다변수 미분 전체 연습문제

681.CLP-3 · 2.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

함수 $T=F(x,y,z)=3+xy-y^2+z^2-x$ 가 공간의 점 $(x,y,z)$ 에서의 온도를 나타낸다고 하자. 이때 $F(3,2,1)=3$ 이다.

(a) $(3, 2, 1)$ 에서 점 $(0,1,2)$ 방향으로의 $T$ 의 방향미분계수를 구하세요. (b) 점 $(3, 2, 1)$ 에서 온도가 가장 빠르게 감소하는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (c) 곡선 $x=3e^t$ , $y = 2 \cos t$ , $z= \sqrt{1 + t}$ 를 따라 움직일 때, $t = 0$ 에서 $t$ 에 대한 온도의 변화율 $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}$ 를 구하세요. (d) $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ 가 $(3, 2, 1)$ 에서 온도 등위면 $T(x, y, z) = 3$ 에 접하는 벡터라고 하자. $a$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the function $T=F(x,y,z)=3+xy-y^2+z^2-x$ describes the temperature at a point $(x,y,z)$ in space, with $F(3,2,1)=3$ .

(a) Find the directional derivative of $T$ at $(3, 2, 1)$ , in the direction of the point $(0,1,2)$ . (b) At the point $(3, 2, 1)$ , in what direction does the temperature decrease most rapidly? (c) Moving along the curve given by $x=3e^t$ , $y = 2 \cos t$ , $z= \sqrt{1 + t}$ , find $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}$ , the rate of change of temperature with respect to $t$ , at $t = 0$ . (d) Suppose $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ is a vector that is tangent to the temperature level surface $T(x, y, z) = 3$ at $(3, 2, 1)$ . What is $a$ ?

정답·풀이 보기

(a) 이 방향으로의 방향미분계수를 구한다. 방향은 다음과 같다.

$\left< 0-3\,,\,1-2\,,\,2-1\right> = \left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>$

$F$ 의 기울기벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) = \left< y-1\,,\,x-2y\,,\,2z \right> \end{aligned}$

이므로 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|}}F(3,2,1) &={ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)\cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|} \\ &= \left< 2-1\,,\,3-2(2)\,,\,2(1) \right> \cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|} =\left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> \cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{\sqrt{11}}\\ &=0 \end{aligned}$

(b) 온도는 기울기벡터와 반대 방향으로 가장 빠르게 감소한다. 그 방향의 단위벡터는

$\begin{aligned} -\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)}{|{ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)|} = -\frac{\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>}{|\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>|} = \frac{1}{\sqrt{6}}\left< -1\,,\,1\,,\,-2 \right> \end{aligned}$

이다.

(c) 시각 $0$ 에서의 속도 벡터는

$\begin{aligned} \mathbf{v}=\left< x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0)\right> =\left< 3e^t\,,\,-2\sin t\,,\,\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\right>\Big|_{t=0} =\left< 3\,,\,0\,,\,\frac{1}{2}\right> \end{aligned}$

이다. 따라서 $t=0$ 에서 $t$ 에 대한 온도의 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)\cdot \mathbf{v} =\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>\cdot \left< 3\,,\,0\,,\,\frac{1}{2}\right> =4 \end{aligned}$

이다.

(d) $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ 가 $(3, 2, 1)$ 에서 등위면 $F(x, y, z) = 3$ 에 접하려면 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)$ 에 수직이어야 한다. 따라서

$\begin{aligned} 0=\left< 1\,,\,5\,,\,a \right> \cdot \left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right> = -4+2a \end{aligned}$

이므로 $a=2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are to find the directional derivative in the direction

$\left< 0-3\,,\,1-2\,,\,2-1\right> = \left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>$

As the gradient of $F$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) = \left< y-1\,,\,x-2y\,,\,2z \right> \end{aligned}$

the directional derivative is

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|}}F(3,2,1) &={ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)\cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|} \\ &= \left< 2-1\,,\,3-2(2)\,,\,2(1) \right> \cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{|\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>|} =\left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> \cdot \frac{\left< -3\,,\,-1\,,\,1\right>}{\sqrt{11}}\\ &=0 \end{aligned}$

(b) The temperature decreases most rapidly in the direction opposite the gradient. A unit vector in that direction is

$\begin{aligned} -\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)}{|{ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)|} = -\frac{\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>}{|\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>|} = \frac{1}{\sqrt{6}}\left< -1\,,\,1\,,\,-2 \right> \end{aligned}$

(c) The velocity vector at time $0$ is

$\begin{aligned} \mathbf{v}=\left< x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0)\right> =\left< 3e^t\,,\,-2\sin t\,,\,\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\right>\Big|_{t=0} =\left< 3\,,\,0\,,\,\frac{1}{2}\right> \end{aligned}$

So the rate of change of temperature with respect to $t$ at $t=0$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)\cdot \mathbf{v} =\left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right>\cdot \left< 3\,,\,0\,,\,\frac{1}{2}\right> =4 \end{aligned}$

(d) For $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ to be tangent to the level surface $F(x, y, z) = 3$ at $(3, 2, 1)$ , $\hat{\boldsymbol{\imath}}+5\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}$ must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } F(3,2,1)$ . So

$\begin{aligned} 0=\left< 1\,,\,5\,,\,a \right> \cdot \left< 1\,,\,-1\,,\,2 \right> = -4+2a \end{aligned}$

So $a=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 2번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

682.CLP-3 · 2.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

$\begin{aligned} f(x, y, z) &= (2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} \\ g(x, y, z) &= xz + y^2 + yz + z^2 \end{aligned}$

라 하자.

(a) $(0,1,-1)$ 에서 $f$ 와 $g$ 의 그래디언트를 구하세요. (b) $(0,1,-1)$ 에 있는 새가 $f(x, y, z)$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향으로 속력 $6$ 으로 날아간다. 새가 $(0,1,-1)$ 을 지날 때, 새가 보기에 $g(x, y, z)$ 는 얼마나 빠르게 변하는 것으로 보이는지 구하세요. (c) $(0,1,-1)$ 에 있는 박쥐가 $f (x, y, z)$ 와 $g(x, y, z)$ 가 변하지 않는 방향으로, 그러나 $z$ 가 증가하도록 날아간다. 이 방향의 벡터를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Let

$\begin{aligned} f(x, y, z) &= (2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} \\ g(x, y, z) &= xz + y^2 + yz + z^2 \end{aligned}$

(a) Find the gradients of $f$ and $g$ at $(0,1,-1)$ . (b) A bird at $(0,1,-1)$ flies at speed $6$ in the direction in which $f(x, y, z)$ increases most rapidly. As it passes through $(0,1,-1)$ , how quickly does $g(x, y, z)$ appear (to the bird) to be changing? (c) A bat at $(0,1,-1)$ flies in the direction in which $f (x, y, z)$ and $g(x, y, z)$ do not change, but $z$ increases. Find a vector in this direction.

정답·풀이 보기

(a) $f$ 와 $g$ 의 1계 편도함수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&= 2e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2x(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial x}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&= e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2y(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial y}(0,1,-1)&=-e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&= -2z(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial z}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)&= z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial x}(0,1,-1)&=-1 \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)&= 2y+z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial y}(0,1,-1)&= 1 \\ \frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)&= x+y+2z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial z}(0,1,-1)&=-1 \end{aligned}$

따라서 그래디언트는 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>$

(b) 새의 속도는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1)$ 방향의 길이가 $6$ 인 벡터이므로

$\mathbf{v}= 6\frac{\left< 2,-1,2\right>}{|\left< 2,-1,2\right>|} =\left< 4,-2,4\right>$

이다. 새가 보는 $g$ 의 (단위 시간당) 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) \cdot \mathbf{v} =\left< -1,1,-1\right> \cdot \left< 4,-2,4\right> = -10 \end{aligned}$

이다.

(c) 박쥐가 날아가는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>$ 과 ${ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>$ 모두에 수직이어야 한다. 0 이 아닌 상수에

$\begin{aligned} \left< 2,-1,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

을 곱한 벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1)$ 과 ${ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1)$ 모두에 수직이다. 또한 박쥐가 날아가는 방향은 $z$ 성분이 양수이어야 한다. 따라서 (엄밀하게) 양의 상수에 $\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right>$ 을 곱한 벡터이면 어떤 것이든 좋다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The first order partial derivatives of $f$ and $g$ are

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&= 2e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2x(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial x}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&= e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} -2y(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial y}(0,1,-1)&=-e^{-2} \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&= -2z(2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)} &\quad\implies \frac{\partial f}{\partial z}(0,1,-1)&=2e^{-2} \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)&= z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial x}(0,1,-1)&=-1 \\ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)&= 2y+z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial y}(0,1,-1)&= 1 \\ \frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)&= x+y+2z &\quad\implies \frac{\partial g}{\partial z}(0,1,-1)&=-1 \end{aligned}$

so that gradients are

${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>$

(b) The bird's velocity is the vector of length $6$ in the direction of ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1)$ , which is

$\mathbf{v}= 6\frac{\left< 2,-1,2\right>}{|\left< 2,-1,2\right>|} =\left< 4,-2,4\right>$

The rate of change of $g$ (per unit time) seen by the bird is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) \cdot \mathbf{v} =\left< -1,1,-1\right> \cdot \left< 4,-2,4\right> = -10 \end{aligned}$

(c) The direction of flight for the bat has to be perpendicular to both ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1) =e^{-2}\left< 2,-1,2\right>$ and ${ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1) =\left< -1,1,-1\right>$ . Any vector which is a non zero constant times

$\begin{aligned} \left< 2,-1,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right> \end{aligned}$

is perpendicular to both ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,1,-1)$ and ${ \boldsymbol{\nabla} } g(0,1,-1)$ . In addition, the direction of flight for the bat must have a positive $z$ –component. So any vector which is a (strictly) positive constant times $\left< -1 \,,\, 0 \,,\, 1 \right>$ is fine.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 1번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

683.CLP-3 · 2.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

벌 한 마리가 곡면 $3z + x^2 + y^2 = 2$ 와 $z = x^2 - y^2$ 의 교선을 따라 $z$ 가 증가하는 방향으로 날고 있다. 시각 $t = 2$ 에서 벌은 점 $(1, 1, 0)$ 을 속력 $6$ 으로 지난다.

(a) 시각 $t = 2$ 에서 벌의 속도(벡터)를 구하세요. (b) 위치 $(x, y, z)$ , 시각 $t$ 에서의 온도 $T$ 가 $T = xy - 3x+2yt+z$ 로 주어진다. 시각 $t = 2$ 에서 벌이 느끼는 온도의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

A bee is flying along the curve of intersection of the surfaces $3z + x^2 + y^2 = 2$ and $z = x^2 - y^2$ in the direction for which $z$ is increasing. At time $t = 2$ , the bee passes through the point $(1, 1, 0)$ at speed $6$ .

(a) Find the velocity (vector) of the bee at time $t = 2$ . (b) The temperature $T$ at position $(x, y, z)$ at time $t$ is given by $T = xy - 3x+2yt+z$ . Find the rate of change of temperature experienced by the bee at time $t = 2$ .

정답·풀이 보기

(a) $\mathbf{v}$ 로 시각 $t=2$ 에서 벌의 속도 벡터를 나타내자.

벌의 운동 방향은 곡선의 접선 방향이다. 이 접선은 $(1,1,0)$ 에서 $3z + x^2 + y^2 = 2$ 의 법선벡터

$\left< 2x\,,\,2y\,,\,3\right>\Big|_{(x,y,z)=(1,1,0)} = \left< 2\,,\,2\,,\,3\right>$

와 $(1,1,0)$ 에서 $z = x^2 - y^2$ 의 법선벡터

$\left< 2x\,,\,-2y\,,\,-1\right>\Big|_{(x,y,z)=(1,1,0)} = \left< 2\,,\,-2\,,\,-1\right>$

모두에 수직이다.

따라서 $\mathbf{v}$ 는 다음 벡터의 어떤 상수배이다.

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,3\right> \times \left< 2\,,\,-2\,,\,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -1 \end{matrix}\right] =\left< 4 \,,\, 8 \,,\, -8 \right> \end{aligned}$

즉, $\left< 1 \,,\, 2 \,,\, -2 \right>$ 의 어떤 상수배이다.

$\mathbf{v}$ 의 $z$ 성분이 양수여야 하므로, $\mathbf{v}$ 는 $\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right>$ 의 양의 상수배이다.
속력이 $6$ 이어야 하므로 $\mathbf{v}$ 의 길이는 $6$ 이어야 한다.

$|\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right>|=3$ 이므로

$\mathbf{v} = 2\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right> =\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$

(b) 풀이 1: 시각 $t$ 에서 벌의 위치가 $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ 라 하자. 그러면 시각 $t$ 에서 벌이 느끼는 온도는

$\begin{aligned} T\big(x(t),y(t),z(t),t\big) = x(t) y(t) -3x(t) +2y(t) t +z(t) \end{aligned}$

이다. 따라서 시각 $t=2$ 에서 벌이 느끼는 (단위 시간당) 온도의 변화율은

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=x'(2)y(2) + x(2)y'(2) -3x'(2) +2y'(2)2+2y(2) +z'(2) \\ \end{aligned}$

이다. 시각 $t=2$ 에서 벌이 $(1,1,0)$ 에 있고 속도가 $\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$ 임을 이용하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=(-2)(1) + (1)(-4) -3(-2) +2(-4)2+2(1) +4 \\ &=-10 \end{aligned}$

(b) 풀이 2: 시각 $t$ 에서 벌의 위치가 $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ 라 하자. 그러면 시각 $t$ 에서 벌이 느끼는 온도는

$\begin{aligned} T\big(x(t),y(t),z(t),t\big) \end{aligned}$

이다. 연쇄 법칙에 의해, 시각 $t=2$ 에서 벌이 느끼는 (단위 시간당) 온도의 변화율은

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=\bigg[\frac{\partial T}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,x'(t) +\frac{\partial T}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,y'(t) \\& +\frac{\partial T}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,z'(t) +\frac{\partial T}{\partial t}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\bigg]_{t=2} \end{aligned}$

이다. $T = xy - 3x+2yt+z$ 이므로

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=[y(2)-3]x'(2) + [x(2)+2\times 2]y'(2) +z'(2) +2y(2) \end{aligned}$

이다. 마찬가지로 시각 $t=2$ 에서 벌이 $(1,1,0)$ 에 있고 속도가 $\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$ 임을 이용하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=[-2](-2) + [5](-4) +4 +2 \\ &=-10 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let's use $\mathbf{v}$ to denote the bee's velocity vector at time $t=2$ .

The bee's direction of motion is tangent to the curve. That tangent is perpendicular to both the normal vector to $3z + x^2 + y^2 = 2$ at $(1,1,0)$ , which is

$\left< 2x\,,\,2y\,,\,3\right>\Big|_{(x,y,z)=(1,1,0)} = \left< 2\,,\,2\,,\,3\right>$

and the normal vector to $z = x^2 - y^2$ at $(1,1,0)$ , which is

$\left< 2x\,,\,-2y\,,\,-1\right>\Big|_{(x,y,z)=(1,1,0)} = \left< 2\,,\,-2\,,\,-1\right>$

So $\mathbf{v}$ has to be some constant times

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,3\right> \times \left< 2\,,\,-2\,,\,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & -1 \end{matrix}\right] =\left< 4 \,,\, 8 \,,\, -8 \right> \end{aligned}$

or, equivalently, some constant times $\left< 1 \,,\, 2 \,,\, -2 \right>$ .

Since the $z$ –component of $\mathbf{v}$ has to be positive, $\mathbf{v}$ has to be a positive constant times $\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right>$ .
Since the speed has to be $6$ , $\mathbf{v}$ has to have length $6$ .

As $|\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right>|=3$

$\mathbf{v} = 2\left< -1 \,,\, -2 \,,\, 2 \right> =\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$

(b) Solution 1: Suppose that the bee is at $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ at time $t$ . Then the temperature that the bee feels at time $t$ is

$\begin{aligned} T\big(x(t),y(t),z(t),t\big) = x(t) y(t) -3x(t) +2y(t) t +z(t) \end{aligned}$

Then the rate of change of temperature (per unit time) felt by the bee at time $t=2$ is

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=x'(2)y(2) + x(2)y'(2) -3x'(2) +2y'(2)2+2y(2) +z'(2) \\ \end{aligned}$

Recalling that, at time $t=2$ , the bee is at $(1,1,0)$ and has velocity $\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=(-2)(1) + (1)(-4) -3(-2) +2(-4)2+2(1) +4 \\ &=-10 \end{aligned}$

(b) Solution 2: Suppose that the bee is at $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ at time $t$ . Then the temperature that the bee feels at time $t$ is

$\begin{aligned} T\big(x(t),y(t),z(t),t\big) \end{aligned}$

By the chain rule, the rate of change of temperature (per unit time) felt by the bee at time $t=2$ is

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=\bigg[\frac{\partial T}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,x'(t) +\frac{\partial T}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,y'(t) \\& +\frac{\partial T}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\,z'(t) +\frac{\partial T}{\partial t}\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\bigg]_{t=2} \end{aligned}$

Recalling that $T = xy - 3x+2yt+z$ , we have

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=[y(2)-3]x'(2) + [x(2)+2\times 2]y'(2) +z'(2) +2y(2) \end{aligned}$

Also recalling that, at time $t=2$ , the bee is at $(1,1,0)$ and has velocity $\left< -2 \,,\, -4 \,,\, 4 \right>$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T\big(x(t),y(t),z(t),t\big)\Big|_{t=2} &=[-2](-2) + [5](-4) +4 +2 \\ &=-10 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 17번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

684.CLP-3 · 2.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

점 $(x, y, z)$ 에서의 온도가 다음과 같이 주어져 있다. $T(x, y, z) = 5e^{-2x^2-y^2-3z^2}$ , 여기서 $T$ 는 섭씨 온도로, $x$ , $y$ , $z$ 는 미터 단위로 측정한다.

(a) 점 $P(1, 2, -1)$ 에서 점 $(1, 1, 0)$ 을 향하는 방향으로의 온도의 변화율을 구하세요. (b) 온도가 가장 빠르게 감소하는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (c) $P$ 에서 온도의 최대 감소율을 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature at a point $(x, y, z)$ is given by $T(x, y, z) = 5e^{-2x^2-y^2-3z^2}$ , where $T$ is measured in centigrade and $x$ , $y$ , $z$ in meters.

(a) Find the rate of change of temperature at the point $P(1, 2, -1)$ in the direction toward the point $(1, 1, 0)$ . (b) In which direction does the temperature decrease most rapidly? (c) Find the maximum rate of decrease at $P$ .

정답·풀이 보기

(a) $(1, 2, -1)$ 에서 방향 $\left< 1, 1, 0\right> - \left< 1, 2, -1\right> = \left< 0,-1,1 \right>$ 으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율을 구하는 것이다. 이 변화율(단위 거리당)은 방향미분계수

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) ={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z)&= -20 x\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial x}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z)&= -10 y\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial y}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z)&= -30 z\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial z}(1,2,-1)&= 30\, e^{-9} \end{aligned}$

이므로 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) =e^{-9}\left< -20,-20,30\right>\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} =\frac{50}{\sqrt{2}}e^{-9} =25\,\sqrt{2}\,e^{-9} \end{aligned}$

이다.

(b) 최대 감소율의 방향은 $-{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)$ 이다. 이 방향의 단위벡터는 $\frac{\left< 2,2,-3\right>}{\sqrt{17}}$ 이다.

(c) $P$ 에서의 최대 감소율은 $-|{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)|=-10 e^{-9} |\left< -2,-2,3\right>| = -10\sqrt{17} e^{-9}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are to find the rate of change of $T(x,y,z)$ at $(1, 2, -1)$ in the direction $\left< 1, 1, 0\right> - \left< 1, 2, -1\right> = \left< 0,-1,1 \right>$ . That rate of change (per unit distance) is the directional derivative

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) ={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

As

$\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z)&= -20 x\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial x}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z)&= -10 y\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial y}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z)&= -30 z\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial z}(1,2,-1)&= 30\, e^{-9} \end{aligned}$

the directional derivative

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) =e^{-9}\left< -20,-20,30\right>\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} =\frac{50}{\sqrt{2}}e^{-9} =25\,\sqrt{2}\,e^{-9} \end{aligned}$

(b) The direction of maximum rate of decrease is $-{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)$ . A unit vector in that direction is $\frac{\left< 2,2,-3\right>}{\sqrt{17}}$ .

(c) The maximum rate of decrease at $P$ is $-|{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)|=-10 e^{-9} |\left< -2,-2,3\right>| = -10\sqrt{17} e^{-9}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 7번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

685.CLP-3 · 2.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

함수 $w = f(x, y, z)$ 의 점 $P$ 에서의 방향미분계수는 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 의 방향으로 2, 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 방향으로 $-\sqrt{2}$ , 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}$ 의 방향으로 $-\frac{5}{\sqrt{3}}$ 이다. 함수 $w = f(x, y, z)$ 의 점 $P$ 에서 변화율이 최대가 되는 방향을 구하세요. 이때 최대 변화율은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

The directional derivative of a function $w = f(x, y, z)$ at a point $P$ in the direction of the vector $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ is 2, in the direction of the vector $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ is $-\sqrt{2}$ , and in the direction of the vector $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}$ is $-\frac{5}{\sqrt{3}}$ . Find the direction in which the function $w = f(x, y, z)$ has the maximum rate of change at the point $P$ . What is this maximum rate of change?

정답·풀이 보기

함수 $f$ 의 $P$ 에서의 그레이디언트를 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 라 하자. 주어진 조건은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \left< 1\,,\,0\,,\,0\right> &= 2 \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1\,,\,1\,,\,0\right> &= -\sqrt{2} \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1\,,\,1\,,\,1\right> &= -\frac{5}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

간단히 하면

$\begin{aligned} a&=2 \\ a+b&=-2 \\ a+b+c&=-5 \end{aligned}$

이 식들로부터 차례로 $a=2$ , $b=-4$ , $c=-3$ 을 얻는다. 함수 $f$ 는 $P$ 에서 $f$ 의 그레이디언트 방향으로 변화율이 최대이다. 그 방향의 단위벡터는

$\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{|\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>|} =\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{\sqrt{29}}$

이다.

최대 변화율은 그레이디언트의 크기이므로 $\sqrt{29}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote by $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ the gradient of the function $f$ at $P$ . We are told

$\begin{aligned} \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \left< 1\,,\,0\,,\,0\right> &= 2 \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1\,,\,1\,,\,0\right> &= -\sqrt{2} \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1\,,\,1\,,\,1\right> &= -\frac{5}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

Simplifying

$\begin{aligned} a&=2 \\ a+b&=-2 \\ a+b+c&=-5 \end{aligned}$

From these equations we read off, in order, $a=2$ , $b=-4$ and $c=-3$ . The function $f$ has maximum rate of change at $P$ in the direction if the gradient of $f$ . The unit vector in that direction is

$\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{|\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>|} =\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{\sqrt{29}}$

The maximum rate of change is the magnitude of the gradient, which is $\sqrt{29}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 10번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

686.CLP-3 · 2.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x,y)$ 가 원점에서 가장 빠르게 증가하는 방향이 벡터 $\left< 1, 2\right>$ 로 주어진다고 하자. 원점을 지나는 $f(x,y)$ 의 등위곡선에 접하는 단위벡터 $u$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose it is known that the direction of the fastest increase of the function $f(x,y)$ at the origin is given by the vector $\left< 1, 2\right>$ . Find a unit vector $u$ that is tangent to the level curve of $f(x,y)$ that passes through the origin.

정답·풀이 보기

함수 $f(x,y)$ 가 원점에서 가장 빠르게 증가하는 방향이 벡터 $\left< 1, 2\right>$ 로 주어졌다. 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,0)$ 이 $\left< 1, 2\right>$ 와 평행함을 뜻한다. 따라서 $\left< 1, 2\right>$ 는 원점을 지나는 $f(x,y)$ 의 등위곡선에 수직이다(법선벡터이다). 그러므로 $\left< 1, 2\right>$ 와 수직인 $\left< 2, -1\right>$ 은 원점을 지나는 $f(x,y)$ 의 등위곡선에 접한다. $\left< 2, -1\right>$ 과 평행한 단위벡터는 $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\left< 2, -1\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are told that the direction of fastest increase for the function $f(x,y)$ at the origin is given by the vector $\left< 1, 2\right>$ . This implies that ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,0)$ is parallel to $\left< 1, 2\right>$ . This in turn implies that $\left< 1, 2\right>$ is normal to the level curve of $f(x,y)$ that passes through the origin. So $\left< 2, -1\right>$ , being perpendicular to $\left< 1, 2\right>$ , is tangent to the level curve of $f(x,y)$ that passes through the origin. The unit vectors that are parallel to $\left< 2, -1\right>$ are $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\left< 2, -1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 12번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

687.CLP-3 · 2.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

언덕의 모양이 $z = 1000 - 0.02x^2 - 0.01y^2$ 으로 주어져 있다. $x$ –축은 동쪽을, $y$ –축은 북쪽을 향하고, 모든 거리의 단위는 미터(m)라고 하자.

(a) 점 $(0, 100, 900)$ 에서 가장 가파르게 올라가는 방향은 어느 쪽인가요? (답은 나침반의 방위로 나타내세요.) (b) (a)의 방향으로 점 $(0, 100, 900)$ 에서 언덕의 기울기를 구하세요. (c) 이 언덕에서 가장 가파르게 내려가는 방향으로 자전거를 속력 $5$ m/s 로 타고 갈 때, 점 (0, 100, 900) 을 지나는 순간 (시간에 대한) 고도의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

The shape of a hill is given by $z = 1000 - 0.02x^2 - 0.01y^2$ . Assume that the $x$ –axis is pointing East, and the $y$ –axis is pointing North, and all distances are in metres.

(a) What is the direction of the steepest ascent at the point $(0, 100, 900)$ ? (The answer should be in terms of directions of the compass). (b) What is the slope of the hill at the point $(0, 100, 900)$ in the direction from (a)? (c) If you ride a bicycle on this hill in the direction of the steepest descent at $5$ m/s, what is the rate of change of your altitude (with respect to time) as you pass through the point (0, 100, 900)?

정답·풀이 보기

$h(x,y) = 1000 -0.02\,x^2-0.01 y^2$ 으로 놓으면 언덕은 $z=h(x,y)$ 이다.

(a) 점 $(0,100,900)$ 에서 가장 가파르게 올라가는 방향은 $(0,100)$ 에서 $h(x,y)$ 의 증가율이 최대인 방향이다. 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100) = \left< 0\,,\, -0.01(2)(100)\right> = \left< 0\,,\,-2\right>$ 이다. 나침반의 방위로는 남쪽이다.

(b) 그곳에서 언덕의 기울기는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot\left< 0,-1\right> =-\frac{\partial h}{\partial y}(0,100) = 2 \end{aligned}$

(c) 시각 $t$ 에서 자신의 위치를 $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ 라 하고, 시각 $t=0$ 에 $(0,100,900)$ 에 있다고 하자. 그러면 다음을 알 수 있다.

언덕 위에 있으므로 $z(t) = 1000 -0.02\,x(t)^2-0.01 y(t)^2$ 이고, 따라서 $z'(t) = -0.04\,x(t)x'(t)-0.02 y(t)y'(t)$ 이다.
가장 가파르게 내려가는 방향으로 가고 있으므로 $x'(0)=0$ 이고 $y'(0)>0$ 이다.
속력 $5$ 로 움직이므로 $x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2=25$ 이다.

$x(0)$ 와 $y(0)=100$ 이므로 $z'(0)= -0.02(100)y'(0) = -2y'(0)$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} 25 = x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2 =5\ y'(0)^2 &\implies y'(0) = \sqrt{5} \\ &\implies \left< x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0) \right> =\left< 0\,,\, \sqrt{5}\,,\, -2\sqrt{5}\right> \end{aligned}$

이고, 고도의 변화율은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} h\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\Big|_{t=0} &={ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot \left< x'(0)\,,\,y'(0) \right> =\left< 0\,,\,-2\right> \cdot \left< 0\,,\, \sqrt{5}\right> =-2\sqrt{5} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Write $h(x,y) = 1000 -0.02\,x^2-0.01 y^2$ so that the hill is $z=h(x,y)$ .

(a) The direction of steepest ascent at $(0,100,900)$ is the direction of maximum rate of increase of $h(x,y)$ at $(0,100)$ which is ${ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100) = \left< 0\,,\, -0.01(2)(100)\right> = \left< 0\,,\,-2\right>$ . In compass directions that is South.

(b) The slope of the hill there is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot\left< 0,-1\right> =-\frac{\partial h}{\partial y}(0,100) = 2 \end{aligned}$

(c) Denote by $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ your position at time $t$ and suppose that you are at $(0,100,900)$ at time $t=0$ . Then we know

$z(t) = 1000 -0.02\,x(t)^2-0.01 y(t)^2$ , so that $z'(t) = -0.04\,x(t)x'(t)-0.02 y(t)y'(t)$ , since you are on the hill and
$x'(0)=0$ and $y'(0)>0$ since you are going in the direction of steepest descent and
$x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2=25$ since you are moving at speed $5$ .

Since $x(0)$ and $y(0)=100$ , we have $z'(0)= -0.02(100)y'(0) = -2y'(0)$ . So

$\begin{aligned} 25 = x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2 =5\ y'(0)^2 &\implies y'(0) = \sqrt{5} \\ &\implies \left< x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0) \right> =\left< 0\,,\, \sqrt{5}\,,\, -2\sqrt{5}\right> \end{aligned}$

and your rate of change of altitude is

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} h\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\Big|_{t=0} &={ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot \left< x'(0)\,,\,y'(0) \right> =\left< 0\,,\,-2\right> \cdot \left< 0\,,\, \sqrt{5}\right> =-2\sqrt{5} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 28번

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류

688.CLP-3 · 2.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

점 $(x, y, z)$ 에서의 압력 $P$ 와 온도 $T$ 가 다음과 같다고 하자.

$P(x,y,z) = \frac{x^2+2y^2}{1+z^2},\qquad T(x,y,z) = 5 + xy - z^2$

(a) 시각 $t$ 에서 비행기의 위치가

$(x(t), y(t), z(t)) = (2t, t^2 - 1, \cos t)$

일 때, 비행기에서 관측한 시각 $t = 0$ 에서의 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (PT)^2$ 의 값을 구하세요. (b) 점 $(0,-1,1)$ 에 있는 새가 $P$ 와 $T$ 를 모두 일정하게 유지하려면 어느 방향으로 날아야 하는지 구하세요. (가능한 방향 벡터를 하나 쓰세요. 단위벡터일 필요는 없습니다.) (c) 개미가 곡면 $z^3 + zx + y^2 = 2$ 위를 기어가고 있다. 개미가 점 $(0,-1,1)$ 에 있을 때, 온도 $T = 5 + xy - z^2$ 이 가장 크게 증가하려면 어느 방향으로 가야 하는지 구하세요. 답은 벡터 $\left< a, b, c\right>$ 로 쓰세요. 단위벡터일 필요는 없습니다. (개미는 그래디언트 방향으로 기어갈 수 없다는 점에 주의하세요. 그 방향은 곡면에서 벗어나기 때문입니다. 방향 벡터 $\left< a, b, c\right>$ 는 곡면의 접평면 위에 있어야 합니다.)

영어 원문 보기

Let the pressure $P$ and temperature $T$ at a point $(x, y, z)$ be

$P(x,y,z) = \frac{x^2+2y^2}{1+z^2},\qquad T(x,y,z) = 5 + xy - z^2$

(a) If the position of an airplane at time $t$ is

$(x(t), y(t), z(t)) = (2t, t^2 - 1, \cos t)$

find $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (PT)^2$ at time $t = 0$ as observed from the airplane. (b) In which direction should a bird at the point $(0,-1,1)$ fly if it wants to keep both $P$ and $T$ constant. (Give one possible direction vector. It does not need to be a unit vector.) (c) An ant crawls on the surface $z^3 + zx + y^2 = 2$ . When the ant is at the point $(0,-1,1)$ , in which direction should it go for maximum increase of the temperature $T = 5 + xy - z^2$ ? Your answer should be a vector $\left< a, b, c\right>$ , not necessarily of unit length. (Note that the ant cannot crawl in the direction of the gradient because that leads off the surface. The direction vector $\left< a, b, c\right>$ has to be on the tangent plane to the surface.)

정답·풀이 보기

문제 전체를 읽어 보면 다음이 필요함을 알 수 있다.

(a)에서는 $(2t, t^2 - 1, \cos t)\Big|_{t=0} =(0,-1,1)$ 에서의 $PT$ 의 그래디언트
(b)에서는 $(0,-1,1)$ 에서의 $P$ 와 $T$ 의 그래디언트
(c)에서는 $(0,-1,1)$ 에서의 $T$ 의 그래디언트와, $(0,-1,1)$ 에서의 $S=z^3+xz+y^2$ 의 그래디언트(그 점에서 곡면의 법선 벡터를 얻기 위해)

따라서 준비 단계로 이 그래디언트들을 모두 계산하자.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) &= \frac{2x}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{4y}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\frac{(x^2+2y^2)2z}{{(1+z^2)}^2}\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) &= -2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) &= y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -2z\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } S(x,y,z) &= z\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(x+3z^2)\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) &= \hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

$PT$ 의 그래디언트를 구하기 위해 곱의 미분법을 쓰면

${ \boldsymbol{\nabla} }(PT)(x,y,z) =T(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) +P(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z)$

이므로

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1) &=T(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) +P(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=(5+0-1) \big(-2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}}\big) + \frac{0+2}{1+1}\big(-\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}}\big) \\ &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} -8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -6\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(a) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2 = 2(PT)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)$ 이고, 시각 $0$ 에서 비행기의 속도 벡터는

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left< 2t, t^2 - 1, \cos t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2, 2t, -\sin t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2,0,0\right>$

이므로

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2\Big|_{t=0} &= 2\,P(0,-1,1)\,T(0,-1,1)\ { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1)\cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= 2\ \frac{0+2}{1+1}\ (5+0-1)\left< -1,-8,-6\right> \cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= -16 \end{aligned}$

이다.

(b) 방향은 ( $P$ 를 일정하게 유지하려면) ${ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1)$ 에 수직이어야 하고, ( $T$ 를 일정하게 유지하려면) ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 에도 수직이어야 한다. 따라서 0이 아닌 상수에

$\begin{aligned} \pm { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) \times { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\pm \left< 0 \,,\, -2 \,,\, -1\right> \times \left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> =\pm \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}\right] \\ &=\pm \left< 4\,,\, 1 \,,\, -2\right> \end{aligned}$

을 곱한 것이 모두 가능한 방향이다.

(c) 방향이 곡면에 접하면서도, 즉 법선 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ 에 수직이면서도, ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, -2\right>$ 에 최대한 가까워야 한다. 이 최적의 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 에서 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 을 법선 벡터에 정사영한 벡터를 빼면 얻는다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 을 법선 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)$ 에 정사영한 벡터는

$\begin{aligned} \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)\cdot { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)} {|{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)|^2}{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) \\ &=\frac{\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right>\cdot \left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>} {|\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>|^2}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &=\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \end{aligned}$

이다. 따라서 최적의 방향은

$\begin{aligned} \mathbf{d}&={ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) - \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> -\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &= \left< -\frac{1}{2}\,,\,-1 \,,\,- \frac{1}{2}\right> \end{aligned}$

이다. 그러므로 $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ 의 0이 아닌 양의 배수이면 모두 답이다. 검산으로, $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ 과 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ 의 내적이 0임, 즉 두 벡터가 수직임을 확인할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Reading through the question as a whole we see that we will need

for part (a), the gradient of $PT$ at $(2t, t^2 - 1, \cos t)\Big|_{t=0} =(0,-1,1)$
for part (b), the gradients of both $P$ and $T$ at $(0,-1,1)$ and
for part (c), the gradient of $T$ at $(0,-1,1)$ and the gradient of $S=z^3+xz+y^2$ at $(0,-1,1)$ (to get the normal vector to the surface at that point).

So, by way of preparation, let's compute all of these gradients.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) &= \frac{2x}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{4y}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\frac{(x^2+2y^2)2z}{{(1+z^2)}^2}\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) &= -2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) &= y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -2z\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } S(x,y,z) &= z\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(x+3z^2)\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) &= \hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

To get the gradient of $PT$ we use the product rule

${ \boldsymbol{\nabla} }(PT)(x,y,z) =T(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) +P(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z)$

so that

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1) &=T(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) +P(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=(5+0-1) \big(-2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}}\big) + \frac{0+2}{1+1}\big(-\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}}\big) \\ &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} -8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -6\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(a) Since $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2 = 2(PT)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)$ , and the velocity vector of the plane at time $0$ is

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left< 2t, t^2 - 1, \cos t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2, 2t, -\sin t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2,0,0\right>$

we have

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2\Big|_{t=0} &= 2\,P(0,-1,1)\,T(0,-1,1)\ { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1)\cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= 2\ \frac{0+2}{1+1}\ (5+0-1)\left< -1,-8,-6\right> \cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= -16 \end{aligned}$

(b) The direction should be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1)$ (to keep $P$ constant) and should also be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ (to keep $T$ constant). So any nonzero constant times

$\begin{aligned} \pm { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) \times { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\pm \left< 0 \,,\, -2 \,,\, -1\right> \times \left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> =\pm \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}\right] \\ &=\pm \left< 4\,,\, 1 \,,\, -2\right> \end{aligned}$

are allowed directions.

(c) We want the direction to be as close as possible to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, -2\right>$ while still being tangent to the surface, i.e. being perpendicular to the normal vector ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ . We can get that optimal direction by subtracting from ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ the projection of ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ onto the normal vector.

The projection of ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ onto the normal vector ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)$ is

$\begin{aligned} \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)\cdot { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)} {|{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)|^2}{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) \\ &=\frac{\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right>\cdot \left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>} {|\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>|^2}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &=\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \end{aligned}$

So the optimal direction is

$\begin{aligned} \mathbf{d}&={ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) - \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> -\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &= \left< -\frac{1}{2}\,,\,-1 \,,\,- \frac{1}{2}\right> \end{aligned}$

So any positive non zero multiple of $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ will do. Note, as a check, that $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ has dot product zero, i.e. is perpendicular to, ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 4번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

689.CLP-3 · 2.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

언덕의 높이가 방정식 $f(x,y)=x^2y^2e^{-x-y}$ 으로 주어져 있다. 개미 한 마리가 점 $(1,1,e^{-2})$ 에 앉아 있다.

(a) 다음 값을 최대로 하는 단위벡터 $\mathbf{u}=\left< u_1,u_2\right>$ 를 구하세요.

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f\big((1,1)+t\mathbf{u}\big)-f(1,1)}{t}$ (b) 개미가 같은 높이 $e^{-2}$ 를 유지하기 위해 갈 수 있는 경로의 방향을 가리키는 벡터 $\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3\right>$ 를 구하세요. (c) 개미가 순간 높이 증가율을 최대로 하기 위해 가야 하는 경로의 방향을 가리키는 벡터 $\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3\right>$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The elevation of a hill is given by the equation $f(x,y)=x^2y^2e^{-x-y}$ . An ant sits at the point $(1,1,e^{-2})$ .

(a) Find the unit vector $\mathbf{u}=\left< u_1,u_2\right>$ that maximizes

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f\big((1,1)+t\mathbf{u}\big)-f(1,1)}{t}$ (b) Find a vector $\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3\right>$ pointing in the direction of the path that the ant could take in order to stay on the same elevation level $e^{-2}$ . (c) Find a vector $\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3\right>$ pointing in the direction of the path that the ant should take in order to maximize its instantaneous rate of level increase.

정답·풀이 보기

(a) 식 $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f((1,1)+t\mathbf{u})-f(1,1)}{t}$ 은 $\mathbf{u}$ 방향으로의 $(1,1)$ 에서 $f$ 의 방향미분계수이며, 이는 $D_\mathbf{u} f(1,1)={ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)\cdot\mathbf{u}$ 이다. 이 값은 $\mathbf{u}$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ 과 평행할 때 최대가 된다.

$f_x(x,y)=2xy^2e^{-x-y}-x^2y^2e^{-x-y}\qquad f_y(x,y)=2x^2ye^{-x-y}-x^2y^2e^{-x-y}$

이므로

${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)=e^{-2}\left< 1,1\right>$

이고, 따라서 구하는 단위벡터 $\mathbf{u}$ 는 $\frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1,1\right>$ 이다.

(b) 높이 $e^{-2}$ 를 유지하려면 개미는 $D_\mathbf{u} f(1,1)=0$ 이 되도록 움직여야 한다. 이는 $\mathbf{u}\perp{ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ 일 때 성립한다. 예를 들어 $\mathbf{u}=\left< 1,-1\right>$ 로 잡을 수 있다. 개미가 언덕의 표면 위에 머물면서 이 방향으로 움직이면 속도의 수직 성분은 0이다. 따라서 0이 아닌 임의의 상수 $c$ 에 대해 $\mathbf{v}=c\left< 1,-1,0\right>$ 이다.

(c) 순간 높이 증가율을 최대로 하려면 개미는 속도 벡터의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표를 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ 과 같은 방향으로 택해야 한다. 즉 $c>0$ 인 임의의 $c$ 에 대해 $\mathbf{u}=c\left< 1,1\right>$ 이다. $\mathbf{u}$ 를 단위벡터로 만들기 위해 $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 로 택한다. 속도 벡터의 $z$ 좌표의 값은 수평으로 이동한 단위 거리당 $f$ 의 변화율이며, 이는 방향미분계수

$D_\mathbf{u} f(1,1)={ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)\cdot\mathbf{u}=e^{-2}\left< 1,1\right> \cdot\left< c,c\right> =2ce^{-2}$

이다.

따라서 $\mathbf{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1,1,2e^{-2}\right>$ 이다. 이 벡터의 양의 배수는 모두 정답이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The expression $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f((1,1)+t\mathbf{u})-f(1,1)}{t}$ is the directional derivative of $f$ at $(1,1)$ in the direction $\mathbf{u}$ , which is $D_\mathbf{u} f(1,1)={ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)\cdot\mathbf{u}$ . This is mazimized when $\mathbf{u}$ is parallel to ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ . Since

$f_x(x,y)=2xy^2e^{-x-y}-x^2y^2e^{-x-y}\qquad f_y(x,y)=2x^2ye^{-x-y}-x^2y^2e^{-x-y}$

we have

${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)=e^{-2}\left< 1,1\right>$

so that the desired unit vector $\mathbf{u}$ is $\frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1,1\right>$ .

(b) In order to remain at elevation $e^{-2}$ , the ant must move so that $D_\mathbf{u} f(1,1)=0$ . This is the case if $\mathbf{u}\perp{ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ . For example, we can take $\mathbf{u}=\left< 1,-1\right>$ . When the ant moves in this direction, while remaining on the surface of the hill, its vertical component of velocity is zero. So $\mathbf{v}=c\left< 1,-1,0\right>$ for any nonzero constant $c$ .

(c) In order to maximize its instantaneous rate of level increase, the ant must choose the $x$ and $y$ coordinates of its velocity vector in the same direction as ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)$ . Namely $\mathbf{u}=c\left< 1,1\right>$ for any $c>0$ . To make $\mathbf{u}$ a unit vector, we choose $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . The corresponding value of the $z$ coordinate of its velocity vector is the rate of change of $f$ per unit horizontal distance travelled, which is the directional derivative

$D_\mathbf{u} f(1,1)={ \boldsymbol{\nabla} } f(1,1)\cdot\mathbf{u}=e^{-2}\left< 1,1\right> \cdot\left< c,c\right> =2ce^{-2}$

So $\mathbf{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1,1,2e^{-2}\right>$ . Any positive multiple of this vector is also a correct answer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 1번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

690.CLP-3 · 2.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

공간의 어떤 영역의 온도가 $T(x,y,z)=3x^2+\tfrac{1}{2} y^2+2z^2$ 도로 주어졌다고 하자.

(a) 참새 한 마리가 곡선 $\mathbf{r}(s)=\big(\frac{1}{3}s^3,2s,s^2\big)$ 을 따라 일정한 속력 $3{\rm ms}^{-1}$ 로 날고 있다. $s=1$ 일 때 참새의 속도를 구하세요. (b) $s=1$ 인 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 참새가 느끼는 온도의 변화율을 구하세요. (c) 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 온도가 최대 변화율로 감소하는 방향을 구하세요. (d) 독수리 한 마리가 점 $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ 에서 참새의 경로와 교차하며, 참새의 경로와 수직인 방향으로 움직이고, 동시에 온도가 일정하게 유지되는 방향으로 움직이고 있다. 독수리가 점 $A$ 를 지나갈 때 날아갈 수 있는 방향을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Let the temperature in a region of space be given by $T(x,y,z)=3x^2+\tfrac{1}{2} y^2+2z^2$ degrees.

(a) A sparrow is flying along the curve $\mathbf{r}(s)=\big(\frac{1}{3}s^3,2s,s^2\big)$ at a constant speed of $3{\rm ms}^{-1}$ . What is the velocity of the sparrow when $s=1$ ? (b) At what rate does the sparrow feel the temperature is changing at the point $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ for which $s=1$ . (c) At the point $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ in what direction will the temperature be decreasing at maximum rate? (d) An eagle crosses the path of the sparrow at $A\big(\frac{1}{3},2,1\big)$ , is moving at right angles to the path of the sparrow, and is also moving in a direction in which the temperature remains constant. In what directions could the eagle be flying as it passes through the point $A$ ?

정답·풀이 보기

(a) $s=1$ 에서 운동 방향은 접선벡터

$\mathbf{r}'(s)=\left< s^2,2,2s\right>\big|_{s=1}=\left< 1,2,2\right>$

로 주어진다. 속도벡터의 크기가 $3$ 이어야 하므로

$\text{속도}=\mathbf{v}=3\frac{\left< 1,2,2\right>}{|\left< 1,2,2\right>|}=\left< 1,2,2\right>$

이다.

(b) $s=1$ 에서 참새가 느끼는 단위 거리당 온도 변화율은 ${ \boldsymbol{\nabla} } T\big(\frac{1}{3},2,1\big)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ 이다. 따라서 $s=1$ 에서 참새가 느끼는 단위 시간당 온도 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\ |\mathbf{v}| &={ \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\mathbf{v} =\mathbf{v}\cdot\left< 6x,y,4z\right>\Big|_{({1\over3},2,1\big)} \\ &=\left< 1,2,2\right>\cdot\left< 2,2,4\right>=14^\circ/{\rm s} \end{aligned}$

이다.

(c) 온도는 온도의 기울기벡터와 반대 방향, 즉 (임의의 양의 상수배의) $-\left< 2,2,4\right>$ 방향으로 최대 변화율로 감소한다.

(d) 독수리는 참새의 운동 방향인 $\left< 1,2,2\right>$ 와 수직인 방향으로 움직인다. 또한 독수리는 온도가 일정하게 유지되는 방향으로 움직이므로, 온도의 기울기벡터 $\left< 2,2,4\right>$ 와도 수직인 방향으로 움직여야 한다. 따라서 독수리의 방향은 (양의 상수배의) 다음 중 하나이다.

$\begin{aligned} \pm\left< 1,2,2\right> \times\left< 2,2,4\right> =\pm\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix}\right] =\pm\left< 4,0,-2\right> \end{aligned}$

이는 임의의 양의 상수배의 $\pm\left< 2,0,-1\right>$ 와 같다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The direction of motion at $s=1$ is given by the tangent vector

$\mathbf{r}'(s)=\left< s^2,2,2s\right>\big|_{s=1}=\left< 1,2,2\right>$

Since the length of the velocity vector must be $3$ ,

$\text{velocity}=\mathbf{v}=3\frac{\left< 1,2,2\right>}{|\left< 1,2,2\right>|}=\left< 1,2,2\right>$

(b) The rate of change of temperature per unit distance felt by the sparrow at $s=1$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } T\big(\frac{1}{3},2,1\big)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ . The rate of change of temperature per unit time felt by the sparrow at $s=1$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\ |\mathbf{v}| &={ \boldsymbol{\nabla} } T\left(\frac{1}{3},2,1\right)\cdot\mathbf{v} =\mathbf{v}\cdot\left< 6x,y,4z\right>\Big|_{({1\over3},2,1\big)} \\ &=\left< 1,2,2\right>\cdot\left< 2,2,4\right>=14^\circ/{\rm s} \end{aligned}$

(c) The temperature decreases at maximum rate in the direction opposite the temperature gradient, which is (any positive constant times) $-\left< 2,2,4\right>$ .

(d) The eagle is moving at right angles to the direction of motion of the sparrow, which is $\left< 1,2,2\right>$ . As the eagle is also moving in a direction for which the temperature remains constant, it must be moving perpendicularly to the temperature gradient, $\left< 2,2,4\right>$ . So the direction of the eagle must be (a posiitve constant times) one of

$\begin{aligned} \pm\left< 1,2,2\right> \times\left< 2,2,4\right> =\pm\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix}\right] =\pm\left< 4,0,-2\right> \end{aligned}$

or equivalently, any positive constant times $\pm\left< 2,0,-1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 3번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

691.CLP-3 · 2.7절 · 25번대학 수준우리말 번역

불꽃이 원점에 있고, 그 근처의 점 $(x,y,z)$ 에서의 온도 $T$ 가 다음과 같이 주어진다고 가정하세요.

$T(x,y,z)=\frac{200}{1+x^2+y^2+z^2}$

여기서 좌표의 단위는 미터이고 온도의 단위는 섭씨 도입니다. 어느 순간 나방이 점 $(3,4,0)$ 에 있고, 온도가 최대로 증가하는 방향으로 $1 {\rm m/s}$ 의 일정한 속력으로 날고 있다고 하세요.

(a) 이 순간 나방의 속도 벡터 $\mathbf{v}$ 를 구하세요. (b) 이 순간 나방이 느끼는 온도의 변화율은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Assume that the temperature $T$ at a point $(x,y,z)$ near a flame at the origin is given by

$T(x,y,z)=\frac{200}{1+x^2+y^2+z^2}$

where the coordinates are given in meters and the temperature is in degrees Celsius. Suppose that at some moment in time, a moth is at the point $(3,4,0)$ and is flying at a constant speed of $1 {\rm m/s}$ in the direction of maximum increase of temperature.

(a) Find the velocity vector $\mathbf{v}$ of the moth at this moment. (b) What rate of change of temperature does the moth feel at that moment?

정답·풀이 보기

(a) 나방은 $(3,4,0)$ 에서 온도의 기울기 벡터 방향으로 움직이고 있으며, 그 기울기 벡터는 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0) =-200\frac{2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}}{{(1+x^2+y^2+z^2)}^2}\bigg|_{(3,4,0)} =-400\frac{3\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{26^2}$

나방의 속력이 $1 {\rm m/s}$ 이므로 나방의 속도 벡터는 방향이 $-\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>$ 와 같고 길이가 1인 벡터이다. 따라서 $\mathbf{v}=-\frac{\left< 3,4,0\right>}{|\left< 3,4,0\right>|} =-\left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right>$ 이다.

(b) 그 순간 나방이 느끼는 (단위 시간당) 온도의 변화율은 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0)\cdot\mathbf{v} =\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>\cdot \left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right> =\frac{400\times25}{26^2\times 5} =\frac{500}{169}\approx 2.96^\circ/{\rm s}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The moth is moving the direction of the temperature gradient at $(3,4,0)$ , which is

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0) =-200\frac{2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}}{{(1+x^2+y^2+z^2)}^2}\bigg|_{(3,4,0)} =-400\frac{3\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{26^2}$

Since the speed of the moth is $1 {\rm m/s}$ its velocity vector is a vector of length one in direction $-\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>$ and hence is $\mathbf{v}=-\frac{\left< 3,4,0\right>}{|\left< 3,4,0\right>|} =-\left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right>$ .

(b) The rate of change of temperature (per unit time) the moth feels at that time is

${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,4,0)\cdot\mathbf{v} =\frac{400}{26^2}\left< 3,4,0\right>\cdot \left<\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right> =\frac{400\times25}{26^2\times 5} =\frac{500}{169}\approx 2.96^\circ/{\rm s}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 24번

# 방향도함수와 기울기벡터활용보통자동 분류

692.CLP-3 · 2.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

상수 $k$ 가 있어서 $u=k/v$ 일 때, $u$ 는 $v$ 에 반비례한다고 합니다. 금속 공 안의 온도 $T$ 가 공의 중심으로부터의 거리에 반비례한다고 합시다. 여기서 공의 중심은 원점으로 잡습니다. 점 $(1,2,2)$ 에서의 온도는 $120^\circ$ 입니다.

(a) 비례상수를 구하세요. (b) $(1,2,2)$ 에서 점 $(2,1,3)$ 을 향하는 방향으로의 $T$ 의 변화율을 구하세요. (c) 공 안의 대부분의 점에서 온도가 가장 크게 증가하는 방향은 원점을 향하는 방향임을 보이세요.

영어 원문 보기

We say that $u$ is inversely proportional to $v$ if there is a constant $k$ so that $u=k/v$ . Suppose that the temperature $T$ in a metal ball is inversely proportional to the distance from the centre of the ball, which we take to be the origin. The temperature at the point $(1,2,2)$ is $120^\circ$ .

(a) Find the constant of proportionality. (b) Find the rate of change of $T$ at $(1,2,2)$ in the direction towards the point $(2,1,3)$ . (c) Show that at most points in the ball, the direction of greatest increase is towards the origin.

정답·풀이 보기

(a) 어떤 상수 $k$ 에 대하여 $T(x,y,z)=\frac{k}{|\left< x,y,z\right>|} =\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 이고,

$120=T(1,2,2)=\frac{k}{|\left< 1,2,2\right>|} \implies k=120\times\sqrt{1+2^2+2^2} = 360$

이다.

(b) $(1,2,2)$ 에서 $(2,1,3)$ 으로 향하는 (단위)방향은 $\mathbf{d}=\frac{\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>}{|\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>|} =\frac{\left< 1,-1,1\right>}{|\left< 1,-1,1\right>|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,-1,1\right>$ 이다. 따라서 구하는 온도의 변화율은

$\begin{aligned} D_{\mathbf{d}} T(1,2,2) &={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,2)\cdot\mathbf{d} =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}\Big|_{\left< 1,2,2\right>}\cdot\mathbf{d} \\ &=-360\frac{\left< 1,2,2\right>}{27}\cdot\frac{\left< 1,-1,1\right>}{\sqrt{3}} =-\frac{40}{3\sqrt{3}}\approx-7.70 \end{aligned}$

이고, 단위 거리당 도이다.

(c) $(x,y,z)$ 에서 온도가 가장 크게 증가하는 방향은 $(x,y,z)$ 에서의 온도 기울기(그레이디언트)의 방향이며, 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}$ 이고, 반지름 벡터와 반대 방향을 가리킨다. 즉, 원점을 향한다. 이 논증은 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 에서만 성립하지 않는데, 그 점에서는 기울기뿐 아니라 $T(x,y,z)$ 도 정의되지 않기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that $T(x,y,z)=\frac{k}{|\left< x,y,z\right>|} =\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ for some constant $k$ and that

$120=T(1,2,2)=\frac{k}{|\left< 1,2,2\right>|} \implies k=120\times\sqrt{1+2^2+2^2} = 360$

(b) The (unit) direction from $(1,2,2)$ to $(2,1,3)$ is $\mathbf{d}=\frac{\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>}{|\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>|} =\frac{\left< 1,-1,1\right>}{|\left< 1,-1,1\right>|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,-1,1\right>$ . The desired rate of change of temperature is

$\begin{aligned} D_{\mathbf{d}} T(1,2,2) &={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,2)\cdot\mathbf{d} =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}\Big|_{\left< 1,2,2\right>}\cdot\mathbf{d} \\ &=-360\frac{\left< 1,2,2\right>}{27}\cdot\frac{\left< 1,-1,1\right>}{\sqrt{3}} =-\frac{40}{3\sqrt{3}}\approx-7.70 \end{aligned}$

degrees per unit distance.

(c) At $(x,y,z)$ , the direction of greatest increase is in the direction of the temperature gradient at $(x,y,z)$ , which is ${ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}$ and which points opposite to the radius vector. That is, it points towards the origin. This argument only fails at $(x,y,z)=(0,0,0)$ , where the gradient, and indeed $T(x,y,z)$ , is not defined.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 29번

# 방향도함수와 기울기벡터증명·논술보통자동 분류

693.CLP-3 · 2.7절 · 27번대학 수준우리말 번역

$xy$ -평면 위에 있는 호수의 깊이는 $f(x, y) = 32-x^2-4x-4y^2$ 미터이다.

(a) $xy$ -평면에 호수의 해안선을 그리세요.

미적분학 강사님이 점 $(-1, 1)$ 에서 물속에 있다. 다음을 만족하기 위해 강사님이 헤엄쳐야 할 방향을 나타내는 단위벡터를 구하세요.

(a) 같은 깊이를 유지하려면? (b) 깊이가 가능한 한 빠르게 깊어지게 하려면? (즉, 물에 빠질 가능성이 가장 높게 하려면)

영어 원문 보기

The depth of a lake in the $xy$ -plane is equal to $f(x, y) = 32-x^2-4x-4y^2$ meters.

(a) Sketch the shoreline of the lake in the $xy$ -plane.

Your calculus instructor is in the water at the point $(-1, 1)$ . Find a unit vector which indicates in which direction he should swim in order to:

(a) stay at a constant depth? (b) increase his depth as rapidly as possible (i.e. be most likely to drown)?

정답·풀이 보기

(a) 해안선은 $f(x,y)=0$ 또는 $x^2+4x+4y^2=32$ 또는 $(x+2)^2+4y^2=36$ 이고, 이는 $(-2,0)$ 을 중심으로 하고 $x$ 방향의 반축이 $6$ , $y$ 방향의 반축이 $3$ 인 타원이다.

(b,c) $(-1,1)$ 에서 $f$ 의 기울기 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} } f(-1,1)=\big[(-2x-4)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]_{(-1,1)}=-2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

같은 깊이를 유지하려면 깊이의 기울기 벡터에 수직인 방향으로 헤엄쳐야 한다. 따라서 $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4,-1\right>$ 방향으로 헤엄쳐야 한다. 깊이가 가능한 한 빠르게 깊어지게 하려면 깊이의 기울기 벡터 방향으로 헤엄쳐야 하며, 그 방향은 $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1,4\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The shoreline is $f(x,y)=0$ or $x^2+4x+4y^2=32$ or $(x+2)^2+4y^2=36$ , which is an ellipse centred on $(-2,0)$ with semiaxes $6$ in the $x$ -direction and $3$ in the $y$ -direction.

(b,c) The gradient of $f$ at $(-1,1)$ is

${ \boldsymbol{\nabla} } f(-1,1)=\big[(-2x-4)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]_{(-1,1)}=-2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

To remain at constant depth, he should swim perpendicular to the depth gradient. So he should swim in direction $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4,-1\right>$ . To increase his depth as rapidly as possible, he should swim in the direction of the depth gradient, which is $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1,4\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.6절 · 2번

# 방향도함수와 기울기벡터그래프·표 해석보통자동 분류

694.CLP-3 · 2.7절 · 29번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x,y,z) = x^2 + \cos(yz)$ 를 생각하세요.

(a) 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 $f$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향을 구하세요. (b) 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 곡면

$S = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y,z) = 1\ \big\}$

에 접하는 평면 $T$ 의 방정식을 구하세요. (c) $T$ 와 점 $(0, 1, 0)$ 사이의 거리를 구하세요. (d) 평면 $T$ 와 평면

$P = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x + z = 0\ \big\}$

가 이루는 각을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the function $f(x,y,z) = x^2 + \cos(yz)$ .

(a) Give the direction in which $f$ is increasing the fastest at the point $(1, 0, \pi/2)$ . (b) Give an equation for the plane $T$ tangent to the surface

$S = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ f(x,y,z) = 1\ \big\}$

at the point $(1, 0, \pi/2)$ . (c) Find the distance between $T$ and the point $(0, 1, 0)$ . (d) Find the angle between the plane $T$ and the plane

$P = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x + z = 0\ \big\}.$

정답·풀이 보기

$f$ 의 1계 편도함수를 임의의 점 $(x,y,z)$ 에서와 점 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 각각 구하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&= 2x\qquad & f_x(1, 0, \pi/2)&= 2 \\ f_y(x,y,z)&= -z\sin(yz)\qquad & f_y(1, 0, \pi/2)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&= -y\sin(yz)\qquad & f_z(1, 0, \pi/2)&= 0 \end{aligned}$

(a) $f$ 의 증가율이 가장 큰 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ 의 방향이다. 그 방향의 단위벡터는 $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다.

(b) 기울기 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ 는 $(1, 0, \pi/2)$ 에서 곡면 $f=1$ 의 법선벡터이다. 따라서 구하는 접평면은

$\begin{aligned} \left< 2,0,0\right> \cdot \left< x-1\,,\,y-0\,,\,z-\pi/2\right>=0\qquad\text{또는}\qquad x=1 \end{aligned}$

이다.

(c) 점 $(0,1,0)$ 에서 $T$ 위의 점 $(1,1,0)$ 으로 향하는 벡터는 $\left< 1,0,0\right>$ 이고, 이 벡터는 $T$ 에 수직이다. 따라서 $(1,1,0)$ 은 $T$ 위의 점 중 $(0,1,0)$ 에 가장 가까운 점이고, $(0,1,0)$ 에서 $T$ 까지의 거리는 $|\left< 1,0,0\right>|=1$ 이다.

(d) 벡터 $\left< 1,0,1\right>$ 은 평면 $x+z=0$ 에 수직이다. 따라서 두 평면 $T$ 와 $x+z=0$ 이 이루는 각은 두 벡터 $\left< 1,0,0\right>$ 과 $\left< 1,0,1\right>$ 이 이루는 각 $\theta$ 와 같고, 이 각은 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} & |\left< 1,0,0\right>| \ |\left< 1,0,1\right>|\ \cos\theta =|\left< 1,0,0\right>\cdot\left< 1,0,1\right>| =1 \\ &\implies \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The first order partial derivatives of $f$ , both at a general point $(x,y,z)$ and at the point $(1, 0, \pi/2)$ , are

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&= 2x\qquad & f_x(1, 0, \pi/2)&= 2 \\ f_y(x,y,z)&= -z\sin(yz)\qquad & f_y(1, 0, \pi/2)&= 0 \\ f_z(x,y,z)&= -y\sin(yz)\qquad & f_z(1, 0, \pi/2)&= 0 \end{aligned}$

(a) The rate of increase of $f$ is largest in the direction of ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ . A unit vector in that direction is $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ .

(b) The gradient vector ${ \boldsymbol{\nabla} } f(1, 0, \pi/2)=\left< 2,0,0\right>$ is a normal vector to the surface $f=1$ at $(1, 0, \pi/2)$ . So the specified tangent plane is

$\begin{aligned} \left< 2,0,0\right> \cdot \left< x-1\,,\,y-0\,,\,z-\pi/2\right>=0\qquad\text{or}\qquad x=1 \end{aligned}$

(c) The vector from the point $(0,1,0)$ to the point $(1,1,0)$ , on $T$ , is $\left< 1,0,0\right>$ , which is perpendicular to $T$ . So $(1,1,0)$ is the point on $T$ nearest $(0,1,0)$ and the distance from $(0,1,0)$ to $T$ is $|\left< 1,0,0\right>|=1$ .

(d) The vector $\left< 1,0,1\right>$ is perpendicular to the plane $x+z=0$ . So the angle between the planes $T$ and $x+z=0$ is the same as the angle $\theta$ between the vectors $\left< 1,0,0\right>$ and $\left< 1,0,1\right>$ , which obeys

$\begin{aligned} & |\left< 1,0,0\right>| \ |\left< 1,0,1\right>|\ \cos\theta =|\left< 1,0,0\right>\cdot\left< 1,0,1\right>| =1 \\ &\implies \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 32번

# 방향도함수와 기울기벡터계산도전자동 분류

695.CLP-3 · 2.7절 · 30번대학 수준우리말 번역

함수 $T(x,y,z)$ 가 $P = (2,1,1)$ 에서 $T(P) = 5$ , $T_x (P) = 1$ , $T_y(P) = 2$ , $T_z(P) = 3$ 임이 알려져 있다.

(a) 꿀벌이 $P$ 에서 출발하여 점 $Q = (3,2,2)$ 를 향하는 단위벡터를 따라 날아간다. 이 방향으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율을 구하세요. (b) 점 $P$ 에서 $T$ 의 선형 근사를 이용하여 $T(1.9,1,1.2)$ 를 어림하세요. (c) $S(x,y,z) = x + z$ 라 하자. 꿀벌이 $P$ 에서 출발할 때, 이 방향으로의 $T(x,y,z)$ 의 변화율과 $S(x,y,z)$ 의 변화율이 모두 0이 되려면 어느 단위벡터 방향으로 날아가야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A function $T(x,y,z)$ at $P = (2,1,1)$ is known to have $T(P) = 5$ , $T_x (P) = 1$ , $T_y(P) = 2$ , and $T_z(P) = 3$ .

(a) A bee starts flying at $P$ and flies along the unit vector pointing towards the point $Q = (3,2,2)$ . What is the rate of change of $T(x,y,z)$ in this direction? (b) Use the linear approximation of $T$ at the point $P$ to approximate $T(1.9,1,1.2)$ . (c) Let $S(x,y,z) = x + z$ . A bee starts flying at $P$ ; along which unit vector direction should the bee fly so that the rate of change of $T(x,y,z)$ and of $S(x,y,z)$ are both zero in this direction?

정답·풀이 보기

(a) $P=(2,1,1)$ 에서 $Q=(3,2,2)$ 로 향하는 단위벡터 방향으로의 $T$ 의 방향도함수를 구하는 문제이다. 이 단위벡터는 $\frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}$ 이다. 따라서 방향도함수는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(P)\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =\left< 1,2,3\right> \cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3} \end{aligned}$

이다.

(b) $P$ 에서 $T$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} T(2+\Delta x\,,\,1+\Delta y\,,\,1+\Delta z) &\approx T(P) + T_x(P)\,\Delta x + T_y(P)\,\Delta y + T_z(P)\,\Delta z \\ &= 5 +\Delta x +2\,\Delta y +3\,\Delta z \end{aligned}$

이다. 여기에 $\Delta x = -0.1$ , $\Delta y = 0$ , $\Delta z=0.2$ 를 대입하면

$\begin{aligned} T(1.9\,,\,1\,,\,1.2) &\approx 5 +(-0.1) +2\,(0) +3\,(0.2) =5.5 \end{aligned}$

이다.

(c) $T$ 의 변화율이 0이 되려면 운동 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P) = \left< 1,2,3\right>$ 에 수직이어야 한다. $S$ 의 변화율도 0이 되려면 운동 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P) = \left< 1,0,1\right>$ 에도 수직이어야 한다. 벡터

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right> \times \left< 1,0,1\right> &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] =\left< 2,2,-2\right> \end{aligned}$

는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P)$ 와 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P)$ 에 모두 수직이다. 따라서 구하는 단위벡터는 $\pm\frac{\left< 1,1,-1\right>}{\sqrt{3}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are being asked for the directional derivative of $T$ in the direction of the unit vector from $P=(2,1,1)$ to $Q=(3,2,2)$ , which is $\frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}}$ . That directional derivative is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(P)\cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =\left< 1,2,3\right> \cdot \frac{\left< 1,1,1\right>}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3} \end{aligned}$

(b) The linear approximation to $T$ at $P$ is

$\begin{aligned} T(2+\Delta x\,,\,1+\Delta y\,,\,1+\Delta z) &\approx T(P) + T_x(P)\,\Delta x + T_y(P)\,\Delta y + T_z(P)\,\Delta z \\ &= 5 +\Delta x +2\,\Delta y +3\,\Delta z \end{aligned}$

Applying this with $\Delta x = -0.1$ , $\Delta y = 0$ , $\Delta z=0.2$ gives

$\begin{aligned} T(1.9\,,\,1\,,\,1.2) &\approx 5 +(-0.1) +2\,(0) +3\,(0.2) =5.5 \end{aligned}$

(c) For the rate of change of $T$ to be zero, the direction of motion must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P) = \left< 1,2,3\right>$ . For the rate of change of $S$ to also be zero, the direction of motion must also be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P) = \left< 1,0,1\right>$ . The vector

$\begin{aligned} \left< 1,2,3\right> \times \left< 1,0,1\right> &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right] =\left< 2,2,-2\right> \end{aligned}$

is perpendicular to both ${ \boldsymbol{\nabla} } T(P)$ and ${ \boldsymbol{\nabla} } S(P)$ . So the desired unit vectors are $\pm\frac{\left< 1,1,-1\right>}{\sqrt{3}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 31번

# 방향도함수와 기울기벡터계산도전자동 분류

696.CLP-3 · 2.7절 · 31번대학 수준우리말 번역

함수 $F(x,y,z) = z^3 +xy^2 +xz$ 와 $G(x,y,z)=3x-y+4z$ 를 생각하세요. 당신은 점 $P(0,1,2)$ 에 서 있습니다.

(a) $P$ 에서 $Q(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8)$ 로 뛰어갑니다. 선형 근사를 이용하여 $F$ 가 변하는 양을 대략 구하세요. (b) $P$ 에서 $G$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향으로 뛰어갑니다. $F$ 는 증가하는지 감소하는지 판단하세요. (c) $P$ 에서 $F$ 와 $G$ 의 변화율이 모두 0 인 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 뛰어갑니다. 이러한 방향의 예를 하나 구하세요(단위벡터일 필요는 없습니다).

영어 원문 보기

Consider the functions $F(x,y,z) = z^3 +xy^2 +xz$ and $G(x,y,z)=3x-y+4z$ . You are standing at the point $P(0,1,2)$ .

(a) You jump from $P$ to $Q(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8)$ . Use the linear approximation to determine approximately the amount by which $F$ changes. (b) You jump from $P$ in the direction along which $G$ increases most rapidly. Will $F$ increase or decrease? (c) You jump from $P$ in a direction $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ along which the rates of change of $F$ and $G$ are both zero. Give an example of such a direction (need not be a unit vector).

정답·풀이 보기

$(0,1,2)$ 에서 $F$ 와 $G$ 의 기울기벡터가 모두 필요하다. 따라서 다음을 계산한다.

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)&=y^2+z & \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)&=2xy & \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)&=3z^2+x \\ \frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)&=3 & \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)&=-1 & \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)&=4 \end{aligned}$

그러면

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$

이다.

(a) $(0,1,2)$ 에서 $F$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} F(x,y,z) &\approx F(0,1,2) + F_x(0,1,2)\,x + F_y(0,1,2)\,(y-1) + F_z(0,1,2)\,(z-2) \\ &=8+ 3 x + 12 (z-2) \end{aligned}$

이다. 특히

$\begin{aligned} F(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8) - F(0,1,2) &\approx 3(0.1) + 12(-0.2) =-2.1 \end{aligned}$

이다.

(b) $P$ 에서 $G$ 가 가장 빠르게 증가하는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ 이다. 그 방향으로의 $F$ 의 방향미분계수는

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}}}F(0,1,2) = { \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) \cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} = \left< 3,0,12 \right>\cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} > 0 \end{aligned}$

이다. 따라서 $F$ 는 증가한다.

(c) $F$ 의 변화율이 0 이 되려면 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>$ 에 수직이어야 한다.

$G$ 의 변화율이 0 이 되려면 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 가 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ 에 수직이어야 한다.

따라서 0이 아닌 임의의 상수 곱

$\begin{aligned} \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & 0 & 12 \\ 3 & -1 & 4 \end{matrix}\right] =\left< 12 \,,\, 24 \,,\, -3 \right> =3 \left< 4 \,,\, 8 \,,\, -1 \right> \end{aligned}$

이 조건을 만족하는 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need the gradients of both $F$ and $G$ at $(0,1,2)$ . So we compute

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)&=y^2+z & \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)&=2xy & \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)&=3z^2+x \\ \frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)&=3 & \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)&=-1 & \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)&=4 \end{aligned}$

and then

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$

(a) The linear approximation to $F$ at $(0,1,2)$ is

$\begin{aligned} F(x,y,z) &\approx F(0,1,2) + F_x(0,1,2)\,x + F_y(0,1,2)\,(y-1) + F_z(0,1,2)\,(z-2) \\ &=8+ 3 x + 12 (z-2) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} F(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8) - F(0,1,2) &\approx 3(0.1) + 12(-0.2) =-2.1 \end{aligned}$

(b) The direction along which $G$ increases most rapidly at $P$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ . The directional derivative of $F$ in that direction is

$\begin{aligned} D_{\frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}}}F(0,1,2) = { \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) \cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} = \left< 3,0,12 \right>\cdot \frac{\left< 3,-1,4\right>}{\sqrt{26}} > 0 \end{aligned}$

So $F$ increases.

(c) For the rate of change of $F$ to be zero, $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,1,2) = \left< 3,0,12 \right>$ .

For the rate of change of $G$ to be zero, $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ must be perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } G(0,1,2) = \left< 3,-1,4 \right>$ .

So any nonzero constant times

$\begin{aligned} \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & 0 & 12 \\ 3 & -1 & 4 \end{matrix}\right] =\left< 12 \,,\, 24 \,,\, -3 \right> =3 \left< 4 \,,\, 8 \,,\, -1 \right> \end{aligned}$

is an allowed direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 42번

# 방향도함수와 기울기벡터계산도전자동 분류

697.CLP-3 · 2.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

유성이 캐나다 중심부 지역의 땅에 떨어진다. 위성 사진을 이용하여, 그 결과로 생긴 크레이터의 모델

$z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}$

을 만들고, 이 장소를 관광 명소로 바꾸는 계획을 세운다. 주차장은 $(4,5)$ 에 만들고 등산로도 만들 예정이다. 등산로는 주차장에서 시작하여 크레이터 바닥까지 가장 가파른 경로를 따라 간다.

(a) 주차장, 함수 $f$ 의 등고선 몇 개, 그리고 등산로가 분명하게 표시된 계획 부지의 지도를 그리세요. (b) 등산로는 주차장에서 어느 방향으로 출발하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A meteor strikes the ground in the heartland of Canada. Using satellite photographs, a model

$z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}$

of the resulting crater is made and a plan is drawn up to convert the site into a tourist attraction. A car park is to be built at $(4,5)$ and a hiking trail is to be made. The trail is to start at the car park and take the steepest route to the bottom of the crater.

(a) Sketch a map of the proposed site clearly marking the car park, a few level curves for the function $f$ and the trail. (b) In which direction does the trail leave the car park?

정답·풀이 보기

(a)

$z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}$

이므로 크레이터의 바닥은 $x=-1$ , $y=0$ (분모가 최소가 되는 곳)에 있고, 등고선(등위곡선)은 방정식이 $(x+1)^2+4y^2=C$ 인 타원이다. 아래 그림에서 속이 찬 점은 크레이터의 바닥을, 속이 빈 점은 주차장을 나타낸다. 그린 등고선은 (안쪽부터 바깥쪽으로) $z=-7.5, -5, -2.5, -1$ 이다. 등산로가 등고선과 직각으로 만남에 유의한다.

(b) 등산로는

${ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)$

와 평행하다. 주차장에서는 ${ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>$ 이다. 크레이터의 바닥을 향해 가려면 $-\left< 1,4\right>$ 방향으로 출발해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

$z=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11}=-\frac{100}{(x+1)^2+4y^2+10}$

the bottom of the crater is at $x=-1$ , $y=0$ (where the denominator is a minimum) and the contours (level curves) are ellipses having equations $(x+1)^2+4y^2=C$ . In the sketch below, the filled dot represents the bottom of the crater and the open dot represents the car park. The contours sketched are (from inside out) $z=-7.5, -5, -2.5, -1$ . Note that the trail crosses the contour lines at right angles.

(b) The trail is to be parallel to ${ \boldsymbol{\nabla} } z = \frac{100}{{(x^2+2x+4y^2+11)}^2}(2x+2,8y)$ At the car park ${ \boldsymbol{\nabla} } z(4,5)\parallel \left< 10, 40\right>\parallel \left< 1,4\right>$ . To move towards the bottom of the crater, we should leave in the direction $-\left< 1,4\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 33번

# 방향도함수와 기울기벡터그래프·표 해석도전자동 분류

698.CLP-3 · 2.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

당신은 지수 사막 한가운데에 있는 외딴 야자나무 옆에 서 있습니다. 주변 모래언덕의 높이는 미터 단위로 다음과 같이 주어집니다. $h(x,y)=100 e^{-(x^2+2y^2)}$ 여기서 $x$ 는 야자나무에서 동쪽으로 떨어진 거리(미터)를 나타내며 $x$ 가 음수이면 서쪽을 뜻하고, $y$ 는 야자나무에서 북쪽으로 떨어진 거리(미터)를 나타내며 $y$ 가 음수이면 남쪽을 뜻합니다.

(a) 동쪽으로 $3$ 미터, 북쪽으로 2 미터 걸어갔다고 하자. 새 위치 $(3,2)$ 에서 모래언덕이 가장 가파르게 내려가는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (b) (a)에서 구한 위치에서 북쪽으로 걸어가면 모래언덕 높이의 순간변화율은 얼마인지 구하세요. (c) $(3,2)$ 에 서 있을 때, 같은 높이를 유지하려면 어느 방향으로 걸어야 하는지 구하세요. (d) 곡선 위의 각 점에서 항상 가장 가파르게 내려가는 방향을 향하도록 따라 움직여야 할 곡선 중 $(3,2)$ 를 지나는 곡선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

You are standing at a lone palm tree in the middle of the Exponential Desert. The height of the sand dunes around you is given in meters by $h(x,y)=100 e^{-(x^2+2y^2)}$ where $x$ represents the number of meters east of the palm tree (west if $x$ is negative) and $y$ represents the number of meters north of the palm tree (south if $y$ is negative).

(a) Suppose that you walk $3$ meters east and 2 meters north. At your new location, $(3,2)$ , in what direction is the sand dune sloping most steeply downward? (b) If you walk north from the location described in part (a), what is the instantaneous rate of change of height of the sand dune? (c) If you are standing at $(3,2)$ in what direction should you walk to ensure that you remain at the same height? (d) Find the equation of the curve through $(3,2)$ that you should move along in order that you are always pointing in a steepest descent direction at each point of this curve.

정답·풀이 보기

다음을 얻는다.

${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}\left< x,2y\right>\text{ 이고, 특히 } { \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)= -200 e^{-17}\left< 3,4\right>$

(a) $(3,2)$ 에서 모래언덕이 가장 가파르게 내려가는 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ 와 반대 방향, 즉 $\left< 3,4\right>$ 의 (임의의 양의 배수) 방향이다.

(b) 변화율은 $D_{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} h(3,2)={ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=-800 e^{-17}$ 이다.

(c) 같은 높이를 유지하려면 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ 에 수직인 방향으로 걸어야 한다. 따라서 $\pm\big(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\big)$ 중 한 방향으로 걸어야 한다.

(d) 가장 가파르게 내려가는 곡선을 따라 걷고 있다고 하자. 그러면 $(x,y)$ 에서 $(x+\mathrm{d}x, y+\mathrm{d}y)$ 로 향하는 방향(단, $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 는 무한소)은 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}(x,2y)$ 와 반대여야 한다. 따라서 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 는 $(x,2y)$ 와 평행해야 하므로 기울기는

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y}{x} \implies \frac{\mathrm{d}y}{y}=2\frac{\mathrm{d}x}{x} \implies \ln y=2\ln x+C \end{aligned}$

점 $(3,2)$ 를 지나려면 $\ln 2=2\ln 3+C$ 를 만족하도록 $C$ 를 택해야 한다. 따라서 $C=\ln\frac{2}{9}$ 이고 곡선은 $\ln y=2\ln x+\ln\frac{2}{9}$ 즉 $y=\frac{2}{9}x^2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}\left< x,2y\right>\text{ and, in particular, } { \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)= -200 e^{-17}\left< 3,4\right>$

(a) At $(3,2)$ the dune slopes downward the most steeply in the direction opposite ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ , which is (any positive multiple of) $\left< 3,4\right>$ .

(b) The rate is $D_{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} h(3,2)={ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=-800 e^{-17}$ .

(c) To remain at the same height, you should walk perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } h(3,2)$ . So you should walk in one of the directions $\pm\big(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\big)$ .

(d) Suppose that you are walking along a steepest descent curve. Then the direction from $(x,y)$ to $(x+\mathrm{d}x, y+\mathrm{d}y)$ , with $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ infinitesmal, must be opposite to ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)= -200 e^{-(x^2+2y^2)}(x,2y)$ . Thus $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ must be parallel to $(x,2y)$ so that the slope

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y}{x} \implies \frac{\mathrm{d}y}{y}=2\frac{\mathrm{d}x}{x} \implies \ln y=2\ln x+C \end{aligned}$

We must choose $C$ to obey $\ln 2=2\ln 3+C$ in order to pass through the point $(3,2)$ . Thus $C=\ln\frac{2}{9}$ and the curve is $\ln y=2\ln x+\ln\frac{2}{9}$ or $y=\frac{2}{9}x^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 30번

# 방향도함수와 기울기벡터활용도전자동 분류

699.CLP-3 · 2.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

$u(x,t)= e^{-t-x^2}$ 이라 하자. $u(x,t)$ 가 편미분방정식

$u_{xx}(x,t)+u(x,t) = g(x)\, u_t(x,t)$

을 만족하도록 하는 함수 $g(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $u(x,t)= e^{-t-x^2}$ . Find a function $g(x)$ so that $u(x,t)$ obeys the partial differential equation

$u_{xx}(x,t)+u(x,t) = g(x)\, u_t(x,t)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 $u(x,t)= e^{-t-x^2}$ 일 때 $u_t(x,t)$ 와 $u_{xx}(x,t)+u(x,t)$ 를 계산한다.

$\begin{aligned} u(x,t)&= e^{-t-x^2} \\ u_t(x,t)&= -e^{-t-x^2} \\ u_x(x,t)&= -2x e^{-t-x^2} \\ u_{xx}(x,t)&= -2 e^{-t-x^2} +4x^2 e^{-t-x^2} \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} u_{xx}(x,t)+u(x,t) &= \big[-2 e^{-t-x^2} +4x^2 e^{-t-x^2}\big] +e^{-t-x^2} \\ &= \big[4x^2-1]e^{-t-x^2} \end{aligned}$

이것이 $g(x)\, u_t(x,t) = -g(x)\, e^{-t-x^2}$ 와 같아지려면 $g(x) = 1-4x^2$ 이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

We start by evaluating $u_t(x,t)$ and $u_{xx}(x,t)+u(x,t)$ when $u(x,t)= e^{-t-x^2}$ .

$\begin{aligned} u(x,t)&= e^{-t-x^2} \\ u_t(x,t)&= -e^{-t-x^2} \\ u_x(x,t)&= -2x e^{-t-x^2} \\ u_{xx}(x,t)&= -2 e^{-t-x^2} +4x^2 e^{-t-x^2} \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} u_{xx}(x,t)+u(x,t) &= \big[-2 e^{-t-x^2} +4x^2 e^{-t-x^2}\big] +e^{-t-x^2} \\ &= \big[4x^2-1]e^{-t-x^2} \end{aligned}$

For this to equal $g(x)\, u_t(x,t) = -g(x)\, e^{-t-x^2}$ , we need $g(x) = 1-4x^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.8절 · 2번

# 편미분방정식 맛보기계산기본자동 분류

700.CLP-3 · 2.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

(a) 편미분방정식

$u_x=0$

을 만족하는 모든 함수 $u(x,y)$ 를 구하세요. (b) $f(x)$ 를 주어진 함수라 하자. 편미분방정식

$u_x(x,y)= f(x)$

을 만족하는 모든 함수 $u(x,y)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find all functions $u(x,y)$ that obey the partial differential equation

$u_x=0$ (b) Let $f(x)$ be a given function. Find all functions $u(x,y)$ that obey the partial differential equation

$u_x(x,y)= f(x)$

정답·풀이 보기

(a) 임의의 $y_0$ 을 고정하고 $v(x)=u(x,y_0)$ 라 하자. 그러면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = 0 \end{aligned}$

이다. 따라서 각각의 고정된 $y_0$ 에 대해 $x$ 의 함수인 $v(x)=u(x,y_0)$ 는 상수이어야 한다. 이 상수는 $y_0$ 을 어떻게 택하느냐에 따라 달라질 수 있다. 따라서 $u(x,y_0) = C(y_0)$ 이며, $C(y_0)$ 은 $y_0$ 에만 의존하고 $x$ 에는 의존하지 않는다. $y_0$ 을 다시 $y$ 로 바꾸어 쓰면, $u(x,y)=C(y)$ 이고 $C(y)$ 는 변수 $y$ 하나만의 임의의 함수이다.

(b) 임의의 $y_0$ 을 고정하고 $v(x)=u(x,y_0)$ 라 하자. 그러면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = f(x) \end{aligned}$

이다. 말로 하면, $v(x)$ 는 도함수가 $f(x)$ 이어야 하고, 즉 $f(x)$ 의 부정적분이어야 한다. 따라서 $F(x)$ 가 도함수가 $f(x)$ 인 임의의 함수, 즉 $F(x)$ 가 $f(x)$ 의 임의의 부정적분이면, 각각의 고정된 $y_0$ 에 대해 $v(x)=u(x,y_0) = F(x) +C$ 이고, 여기서 $C$ 는 상수이다. 이 상수는 $y_0$ 을 어떻게 택하느냐에 따라 달라질 수 있다. 따라서 $u(x,y_0) = F(x)+ C(y_0)$ 이며, $C(y_0)$ 은 $y_0$ 에만 의존하고 $x$ 에는 의존하지 않는다. $y_0$ 을 다시 $y$ 로 바꾸어 쓰면, $u(x,y)=F(x) + C(y)$ 이고 $F(x)$ 는 $f(x)$ 의 임의의 부정적분, $C(y)$ 는 변수 $y$ 하나만의 임의의 함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Fix any $y_0$ and set $v(x)=u(x,y_0)$ . Then

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = 0 \end{aligned}$

So, for each fixed $y_0$ , $v(x)=u(x,y_0)$ , which is a function of $x$ , has to be a constant. The constant may be different for each different choice of $y_0$ . So $u(x,y_0) = C(y_0)$ with $C(y_0)$ depending only on $y_0$ , not on $x$ . Or, renaming $y_0$ back to $y$ , $u(x,y)=C(y)$ with $C(y)$ being any function of the single variable $y$ .

(b) Fix any $y_0$ and set $v(x)=u(x,y_0)$ . Then

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(x) =\frac{\partial u}{\partial x}(x,y_0) = f(x) \end{aligned}$

In words, $v(x)$ has to have derivative $f(x)$ , i.e. be an antiderivative of $f(x)$ . So if $F(x)$ is any function whose derivative is $f(x)$ , i.e. if $F(x)$ is any antiderivative of $f(x)$ , then, for each fixed $y_0$ , $v(x)=u(x,y_0) = F(x) +C$ , with $C$ being a constant. The constant may be different for each different choice of $y_0$ . So $u(x,y_0) = F(x)+ C(y_0)$ with $C(y_0)$ depending only on $y_0$ , not on $x$ . Or, renaming $y_0$ back to $y$ , $u(x,y)=F(x) + C(y)$ with $F(x)$ being any antiderivative of $f(x)$ and $C(y)$ being any function of the single variable $y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.8절 · 14번

# 편미분방정식 맛보기계산기본자동 분류

다변수 미분 전체 문제