=0 인 점까지 움직인다. 뉴턴의 운동 법칙에 따라, 시각 tt 에서 자동차의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 는 다음을 만족한다.

mr′′(t)=N(r(t))−mgk^m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}

여기서 mm 은 자동차의 질량, gg 는 상수, −mgk^-mg\hat{\mathbf{k}} 는 중력에 의한 힘이고, N(r(t))\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) 는 자동차가 트랙 위에 머물도록 롤러코스터 트랙이 자동차에 가하는 힘이다. 트랙에 마찰이 없으므로 N(r(t))\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) 는 항상 v(t)=drdt(t)\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) 에 수직이다.

(a) E(t)=12m∣v(t)∣2+mgr(t)⋅k^E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}} 가 tt 에 관계없는 상수임을 보이세요. (이것을 “에너지 보존”이라고 한다.) (b) 점 θ\theta 에서의 속력 ∣v∣|\mathbf{v}| 가  ∣v∣2=2gb(2π−θ)\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta) 를 만족함을 보이세요. (c) θ=0\theta=0 에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

A frictionless roller-coaster track has the form of one turn of the circular helix with parametrization  (acos⁡θ,asin⁡θ,bθ).\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta). A car leaves the point where  θ=2π \ \theta=2\pi\ with zero velocity and moves under gravity to the point where  θ=0\ \theta=0. By Newton's law of motion, the position r(t)\mathbf{r}(t) of the car at time tt obeys

mr′′(t)=N(r(t))−mgk^m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}

Here mm is the mass of the car, gg is a constant, −mgk^-mg\hat{\mathbf{k}} is the force due to gravity and N(r(t))\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) is the force that the roller-coaster track applies to the car to keep the car on the track. Since the track is frictionless, N(r(t))\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) is always perpendicular to v(t)=drdt(t)\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t).

(a) Prove that E(t)=12m∣v(t)∣2+mgr(t)⋅k^E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}} is a constant, independent of tt. (This is called “conservation of energy”.) (b) Prove that the speed ∣v∣|\mathbf{v}| at the point θ\theta obeys  ∣v∣2=2gb(2π−θ).\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta). (c) Find the time it takes to reach θ=0\theta=0.

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 의해

E′(t)=ddt[12m∣v(t)∣2+mgr(t)⋅k^]=mv(t)⋅v′(t)+mgv(t)⋅k^=v(t)⋅[N(r(t))−mgk^]+mgv(t)⋅k^=0\begin{aligned} E'(t)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\right] =m\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=\mathbf{v}(t)\cdot\big[\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}\big]+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{aligned}

이다. v(t)⋅N(r(t))=0\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0 이기 때문이다. 따라서 E(t)E(t) 는 tt 에 관계없는 상수이다.

(b) (a)에 의해

E(t)=E(0)  ⟹  12m∣v(t)∣2+mgbθ(t)=mg(2πb)  ⟹  ∣v(t)∣2=2gb(2π−θ(t))\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}

이다.

(c) θ=2π\theta=2\pi 에서 θ=0\theta=0 까지 가는 데 걸리는 시간을 구하려 한다. 먼저 dθdt\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} 를 구한다.

v=drdt=drdθdθdt=(−asin⁡θ,acos⁡θ,b)dθdt  ⟹  ∣v∣2=[a2+b2](dθdt)2  ⟹  dθdt=−[∣v∣2a2+b2]1/2=−[2gb(2π−θ)a2+b2]1/2\begin{aligned} &\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =\big(-a\sin\theta,a\cos\theta,b\big)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ &\implies |\mathbf{v}|^2=\big[a^2+b^2]\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &\implies \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\left[\frac{|\mathbf{v}|^2}{a^2+b^2}\right]^{1/2} =-\left[\frac{2gb(2\pi-\theta)}{a^2+b^2}\right]^{1/2} \end{aligned}

θ\theta 는 2π2\pi 에서 0까지 감소해야 하므로 음의 부호를 택했다. 이때 걸리는 시간은

∫dt=∫2π0dtdθdθ=−[a2+b22gb]1/2∫2π01(2π−θ)1/2dθ=[a2+b22gb]1/2∫02π1(2π−θ)1/2dθ=[a2+b22gb]1/2[−2(2π−θ)1/2]02π=2[a2+b2gbπ]1/2\begin{aligned} \int dt&=\int_{2\pi}^0 \frac{dt}{d\theta}d\theta =-\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int_{2\pi}^0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta \\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int^{2\pi}_0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta\\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2} \left[-2(2\pi-\theta)^{1/2}\right]_0^{2\pi} =2\left[\frac{a^2+b^2}{gb}\pi\right]^{1/2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By Newton's law of motion

E′(t)=ddt[12m∣v(t)∣2+mgr(t)⋅k^]=mv(t)⋅v′(t)+mgv(t)⋅k^=v(t)⋅[N(r(t))−mgk^]+mgv(t)⋅k^=0\begin{aligned} E'(t)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\right] =m\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=\mathbf{v}(t)\cdot\big[\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}\big]+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{aligned}

since v(t)⋅N(r(t))=0\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0. So E(t)E(t) is a constant, independent of tt.

(b) By part (a),

E(t)=E(0)  ⟹  12m∣v(t)∣2+mgbθ(t)=mg(2πb)  ⟹  ∣v(t)∣2=2gb(2π−θ(t))\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}

(c) We wish to determine the time it takes to go from θ=2π\theta=2\pi to θ=0\theta=0. We'll first determine dθdt\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}.

v=drdt=drdθdθdt=(−asin⁡θ,acos⁡θ,b)dθdt  ⟹  ∣v∣2=[a2+b2](dθdt)2  ⟹  dθdt=−[∣v∣2a2+b2]1/2=−[2gb(2π−θ)a2+b2]1/2\begin{aligned} &\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =\big(-a\sin\theta,a\cos\theta,b\big)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ &\implies |\mathbf{v}|^2=\big[a^2+b^2]\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &\implies \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\left[\frac{|\mathbf{v}|^2}{a^2+b^2}\right]^{1/2} =-\left[\frac{2gb(2\pi-\theta)}{a^2+b^2}\right]^{1/2} \end{aligned}

We have chosen the negative sign because θ\theta must decrease from 2π2\pi to 0. The time required to do so is

∫dt=∫2π0dtdθdθ=−[a2+b22gb]1/2∫2π01(2π−θ)1/2dθ=[a2+b22gb]1/2∫02π1(2π−θ)1/2dθ=[a2+b22gb]1/2[−2(2π−θ)1/2]02π=2[a2+b2gbπ]1/2\begin{aligned} \int dt&=\int_{2\pi}^0 \frac{dt}{d\theta}d\theta =-\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int_{2\pi}^0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta \\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int^{2\pi}_0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta\\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2} \left[-2(2\pi-\theta)^{1/2}\right]_0^{2\pi} =2\left[\frac{a^2+b^2}{gb}\pi\right]^{1/2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 3번
# 공간에서의 운동증명·논술도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)