함수의 극한과 연속 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.3절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입하면 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한값을 구하세요.

$\lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-16}{x-4}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}$

풀이 보기

$0/0$ 꼴이면 분자를 인수분해해서 분모와 같은 인수를 약분해요.

1
먼저 $x=4$ 를 대입해 봐요. 분자는 $4^2-16=0$ , 분모는 $4-4=0$ 이라서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 돼요. 이 꼴은 값이 정해지지 않아서 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 인수분해해요. $x^2-16=(x+4)(x-4)$ 이므로

$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}$
3
약분해요. $x\to4$ 일 때 $x\ne4$ 이므로 $x-4\ne0$ 이라서 약분해도 돼요. 식은 $x+4$ 가 돼요.
4
극한값을 구해요. $\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8$

답

$8$

자주 하는 실수

$0/0$ 이 나오면 극한이 $0$ 이라고 하거나 존재하지 않는다고 단정해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

# 극한의 성질과 계산계산기본

2.OpenStax 1권 · 4.6절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\dfrac{1}{3x+6}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{1}{3x+6}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분자는 일정한데 분모가 한없이 커지면 분수는 $0$ 에 가까워져요.

1
분모가 어떻게 되는지 봐요. $x\to\infty$ 이면 $3x+6$ 도 한없이 커져요.
2
분수의 값을 판단해요. $1$ 을 한없이 큰 수로 나누면 $0$ 에 가까워지므로

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0$

답

$0$

자주 하는 실수

$\dfrac{1}{\infty}$ 를 정의되지 않는 꼴로 착각해요. 분자가 상수이고 분모가 한없이 커지면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

3.OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번우리말 풀이

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 $x=[-5,5]$ 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\dfrac{1}{x+10}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window $x=[-5,5]$ and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

[T] $f(x)=\frac{1}{x+10}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to\infty$ 일 때 분모가 한없이 커지므로 $f(x)\to0$ 이고, 수평점근선은 $y=0$ 이에요.

1
창 안에서 어림해요. $-5\le x\le5$ 에서 $f(x)$ 는 $\dfrac{1}{5}$ 에서 $\dfrac{1}{15}$ 사이의 양수 값이에요. $0$ 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.
2
실제 극한을 계산해요. $x\to\infty$ 이면 $x+10\to\infty$ 이므로 $\dfrac{1}{x+10}\to0$ 이에요. $x\to-\infty$ 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 $0$ 에 가까워져요.
3
점근선을 말해요. 극한이 $0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$ 이에요. (참고로 $x=-10$ 에서는 분모가 $0$ 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

답

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$

자주 하는 실수

주어진 창 안의 그래프만 보고 점근선이 없다고 하거나 $x=-10$ 의 수직점근선을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 26번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

4.CLP-1 · 1.1절 · 3번우리말 번역

$L$ 을 곡선 $y=f(x)$ 의 어떤 점 $P$ 에서의 접선이라고 하자. $L$ 은 곡선 $y=f(x)$ 와 몇 번 만나는지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $L$ be the tangent line to a curve $y=f(x)$ at some point $P$ . How many times will $L$ intersect the curve $y=f(x)$ ?

정답·풀이 보기

곡선의 점 $P$ 에서의 접선은 점 $P$ 를 지나므로, 곡선과 접선은 점 $P$ 에서 접한다. 따라서 둘은 적어도 한 번은 만난다. 여러 가지 예를 그려 보면, 곡선에 따라 접선과 정확히 한 번, 정확히 두 번, 정확히 세 번 등으로 접할 수 있음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the tangent line to the curve at point $P$ passes through point $P$ , the curve and the tangent line touch at point $P$ . So, they must intersect at least once. By drawing various examples, we can see that different curves may touch their tangent lines exactly once, exactly twice, exactly three times, etc.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 10번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

5.CLP-1 · 1.3절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=f(3)=10$ 인 곡선 $y=f(x)$ 를 그리세요.

영어 원문 보기

Draw a curve $y=f(x)$ with $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=f(3)=10$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 다음은 그중 하나이다.

$x$ 가 3에 한없이 가까워질 때 $y$ 는 10에 한없이 가까워진다. 이는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10$ 임을 나타낸다. 또한 3에서 함수의 값이 10이다. 이는 $f(3)=10$ 임을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Many answers are possible; here is one.

As $x$ gets closer and closer to 3, $y$ gets closer and closer to 10: this shows $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10$ . Also, at 3 itself, the function takes the value 10; this shows $f(3)=10$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 16번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

6.CLP-1 · 1.3절 · 5번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=10$ 이고 $f(3)=0$ 인 곡선 $y=f(x)$ 를 그리세요.

영어 원문 보기

Draw a curve $y=f(x)$ with $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=10$ and $f(3)=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 다음은 그중 하나이다.

$x$ 가 3 자신을 제외하고 3에 한없이 가까워질 때 $y$ 는 10에 한없이 가까워진다. 이는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10$ 임을 나타낸다. 그리고 $x=3$ 일 때 함수의 값은 0이다. 이는 $f(3)=0$ 임을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Many answers are possible; here is one.

Note that, as $x$ gets closer and closer to 3 except at 3 itself, $y$ gets closer and closer to 10: this shows $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10$ . Then, when $x=3$ , the function has value 0: this shows $f(3)=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 11번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

7.CLP-1 · 1.3절 · 8번우리말 번역

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된 함수이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16$ 이라 하자. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function defined on all real numbers, and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16$ . What is $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)$ ?

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16$ 이다. 극한 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ 가 존재하고 16과 같으려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 16과 같아야 하기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16$ : in order for the limit $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ to exist and be equal to 16, both one sided limits must exist and be equal to 16.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 12번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

8.CLP-1 · 1.3절 · 9번우리말 번역

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된 함수이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16$ 이라 하자. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function defined on all real numbers, and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16$ . What is $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ ?

정답·풀이 보기

주어진 정보만으로는 알 수 없다. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)=16$ 이면 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16$ 이다. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)\neq 16$ 이면 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Not enough information to say. If $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)=16$ , then $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16$ . If $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)\neq 16$ , then $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 18번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

9.CLP-1 · 1.4절 · 2번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 을 만족시키는 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give two functions $f(x)$ and $g(x)$ that satisfy $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이라는 것은 $x$ 가 3에 아주 가까워질 때 $f(x)$ 가 $g(x)$ 의 10배가 된다는 뜻이다. $f(x)=10g(x)$ 이면 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이므로, $f$ 와 $g$ 가 정의되는 곳에서는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이다. 따라서 3에서의 극한이 0인 함수 $g(x)$ 를 찾으면 충분하다. 그러한 함수의 예로 $g(x)=x-3$ 이 있다. 그러므로 $f(x)=10(x-3)$ , $g(x)=x-3$ 으로 잡는다. 이제 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{10(x-3)}{x-3}=\displaystyle \lim_{x \to 3}10=10$ 임을 쉽게 확인할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The statement $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ tells us that, as $x$ gets very close to 3, $f(x)$ is 10 times as large as $g(x)$ . We notice that if $f(x)=10g(x)$ , then $\dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ , so $\displaystyle\lim_{x \rightarrow} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ wherever $f$ and $g$ exist. So it's enough to find a function $g(x)$ that has limit 0 at 3. Such a function is (for example) $g(x)=x-3$ . So, we take $f(x)=10(x-3)$ and $g(x)=x-3$ . It is easy now to check that $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{10(x-3)}{x-3}=\displaystyle \lim_{x \to 3}10=10$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 24번

# 극한의 성질과 계산계산기본자동 분류

10.CLP-1 · 1.4절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ 를 만족시키는 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give two functions $f(x)$ and $g(x)$ that satisfy $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ .

정답·풀이 보기

이 문제를 시작하는 한 가지 방법은 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}=\infty$ 임을 떠올리는 것이다. ( $\dfrac{1}{x}$ 이 아니라 $\dfrac{1}{x^2}$ 을 쓰는 것이 중요한데, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}$ 은 존재하지 않기 때문이다.) 이를 3만큼 “평행이동”하면 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}=\infty$ 를 얻는다. 따라서 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ 이 되도록 하면 충분하다. $f(x)=x-3$ , $g(x)=(x-3)^3$ 으로 잡으면 이를 이룰 수 있고, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 도 그대로 성립한다. 이 역시 가능한 여러 풀이 중 하나이다.

원본 교재 풀이(영어)

One way to start this problem is to remember $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}=\infty$ . (Using $\dfrac{1}{x^2}$ as opposed to $\dfrac{1}{x}$ is important, since $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}$ does not exist.) Then by “shifting" by three, we find $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}=\infty$ . So it is enough to arrange that $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ . We can achieve this with $f(x)=x-3$ and $g(x)=(x-3)^3$ , and maintain $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ . Again, this is one of many possible solutions.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 2번

# 극한의 성질과 계산계산기본자동 분류

11.CLP-1 · 1.5절 · 1번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x)$ 와 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ 가 모두 (유한한) 실수가 되는 다항식 $f(x)$ 를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Give a polynomial $f(x)$ with the property that both $\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x)$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ are (finite) real numbers.

정답·풀이 보기

차수가 1 이상인 다항식은 $x$ 가 $\infty$ 로 갈 때 $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 간다. 따라서 차수가 0인 다항식, 즉 $f(x)$ 가 상수인 경우가 필요하다. 가능한 답 중 하나는 $f(x)=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any polynomial of degree one or higher will go to $\infty$ or $-\infty$ as $x$ goes to $\infty$ . So, we need a polynomial of degree 0–that is, $f(x)$ is a constant. One possible answer is $f(x)=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 8번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본자동 분류

12.CLP-1 · 1.5절 · 2번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ 를 만족시키는 다항식 $f(x)$ 를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Give a polynomial $f(x)$ that satisfies $\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ .

정답·풀이 보기

차수가 홀수인 다항식이면 모두 이 경우에 해당한다. 예를 들어 $f(x)=x$ 이다.

답은 여러 가지가 가능하다. $f(x)=x^{15}-32x^2+9$ 도 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$ 와 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)= -\infty$ 를 만족시킨다.

원본 교재 풀이(영어)

This will be the case for any polynomial of odd degree. For instance, $f(x)=x$ .

Many answers are possible: also $f(x)=x^{15}-32x^2+9$ satisfies $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)= -\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 3번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본자동 분류

13.CLP-1 · 1.6절 · 4번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 연속인 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이라 하자. 그러면 $f$ 는 $x=10$ 과 $x=20$ 사이에서 영점을 갖는다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a continuous function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ . Then $f$ has a zero between $x=10$ and $x=20$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예. 이는 사잇값 정리를 그대로 적용한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. This is a straightforward application of IVT.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 28번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

14.CLP-1 · 1.6절 · 5번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 연속인 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이라 하자. 그러면 $f(15)=0$ 이다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a continuous function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ . Then $f(15)=0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아니요. 사잇값 정리는 $10$ 과 $20$ 사이의 어떤 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 임을 말해 줄 뿐, 그 $x$ 가 정확히 가운데에 있어야 하는 것은 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

No. IVT says that $f(x)=0$ for some $x$ between $10$ and $20$ , but it doesn't have to be exactly half way between.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 4번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

15.CLP-1 · 1.6절 · 6번우리말 번역

다음은 옳은 진술인지 판단하세요.

$f$ 가 구간 $[10,20]$ 에서 정의된 함수이고 $f(10)=13$ , $f(20)=-13$ 이며, $f$ 가 $-13$ 과 $13$ 사이의 모든 값을 취한다고 하자. 그러면 $f$ 는 연속이다.

영어 원문 보기

Is the following a valid statement?

Suppose $f$ is a function over $[10,20]$ , $f(10)=13$ , and $f(20)=-13$ , and $f$ takes on every value between $-13$ and $13$ . Then $f$ is continuous.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아니요. 사잇값 정리는 처음부터 연속이라는 보장이 없는 함수에 대해서는 아무것도 말해 주지 않는다. 위와 같은 조건을 만족하면서 연속이 아닌 함수는 아주 쉽게 만들 수 있다. 예를 들어 아래 그림의 함수는 식의 형태보다 그래프를 보는 편이 이해하기 쉽다: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{26}{5}x+65,&10 \leq x < 15\\ -\frac{26}{5}x+91,&15 \leq x \leq 20 \end{array}\right.$ .

원본 교재 풀이(영어)

No. IVT says nothing about functions that are not guaranteed to be continuous at the outset. It's quite easy to construct a function that is as described, but not continuous. For example, the function pictured below, whose equation format is somewhat less enlightening than its graph: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{26}{5}x+65,&10 \leq x < 15\\ -\frac{26}{5}x+91,&15 \leq x \leq 20 \end{array}\right.$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 5번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

16.CLP-1 · 1.6절 · 10번우리말 번역

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $x=0$ 에서 연속이고, $h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}$ 이라고 하자. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ and $g(x)$ are continuous at $x=0$ , and let $h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}$ . What is $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 와 $g(x)$ 가 0에서 연속이고 $g^2(x)+1$ 은 0이 될 수 없으므로, $h(x)$ 도 0에서 연속이다. 연속의 정의에 의해 $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ 가 존재하고 그 값은 $h(0)=\frac{0f(0)}{g^2(0)+1}=0$ 이다.

극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ 가 존재하고 그 값이 0이므로, 우극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}h(x)$ 도 존재하고 그 값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ and $g(x)$ are continuous at zero, and since $g^2(x)+1$ must be nonzero, then $h(x)$ is continuous at 0 as well. According to the definition of continuity, then $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ exists and is equal to $h(0)=\frac{0f(0)}{g^2(0)+1}=0$ .

Since the limit $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)$ exists and is equal to zero, also the one-sided limit $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}h(x)$ exists and is equal to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 12번

# 함수의 연속계산기본자동 분류

함수의 극한과 연속 전체 문제