다변수 미분 전체 연습문제

661.CLP-3 · 2.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

곡면이 $z^4 - xy^2 z^2 + y = 0$ 으로 음함수 꼴로 정의되어 있다.

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 로 나타내세요. (b) $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요. (c) $x$ 가 $2$ 에서 $1.94$ 로 감소하고, $y$ 가 $-0.5$ 에서 $-0.4$ 로 증가할 때, $z$ 가 $1$ 에서 변하는 양을 어림하세요. (d) 점 $(2, -1/2, 1)$ 에서 이 곡면의 접평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

A surface is defined implicitly by $z^4 - xy^2 z^2 + y = 0$ .

(a) Compute $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ in terms of $x$ , $y$ , $z$ . (b) Evaluate $\frac{\partial z}{\partial x}$ and $\frac{\partial z}{\partial y}$ at $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ . (c) If $x$ decreases from $2$ to $1.94$ , and $y$ increases from $-0.5$ to $-0.4$ , find the approximate change in $z$ from $1$ . (d) Find the equation of the tangent plane to the surface at the point $(2, -1/2, 1)$ .

정답·풀이 보기

(a) 모든 $x,y$ 에 대해 ( $(x,y,z)$ 가 $(2,-1/2,1)$ 근처일 때), 함수 $z(x,y)$ 는 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} z(x,y)^4 -xy^2 z(x,y)^2 +y=0 \tag{$*$}\end{aligned}$

$(*)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - y^2z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{y^2 z(x,y)^2}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

마찬가지로, 이 등식을 $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 2xy\,z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) +1=0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{2xy\, z(x,y)^2-1}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

(b) (a)의 결과에 $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ 을 대입하면

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,-1/2) &= \frac{1/4}{4-1} =\frac{1}{12}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(2,-1/2) &= \frac{-2-1}{4-1}=-1 \end{aligned}$

(c) $(2,-1/2)$ 에서의 선형 근사에 의해

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) \approx 1 -\frac{0.06}{12}-0.1 \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) - 1 \approx -0.105 \end{aligned}$

(d) 접평면의 방정식은

$\begin{aligned} z&=f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

또는

$\begin{aligned} \frac{x}{12} -y -z = -\frac{1}{3} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that for all $x,y$ (with $(x,y,z)$ near $(2,-1/2,1)$ ), the function $z(x,y)$ obeys

$\begin{aligned} z(x,y)^4 -xy^2 z(x,y)^2 +y=0 \tag{$*$}\end{aligned}$

Differentiating $(*)$ with respect to $x$ gives

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - y^2z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{y^2 z(x,y)^2}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

Similarly, differentiating this equation with respect to $y$ gives

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 2xy\,z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) +1=0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{2xy\, z(x,y)^2-1}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

(b) Substituting $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ into the results of part (a) gives

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,-1/2) &= \frac{1/4}{4-1} =\frac{1}{12}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(2,-1/2) &= \frac{-2-1}{4-1}=-1 \end{aligned}$

(c) Under the linear approximation about $(2,-1/2)$ ,

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) \approx 1 -\frac{0.06}{12}-0.1 \end{aligned}$

so that

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) - 1 \approx -0.105 \end{aligned}$

(d) The tangent plane is

$\begin{aligned} z&=f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

or

$\begin{aligned} \frac{x}{12} -y -z = -\frac{1}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 22번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

662.CLP-3 · 2.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

곡면 $z = f (x, y)$ 는 $(x, y, z) = (1, 3, 1)$ 에서 편도함수 $\frac{\partial f}{\partial x}=3$ 과 $\frac{\partial f}{\partial y}=-2$ 를 갖는다.

(a) $x$ 가 $1$ 에서 $1.2$ 로 증가하고 $y$ 가 $3$ 에서 $2.6$ 으로 감소할 때, 선형 근사를 이용하여 $z$ 의 변화량을 구하세요. (b) 점 $(1, 3, 1)$ 에서 이 곡면의 접평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

A surface $z = f (x, y)$ has derivatives $\frac{\partial f}{\partial x}=3$ and $\frac{\partial f}{\partial y}=-2$ at $(x, y, z) = (1, 3, 1)$ .

(a) If $x$ increases from $1$ to $1.2$ , and $y$ decreases from $3$ to $2.6$ , find the change in $z$ using a linear approximation. (b) Find the equation of the tangent plane to the surface at the point $(1, 3, 1)$ .

정답·풀이 보기

(a) $(1,3)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

따라서 $z$ 의 변화량은 대략 다음과 같다.

$\begin{aligned} 3(1.2-1) -2(2.6-3) = 1.4 \end{aligned}$

(b) 접평면의 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} z = f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

또는

$3x-2y-z = -4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The linear approximation to $f(x,y)$ at $(1,3)$ is

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

So the change is $z$ is approximately

$\begin{aligned} 3(1.2-1) -2(2.6-3) = 1.4 \end{aligned}$

(b) The equation of the tangent plane is

$\begin{aligned} z = f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

or

$3x-2y-z = -4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 23번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

663.CLP-3 · 2.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

판데르발스 방정식에 따르면 기체는 다음 방정식을 만족시킨다.

$(pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 ,$

여기서 $p$ , $V$ , $T$ 는 각각 압력, 부피, 온도를 나타낸다. 이 기체가 현재 압력 $1$ , 부피 $2$ , 온도 $5$ 인 상태라고 하자. $p$ 가 $0.2$ 만큼, $T$ 가 $0.3$ 만큼 증가할 때 부피의 변화량을 어림하세요.

영어 원문 보기

According to van der Waal's equation, a gas satisfies the equation

$(pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 ,$

where $p$ , $V$ and $T$ denote pressure, volume and temperature respectively. Suppose the gas is now at pressure $1$ , volume $2$ and temperature $5$ . Find the approximate change in its volume if $p$ is increased by $0.2$ and $T$ is increased by $0.3$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

부피를 압력과 온도의 함수 $V(p,T)$ 로 생각하자. 이 함수는 (적어도 $p\approx 1$ , $T\approx 5$ , $V\approx 2$ 일 때) 다음 방정식에 의해 음함수로 결정된다.

$\big(pV(p,T)^2 + 16\big)\big(V(p,T) - 1\big) = T V(p,T)^2 \tag{$*$}$

$V$ 의 변화량을 어림하기 위해 $p=1$ , $T=5$ 에서 $V(p,T)$ 의 선형 근사를 이용한다. 그러려면 편도함수 $V_p(1,5)$ 와 $V_T(1,5)$ 가 필요하다. 방정식 $(*)$ 는 $1$ 에 가까운 모든 $p$ 와 $5$ 에 가까운 모든 $T$ 에 대해 성립하므로, $(*)$ 의 양변을 $p$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &\big(V^2 +2 pV V_p\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_p = 2T V V_p \end{aligned}$

이고, $(*)$ 의 양변을 $T$ 에 대해서도 미분하면

$\begin{aligned} &\big(2 pV V_T\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_T = V^2 + 2T V V_T \end{aligned}$

이다. 특히 $p=1$ , $V=2$ , $T=5$ 일 때

$\begin{aligned} \big(4 +4 V_p(1,5)\big)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_p(1,5) &= 20 V_p(1,5) &\quad\implies V_p(1,5)&=-1 \\ 4 V_T(1,5)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_T(1,5) &= 4 + 20 V_T(1,5) &\quad\implies V_T(1,5)&=1 \end{aligned}$

이므로 $V$ 의 변화량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} V(1.2\,,\,5.3)-V(1,5) \approx V_p(1,5)\,(0.2) + V_T(1,5)\,(0.3) = -0.2+0.3 = 0.1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Think of the volume as being the function $V(p,T)$ of pressure and temperature that is determined implicitly (at least for $p\approx 1$ , $T\approx 5$ and $V\approx 2$ ) by the equation

$\big(pV(p,T)^2 + 16\big)\big(V(p,T) - 1\big) = T V(p,T)^2 \tag{$*$}$

To determine the approximate change in $V$ , we will use the linear approximation to $V(p,T)$ at $p=1$ , $T=5$ . So we will need the partial derivatives $V_p(1,5)$ and $V_T(1,5)$ . As the equation $(*)$ is valid for all $p$ near $1$ and $T$ near 5, we may differentiate $(*)$ with respect to $p$ , giving

$\begin{aligned} &\big(V^2 +2 pV V_p\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_p = 2T V V_p \end{aligned}$

and we may also differentiate $(*)$ with respect to $T$ , giving

$\begin{aligned} &\big(2 pV V_T\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_T = V^2 + 2T V V_T \end{aligned}$

In particular, when $p=1$ , $V=2$ , $T=5$ ,

$\begin{aligned} \big(4 +4 V_p(1,5)\big)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_p(1,5) &= 20 V_p(1,5) &\quad\implies V_p(1,5)&=-1 \\ 4 V_T(1,5)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_T(1,5) &= 4 + 20 V_T(1,5) &\quad\implies V_T(1,5)&=1 \end{aligned}$

so that the change in $V$ is

$\begin{aligned} V(1.2\,,\,5.3)-V(1,5) \approx V_p(1,5)\,(0.2) + V_T(1,5)\,(0.3) = -0.2+0.3 = 0.1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 24번

# 접평면과 선형근사활용도전자동 분류

664.CLP-3 · 2.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ 을 생각하자.

(a) $(x, y) = (2, 1)$ 인 점에서 그래프 $z = f (x,y)$ 에 접하는 접평면의 방정식을 구하세요. (b) (a)에서 구한 접평면을 이용하여 $f(1.99, 1.01)$ 의 값에 대한 접평면 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the function $f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ .

(a) Find the equation of the tangent plane to the graph $z = f (x,y)$ at the point where $(x, y) = (2, 1)$ . (b) Find the tangent plane approximation to the value of $f(1.99, 1.01)$ using the tangent plane from part (a).

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

다음이 성립하므로

$\begin{aligned} f_x(2,1) & = -2x e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = -4 \\ f_y(2,1) & = \phantom{-}8y e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = 8 \end{aligned}$

$z=f(x,y)$ 의 $(2,1)$ 에서의 접평면은 다음과 같다.

$\begin{aligned} z &= f(2,1) +f_x(2,1)\,(x-2) +f_y(2,1)\,(y-1) = 1 -4 (x-2) +8(y-1) \\ &= 1-4x +8y \end{aligned}$

그리고 $f(1.99, 1.01)$ 의 값에 대한 접평면 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(1.99, 1.01) \approx 1 -4 (1.99-2) +8(1.01-1) = 1.12 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} f_x(2,1) & = -2x e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = -4 \\ f_y(2,1) & = \phantom{-}8y e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = 8 \end{aligned}$

The tangent plane to $z=f(x,y)$ at $(2,1)$ is

$\begin{aligned} z &= f(2,1) +f_x(2,1)\,(x-2) +f_y(2,1)\,(y-1) = 1 -4 (x-2) +8(y-1) \\ &= 1-4x +8y \end{aligned}$

and the tangent plane approximation to the value of $f(1.99, 1.01)$ is

$\begin{aligned} f(1.99, 1.01) \approx 1 -4 (1.99-2) +8(1.01-1) = 1.12 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 25번

# 접평면과 선형근사그래프·표 해석도전자동 분류

665.CLP-3 · 2.6절 · 25번대학 수준우리말 번역

$z = f (x, y) = \ln(4x^2 + y^2)$ 라 하자.

(a) 점 $(0, 1)$ 에서 함수 $z = f (x, y)$ 의 선형 근사를 이용하여 $f(0.1, 1.2)$ 의 값을 어림하세요. (b) 점 $P$ 에서 $z = f (x, y)$ 의 그래프에 접하는 접평면이 평면 $2x + 2y - z = 3$ 과 평행하도록 하는, $z = f(x, y)$ 의 그래프 위의 점 $P (a, b, c)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $z = f (x, y) = \ln(4x^2 + y^2)$ .

(a) Use a linear approximation of the function $z = f (x, y)$ at $(0, 1)$ to estimate $f(0.1, 1.2)$ . (b) Find a point $P (a, b, c)$ on the graph of $z = f(x, y)$ such that the tangent plane to the graph of $z = f (x, y)$ at the point $P$ is parallel to the plane $2x + 2y - z = 3$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 점 $(a,b)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b) \\ &= \ln(4a^2 + b^2) + \frac{8a}{4a^2+b^2}\, (x-a) + \frac{2b}{4a^2+b^2}\, (y-b) \end{aligned}$

특히 $a=0$ , $b=1$ 일 때

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx 2\, (y-1) \end{aligned}$

이고, $x=0.1$ , $y=1.2$ 일 때

$\begin{aligned} f(0.1,1.2) &\approx 0.4 \end{aligned}$

이다.

(b) 점 $(a,b,c)$ 가 곡면 $z=f(x,y)$ 위에 있을 필요충분조건은

$c = f(a,b) = \ln(4a^2 + b^2)$

이다. 이에 따라 $4a^2 + b^2$ 은 0이 아니어야 한다. 점 $(a,b,c)$ 에서 곡면 $z = f (x, y)$ 의 접평면이 평면 $2x + 2y - z = 3$ 과 평행할 필요충분조건은 $\left< 2\,,\,2\,,\,-1\right>$ 이 그 접평면의 법선 벡터인 것이다. 즉, 0이 아닌 수 $t$ 가 존재하여

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,-1\right> =t\left< f_x(a,b)\,,\,f_y(a,b)\,,\ -1\right> =t\left< \frac{8a}{4a^2+b^2} \,,\, \frac{2b}{4a^2+b^2} \,,\,-1\right> \end{aligned}$

이다. $z$ 좌표가 같으려면 $t$ 는 $1$ 이어야 한다. 그러면 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 같아야 하므로

$\begin{aligned} \frac{8a}{4a^2+b^2} &= 2 \\ \frac{2b}{4a^2+b^2} &= 2 \end{aligned}$

이어야 한다. 이 방정식들로부터 $a$ 와 $b$ 는 모두 0이 아니다. 두 방정식을 서로 나누면 $\frac{8a}{2b}=1$ 이므로 $b=4a$ 이다. $b=4a$ 를 두 방정식 중 어느 하나에 대입하면

$\begin{aligned} \frac{8a}{20a^2}=2 \implies a=\frac{1}{5} \end{aligned}$

이다. 따라서 $a=\frac{1}{5}$ , $b=\frac{4}{5}$ 이고

$\begin{aligned} c=\ln\left(\frac{4}{5^2}+\frac{4^2}{5^2}\right) =\ln\frac{4}{5} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The linear approximation to $f(x,y)$ at $(a,b)$ is

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b) \\ &= \ln(4a^2 + b^2) + \frac{8a}{4a^2+b^2}\, (x-a) + \frac{2b}{4a^2+b^2}\, (y-b) \end{aligned}$

In particular, for $a=0$ and $b=1$ ,

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx 2\, (y-1) \end{aligned}$

and, for $x=0.1$ and $y=1.2$ ,

$\begin{aligned} f(0.1,1.2) &\approx 0.4 \end{aligned}$

(b) The point $(a,b,c)$ is on the surface $z=f(x,y)$ if and only if

$c = f(a,b) = \ln(4a^2 + b^2)$

Note that this forces $4a^2 + b^2$ to be nonzero. The tangent plane to the surface $z = f (x, y)$ at the point $(a,b,c)$ is parallel to the plane $2x + 2y - z = 3$ if and only if $\left< 2\,,\,2\,,\,-1\right>$ is a normal vector for the tangent plane. That is, there is a nonzero number $t$ such that

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,-1\right> =t\left< f_x(a,b)\,,\,f_y(a,b)\,,\ -1\right> =t\left< \frac{8a}{4a^2+b^2} \,,\, \frac{2b}{4a^2+b^2} \,,\,-1\right> \end{aligned}$

For the $z$ –coordinates to be equal, $t$ must be $1$ . Then, for the $x$ – and $y$ –coordinates to be equal, we need

$\begin{aligned} \frac{8a}{4a^2+b^2} &= 2 \\ \frac{2b}{4a^2+b^2} &= 2 \end{aligned}$

Note that these equations force both $a$ and $b$ to be nonzero. Dividing these equations gives $\frac{8a}{2b}=1$ and hence $b=4a$ . Substituting $b=4a$ into either of the two equations gives

$\begin{aligned} \frac{8a}{20a^2}=2 \implies a=\frac{1}{5} \end{aligned}$

So $a=\frac{1}{5}$ , $b=\frac{4}{5}$ and

$\begin{aligned} c=\ln\left(\frac{4}{5^2}+\frac{4^2}{5^2}\right) =\ln\frac{4}{5} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 26번

# 접평면과 선형근사그래프·표 해석도전자동 분류

666.CLP-3 · 2.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

(a) 곡면 $x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2$ 위의 점 $P = (1,1,-1)$ 에서의 접평면의 방정식을 구하세요. (b) $x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2$ 에 의해 $z$ 가 음함수로 정의되어 있다고 하자. 점 $P = (1,1,-1)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 의 값을 구하세요. (c) $z$ 를 (ii)에서와 같이 방정식 $x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2$ 으로 정의되는 같은 음함수라고 하자. $x = 0.97$ , $y = 1$ 일 때, $z$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find the equation of the tangent plane to the surface $x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2$ at the point $P = (1,1,-1)$ . (b) Let $z$ be defined implicitly by $x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2$ . Find $\frac{\partial z}{\partial x}$ at the point $P = (1,1,-1)$ . (c) Let $z$ be the same implicit function as in part (ii), defined by the equation $x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2$ . Let $x = 0.97$ , and $y = 1$ . Find the approximate value of $z$ .

정답·풀이 보기

(a) 이 곡면의 방정식은 $G(x,y,z) = x^2 z^3 + y \sin(\pi x) + y^2 =0$ 이다. 따라서 점 $(1,1-1)$ 에서 곡면의 법선 벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(1,1,-1) &= \big[ \big(2x z^3 +\pi y\cos(\pi x)\big)\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big(\sin(\pi x) +2y\big)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3z^2 x^2\,\hat{\mathbf{k}}\big]_{(x,y,z)=(1,1,-1)} \\ &= \big(-2-\pi\big)\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다. 그러므로 접평면의 방정식은

$\begin{aligned} \big(-2-\pi\big)(x-1) + 2(y-1) +3 (z+1) =0\quad\text{또는}\quad -(2+\pi)x +2y +3z = -\pi-3 \end{aligned}$

이다.

(b) 함수 $z(x,y)$ 는 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해

$\begin{aligned} x^2 z(x,y)^3 +y\sin(\pi x) +y^2 = 0 \end{aligned}$

을 만족한다. 이 등식을 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} 2x z(x,y)^3 + 3 x^2 z(x,y)^2 \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + \pi y \cos(\pi x) =0 \end{aligned}$

을 얻는다. $(1,1,-1)$ 에서의 값을 구하면

$\begin{aligned} -2 + 3 \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) -\pi =0 \implies \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{\pi+2}{3} \end{aligned}$

이다.

(c) $(x,y)=(1,1)$ 근방에서 선형 근사를 이용하면

$\begin{aligned} z(x,1) \approx z(1,1) +\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)\ (x-1) \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} z(0.97,1) \approx -1 +\frac{\pi+2}{3}\ (-0.03) = -1 -\frac{\pi+2}{100} = -\frac{\pi+102}{100} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The surface has equation $G(x,y,z) = x^2 z^3 + y \sin(\pi x) + y^2 =0$ . So a normal vector to the surface at $(1,1-1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(1,1,-1) &= \big[ \big(2x z^3 +\pi y\cos(\pi x)\big)\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big(\sin(\pi x) +2y\big)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3z^2 x^2\,\hat{\mathbf{k}}\big]_{(x,y,z)=(1,1,-1)} \\ &= \big(-2-\pi\big)\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

So the equation of the tangent plane is

$\begin{aligned} \big(-2-\pi\big)(x-1) + 2(y-1) +3 (z+1) =0\quad\text{or}\quad -(2+\pi)x +2y +3z = -\pi-3 \end{aligned}$

(b) The functions $z(x,y)$ obeys

$\begin{aligned} x^2 z(x,y)^3 +y\sin(\pi x) +y^2 = 0 \end{aligned}$

for all $x$ and $y$ . Differentiating this equation with respect to $x$ gives

$\begin{aligned} 2x z(x,y)^3 + 3 x^2 z(x,y)^2 \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + \pi y \cos(\pi x) =0 \end{aligned}$

Evaluating at $(1,1,-1)$ gives

$\begin{aligned} -2 + 3 \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) -\pi =0 \implies \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{\pi+2}{3} \end{aligned}$

(c) Using the linear approximation about $(x,y)=(1,1)$ ,

$\begin{aligned} z(x,1) \approx z(1,1) +\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)\ (x-1) \end{aligned}$

gives

$\begin{aligned} z(0.97,1) \approx -1 +\frac{\pi+2}{3}\ (-0.03) = -1 -\frac{\pi+2}{100} = -\frac{\pi+102}{100} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 27번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

667.CLP-3 · 2.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^4+y^4+z^4+xyz=17$ 은 점 $(0,1,2)$ 를 지나고, 이 점 근처에서 이 곡면은 $x$ 를 $y$ 와 $z$ 의 함수 $x=F(y,z)$ 로 정한다.

(a) $(x,y,z)=(0,1,2)$ 에서 $F_y$ 와 $F_z$ 를 구하세요. (b) 접평면 근사(선형근사, 1차 근사 또는 미분 근사라고도 한다)를 이용하여, 점 $(x,1.01, 1.98)$ 이 곡면 위에 있도록 하는 $x$ ( $0$ 근처)의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

The surface $x^4+y^4+z^4+xyz=17$ passes through $(0,1,2)$ , and near this point the surface determines $x$ as a function, $x=F(y,z)$ , of $y$ and $z$ .

(a) Find $F_y$ and $F_z$ at $(x,y,z)=(0,1,2)$ . (b) Use the tangent plane approximation (also known as linear, first order or differential approximation) to find the approximate value of $x$ (near $0$ ) such that $(x,1.01, 1.98)$ lies on the surface.

정답·풀이 보기

(a) $y=1$ , $z=2$ 근처의 모든 $y$ 와 $z$ 에 대해 함수 $F(y,z)$ 는 $F(y,z)^4+y^4+z^4+F(y,z)yz=17$ 을 만족한다. 이 등식에 $\frac{\partial }{\partial y}$ 와 $\frac{\partial }{\partial z}$ 를 각각 적용하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} 4F(y,z)^3F_y(y,z)+4y^3+F_y(y,z)yz +F(y,z)z&=0 \\ 4F(y,z)^3F_z(y,z)+4z^3+F_z(y,z)yz +F(y,z)y&=0 \end{aligned}$

$F(1,2)=0$ , $y=1$ , $z=2$ 를 대입하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} 4+2F_y(1,2)&=0 & &\ \implies\ & &F_y(1,2)=-2 \\ 32+2F_z(1,2)&=0 & &\ \implies\ & & F_z(1,2)=-16 \end{aligned}$

(b) $y=1$ , $z=2$ 에서 $x=F(y,z)$ 의 접평면은 다음과 같다.

$x \approx F(1,2) +F_y(1,2)\,(y-1) +F_z(1,2)\,(z-2)$

여기에 $y=1.01$ , $z=1.98$ 을 대입하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} x=F(1.01, 1.98) &\approx F(1,2)+F_y(1,2)(1.01-1)+F_z(1,2)(1.98-2) \\ &=0-2(.01)-16(-0.02) =0.3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $F(y,z)$ obeys $F(y,z)^4+y^4+z^4+F(y,z)yz=17$ for all $y$ and $z$ near $y=1$ , $z=2$ . Applying the derivatives $\frac{\partial }{\partial y}$ and $\frac{\partial }{\partial z}$ to this equation gives

$\begin{aligned} 4F(y,z)^3F_y(y,z)+4y^3+F_y(y,z)yz +F(y,z)z&=0 \\ 4F(y,z)^3F_z(y,z)+4z^3+F_z(y,z)yz +F(y,z)y&=0 \end{aligned}$

Substiututing $F(1,2)=0$ , $y=1$ and $z=2$ gives

$\begin{aligned} 4+2F_y(1,2)&=0 & &\ \implies\ & &F_y(1,2)=-2 \\ 32+2F_z(1,2)&=0 & &\ \implies\ & & F_z(1,2)=-16 \end{aligned}$

(b) Using the tangent plane to $x=F(y,z)$ at $y=1$ and $z=2$ , which is

$x \approx F(1,2) +F_y(1,2)\,(y-1) +F_z(1,2)\,(z-2)$

with $y=1.01$ and $z=1.98$ gives

$\begin{aligned} x=F(1.01, 1.98) &\approx F(1,2)+F_y(1,2)(1.01-1)+F_z(1,2)(1.98-2) \\ &=0-2(.01)-16(-0.02) =0.3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.4절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

668.CLP-3 · 2.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

점 $(0,1,1)$ 에서 $f(x,y,z) = e^{xyz}$ 의 $\left< 0,1,1\right>$ 방향의 방향미분계수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the directional derivative of $f(x,y,z) = e^{xyz}$ in the $\left< 0,1,1\right>$ direction at the point $(0,1,1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

임의의 점 $(x,y,z)$ 에서의 편도함수와 구하려는 점 $(0,1,1)$ 에서의 편미분계수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=yz e^{xyz}\qquad & f_x(0,1,1)&= 1 \\ f_y(x,y,z)&=xz e^{xyz}\qquad & f_y(0,1,1)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&=xy e^{xyz}\qquad & f_z(0,1,1)&= 0 \end{aligned}$

따라서 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>$ 이고, 구하는 방향미분계수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}}}f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>\cdot\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}} =0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The partial derivatives, at a general point $(x,y,z)$ and also at the point of interest $(0,1,1)$ , are

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=yz e^{xyz}\qquad & f_x(0,1,1)&= 1 \\ f_y(x,y,z)&=xz e^{xyz}\qquad & f_y(0,1,1)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&=xy e^{xyz}\qquad & f_z(0,1,1)&= 0 \end{aligned}$

So ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>$ and the specified directional derivative is

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}}}f(0,1,1) =\left< 1,0,0\right>\cdot\frac{\left< 0,1,1\right>}{\sqrt{2}} =0 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 16번

# 방향도함수와 기울기벡터계산기본자동 분류

669.CLP-3 · 2.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

${ \boldsymbol{\nabla} }\big(y^2 + \sin(xy)\big)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find ${ \boldsymbol{\nabla} }\big(y^2 + \sin(xy)\big)$ .

정답·풀이 보기

2차원에서 $g(x,y) = y^2+\sin(xy)$ 라 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g =\left< g_x\,,\,g_y\right> =\left< y\cos(xy)\,,\, 2y + x\cos(xy) \right> \end{aligned}$

3차원에서 $g(x,y,z) = y^2+\sin(xy)$ 라 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g =\left< g_x\,,\,g_y\,,\,g_z\right> =\left< y\cos(xy)\,,\, 2y + x\cos(xy)\,,\, 0 \right> \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In two dimensions, write $g(x,y) = y^2+\sin(xy)$ . Then

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g =\left< g_x\,,\,g_y\right> =\left< y\cos(xy)\,,\, 2y + x\cos(xy) \right> \end{aligned}$

In three dimensions, write $g(x,y,z) = y^2+\sin(xy)$ . Then

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g =\left< g_x\,,\,g_y\,,\,g_z\right> =\left< y\cos(xy)\,,\, 2y + x\cos(xy)\,,\, 0 \right> \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 15번

# 방향도함수와 기울기벡터계산기본자동 분류

670.CLP-3 · 2.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

주어진 점에서 주어진 방향으로 주어진 함수의 변화율을 구하세요.

(a) $f(x,y)=3x-4y$ , 점 $(0,2)$ , 방향 $-2\hat{\boldsymbol{\imath}}$ . (b) $f(x,y,z)=x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}$ , 점 $(2,-3,4)$ , 방향 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}$ .

영어 원문 보기

Find the rate of change of the given function at the given point in the given direction.

(a) $f(x,y)=3x-4y$ at the point $(0,2)$ in the direction $-2\hat{\boldsymbol{\imath}}$ . (b) $f(x,y,z)=x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}$ at $(2,-3,4)$ in the direction $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $f$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< 3,-4\right>$ 이다. 따라서 구하는 변화율은

$\left< 3,-4\right>\cdot\frac{\left< -2,0\right>}{|\left< -2,0\right>|}=-3$

(b) $f$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y,z)=\left< -x^{-2},-y^{-2},-z^{-2}\right>$ 이다. 특히 점 $(2,-3,4)$ 에서 $f$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,-3,4)=\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>$ 이다. 따라서 구하는 변화율은

$\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}= -\frac{61}{144\sqrt{3}}\approx-0.2446$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The gradient of $f$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< 3,-4\right>$ . So the specified rate of change is

$\left< 3,-4\right>\cdot\frac{\left< -2,0\right>}{|\left< -2,0\right>|}=-3$

(b) The gradient of $f$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y,z)=\left< -x^{-2},-y^{-2},-z^{-2}\right>$ . In particular, the gradient of $f$ at the point $(2,-3,4)$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,-3,4)=\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>$ . So the specified rate of change is

$\left< -\frac{1}{4},-\frac{1}{9},-\frac{1}{16}\right>\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}= -\frac{61}{144\sqrt{3}}\approx-0.2446$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 14번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

671.CLP-3 · 2.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

점 $(2,0)$ 에서 함수 $f(x,y)=xy$ 가 주어진 변화율을 갖는 방향을 각각 구하세요.

(a) $-1$ (b) $-2$ (c) $-3$

영어 원문 보기

In what directions at the point $(2,0)$ does the function $f(x,y)=xy$ have the specified rates of change?

(a) $-1$ (b) $-2$ (c) $-3$

정답·풀이 보기

$f(x,y)$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< y,x\right>$ 이다. 특히 점 $(2,0)$ 에서 $f$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0)=\left< 0,2 \right>$ 이다. 따라서 $x$ 축과 이루는 각이 $\theta$ 인 방향, 즉 $\left< \cos\theta,\sin\theta\right>$ 방향으로의 변화율은

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0) =\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot\left< 0, 2\right> =2\sin\theta$

이다.

(a) 변화율 $-1$ 을 얻으려면

$\sin\theta=-\frac{1}{2} \implies \theta=-30^\circ,\ -150^\circ$

이어야 한다. 따라서 구하는 방향은

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left<\pm\frac{\sqrt{3}}{2} ,-\frac{1}{2} \right>$

이다.

(b) 변화율 $-2$ 를 얻으려면

$\sin\theta=-1 \implies \theta=-90^\circ$

이어야 한다. 따라서 구하는 방향은

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left< 0 ,-1 \right>$

이다.

(c) 변화율 $-3$ 을 얻으려면

$\sin\theta=-\frac{3}{2}$

이어야 한다.

모든 $\theta$ 에 대해 $-1\le\sin\theta\le 1$ 이므로 이를 만족하는 $\theta$ 는 없다. 따라서 알맞은 방향이 없다!

원본 교재 풀이(영어)

The gradient of $f(x,y)$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y)=\left< y,x\right>$ . In particular, the gradient of $f$ at the point $(2,0)$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0)=\left< 0,2 \right>$ . So the rate of change in the direction that makes angle $\theta$ with respect to the $x$ -axis, that is, in the direction $\left< \cos\theta,\sin\theta\right>$ is

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,0) =\left< \cos\theta,\sin\theta\right> \cdot\left< 0, 2\right> =2\sin\theta$

(a) To get a rate $-1$ , we need

$\sin\theta=-\frac{1}{2} \implies \theta=-30^\circ,\ -150^\circ$

So the desired directions are

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left<\pm\frac{\sqrt{3}}{2} ,-\frac{1}{2} \right>$

(b) To get a rate $-2$ , we need

$\sin\theta=-1 \implies \theta=-90^\circ$

So the desired direction is

$\left< \cos\theta,\sin\theta\right> =\left< 0 ,-1 \right>$

(c) To get a rate $-3$ , we need

$\sin\theta=-\frac{3}{2}$

No $\theta$ obeys this, since $-1\le\sin\theta\le 1$ for all $\theta$ . So no direction works!

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 4번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

672.CLP-3 · 2.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

방향미분계수가 다음과 같을 때 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)$ 를 구하세요.

$D_{(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})/\sqrt{2}}f(a,b)=3\sqrt{2}\qquad D_{(3\hat{\boldsymbol{\imath}}-4\hat{\boldsymbol{\jmath}})/5}f(a,b)=5$

영어 원문 보기

Find ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)$ given the directional derivatives

$D_{(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})/\sqrt{2}}f(a,b)=3\sqrt{2}\qquad D_{(3\hat{\boldsymbol{\imath}}-4\hat{\boldsymbol{\jmath}})/5}f(a,b)=5$

정답·풀이 보기

${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< \alpha ,\beta \right>$ 라 하자. 주어진 조건에서

$\begin{aligned} \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right>&=3\sqrt{2} & &\quad\text{또는}\quad & \alpha +\beta &=6\\ \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right>&=5 & &\quad\text{또는}\quad & 3\alpha -4\beta &=25 \end{aligned}$

이다. 첫째 식의 4배를 둘째 식에 더하면 $7\alpha =49$ 이다. $\alpha =7$ 을 첫째 식에 대입하면 $\beta =-1$ 이다. 따라서 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< 7,-1\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< \alpha ,\beta \right>$ . We are told that

$\begin{aligned} \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right>&=3\sqrt{2} & &\quad\text{or}\quad & \alpha +\beta &=6\\ \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right>&=5 & &\quad\text{or}\quad & 3\alpha -4\beta &=25 \end{aligned}$

Adding 4 times the first equation to the second equation gives $7\alpha =49$ . Substituting $\alpha =7$ into the first equation gives $\beta =-1$ . So ${ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< 7,-1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 4번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

673.CLP-3 · 2.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

당신은 지표면이 매끄러운 곳에 서 있습니다. 남쪽 방향의 기울기는 $4$ 이고 남동쪽 방향의 기울기는 $\sqrt{2}$ 입니다. 동쪽 방향의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

You are standing at a location where the surface of the earth is smooth. The slope in the southern direction is $4$ and the slope in the south–eastern direction is $\sqrt{2}$ . Find the slope in the eastern direction.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

양의 $y$ 축이 북쪽, 양의 $x$ 축이 동쪽을 향하고 현재 위치가 $x=y=0$ 인 좌표계를 사용한다. $(x,y)$ 에서 지표면의 고도를 $z(x,y)$ 라 하자. 주어진 조건에서

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}}) &= 4 \\ { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}\right) &= \sqrt{2} \end{aligned}$

이다. 첫째 식에서 $z_y(0,0)=-4$ 이고 둘째 식에서

$\begin{aligned} \frac{z_x(0,0)-z_y(0,0)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \implies z_x(0,0)=z_y(0,0)+2 = -2 \end{aligned}$

이다. 따라서 동쪽 방향의 기울기는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}} = z_x(0,0) = -2 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Use a coordinate system with the positive $y$ –axis pointing north, with the positive $x$ –axis pointing east and with our current location being $x=y=0$ . Denote by $z(x,y)$ the elevation of the earth's surface at $(x,y)$ . We are told that

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}}) &= 4 \\ { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}\right) &= \sqrt{2} \end{aligned}$

The first equation implies that $z_y(0,0)=-4$ and the second equation implies that

$\begin{aligned} \frac{z_x(0,0)-z_y(0,0)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \implies z_x(0,0)=z_y(0,0)+2 = -2 \end{aligned}$

So the slope in the eastern direction is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}} = z_x(0,0) = -2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 5번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

674.CLP-3 · 2.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

$w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서의 방향미분계수가 벡터 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 의 방향으로 최대이고, 그 방향으로의 방향미분계수의 값이 $3\sqrt{6}$ 이라고 가정하자.

(a) $w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서의 기울기 벡터를 구하세요. (b) $w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 방향으로의 방향미분계수를 구하세요.

영어 원문 보기

Assume that the directional derivative of $w = f(x,y,z)$ at a point $P$ is a maximum in the direction of the vector $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , and the value of the directional derivative in that direction is $3\sqrt{6}$ .

(a) Find the gradient vector of $w = f(x,y,z)$ at $P$ . (b) Find the directional derivative of $w = f(x,y,z)$ at $P$ in the direction of the vector $\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}}$

정답·풀이 보기

(a) ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ 로 $f$ 의 점 $P$ 에서의 기울기 벡터를 나타내자. 주어진 조건은 다음과 같다.

$f$ 의 점 $P$ 에서의 방향미분계수가 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 의 방향으로 최대이므로, ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ 는 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 와 평행하다.
그 방향으로의 방향미분계수의 크기가 $3\sqrt{6}$ 이므로, $|{ \boldsymbol{\nabla} } f(P)|=3\sqrt{6}$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(P) = 3\sqrt{6} \frac{2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}}{|2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}|} = 6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

(b) $f$ 의 점 $P$ 에서 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 방향으로의 방향미분계수는

${ \boldsymbol{\nabla} } f(P) \cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{|\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}}\big)\cdot\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big) =\frac{3}{\sqrt{2}}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Use ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ to denote the gradient vector of $f$ at $P$ . We are told that

directional derivative of $f$ at $P$ is a maximum in the direction $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , which implies that ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ is parallel to $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , and
the magnitude of the directional derivative in that direction is $3\sqrt{6}$ , which implies that $|{ \boldsymbol{\nabla} } f(P)|=3\sqrt{6}$ .

So

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(P) = 3\sqrt{6} \frac{2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}}{|2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}|} = 6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) The directional derivative of $f$ at $P$ in the direction $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ is

${ \boldsymbol{\nabla} } f(P) \cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{|\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}}\big)\cdot\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big) =\frac{3}{\sqrt{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 6번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

675.CLP-3 · 2.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

한 등산객이 산을 걷고 있으며, $z = 0$ 평면으로부터 산의 높이는 다음과 같이 주어진다.

$z = f(x,y) = 6 - xy^2$

양의 $x$ 축은 동쪽을, 양의 $y$ 축은 북쪽을 가리키고, 등산객은 점 $P(2, 1, 4)$ 에서 출발한다.

(a) 가장 가파른 길을 따라 올라가려면 등산객은 $P$ 에서 어느 방향으로 나아가야 하는지 구하세요. 그 길의 기울기는 얼마인지 구하세요. (b) $P$ 에서 북쪽으로 걸으면 등산객은 오르기 시작하는지 내려가기 시작하는지 판단하세요. 기울기는 얼마인지 구하세요. (c) 같은 높이를 유지하려면 등산객은 $P$ 에서 어느 방향으로 걸어야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A hiker is walking on a mountain with height above the $z = 0$ plane given by

$z = f(x,y) = 6 - xy^2$

The positive $x$ –axis points east and the positive $y$ –axis points north, and the hiker starts from the point $P(2, 1, 4)$ .

(a) In what direction should the hiker proceed from $P$ to ascend along the steepest path? What is the slope of the path? (b) Walking north from $P$ , will the hiker start to ascend or descend? What is the slope? (c) In what direction should the hiker walk from $P$ to remain at the same height?

정답·풀이 보기

(a) $(x,y)=(2,1)$ 에서 $f$ 의 그래디언트는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1) = \left< -y^2\,,\,-2xy \right>\Big|_{(x,y)=(2,1)} = \left< -1\,,\, -4\right> \end{aligned}$

이므로 가장 가파르게 올라가는 길의 방향은 $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1\,,\, 4\right>$ 이며, 이는 남쪽에서 약간 서쪽으로 치우친 방향이다. 기울기는

$|{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)| = |\left< -1\,,\, -4\right>| = \sqrt{17}$

이다.

(b) 북쪽 방향의 방향미분계수는

$D_{\left< 0,1\right>}f(2,1) = { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)\cdot\left< 0,1\right> = \left< -1\,,\, -4\right> \cdot \left< 0,1\right> = -4$

이므로 등산객은 기울기 $|-4|=4$ 로 내려간다.

(c) 등고선을 따라 걷는, 즉 같은 높이를 유지하려면 등산객은 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)= \left< -1\,,\, -4\right>$ 에 수직인 방향으로 걸어야 한다. $\left< -1\,,\, -4\right>$ 에 수직인 두 단위벡터는 $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4, -1\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The gradient of $f$ at $(x,y)=(2,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1) = \left< -y^2\,,\,-2xy \right>\Big|_{(x,y)=(2,1)} = \left< -1\,,\, -4\right> \end{aligned}$

So the path of steepest ascent is in the direction $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1\,,\, 4\right>$ , which is a little west of south. The slope is

$|{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)| = |\left< -1\,,\, -4\right>| = \sqrt{17}$

(b) The directional derivative in the north direction is

$D_{\left< 0,1\right>}f(2,1) = { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)\cdot\left< 0,1\right> = \left< -1\,,\, -4\right> \cdot \left< 0,1\right> = -4$

So the hiker descends with slope $|-4|=4$ .

(c) To contour, i.e. remain at the same height, the hiker should walk in a direction perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)= \left< -1\,,\, -4\right>$ . Two unit vectors perpendicular to $\left< -1\,,\, -4\right>$ are $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4, -1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 10번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

676.CLP-3 · 2.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

두 등산객이 높이가 $\ z=1000-2x^2-3y^2$ 인 (작은) 산을 오르고 있다. 이들은 $\ (1,1,995)\$ 에서 출발하여 가장 가파른 오르막 경로를 따라간다. 이들의 $(x,y)$ 좌표는 어떤 상수 $a, b$ 에 대해 $\ y=ax^b\$ 를 만족한다. $a$ 와 $b$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Two hikers are climbing a (small) mountain whose height is $\ z=1000-2x^2-3y^2.$ They start at $\ (1,1,995)\$ and follow the path of steepest ascent. Their $(x,y)$ coordinates obey $\ y=ax^b\$ for some constants $a, b$ . Determine $a$ and $b$ .

정답·풀이 보기

$h(x,y)=1000-2x^2-3y^2$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)=(-4x,-6y)$ 이다. 이 기울기벡터(가장 가파르게 오르는 방향을 가리킨다)는 $y=ax^b$ 위의 모든 점에서 $y=ax^b$ 의 접선과 평행해야 한다. $y=ax^b$ 의 접선은 $\left< 1,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right> =\left< 1, abx^{b-1}\right>$ 이다.

$\left< -4x,-6y\right> \parallel \left< 1, abx^{b-1}\right> \implies \frac{abx^{b-1}}{1}=\frac{-6y}{-4x} \implies \frac{3}{2}y=abx^b$

이것이 $y=ax^b$ 위의 모든 점에서 성립하는 것은 $b=\frac{3}{2}$ 일 때, 그리고 그때에 한한다. $(1,1)$ 도 $y=ax^b$ 위에 있어야 하므로 $1=a1^b$ 이어야 하고, 따라서 $a=1$ , $b=\frac{3}{2}$ 이다. 다음은 등산로를 나타낸 등고선 지도이다.

원본 교재 풀이(영어)

The gradient of $h(x,y)=1000-2x^2-3y^2$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)=(-4x,-6y)$ . This gradient (which points in the direction of steepest ascent) must be parallel to the tangent to $y=ax^b$ at all points on $y=ax^b$ . A tangent to $y=ax^b$ is $\left< 1,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right> =\left< 1, abx^{b-1}\right>$ .

$\left< -4x,-6y\right> \parallel \left< 1, abx^{b-1}\right> \implies \frac{abx^{b-1}}{1}=\frac{-6y}{-4x} \implies \frac{3}{2}y=abx^b$

This is true at all points on $y=ax^b$ if and only if $b=\frac{3}{2}$ . As $(1,1)$ must also be on $y=ax^b$ , we need $1=a1^b$ , which forces $a=1$ , $b=\frac{3}{2}$ . Here is a contour map showing the hiking trail.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 8번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

677.CLP-3 · 2.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

모기 한 마리가 $\mathbb{R}^3$ 의 점 $(3, 2, 1)$ 에 있다. 모기는 그 근처의 온도 $T$ 가 $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ 으로 주어진다는 것을 알고 있다.

(a) 모기는 같은 온도를 유지하고 싶지만, 어떤 처음 방향으로든 날아가야 한다. 온도의 처음 변화율이 $0$ 이 되는 방향을 하나 구하세요. (b) 여러분과 다른 학생이 (a)에서 모두 옳은 답을 구했다면, 두 사람이 제시한 방향은 반드시 같아야 하나요? 그 이유를 설명하세요. (c) 모기가 가능한 한 빨리 시원해지고 싶다면, 어떤 처음 방향 또는 방향들이 알맞은지 구하세요.

영어 원문 보기

A mosquito is at the location $(3, 2, 1)$ in $\mathbb{R}^3$ . She knows that the temperature $T$ near there is given by $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ .

(a) She wishes to stay at the same temperature, but must fly in some initial direction. Find a direction in which the initial rate of change of the temperature is $0$ . (b) If you and another student both get correct answers in part (a), must the directions you give be the same? Why or why not? (c) What initial direction or directions would suit the mosquito if she wanted to cool down as fast as possible?

정답·풀이 보기

(a) $(3,2,1)$ 에서의 온도의 기울기벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

이다.

모기는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ 에 수직인 방향으로 날아가야 한다. 즉, 다음을 만족하는 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 날아가야 한다.

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

$12a+4b-2c=0$ 을 만족하는 0이 아닌 임의의 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 는 허용되는 방향이다. 허용되는 단위벡터 네 개는 $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ 와 $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ 이다.

(b) 아니요, 같을 필요는 없다. (a)에서 서로 다른 네 개의 구체적인 방향이 주어졌다.

(c) 가능한 한 빨리 시원해지려면, 모기는 온도의 기울기벡터와 반대 방향으로 움직여야 한다. 그 방향의 단위벡터는 $-\frac{\left< 6\,,\,2\,,\,-1\right>}{\sqrt{41}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The temperature gradient at $(3,2,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

She wishes to fly in a direction that is perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ . That is, she wishes to fly in a direction $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ that obeys

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

Any nonzero $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ that obeys $12a+4b-2c=0$ is an allowed direction. Four allowed unit vectors are $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ and $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ .

(b) No they need not be the same. Four different explicit directions were given in part (a).

(c) To cool down as quickly as possible, she should move in the direction opposite to the temperature gradient. A unit vector in that direction is $-\frac{\left< 6\,,\,2\,,\,-1\right>}{\sqrt{41}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 11번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인보통자동 분류

678.CLP-3 · 2.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

위치 $(x,y,z)$ 에서의 기온 $T(x,y,z)$ 는 다음과 같이 주어진다.

$T(x,y,z) = 1 + x^2 + yz.$

(a) 새 한 마리가 $(2,1,3)$ 을 지나 $(4,3,4)$ 를 향해 속력 $2$ 로 날아가고 있다. 이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율을 구하세요. (b) 만약 새가 $(2,1,3)$ 을 지날 때 고도를 일정하게( $z = 3$ ) 유지하면서 동시에 기온도 $T = 8$ 로 일정하게 유지한다면, 새가 진행할 수 있는 두 방향은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

The air temperature $T(x,y,z)$ at a location $(x,y,z)$ is given by:

$T(x,y,z) = 1 + x^2 + yz.$

(a) A bird passes through $(2,1,3)$ travelling towards $(4,3,4)$ with speed $2$ . At what rate does the air temperature it experiences change at this instant? (b) If instead the bird maintains constant altitude ( $z = 3$ ) as it passes through $(2,1,3)$ while also keeping at a fixed air temperature, $T = 8$ , what are its two possible directions of travel?

정답·풀이 보기

$(2,1,3)$ 에서의 기온의 기울기 벡터(그레이디언트)는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) = \left< 2x\,,\,z\,,\,y \right>\Big|_{(x,y,z)=(2,1,3)} = \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \end{aligned}$

이다.

(a) 새는 방향 $\left< 4-2\,,\,3-1\,,\,4-3 \right> =\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ 으로 속력 $2$ 로 날아가므로 속도는 $\mathbf{v}=2\frac{\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>}{|\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>|} =\frac{2}{3} \left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ 이다. 이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) \cdot\mathbf{v} =\frac{2}{3} \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \cdot \left< 2\,,\,2\,,\,1\right> = 10 \end{aligned}$

이다.

(b) 고도를 일정하게 유지하려면(정지해 있지 않은 상태에서) 새의 진행 방향은 어떤 상수 $a$ , $b$ (둘 다 0은 아님)에 대해 $\left< a\,,\,b\,,\,0\right>$ 꼴이어야 한다. 기온을 일정하게 유지하려면 진행 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3)= \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right>$ 에 수직이어야 한다. 따라서 $a$ , $b$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} 0 = \left< a\,,\,b\,,\,0\right> \cdot \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> = 4a+3b \iff b=-\frac{4}{3}a \end{aligned}$

그러므로 진행 방향은 $\left< 3\,,-4\,,0\right>$ 에 0이 아닌 상수를 곱한 꼴이어야 한다. 이러한 단위벡터는 $\pm \frac{1}{5}\left< 3\,,-4\,,0\right>$ 두 개이다.

원본 교재 풀이(영어)

The temperature gradient at $(2,1,3)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) = \left< 2x\,,\,z\,,\,y \right>\Big|_{(x,y,z)=(2,1,3)} = \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \end{aligned}$

(a) The bird is flying in the direction $\left< 4-2\,,\,3-1\,,\,4-3 \right> =\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ at speed $2$ and so has velocity $\mathbf{v}=2\frac{\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>}{|\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>|} =\frac{2}{3} \left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ . The rate of change of air temperature experienced by the bird at that instant is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) \cdot\mathbf{v} =\frac{2}{3} \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \cdot \left< 2\,,\,2\,,\,1\right> = 10 \end{aligned}$

(b) To maintain constant altitude (while not being stationary), the bird's direction of travel has to be of the form $\left< a\,,\,b\,,\,0\right>$ , for some constants $a$ and $b$ , not both zero. To keep the air temperature fixed, its direction of travel has to be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3)= \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right>$ . So $a$ and $b$ have to obey

$\begin{aligned} 0 = \left< a\,,\,b\,,\,0\right> \cdot \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> = 4a+3b \iff b=-\frac{4}{3}a \end{aligned}$

and the direction of travel has to be a nonzero constant times $\left< 3\,,-4\,,0\right>$ . The two such unit vectors are $\pm \frac{1}{5}\left< 3\,,-4\,,0\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 12번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

679.CLP-3 · 2.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

$f(x,y) = 2x^2 + 3xy + y^2$ 을 $x$ 와 $y$ 의 함수라 하자.

(a) 점 $P\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ 에서 $f(x,y)$ 의 최대 변화율을 구하세요. (b) 점 $P\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ 에서 $f(x,y)$ 의 방향미분계수가 $\frac{1}{5}$ 이 되는 방향을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x,y) = 2x^2 + 3xy + y^2$ be a function of $x$ and $y$ .

(a) Find the maximum rate of change of $f(x,y)$ at the point $P\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ . (b) Find the directions in which the directional derivative of $f(x,y)$ at the point $P\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ has the value $\frac{1}{5}$ .

정답·풀이 보기

이 문제의 두 소문제 모두에서 $(x,y)=\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ 에서의 $f(x,y)$ 의 그래디언트가 필요하다. 따라서 먼저 이를 구한다.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=4x+3y\qquad & f_x(1,-4/3)&=0 \\ f_y(x,y)&=3x+2y\qquad & f_y(1,-4/3)&=\frac{1}{3} \end{aligned}$

이므로 ${ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\frac{4}{3}\right) =\left< 0,\frac{1}{3}\right>$ 이다.

(a) $P$ 에서 $f$ 의 최대 변화율은

$\begin{aligned} \left|{ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right)\right| =\left|\left< 0,\tfrac{1}{3}\right>\right| =\tfrac{1}{3} \end{aligned}$

이다.

(b) $\left< a,b\right>$ 가 단위벡터이면, $P$ 에서 $\left< a,b\right>$ 방향으로의 $f$ 의 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\left< a,b\right>}f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right) ={ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right)\cdot \left< a,b\right> =\left< 0,\tfrac{1}{3}\right>\cdot \left< a,b\right> =\tfrac{b}{3} \end{aligned}$

이다.

따라서 $\frac{b}{3}=\frac{1}{5}$ 이어야 하므로 $b=\frac{3}{5}$ 이다. $\left< a,b\right>$ 가 단위벡터가 되려면 다음도 만족해야 한다.

$\begin{aligned} a^2+b^2=1 \iff a^2=1-b^2=1-\frac{3^2}{5^2}=\frac{16}{25} \iff a=\pm\frac{4}{5} \end{aligned}$

따라서 가능한 방향은 $\left< \pm\frac{4}{5}\,,\,\frac{3}{5}\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need, in both parts of this question, the gradient of $f(x,y)$ at $(x,y)=\left(1, -\frac{4}{3}\right)$ . So we find it first.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=4x+3y\qquad & f_x(1,-4/3)&=0 \\ f_y(x,y)&=3x+2y\qquad & f_y(1,-4/3)&=\frac{1}{3} \end{aligned}$

so ${ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\frac{4}{3}\right) =\left< 0,\frac{1}{3}\right>$ .

(a) The maximum rate of change of $f$ at $P$ is

$\begin{aligned} \left|{ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right)\right| =\left|\left< 0,\tfrac{1}{3}\right>\right| =\tfrac{1}{3} \end{aligned}$

(b) If $\left< a,b\right>$ is a unit vector, the directional derivative of $f$ at $P$ in the direction $\left< a,b\right>$ is

$\begin{aligned} D_{\left< a,b\right>}f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right) ={ \boldsymbol{\nabla} } f\left(1, -\tfrac{4}{3}\right)\cdot \left< a,b\right> =\left< 0,\tfrac{1}{3}\right>\cdot \left< a,b\right> =\tfrac{b}{3} \end{aligned}$

So we need $\frac{b}{3}=\frac{1}{5}$ and hence $b=\frac{3}{5}$ . For $\left< a,b\right>$ to be a unit vector, we also need

$\begin{aligned} a^2+b^2=1 \iff a^2=1-b^2=1-\frac{3^2}{5^2}=\frac{16}{25} \iff a=\pm\frac{4}{5} \end{aligned}$

So the allowed directions are $\left< \pm\frac{4}{5}\,,\,\frac{3}{5}\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 13번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

680.CLP-3 · 2.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

$xy$ –평면 위의 한 점에서의 온도 $T(x, y)$ 가 다음과 같이 주어져 있다.

$T(x, y) = ye^{x^2}$

벌레 한 마리가 곡선 $y = x^2$ 을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 $0.01$ m/sec 의 속력으로 움직인다. 이 벌레는 $T(x, y)$ 를 계속 측정한다. 벌레가 점 $(1, 1)$ 을 지날 때 $T$ 의 변화율은 얼마인지 구하여라.

영어 원문 보기

The temperature $T(x, y)$ at a point of the $xy$ –plane is given by

$T(x, y) = ye^{x^2}$

A bug travels from left to right along the curve $y = x^2$ at a speed of $0.01$ m/sec. The bug monitors $T(x, y)$ continuously. What is the rate of change of $T$ as the bug passes through the point $(1, 1)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(1,1)$ 에서 $y=x^2$ 의 기울기는 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2\Big|_{x=1}=2$ 이다. 따라서 벌레가 움직이는 방향의 단위벡터는 $\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}$ 이고, 벌레의 속도 벡터는 $\mathbf{v}=0.01\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}$ 이다.

$(1,1)$ 에서 온도의 그래디언트(기울기 벡터)는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1) = \left< 2xy e^{x^2}\,,\,e^{x^2}\right>\Big|_{(x.y)=(1,1)} =\left< 2e\,,\,e\right> \end{aligned}$

이고, 벌레가 점 $(1, 1)$ 을 지날 때 느끼는 $T$ 의 (단위 시간당) 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot \mathbf{v} =\frac{0.01}{\sqrt{5}} \left< 2e\,,\,e\right>\cdot \left< 1,2\right> =\frac{0.04 e}{\sqrt{5}} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of $y=x^2$ at $(1,1)$ is $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2\Big|_{x=1}=2$ . So a unit vector in the bug's direction of motion is $\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}$ and the bug's velocity vector is $\mathbf{v}=0.01\frac{\left< 1,2\right>}{\sqrt{5}}$ .

The temperature gradient at $(1,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1) = \left< 2xy e^{x^2}\,,\,e^{x^2}\right>\Big|_{(x.y)=(1,1)} =\left< 2e\,,\,e\right> \end{aligned}$

and the rate of change of $T$ (per unit time) that the bug feels as it passes through the point $(1, 1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(1,1)\cdot \mathbf{v} =\frac{0.01}{\sqrt{5}} \left< 2e\,,\,e\right>\cdot \left< 1,2\right> =\frac{0.04 e}{\sqrt{5}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 3번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

다변수 미분 전체 문제