빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

역함수의 미분법

(f⁻¹)'(b)=1/f'(a) 관계로 역함수의 미분계수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

38문제 · 2 / 2쪽

21.OpenStax 1권 · 3.7절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=x⋅csc⁡−1xy=x\cdot {\csc }^{-1}x

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=x⋅csc⁡−1xy=x\cdot {\csc }^{-1}x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 14번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
22.OpenStax 1권 · 3.7절 · 30번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 값을 이용하여 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(π)=0,f′(π)=−1,a=0f(\pi )=0,f'(\pi )=-1,a=0

영어 원문 보기

For the following exercises, use the given values to find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(π)=0,f′(π)=−1,a=0f(\pi )=0,f'(\pi )=-1,a=0

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−1-1

원본 교재 풀이(영어)

−1-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 8번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
23.OpenStax 1권 · 3.7절 · 31번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 값을 이용하여 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(6)=2,f′(6)=13,a=2f(6)=2,{f}^{'}(6)=\frac{1}{3},a=2

영어 원문 보기

For the following exercises, use the given values to find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(6)=2,f′(6)=13,a=2f(6)=2,{f}^{'}(6)=\frac{1}{3},a=2

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 12번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
24.OpenStax 1권 · 3.7절 · 32번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 값을 이용하여 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(13)=−8,f′(13)=2,a=−8f\left(\frac{1}{3}\right)=-8,f'\left(\frac{1}{3}\right)=2,a=-8

영어 원문 보기

For the following exercises, use the given values to find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(13)=−8,f′(13)=2,a=−8f\left(\frac{1}{3}\right)=-8,f'\left(\frac{1}{3}\right)=2,a=-8

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12\frac{1}{2}

원본 교재 풀이(영어)

12\frac{1}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 30번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
25.OpenStax 1권 · 3.7절 · 33번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 값을 이용하여 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(3)=12,f′(3)=23,a=12f\left(\sqrt{3}\right)=\frac{1}{2},f'\left(\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3},a=\frac{1}{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, use the given values to find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(3)=12,f′(3)=23,a=12f\left(\sqrt{3}\right)=\frac{1}{2},f'\left(\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3},a=\frac{1}{2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 20번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
26.OpenStax 1권 · 3.7절 · 34번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 값을 이용하여 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(1)=−3,f′(1)=10,a=−3f(1)=-3,f'(1)=10,a=-3

영어 원문 보기

For the following exercises, use the given values to find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(1)=−3,f′(1)=10,a=−3f(1)=-3,f'(1)=10,a=-3

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110\frac{1}{10}

원본 교재 풀이(영어)

110\frac{1}{10}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 32번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
27.OpenStax 1권 · 3.7절 · 35번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 값을 이용하여 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(1)=0,f′(1)=−2,a=0f(1)=0,f'(1)=-2,a=0

영어 원문 보기

For the following exercises, use the given values to find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(1)=0,f′(1)=−2,a=0f(1)=0,f'(1)=-2,a=0

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 2번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
28.APEX · 2.7절 · 15번우리말 번역

연습문제 15–24에서, 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

h(t)=sin⁡−1(2t)h(t) = \sin^{-1} (2t)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

h(t)=sin⁡−1(2t)h(t) = \sin^{-1} (2t)

정답·풀이 보기

h′(t)=21−4t2h'(t) = \frac{2}{\sqrt{1-4t^2}}

원본 교재 풀이(영어)

h′(t)=21−4t2h'(t) = \frac{2}{\sqrt{1-4t^2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.7절 · 4번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
29.APEX · 2.7절 · 16번우리말 번역

연습문제 15–24에서, 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

f(t)=sec⁡−1(2t)f(t) = \sec^{-1} (2t)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

f(t)=sec⁡−1(2t)f(t) = \sec^{-1} (2t)

정답·풀이 보기

f ′(t)=1∣t∣4t2+1f\,'(t) = \frac{1}{|t|\sqrt{4t^2+1}}

원본 교재 풀이(영어)

f ′(t)=1∣t∣4t2+1f\,'(t) = \frac{1}{|t|\sqrt{4t^2+1}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 24번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
30.APEX · 2.7절 · 17번우리말 번역

연습문제 15–24에서, 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

g(x)=tan⁡−1(2x)g(x)=\tan^{-1} (2x)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

g(x)=tan⁡−1(2x)g(x)=\tan^{-1} (2x)

정답·풀이 보기

g′(x)=21+4x2g'(x) = \frac{2}{1+4x^2}

원본 교재 풀이(영어)

g′(x)=21+4x2g'(x) = \frac{2}{1+4x^2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 8번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
31.APEX · 2.7절 · 18번우리말 번역

연습문제 15–24에서, 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

f(x)=xsin⁡−1xf(x) =x\sin^{-1}x

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

f(x)=xsin⁡−1xf(x) =x\sin^{-1}x

정답·풀이 보기

f ′(x)=x1−x2+sin⁡−1(x)f\,'(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\sin ^{-1}(x)

원본 교재 풀이(영어)

f ′(x)=x1−x2+sin⁡−1(x)f\,'(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\sin ^{-1}(x)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 2번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
32.APEX · 2.7절 · 19번우리말 번역

연습문제 15–24에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

g(t)=sin⁡tcos⁡−1tg(t) = \sin t\cos^{-1}t

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

g(t)=sin⁡tcos⁡−1tg(t) = \sin t\cos^{-1}t

정답·풀이 보기

g′(t)=cos⁡−1(t)cos⁡(t)−sin⁡(t)1−t2g'(t) = \cos ^{-1}(t) \cos (t)-\frac{\sin (t)}{\sqrt{1-t^2}}

원본 교재 풀이(영어)

g′(t)=cos⁡−1(t)cos⁡(t)−sin⁡(t)1−t2g'(t) = \cos ^{-1}(t) \cos (t)-\frac{\sin (t)}{\sqrt{1-t^2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.6절 · 10번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
33.APEX · 2.7절 · 20번우리말 번역

연습문제 15–24에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

f(t)=ln⁡tetf(t) = \ln te^t

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

f(t)=ln⁡tetf(t) = \ln te^t

정답·풀이 보기

f ′(t)=ett+ln⁡tetf\,'(t) = \frac{e^t}{t} + \ln te^t

원본 교재 풀이(영어)

f ′(t)=ett+ln⁡tetf\,'(t) = \frac{e^t}{t} + \ln te^t

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 38번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
34.APEX · 2.7절 · 21번우리말 번역

연습문제 15–24에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

h(x)=sin⁡−1xcos⁡−1x\displaystyle h(x) = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

h(x)=sin⁡−1xcos⁡−1x\displaystyle h(x) = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}

정답·풀이 보기

h′(x)=sin⁡−1(x)+cos⁡−1(x)1−x2cos⁡−1(x)2h'(x)=\frac{\sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2} \cos ^{-1}(x)^2}

원본 교재 풀이(영어)

h′(x)=sin⁡−1(x)+cos⁡−1(x)1−x2cos⁡−1(x)2h'(x)=\frac{\sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2} \cos ^{-1}(x)^2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.7절 · 3번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
35.APEX · 2.7절 · 22번우리말 번역

연습문제 15–24에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

g(x)=tan⁡−1(x)g(x) = \tan^{-1}(\sqrt{x})

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

g(x)=tan⁡−1(x)g(x) = \tan^{-1}(\sqrt{x})

정답·풀이 보기

g′(x)=1x(2x+2)g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} (2 x+2)}

원본 교재 풀이(영어)

g′(x)=1x(2x+2)g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} (2 x+2)}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 12번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
36.APEX · 2.7절 · 23번우리말 번역

연습문제 15–24에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

f(x)=sec⁡−1(1/x)f(x) =\sec^{-1}(1/x)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

f(x)=sec⁡−1(1/x)f(x) =\sec^{-1}(1/x)

정답·풀이 보기

f ′(x)=−11−x2f\,'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

원본 교재 풀이(영어)

f ′(x)=−11−x2f\,'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 32번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
37.APEX · 2.7절 · 24번우리말 번역

연습문제 15–24에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

f(x)=sin⁡(sin⁡−1x)f(x) =\sin (\sin^{-1}x)

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, compute the derivative of the given function.

f(x)=sin⁡(sin⁡−1x)f(x) =\sin (\sin^{-1}x)

정답·풀이 보기

(a) f(x)=xf(x) = x, so f ′(x)=1f\,'(x) = 1 (b) f ′(x)=cos⁡(sin⁡−1x)11−x2=1f\,'(x) = \cos(\sin^{-1}x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1.

원본 교재 풀이(영어)

(a) f(x)=xf(x) = x, so f ′(x)=1f\,'(x) = 1 (b) f ′(x)=cos⁡(sin⁡−1x)11−x2=1f\,'(x) = \cos(\sin^{-1}x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 8번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
38.Active Calculus · 2.6절 · 8번우리말 번역

다음 각 함수의 도함수를 구하세요. 올바른 표기를 사용하고, 사용한 미분법을 분명히 밝히세요.

(a) f(x)=ln⁡(2arctan⁡(x)+3arcsin⁡(x)+5)f(x) = \ln(2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5) (b) r(z)=arctan⁡(ln⁡(arcsin⁡(z)))r(z) = \arctan(\ln(\arcsin(z))) (c) q(t)=arctan⁡2(3t)arcsin⁡4(7t)q(t) = \arctan^2(3t) \arcsin^4(7t) (d) g(v)=ln⁡(arctan⁡(v)arcsin⁡(v)+v2)g(v) = \ln\left( \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right)

영어 원문 보기

Determine the derivative of each of the following functions. Use proper notation and clearly identify the derivative rules you use.

(a) f(x)=ln⁡(2arctan⁡(x)+3arcsin⁡(x)+5)f(x) = \ln(2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5) (b) r(z)=arctan⁡(ln⁡(arcsin⁡(z)))r(z) = \arctan(\ln(\arcsin(z))) (c) q(t)=arctan⁡2(3t)arcsin⁡4(7t)q(t) = \arctan^2(3t) \arcsin^4(7t) (d) g(v)=ln⁡(arctan⁡(v)arcsin⁡(v)+v2)g(v) = \ln\left( \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right)

정답·풀이 보기

(a) 연쇄 법칙에 의해, f′(x)=12arctan⁡(x)+3arcsin⁡(x)+5⋅ddx(2arctan⁡(x)+3arcsin⁡(x)+5) ,f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \frac{d}{dx}\left( 2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5\right)\,, 이고, 합과 상수배의 미분법에 의해 다음을 얻는다. f′(x)=12arctan⁡(x)+3arcsin⁡(x)+5⋅(21+x2+31−x2) .f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \left(\frac{2}{1+x^2} + \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,. (b) 가장 바깥쪽 함수에 연쇄 법칙을 적용하면, r′(z)=11+(ln⁡(arcsin⁡(z)))2⋅ddz(ln⁡(arcsin⁡(z))) .r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right)\,. ddz(ln⁡(arcsin⁡(z)))\frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right) 를 계산하기 위해 연쇄 법칙을 다시 적용하면, r′(z)=11+(ln⁡(arcsin⁡(z)))2⋅(1arcsin⁡(z))⋅ddz(arcsin⁡(z)) .r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right)\,. 마지막으로 ddz(arcsin⁡(z))\frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right) 의 기본 공식을 이용하면, r′(z)=11+(ln⁡(arcsin⁡(z)))2⋅(1arcsin⁡(z))⋅11−z2 .r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\,. (c) 먼저 곱의 미분법에 의해, q′(t)=arctan⁡2(3t)⋅ddt(arcsin⁡4(7t))+arcsin⁡4(7t)⋅ddt(arctan⁡2(3t)) .q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arcsin^4(7t)\right) + \arcsin^4(7t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arctan^2(3t)\right)\,. 다음으로 arcsin⁡4(7t)=(arcsin⁡(7t))4\arcsin^4(7t) = \left(\arcsin(7t)\right)^4 이고 arctan⁡2(3t)=(arctan⁡(3t))2\arctan^2(3t) = \left( \arctan(3t) \right)^2 임을 떠올려, 연쇄 법칙을 적용해 이 함수들 각각의 도함수를 구하면 다음과 같다. q′(t)=arctan⁡2(3t)⋅[4arcsin⁡3(7t)ddt(arcsin⁡(7t))]+arcsin⁡4(7t)⋅[2arctan⁡(3t)ddt(arctan⁡(3t))] .q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \frac{d}{dt}\left( \arcsin(7t) \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \frac{d}{dt}\left(\arctan(3t)\right) \right]\,. 마지막으로 남은 도함수를 계산하기 위해 연쇄 법칙을 한 번 더 적용하면, q′(t)=arctan⁡2(3t)⋅[4arcsin⁡3(7t)(71−(7t)2)]+arcsin⁡4(7t)⋅[2arctan⁡(3t)(31+(3t)2)] .q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \left( \frac{7}{\sqrt{1-(7t)^2}} \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \left(\frac{3}{1+(3t)^2}\right) \right]\,. (d) 연쇄 법칙에 의해, g′(v)=1arctan⁡(v)arcsin⁡(v)+v2⋅ddv[arctan⁡(v)arcsin⁡(v)+v2]g'(v) = \frac{1}{ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} } \cdot \frac{d}{dv}\left[ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right] 따라서 몫의 미분법에 의해, g′(v)=1arctan⁡(v)arcsin⁡(v)+v2⋅(arcsin⁡(v)+v2)⋅11+v2−arctan⁡(v)⋅(11−v2+2v)(arcsin⁡(v)+v2)2g'(v) = \frac{1}{\frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2}} \cdot \frac{(\arcsin(v) + v^2) \cdot \frac{1}{1+v^2} - \arctan(v) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} + 2v \right)}{(\arcsin(v) + v^2)^2}

원본 교재 풀이(영어)

(a) By the chain rule, f′(x)=12arctan⁡(x)+3arcsin⁡(x)+5⋅ddx(2arctan⁡(x)+3arcsin⁡(x)+5) ,f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \frac{d}{dx}\left( 2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5\right)\,, and by the sum and constant multiple rules, it follows that f′(x)=12arctan⁡(x)+3arcsin⁡(x)+5⋅(21+x2+31−x2) .f'(x) = \frac{1}{2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5} \cdot \left(\frac{2}{1+x^2} + \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,. (b) By the chain rule applied to the outermost function, r′(z)=11+(ln⁡(arcsin⁡(z)))2⋅ddz(ln⁡(arcsin⁡(z))) .r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right)\,. Applying the chain rule again to evaluate ddz(ln⁡(arcsin⁡(z)))\frac{d}{dz} \left( \ln(\arcsin(z)) \right), r′(z)=11+(ln⁡(arcsin⁡(z)))2⋅(1arcsin⁡(z))⋅ddz(arcsin⁡(z)) .r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right)\,. Finally, using the basic rule for ddz(arcsin⁡(z))\frac{d}{dz}\left(\arcsin(z)\right), r′(z)=11+(ln⁡(arcsin⁡(z)))2⋅(1arcsin⁡(z))⋅11−z2 .r'(z) = \frac{1}{1+\left(\ln(\arcsin(z))\right)^2} \cdot \left( \frac{1}{\arcsin(z)} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\,. (c) First, by the product rule, q′(t)=arctan⁡2(3t)⋅ddt(arcsin⁡4(7t))+arcsin⁡4(7t)⋅ddt(arctan⁡2(3t)) .q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arcsin^4(7t)\right) + \arcsin^4(7t) \cdot \frac{d}{dt}\left(\arctan^2(3t)\right)\,. Next, we recall that arcsin⁡4(7t)=(arcsin⁡(7t))4\arcsin^4(7t) = \left(\arcsin(7t)\right)^4 and arctan⁡2(3t)=(arctan⁡(3t))2\arctan^2(3t) = \left( \arctan(3t) \right)^2, and apply the chain rule to find the derivative of each of these functions to get q′(t)=arctan⁡2(3t)⋅[4arcsin⁡3(7t)ddt(arcsin⁡(7t))]+arcsin⁡4(7t)⋅[2arctan⁡(3t)ddt(arctan⁡(3t))] .q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \frac{d}{dt}\left( \arcsin(7t) \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \frac{d}{dt}\left(\arctan(3t)\right) \right]\,. Finally, applying the chain rule one more time to evaluate the remaining derivatives, q′(t)=arctan⁡2(3t)⋅[4arcsin⁡3(7t)(71−(7t)2)]+arcsin⁡4(7t)⋅[2arctan⁡(3t)(31+(3t)2)] .q'(t) = \arctan^2(3t) \cdot \left[4\arcsin^3(7t) \left( \frac{7}{\sqrt{1-(7t)^2}} \right)\right] + \arcsin^4(7t) \cdot \left[2\arctan(3t) \left(\frac{3}{1+(3t)^2}\right) \right]\,. (d) By the chain rule, g′(v)=1arctan⁡(v)arcsin⁡(v)+v2⋅ddv[arctan⁡(v)arcsin⁡(v)+v2]g'(v) = \frac{1}{ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} } \cdot \frac{d}{dv}\left[ \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right] Thus, by the quotient rule, g′(v)=1arctan⁡(v)arcsin⁡(v)+v2⋅(arcsin⁡(v)+v2)⋅11+v2−arctan⁡(v)⋅(11−v2+2v)(arcsin⁡(v)+v2)2g'(v) = \frac{1}{\frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2}} \cdot \frac{(\arcsin(v) + v^2) \cdot \frac{1}{1+v^2} - \arctan(v) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} + 2v \right)}{(\arcsin(v) + v^2)^2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.7절 · 1번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
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