빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

역함수의 미분법

(f⁻¹)'(b)=1/f'(a) 관계로 역함수의 미분계수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

38문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 1권 · 3.7절 · 18번우리말 풀이

주어진 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대하여 a. 점 PP 에서 역함수 f−1f^{-1} 의 그래프에 접하는 접선의 기울기를 구하고, b. 그 점에서 f−1f^{-1} 의 그래프에 접하는 접선의 방정식을 구하세요.

f(x)=−x3−x+2, P(−8,2)f(x)=-{x}^{3}-x+2,\ P(-8,2)

영어 원문 보기

For each of the given functions y=f(x),y=f(x), a. find the slope of the tangent line to its inverse function f−1{f}^{-1} at the indicated point P,P, and b. find an equation of the tangent line to the graph of f−1{f}^{-1} at the indicated point.

f(x)=−x3−x+2,P(−8,2)f(x)=-{x}^{3}-x+2,P(-8,2)

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

(f−1)′(b)=1f′(a)(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)} (b=f(a)b=f(a)) 이므로, 역함수의 기울기는 원래 함수 기울기의 역수예요.

  1. 1

    점 P(−8,2)P(-8,2) 는 역함수 f−1f^{-1} 의 그래프 위의 점이에요. 즉 f−1(−8)=2f^{-1}(-8)=2 이고, 원래 함수에서는 f(2)=−8f(2)=-8 이에요. 직접 확인하면 f(2)=−8−2+2=−8f(2)=-8-2+2=-8 로 맞아요.

  2. 2

    원래 함수의 도함수는 f′(x)=−3x2−1f'(x)=-3x^2-1 이에요. x=2x=2 에서

    f′(2)=−12−1=−13f'(2)=-12-1=-13

  3. 3

    (a) 역함수의 미분법에 의해

    (f−1)′(−8)=1f′(2)=−113(f^{-1})'(-8)=\frac{1}{f'(2)}=-\frac{1}{13}

  4. 4

    (b) 점 (−8,2)(-8,2) 를 지나고 기울기가 −113-\frac{1}{13} 인 직선이에요.

    y−2=−113(x+8)y-2=-\frac{1}{13}(x+8)

    y=−113x−813+2=−113x+1813y=-\frac{1}{13}x-\frac{8}{13}+2=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}

답

(a) −113-\dfrac{1}{13} (b) y=−113x+1813y=-\dfrac{1}{13}x+\dfrac{18}{13}

자주 하는 실수

f′(−8)f'(-8) 처럼 f′f' 에 −8-8 을 넣어요. f′f' 에는 f(a)=−8f(a)=-8 이 되는 a=2a=2 를 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. −113,-\frac{1}{13}, b. y=−113x+1813y=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.7절 · 3번
# 역함수의 미분법계산보통
2.OpenStax 1권 · 3.7절 · 5번우리말 번역

다음 문제에서 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 다음을 구하세요.

a. x=ax=a 에서의 dfdx\frac{df}{dx} 와 b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. 이어서 b를 이용하여 y=f(a)y=f(a) 에서의 df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} 를 구하세요.

f(x)=6x−1,x=−2f(x)=6x-1,x=-2

영어 원문 보기

For the following exercises, use the functions y=f(x)y=f(x) to find

a. dfdx\frac{df}{dx} at x=ax=a and b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. Then use part b. to find df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} at y=f(a).y=f(a).

f(x)=6x−1,x=−2f(x)=6x-1,x=-2

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 34번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 1권 · 3.7절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 다음을 구하세요.

a. x=ax=a 에서의 dfdx\frac{df}{dx} 와 b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. 이어서 b를 이용하여 y=f(a)y=f(a) 에서의 df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} 를 구하세요.

f(x)=2x3−3,x=1f(x)=2{x}^{3}-3,x=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use the functions y=f(x)y=f(x) to find

a. dfdx\frac{df}{dx} at x=ax=a and b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. Then use part b. to find df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} at y=f(a).y=f(a).

f(x)=2x3−3,x=1f(x)=2{x}^{3}-3,x=1

정답·풀이 보기

a. 6, b. x=f−1(y)=(y+32)1/3,x={f}^{-1}(y)={\left(\frac{y+3}{2}\right)}^{1/3}, c. 16\frac{1}{6}

원본 교재 풀이(영어)

a. 6, b. x=f−1(y)=(y+32)1/3,x={f}^{-1}(y)={\left(\frac{y+3}{2}\right)}^{1/3}, c. 16\frac{1}{6}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 40번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 1권 · 3.7절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 다음을 구하세요.

a. x=ax=a 에서의 dfdx\frac{df}{dx} 와 b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. 이어서 b를 이용하여 y=f(a)y=f(a) 에서의 df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} 를 구하세요.

f(x)=9−x2,0≤x≤3,x=2f(x)=9-{x}^{2},0\le x\le 3,x=2

영어 원문 보기

For the following exercises, use the functions y=f(x)y=f(x) to find

a. dfdx\frac{df}{dx} at x=ax=a and b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. Then use part b. to find df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} at y=f(a).y=f(a).

f(x)=9−x2,0≤x≤3,x=2f(x)=9-{x}^{2},0\le x\le 3,x=2

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 18번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 3.7절 · 8번우리말 번역

다음 문제에서 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 다음을 구하세요.

a. x=ax=a 에서의 dfdx\frac{df}{dx} 와 b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. 이어서 b를 이용하여 y=f(a)y=f(a) 에서의 df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} 를 구하세요.

f(x)=sin⁡x,x=0f(x)=\sin x,x=0

영어 원문 보기

For the following exercises, use the functions y=f(x)y=f(x) to find

a. dfdx\frac{df}{dx} at x=ax=a and b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. Then use part b. to find df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} at y=f(a).y=f(a).

f(x)=sin⁡x,x=0f(x)=\sin x,x=0

정답·풀이 보기

a. 1,1, b. x=f−1(y)=sin⁡−1y,x={f}^{-1}(y)={\sin }^{-1}y, c. 11

원본 교재 풀이(영어)

a. 1,1, b. x=f−1(y)=sin⁡−1y,x={f}^{-1}(y)={\sin }^{-1}y, c. 11

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 2번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 3.7절 · 9번우리말 번역

다음 각 함수에 대해 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(x)=x2+3x+2,x≥−32,a=2f(x)={x}^{2}+3x+2,x\ge -\frac{3}{2},a=2

영어 원문 보기

For each of the following functions, find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(x)=x2+3x+2,x≥−32,a=2f(x)={x}^{2}+3x+2,x\ge -\frac{3}{2},a=2

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.6절 · 10번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 3.7절 · 10번우리말 번역

다음 각 함수에 대해 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(x)=x3+2x+3,a=0f(x)={x}^{3}+2x+3,a=0

영어 원문 보기

For each of the following functions, find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(x)=x3+2x+3,a=0f(x)={x}^{3}+2x+3,a=0

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

15\frac{1}{5}

원본 교재 풀이(영어)

15\frac{1}{5}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 12번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 3.7절 · 11번우리말 번역

다음 각 함수에 대해 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(x)=x+x,a=2f(x)=x+\sqrt{x},a=2

영어 원문 보기

For each of the following functions, find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(x)=x+x,a=2f(x)=x+\sqrt{x},a=2

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 20번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 3.7절 · 12번우리말 번역

다음 각 함수에 대해 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(x)=x−2x,x<0,a=1f(x)=x-\frac{2}{x},x<0,a=1

영어 원문 보기

For each of the following functions, find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(x)=x−2x,x<0,a=1f(x)=x-\frac{2}{x},x<0,a=1

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

13\frac{1}{3}

원본 교재 풀이(영어)

13\frac{1}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 14번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 3.7절 · 13번우리말 번역

다음 각 함수에 대해 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(x)=x+sin⁡x,a=0f(x)=x+\sin x,a=0

영어 원문 보기

For each of the following functions, find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(x)=x+sin⁡x,a=0f(x)=x+\sin x,a=0

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 12번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 3.7절 · 14번우리말 번역

다음 각 함수에 대해 (f−1)′(a){({f}^{-1})}^{'}(a) 를 구하세요.

f(x)=tan⁡x+3x2,a=0;0<x<π/2f(x)=\tan x+3{x}^{2},a=0; 0 < x < \pi /2

영어 원문 보기

For each of the following functions, find (f−1)′(a).{({f}^{-1})}^{'}(a).

f(x)=tan⁡x+3x2,a=0;0<x<π/2f(x)=\tan x+3{x}^{2},a=0; 0 < x < \pi /2

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

11

원본 교재 풀이(영어)

11

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 16번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 3.7절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=sin⁡−1(x2)y={\sin }^{-1}({x}^{2})

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=sin⁡−1(x2)y={\sin }^{-1}({x}^{2})

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

2x1−x4\frac{2x}{\sqrt{1-{x}^{4}}}

원본 교재 풀이(영어)

2x1−x4\frac{2x}{\sqrt{1-{x}^{4}}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 22번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 3.7절 · 21번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=cos⁡−1(x)y={\cos }^{-1}\left(\sqrt{x}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=cos⁡−1(x)y={\cos }^{-1}\left(\sqrt{x}\right)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 34번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 3.7절 · 22번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=sec⁡−1(1x)y={\sec }^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=sec⁡−1(1x)y={\sec }^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

−11−x2\frac{-1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}

원본 교재 풀이(영어)

−11−x2\frac{-1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 24번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 3.7절 · 23번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=csc⁡−1xy=\sqrt{{\csc }^{-1}x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=csc⁡−1xy=\sqrt{{\csc }^{-1}x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 18번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 3.7절 · 24번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=(1+tan⁡−1x)3y={(1+{\tan }^{-1}x)}^{3}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=(1+tan⁡−1x)3y={(1+{\tan }^{-1}x)}^{3}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

3(1+tan⁡−1x)21+x2\frac{3{(1+{\tan }^{-1}x)}^{2}}{1+{x}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

3(1+tan⁡−1x)21+x2\frac{3{(1+{\tan }^{-1}x)}^{2}}{1+{x}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 26번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 1권 · 3.7절 · 25번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=cos⁡−1(2x)⋅sin⁡−1(2x)y={\cos }^{-1}(2x)\cdot {\sin }^{-1}(2x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=cos⁡−1(2x)⋅sin⁡−1(2x)y={\cos }^{-1}(2x)\cdot {\sin }^{-1}(2x)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 4번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 1권 · 3.7절 · 26번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=1tan⁡−1(x)y=\frac{1}{{\tan }^{-1}(x)}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=1tan⁡−1(x)y=\frac{1}{{\tan }^{-1}(x)}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

−1(1+x2)(tan⁡−1x)2\frac{-1}{(1+{x}^{2}){({\tan }^{-1}x)}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

−1(1+x2)(tan⁡−1x)2\frac{-1}{(1+{x}^{2}){({\tan }^{-1}x)}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 28번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 1권 · 3.7절 · 27번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=sec⁡−1(−x)y={\sec }^{-1}(-x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=sec⁡−1(−x)y={\sec }^{-1}(-x)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 22번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 1권 · 3.7절 · 28번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=cot⁡−14−x2y={\cot }^{-1}\sqrt{4-{x}^{2}}

영어 원문 보기

For the following exercises, find dydx\frac{dy}{dx} for the given function.

y=cot⁡−14−x2y={\cot }^{-1}\sqrt{4-{x}^{2}}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

x(5−x2)4−x2\frac{x}{(5-{x}^{2})\sqrt{4-{x}^{2}}}

원본 교재 풀이(영어)

x(5−x2)4−x2\frac{x}{(5-{x}^{2})\sqrt{4-{x}^{2}}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 38번
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)