문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

적분법 전체 문제

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131문제 · 4 / 7쪽

61.OpenStax 1권 · 6.1절 · 32번우리말 번역

다음 연습문제에서, 방정식의 그래프를 그리고 곡선들 사이 곡선들 사이의 영역을 색칠하세요. $x$ 축 또는 $y$ 축 중 더 편리해 보이는 쪽으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=\sin \,x,x=-\pi /6,x=\pi /6,\text{및}\,y={\cos }^{3}x$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y=\sin \,x,x=-\pi /6,x=\pi /6,\text{and}\,y={\cos }^{3}x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 17번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

62.OpenStax 1권 · 6.1절 · 33번우리말 번역

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고, 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축 또는 $y$ 축 중 더 편리해 보이는 쪽을 따라 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y={x}^{2}-3x+2\,\text{그리고}\,y={x}^{3}-2{x}^{2}-x+2$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y={x}^{2}-3x+2\,\text{and}\,y={x}^{3}-2{x}^{2}-x+2$

정답·풀이 보기

이 그림에는 두 그래프가 있다. 두 그래프는 방정식 y=x^2-3x+2 와 y=x^3-2x^2-x+2 의 그래프이다. 두 그래프는 서로 만나며, 두 그래프 사이의 영역이 색칠되어 있다.

$\frac{1}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations y=x^2-3x+2 and y=x^3-2x^2-x+2. The graphs intersect, having region between them shaded.

$\frac{1}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.1절 · 11번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

63.OpenStax 1권 · 6.1절 · 34번우리말 번역

다음 연습문제에서, 방정식의 그래프를 그리고 곡선 사이의 영역을 색칠한 뒤, $x$ 축 또는 $y$ 축 중 더 편리해 보이는 쪽에 대해 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=2\,{\cos }^{3}(3x),y=-1,x=\frac{\pi }{4},\,\text{그리고}\,x=-\frac{\pi }{4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y=2\,{\cos }^{3}(3x),y=-1,x=\frac{\pi }{4},\,\text{and}\,x=-\frac{\pi }{4}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 25번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

64.OpenStax 1권 · 6.1절 · 35번우리말 번역

다음 연습문제에서 방정식의 그래프를 그리고 곡선 사이 영역을 색칠하세요. x축 또는 y축 중 더 편리해 보이는 쪽으로 적분하여 그 영역의 넓이를 구하세요.

$y+{y}^{3}=x\,\text{그리고}\,2y=x$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y+{y}^{3}=x\,\text{and}\,2y=x$

정답·풀이 보기

이 그림에는 그래프가 두 개 있다. 두 그래프는 방정식 2y=x 와 y+y^3=x 의 그래프이다. 두 그래프는 서로 만나 두 개의 영역을 이루고, 그 영역들은 색칠되어 있다.

$\frac{1}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations 2y=x and y+y^3=x. The graphs intersect, forming two regions. The regions are shaded.

$\frac{1}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 33번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

65.OpenStax 1권 · 6.1절 · 36번우리말 번역

다음 연습문제에서, 방정식의 그래프를 그리고 곡선 사이의 영역을 색칠하고. $x$ 축 또는 $y$ 축 중 더 편리해 보이는 쪽에 대해 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=\sqrt{1-{x}^{2}}\,\text{그리고}\,y={x}^{2}-1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y=\sqrt{1-{x}^{2}}\,\text{and}\,y={x}^{2}-1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 16번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

66.OpenStax 1권 · 6.1절 · 37번우리말 번역

다음 연습문제에서 방정식의 그래프를 그리고, 곡선 사이 영역에 색칠하세요. x축 또는 y축 중 더 편리해 보이는 쪽을 따라 적분하여 그 영역의 넓이를 구하세요.

$y={\cos }^{-1}x,y={\sin }^{-1}x,x=-1,\,\text{그리고}\,x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y={\cos }^{-1}x,y={\sin }^{-1}x,x=-1,\,\text{and}\,x=1$

정답·풀이 보기

이 그림에는 두 그래프가 있다. 두 그래프는 방정식 y=arccos(x)와 y=arcsin (x)이다. 두 그래프는 서로 만나 두 영역을 이룬다. 첫째 영역은 왼쪽이 x=-1로 유계이다. 둘째 영역은 오른쪽이 x=1로 유계이다. 두 영역 모두 색칠되어 있다.

$-2\left(\sqrt{2}-\pi \right)$

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations y=arccos(x) and y=arcsin (x). The graphs intersect, forming two regions. The first region is bounded to the left by x=-1. The second region is bounded to the right by x=1. Both regions are shaded.

$-2\left(\sqrt{2}-\pi \right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 35번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

67.OpenStax 1권 · 6.1절 · 48번우리말 번역

$x\text{축}$ 위에 밑변을 두고 단위원의 위쪽 반원 ${y}^{2}+{x}^{2}=1$ 안에 들어가는 가장 큰 삼각형은 $y=1+x$ 와 $y=1-x$ 로 주어진다. 다음 그림을 보세요. 반원의 안쪽이면서 삼각형의 바깥쪽인 영역의 넓이는 얼마인지 구하세요.

이 그림에는 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 그래프가 있다. 밑변이 x축 위의 -1에서 1까지이고 세 번째 꼭짓점이 y=1인 점에 있는 삼각형이 원에 내접해 있다.

영어 원문 보기

The largest triangle with a base on the $x\text{-axis}$ that fits inside the upper half of the unit circle ${y}^{2}+{x}^{2}=1$ is given by $y=1+x$ and $y=1-x.$ See the following figure. What is the area inside the semicircle but outside the triangle?

This figure is has the graph of a circle with center at the origin and radius of 1. There is a triangle inscribed with base on the x-axis from -1 to 1 and the third corner at the point y=1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 31번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

68.OpenStax 1권 · 6.1절 · 56번우리말 번역

다음 그림과 같이 단위원에 네 변이 모두 접하는 정사각형의 각 변의 방정식을 구하세요. 이 정사각형의 둘레와 단위원 사이의 넓이를 구하세요. 미적분을 사용하지 않고 푸는 다른 방법이 있나요?

이 그림은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 그래프이다. 원에 외접하는 정사각형이 원을 둘러싸고 있다.

영어 원문 보기

Determine the equations for the sides of the square that touches the unit circle on all four sides, as seen in the following figure. Find the area between the perimeter of this square and the unit circle. Is there another way to solve this without using calculus?

This figure is the graph of a circle centered at the origin with radius of 1. There is a circumscribed square around the circle.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 17번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

69.OpenStax 1권 · 6.2절 · 6번우리말 번역

높이가 6 단위이고 밑면이 한 변의 길이가 2 단위인 정사각형인 사각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면의 너비가 2 단위이고 높이가 6 단위인 사각뿔이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 6 units and square base of side 2 units, as pictured here.

This figure is a pyramid with base width of 2 and height of 6 units.

정답·풀이 보기

8 단위³

원본 교재 풀이(영어)

8 units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 9번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

70.OpenStax 1권 · 6.2절 · 7번우리말 번역

높이가 4 단위이고 밑면이 가로 2 단위, 세로 3 단위인 직사각형인 사각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면의 너비가 2, 길이가 3이고 높이가 4 단위인 사각뿔이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 4 units and a rectangular base with length 2 units and width 3 units, as pictured here.

This figure is a pyramid with base width of 2, length of 3, and height of 4 units.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 14번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

71.OpenStax 1권 · 6.2절 · 8번우리말 번역

아래 그림과 같이 밑면의 한 변의 길이가 4 단위인 사면체가 있다.

이 그림은 한 변의 길이가 4 단위인 정삼각형이다.

영어 원문 보기

A tetrahedron with a base side of 4 units, as seen here.

This figure is an equilateral triangle with side length of 4 units.

정답·풀이 보기

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.2절 · 7번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

72.OpenStax 1권 · 6.2절 · 9번우리말 번역

높이가 5 단위이고 밑면이 길이가 6 단위, 8 단위인 이등변삼각형인 삼각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면이 삼각형인 삼각뿔이다. 밑면을 위에서 본 모습이다. 삼각형의 세 변의 길이는 6 단위, 8 단위, 8 단위이다. 삼각뿔의 높이는 5 단위이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 5 units, and an isosceles triangular base with lengths of 6 units and 8 units, as seen here.

This figure is a pyramid with a triangular base. The view is of the base. The sides of the triangle measure 6 units, 8 units, and 8 units. The height of the pyramid is 5 units.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 18번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

73.OpenStax 1권 · 6.2절 · 10번우리말 번역

반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원뿔에서 그림과 같이 꼭대기 부분의 반지름이 $r/2$ 이고 높이가 $h/2$ 인 작은 원뿔을 잘라 냈습니다. 이렇게 만들어진 입체를 원뿔대라고 합니다.

이 그림은 거꾸로 세워진 원뿔을 3차원으로 나타낸 그래프이다. 원뿔은 3차원 좌표공간을 나타내는 직육면체 안에 들어 있다. 원뿔 아래쪽 면의 반지름은 “r”로, 원뿔 위쪽 면의 반지름은 “r/2”로 표시되어 있다.

영어 원문 보기

A cone of radius $r$ and height $h$ has a smaller cone of radius $r/2$ and height $h/2$ removed from the top, as seen here. The resulting solid is called a frustum.

This figure is a 3-dimensional graph of an upside down cone. The cone is inside of a rectangular prism that represents the xyz coordinate system. the radius of the bottom of the cone is “r” and the radius of the top of the cone is labeled “r/2”.

정답·풀이 보기

$\frac{7}{24}\pi {r}^{2}h$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{7}{24}\pi {r}^{2}h$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 12번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

74.OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번우리말 번역

요거트 용기는 원뿔대 모양일 수 있습니다. 직선 $y=\frac{1}{m}x$ 를 y축을 중심으로 회전시켜 $y=a\,\text{와}\,y=b$ 사이의 부피를 구하세요.

이 그림은 두 부분으로 이루어져 있다. 첫 번째 부분은 속이 찬 원뿔이다. 원뿔의 밑면이 윗면보다 넓다. 원뿔은 3차원 상자 안에 그려져 있다. 원뿔 아래에는 이 그림과 같은 모양의 요거트 용기 사진이 있다.

영어 원문 보기

Yogurt containers can be shaped like frustums. Rotate the line $y=\frac{1}{m}x$ around the y-axis to find the volume between $y=a\,\text{and}\,y=b.$

This figure has two parts. The first part is a solid cone. The base of the cone is wider than the top. It is shown in a 3-dimensional box. Underneath the cone is an image of a yogurt container with the same shape as the figure.

정답·풀이 보기

$\frac{{m}^{2}\pi }{3}({b}^{3}-{a}^{3})$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{m}^{2}\pi }{3}({b}^{3}-{a}^{3})$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 26번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

75.OpenStax 1권 · 6.2절 · 47번우리말 번역

타원 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 을 x축을 중심으로 회전시켜, 그림과 같은 미식축구공의 부피를 어림하세요.

이 그림에는 미식축구공 사진과 거의 같은 모양의 타원이 있다.

영어 원문 보기

Rotate the ellipse $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ around the x-axis to approximate the volume of a football, as seen here.

This figure has an oval that is approximately equal to the image of a football.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

76.OpenStax 1권 · 6.2절 · 49번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\sin \,x$ 를 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 입체는 미식축구공의 부피에 대한 더 나은 근삿값을 줍니다. 그림과 같은 이 미식축구공 근사의 부피는 얼마인가요?

이 그림은 3차원 타원체 모양이다. 이 입체는 상자 안에 있으며, 상자 아래쪽 앞 모서리인 *x*축과 평행하게 놓여 있다. *y*축은 입체에 수직이다.

영어 원문 보기

A better approximation of the volume of a football is given by the solid that comes from rotating $y=\sin \,x$ around the x-axis from $x=0$ to $x=\pi .$ What is the volume of this football approximation, as seen here?

This figure has a 3-dimensional oval shape. It is inside of a box parallel to the x axis on the bottom front edge of the box. The y-axis is vertical to the solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.2절 · 8번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

77.OpenStax 1권 · 6.2절 · 50번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\sin \,x$ 를 y축을 중심으로 회전시켜 얻은 번트 케이크의 부피는 얼마인가요?

이 그림은 3차원 입체의 그래프이다. 입체는 둥글고 아래쪽으로 갈수록 더 크다. 가운데에 구멍이 있으며, 이 구멍은 아래쪽으로 갈수록 점점 작아진다. 그래프 옆에는 이 입체와 닮은 번트 케이크 사진이 있다.

영어 원문 보기

What is the volume of the Bundt cake that comes from rotating $y=\sin \,x$ around the y-axis from $x=0$ to $x=\pi ?$

This figure is a graph of a 3-dimensional solid. It is round, bigger towards the bottom. It has a hole in the center that progressively gets smaller towards the bottom. Next to the graph is an image of a bundt cake, resembling the solid.

정답·풀이 보기

$2{\pi }^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$2{\pi }^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

78.OpenStax 1권 · 6.2절 · 53번우리말 번역

다음 그림과 같이 높이가 $b$ 이고 반지름이 $b$ 인 직원뿔의 밑면을 통과하여, 원뿔의 축을 따라 반지름이 $a$ 인 구멍을 뚫으세요.

이 그림은 거꾸로 세워진 원뿔이다. 윗면의 반지름은 “b”, 중심은 “a”, 높이는 “b”이다.

영어 원문 보기

Bore a hole of radius $a$ down the axis of a right cone of height $b$ and radius $b$ through the base of the cone as seen here.

This figure is an upside down cone. It has a radius of the top as “b”, center at “a”, and height as “b”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

79.OpenStax 1권 · 6.2절 · 54번우리말 번역

다음 그림과 같이 반지름이 $r$ 이고 중심 사이의 거리가 $2h$ 인 두 구의 공통 부분의 부피를 구하세요.

이 그림에는 서로 겹치는 두 원이 있다. 두 원의 반지름은 모두 “r”이다. 한 원의 중심에서 다른 원의 중심까지 선분이 그어져 있다. 두 원이 겹치는 부분의 가운데에 점 “h”가 있고, 이 점은 그 선분 위에 있다.

영어 원문 보기

Find the volume common to two spheres of radius $r$ with centers that are $2h$ apart, as shown here.

This figure has two circles that intersect. Both circles have radius “r”. There is a line segment from one center to the other. In the middle of the intersection of the circles is point “h”. It is on the line segment.

정답·풀이 보기

$V=\frac{2\pi }{3}(2r+h){(r-h)}^{2}$ 단위³