적분의 활용 전체 연습문제

121.OpenStax 1권 · 6.6절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 주어진 도형의 넓이 $M$ 과 무게중심 $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ 를 구하세요. 가능하면 대칭성을 이용하여 질량중심의 위치를 찾으세요.

[계산기 사용] 사분원: $y=\sqrt{1-{x}^{2}},$ $y=0,$ $x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to draw the region enclosed by the curve. Find the area $M$ and the centroid $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ for the given shapes. Use symmetry to help locate the center of mass whenever possible.

[T] Quarter-circle: $y=\sqrt{1-{x}^{2}},$ $y=0,$ and $x=0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\left(\frac{4}{3\pi },\frac{4}{3\pi }\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{4}{3\pi },\frac{4}{3\pi }\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.6절 · 30번

# 밀도·질량과 질량중심계산자동 분류

122.OpenStax 1권 · 6.6절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 주어진 도형의 넓이 $M$ 과 무게중심 $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ 를 구하세요. 가능하면 대칭성을 이용하여 질량중심의 위치를 찾으세요.

[계산기 사용] 삼각형: $y=x,$ $y=2-x,$ $y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to draw the region enclosed by the curve. Find the area $M$ and the centroid $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ for the given shapes. Use symmetry to help locate the center of mass whenever possible.

[T] Triangle: $y=x,$ $y=2-x,$ and $y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.6절 · 14번

# 밀도·질량과 질량중심계산자동 분류

123.OpenStax 1권 · 6.6절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 주어진 도형의 넓이 $M$ 과 무게중심 $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ 을 구하세요. 가능하면 언제든지 대칭성을 이용하여 질량중심의 위치를 찾으세요.

[계산기 사용] 렌즈 모양: $y={x}^{2}$ 과 $y=x$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to draw the region enclosed by the curve. Find the area $M$ and the centroid $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ for the given shapes. Use symmetry to help locate the center of mass whenever possible.

[T] Lens: $y={x}^{2}$ and $y=x$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\left(\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.6절 · 32번

# 밀도·질량과 질량중심계산자동 분류

124.OpenStax 1권 · 6.6절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 주어진 도형의 넓이 $M$ 과 무게중심 $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ 을 구하세요. 가능하면 언제든지 대칭성을 이용하여 질량중심의 위치를 찾으세요.

[계산기 사용] 고리 모양: ${y}^{2}+{x}^{2}=1$ 과 ${y}^{2}+{x}^{2}=4$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to draw the region enclosed by the curve. Find the area $M$ and the centroid $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ for the given shapes. Use symmetry to help locate the center of mass whenever possible.

[T] Ring: ${y}^{2}+{x}^{2}=1$ and ${y}^{2}+{x}^{2}=4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.3절 · 1번

# 밀도·질량과 질량중심계산자동 분류

125.OpenStax 1권 · 6.6절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 주어진 도형의 넓이 $M$ 과 무게중심 $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ 을 구하세요. 가능하면 언제든지 대칭성을 이용하여 질량중심의 위치를 찾으세요.

[계산기 사용] 반원 고리 모양: ${y}^{2}+{x}^{2}=1,$ ${y}^{2}+{x}^{2}=4$ 와 $y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to draw the region enclosed by the curve. Find the area $M$ and the centroid $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ for the given shapes. Use symmetry to help locate the center of mass whenever possible.

[T] Half-ring: ${y}^{2}+{x}^{2}=1,$ ${y}^{2}+{x}^{2}=4,$ and $y=0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\left(0,\frac{28}{9\pi }\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\left(0,\frac{28}{9\pi }\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.6절 · 34번

# 밀도·질량과 질량중심계산자동 분류

126.OpenStax 1권 · 6.6절 · 37번대학 수준우리말 번역

$a>b$ 일 때, $y={x}^{a}$ 과 $y={x}^{b}$ 사이의 얇은 조각 영역에서 일반화된 질량중심을 구하세요. 그런 다음 파푸스 정리를 이용하여 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the generalized center of mass in the sliver between $y={x}^{a}$ and $y={x}^{b}$ with $a>b.$ Then, use the Pappus theorem to find the volume of the solid generated when revolving around the y-axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.6절 · 22번

# 밀도·질량과 질량중심활용자동 분류

127.OpenStax 1권 · 6.6절 · 38번대학 수준우리말 번역

$y={a}^{2}-{x}^{2},$ $x=0,$ $y=0$ 으로 둘러싸인 영역에서 일반화된 질량중심을 구하세요. 그런 다음 파푸스 정리를 이용하여 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the generalized center of mass between $y={a}^{2}-{x}^{2},$ $x=0,$ and $y=0.$ Then, use the Pappus theorem to find the volume of the solid generated when revolving around the y-axis.

정답·풀이 보기

질량중심: $\left(\frac{3a}{8},\frac{2{a}^{2}}{5}\right)$ , 부피: $\frac{\pi {a}^{4}}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

Center of mass: $\left(\frac{3a}{8},\frac{2{a}^{2}}{5}\right),$ volume: $\frac{\pi {a}^{4}}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.6절 · 16번

# 밀도·질량과 질량중심활용자동 분류

128.OpenStax 1권 · 6.6절 · 39번대학 수준우리말 번역

$y=b\,\sin (ax),$ $x=0,$ $x=\frac{\pi }{a}$ 사이의 일반화된 질량 중심을 구하세요. 그런 다음 파푸스의 정리를 이용하여 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the generalized center of mass between $y=b\,\sin (ax),$ $x=0,$ and $x=\frac{\pi }{a}.$ Then, use the Pappus theorem to find the volume of the solid generated when revolving around the y-axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.6절 · 10번

# 밀도·질량과 질량중심활용자동 분류

129.OpenStax 1권 · 6.6절 · 40번대학 수준우리말 번역

파푸스의 정리를 이용하여 (그림과 같은) 토러스의 부피를 구하세요. 반지름이 $a$ 인 원판의 왼쪽 끝이 $x=b,$ $b>0$ 에 놓이도록 하고, 이 원판을 y축을 중심으로 회전시킨다고 가정하세요.

이 그림은 토러스이다. 안쪽 반지름은 b이다. 토러스의 단면은 원이다. 이 원의 반지름은 a이다.

영어 원문 보기

Use the theorem of Pappus to find the volume of a torus (pictured here). Assume that a disk of radius $a$ is positioned with the left end of the circle at $x=b,$ $b>0,$ and is rotated around the y-axis.

This figure is a torus. It has inner radius of b. Inside of the torus is a cross section that is a circle. The circle has radius a.

정답·풀이 보기

부피: $2{\pi }^{2}{a}^{2}(b+a)$

원본 교재 풀이(영어)

Volume: $2{\pi }^{2}{a}^{2}(b+a)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.3절 · 5번

# 밀도·질량과 질량중심그래프·표 해석자동 분류

130.OpenStax 1권 · 6.6절 · 41번대학 수준우리말 번역

단위 질량을 가진 가는 철사가 반원 $y=\sqrt{1-{x}^{2}}$ 을 따라 놓여 있을 때, 질량 중심 $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ 을 구하세요. (힌트: 파푸스의 정리를 이용하세요.)

영어 원문 보기

Find the center of mass $\left(\overset{-}{x},\overset{-}{y}\right)$ for a thin wire along the semicircle $y=\sqrt{1-{x}^{2}}$ with unit mass. (Hint: Use the theorem of Pappus.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.3절 · 7번

# 밀도·질량과 질량중심계산자동 분류

131.APEX · 7.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 셸 방법은 와셔 방법이 통하지 않을 때만 사용할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: The Shell Method can only be used when the Washer Method fails.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 12번

# 원통 껍질법개념 확인자동 분류

132.APEX · 7.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 셸 방법은 입체의 단면의 넓이를 적분하는 방식이다.

영어 원문 보기

T/F: The Shell Method works by integrating cross–sectional areas of a solid.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 4번

# 원통 껍질법개념 확인자동 분류

133.APEX · 7.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 수직인 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구할 때, 셸 방법에서는 $x$ 에 대해 적분한다.

영어 원문 보기

T/F: When finding the volume of a solid of revolution that was revolved around a vertical axis, the Shell Method integrates with respect to $x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.3절 · 2번

# 원통 껍질법개념 확인자동 분류

134.APEX · 7.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서는 직교좌표평면의 한 영역에 색이 칠해져 있다. 셸 방법을 이용하여, 이 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $y$ -axis.

정답·풀이 보기

$70\pi/3$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$70\pi/3$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 20번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

135.APEX · 7.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서는 직교좌표평면의 한 영역에 색이 칠해져 있다. 셸 방법을 이용하여, 이 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $y$ -axis.

정답·풀이 보기

$\pi^2-2\pi$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi^2-2\pi$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 2번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

136.APEX · 7.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서는 직교좌표평면의 한 영역에 색이 칠해져 있다. 셸 방법을 이용하여, 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$350\pi/3$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$350\pi/3$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 30번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

137.APEX · 7.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

9–12번 문제에서, 데카르트 좌표평면의 한 영역이 색칠되어 있습니다. 원통껍질법을 이용하여 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$\pi^2/4$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi^2/4$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 12번

# 원통 껍질법그래프·표 해석자동 분류

138.APEX · 7.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–18에서는 데카르트 좌표평면의 영역이 주어진다. 셸 방법을 사용하여, 주어진 각 축을 중심으로 그 영역을 회전시켜 만들어지는 회전체의 부피를 구하세요.

다음으로 둘러싸인 영역: $y=\sqrt{x}$ , $y=0$ , $x=1$ .

회전축:

(a) $y$ 축 (b) $x=1$

(a) $x$ 축 (b) $y=1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–18, a region of the Cartesian plane is described. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by rotating the region about each of the given axes.

Region bounded by: $y=\sqrt{x}$ , $y=0$ and $x=1$ .

Rotate about:

(a) the $y$ -axis (b) $x=1$

(a) the $x$ -axis (b) $y=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $4\pi/5$ (b) $8\pi/15$ (c) $\pi/2$ (d) $5\pi/6$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $4\pi/5$ (b) $8\pi/15$ (c) $\pi/2$ (d) $5\pi/6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 4번

# 원통 껍질법활용자동 분류

139.APEX · 7.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–18에서는 직교좌표평면의 영역이 주어져 있습니다. 주어진 각 축을 중심으로 이 영역을 회전시켜 만들어지는 회전체의 부피를 셸 방법을 이용하여 구하세요.

다음으로 둘러싸인 영역: $y=4-x^2$ , $y=0$ .

다음을 축으로 회전하세요:

(a) $x=2$ (b) $x=-2$

(a) $x$ 축 (b) $y=4$

영어 원문 보기

In Exercises 13–18, a region of the Cartesian plane is described. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by rotating the region about each of the given axes.

Region bounded by: $y=4-x^2$ and $y=0$ .

Rotate about:

(a) $x=2$ (b) $x=-2$

(a) the $x$ -axis (b) $y=4$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $128\pi/3$ (b) $128\pi/3$ (c) $512\pi/15$ (d) $256\pi/5$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $128\pi/3$ (b) $128\pi/3$ (c) $512\pi/15$ (d) $256\pi/5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 26번

# 원통 껍질법활용자동 분류

140.APEX · 7.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

13–18번 문제에서, 데카르트 좌표평면의 한 영역이 주어집니다. 원통껍질법을 이용하여 이 영역을 주어진 각 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

꼭짓점이 $(1,1)$ , $(1,2)$ , $(2,1)$ 인 삼각형.

회전축:

(a) $y$ 축 (b) $x=1$

(a) $x$ 축 (b) $y=2$

영어 원문 보기

In Exercises 13–18, a region of the Cartesian plane is described. Use the Shell Method to find the volume of the solid of revolution formed by rotating the region about each of the given axes.

The triangle with vertices $(1,1)$ , $(1,2)$ and $(2,1)$ .

Rotate about:

(a) the $y$ -axis (b) $x=1$

(a) the $x$ -axis (b) $y=2$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $4\pi/3$ (b) $\pi/3$ (c) $4\pi/3$ (d) $2\pi/3$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $4\pi/3$ (b) $\pi/3$ (c) $4\pi/3$ (d) $2\pi/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.3절 · 42번

# 원통 껍질법활용자동 분류

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