접평면과 선형근사 연습문제

21.OpenStax 3권 · 4.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 표시된 점에서 곡면의 법선의 매개변수 방정식을 구하세요. (공간에서 직선의 방정식을 구하려면 직선 위의 점 ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0})$ 과 그 직선에 평행한 벡터 $n=\langle a,b,c\rangle$ 가 필요함을 기억하세요. 그러면 직선의 방정식은 $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$ 입니다.)

$z=5{x}^{2}-2{y}^{2},P(2,1,18)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find parametric equations for the normal line to the surface at the indicated point. (Recall that to find the equation of a line in space, you need a point on the line, ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0}),$ and a vector $n=\langle a,b,c\rangle$ that is parallel to the line. Then the equation of the line is $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$

$z=5{x}^{2}-2{y}^{2},P(2,1,18)$

정답·풀이 보기

$x=20t+2,y=-4t+1,z=-t+18$

원본 교재 풀이(영어)

$x=20t+2,y=-4t+1,z=-t+18$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 19번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

22.OpenStax 3권 · 4.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 곡면에 대한 법선의 매개변수 방정식을 구하세요. (공간에서 직선의 방정식을 구하려면 직선 위의 한 점 ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0})$ 과 그 직선에 평행한 벡터 $n=\langle a,b,c\rangle$ 가 필요함을 떠올리세요. 그러면 직선의 방정식은 $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$

${x}^{2}-8xyz+{y}^{2}+6{z}^{2}=0,P(1,1,1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find parametric equations for the normal line to the surface at the indicated point. (Recall that to find the equation of a line in space, you need a point on the line, ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0}),$ and a vector $n=\langle a,b,c\rangle$ that is parallel to the line. Then the equation of the line is $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$

${x}^{2}-8xyz+{y}^{2}+6{z}^{2}=0,P(1,1,1)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 29번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

23.OpenStax 3권 · 4.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 곡면에 대한 법선의 매개변수 방정식을 구하세요. (공간에서 직선의 방정식을 구하려면 직선 위의 한 점 ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0})$ 과 그 직선에 평행한 벡터 $n=\langle a,b,c\rangle$ 가 필요함을 떠올리세요. 그러면 직선의 방정식은 $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$

$z=\ln (3{x}^{2}+7{y}^{2}+1),P(0,0,0)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find parametric equations for the normal line to the surface at the indicated point. (Recall that to find the equation of a line in space, you need a point on the line, ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0}),$ and a vector $n=\langle a,b,c\rangle$ that is parallel to the line. Then the equation of the line is $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$

$z=\ln (3{x}^{2}+7{y}^{2}+1),P(0,0,0)$

정답·풀이 보기

$x=0,y=0,z=t$

원본 교재 풀이(영어)

$x=0,y=0,z=t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 21번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

24.OpenStax 3권 · 4.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 곡면에 대한 법선의 매개변수 방정식을 구하세요. (공간에서 직선의 방정식을 구하려면 직선 위의 한 점 ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0})$ 과 그 직선에 평행한 벡터 $n=\langle a,b,c\rangle$ 가 필요함을 떠올리세요. 그러면 직선의 방정식은 $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$

$z={e}^{4{x}^{2}+6{y}^{2}},P(0,0,1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find parametric equations for the normal line to the surface at the indicated point. (Recall that to find the equation of a line in space, you need a point on the line, ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0}),$ and a vector $n=\langle a,b,c\rangle$ that is parallel to the line. Then the equation of the line is $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$

$z={e}^{4{x}^{2}+6{y}^{2}},P(0,0,1)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 9번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

25.OpenStax 3권 · 4.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 주어진 점에서 곡면에 대한 법선의 매개변수 방정식을 구하세요. (공간에서 직선의 방정식을 구하려면 직선 위의 한 점 ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0})$ 과 그 직선에 평행한 벡터 $n=\langle a,b,c\rangle$ 가 필요함을 기억하세요. 그러면 직선의 방정식은 $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$ 입니다.

$z={x}^{2}-2xy+{y}^{2}$ 위의 점 $P(1,2,1)$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, find parametric equations for the normal line to the surface at the indicated point. (Recall that to find the equation of a line in space, you need a point on the line, ${P}_{0}({x}_{0,}{y}_{0},{z}_{0}),$ and a vector $n=\langle a,b,c\rangle$ that is parallel to the line. Then the equation of the line is $x-{x}_{0}=at,y-{y}_{0}=bt,z-{z}_{0}=ct.)$

$z={x}^{2}-2xy+{y}^{2}$ at point $P(1,2,1)$

정답·풀이 보기

$x-1=2t;\,y-2=-2t;\,z-1=t$

원본 교재 풀이(영어)

$x-1=2t;\,y-2=-2t;\,z-1=t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 15번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

26.OpenStax 3권 · 4.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

선분 $AC$ 의 길이는 어떤 수학적인 식과 같습니까?

영어 원문 보기

The length of line segment $AC$ is equal to what mathematical expression?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 47번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

27.OpenStax 3권 · 4.4절 · 27번대학 수준우리말 번역

선분 $BC$ 의 길이는 어떤 식과 같습니까?

영어 원문 보기

The length of line segment $BC$ is equal to what mathematical expression?

정답·풀이 보기

함수 $z(x,y)=dz={f}_{x}dx+{f}_{y}dy$ 의 미분

원본 교재 풀이(영어)

The differential of the function $z(x,y)=dz={f}_{x}dx+{f}_{y}dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 17번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

28.OpenStax 3권 · 4.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

그림을 이용하여 선분 $AB$ 의 길이가 무엇을 나타내는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Using the figure, explain what the length of line segment $AB$ represents.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 15번

# 접평면과 선형근사그래프·표 해석자동 분류

29.OpenStax 3권 · 4.4절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 과제를 수행하세요.

$f(x,y)={e}^{xy}x$ 가 점 $(1,0)$ 에서 미분가능함을 보이세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, complete each task.

Show that $f(x,y)={e}^{xy}x$ is differentiable at point $(1,0).$

정답·풀이 보기

미분가능성의 정의를 이용하면 ${e}^{xy}x\approx x+y$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of differentiability, we have ${e}^{xy}x\approx x+y.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 31번

# 접평면과 선형근사증명·논술자동 분류

30.OpenStax 3권 · 4.4절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 과제를 수행하세요.

함수 $w={e}^{y}\cos (x)+{z}^{2}$ 의 전미분을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, complete each task.

Find the total differential of the function $w={e}^{y}\cos (x)+{z}^{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 20번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

31.OpenStax 3권 · 4.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)={x}^{2}+3y$ 가 모든 점에서 미분가능함을 보이세요. 다시 말해, $(\Delta x,\Delta y)$ 가 $(0,0)$ 에 가까워질 때 ${\varepsilon }_{1}$ 과 ${\varepsilon }_{2}$ 가 모두 0 에 가까워지면서 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)={f}_{x}\Delta x+{f}_{y}\Delta y+{\varepsilon }_{1}\Delta x+{\varepsilon }_{2}\Delta y$ 가 성립함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $f(x,y)={x}^{2}+3y$ is differentiable at every point. In other words, show that $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)={f}_{x}\Delta x+{f}_{y}\Delta y+{\varepsilon }_{1}\Delta x+{\varepsilon }_{2}\Delta y,$ where both ${\varepsilon }_{1}$ and ${\varepsilon }_{2}$ approach zero as $(\Delta x,\Delta y)$ approaches $(0,0).$

정답·풀이 보기

$\Delta z=2x\Delta x+3\Delta y+{(\Delta x)}^{2}$ . 작은 $\Delta x$ 에 대해 ${(\Delta x)}^{2}\to 0$ 이고 $z$ 는 미분가능성의 정의를 만족시킨다.

원본 교재 풀이(영어)

$\Delta z=2x\Delta x+3\Delta y+{(\Delta x)}^{2}.$ ${(\Delta x)}^{2}\to 0$ for small $\Delta x$ and $z$ satisfies the definition of differentiability.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 49번

# 접평면과 선형근사증명·논술자동 분류

32.OpenStax 3권 · 4.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

$x$ 가 $10\,\text{에서}\,10.5$ 로, $y$ 가 $15\,\text{에서}\,13$ 으로 변할 때, 함수 $z=\frac{xy}{y+x}$ 의 전미분을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total differential of the function $z=\frac{xy}{y+x}$ where $x$ changes from $10\,\text{to}\,10.5$ and $y$ changes from $15\,\text{to}\,13.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 33번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

33.OpenStax 3권 · 4.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)=x{e}^{y}$ 라 하자. $P(1,2)$ 에서 $Q(1.05,2.1)$ 까지 $\Delta z$ 를 계산한 다음, 점 $P$ 에서 점 $Q$ 까지 $z$ 의 근삿값 변화량을 구하세요. $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 이며, $dz$ 와 $\Delta z$ 는 거의 같음을 기억하세요.

영어 원문 보기

Let $z=f(x,y)=x{e}^{y}.$ Compute $\Delta z$ from $P(1,2)$ to $Q(1.05,2.1)$ and then find the approximate change in $z$ from point $P$ to point $Q.$ Recall $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y),$ and $dz$ and $\Delta z$ are approximately equal.

정답·풀이 보기

$\Delta z\approx 1.185422$ 이고 $dz\approx 1.108$ 이다. 두 값은 비교적 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

$\Delta z\approx 1.185422$ and $dz\approx 1.108.$ They are relatively close.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 23번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

34.OpenStax 3권 · 4.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

직원기둥의 부피는 $V(r,h)=\pi {r}^{2}h$ 로 주어진다. 전미분 $dV$ 를 구하세요. 이 식을 기하학적으로 해석하세요.

영어 원문 보기

The volume of a right circular cylinder is given by $V(r,h)=\pi {r}^{2}h.$ Find the differential $dV.$ Interpret the formula geometrically.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 7번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

35.OpenStax 3권 · 4.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

앞의 문제를 보세요. 전미분을 이용하여, 지름이 $8.0\,\text{cm}$ 이고 높이가 $12\,\text{cm}$ 인 밀폐된 알루미늄 캔에서 알루미늄의 두께가 $0.04$ cm 일 때 알루미늄의 부피를 어림하세요.

영어 원문 보기

See the preceding problem. Use differentials to estimate the volume of aluminum in an enclosed aluminum can with diameter $8.0\,\text{cm}$ and height $12\,\text{cm}$ if the aluminum is $0.04$ cm thick.

정답·풀이 보기

$16$ cm³

원본 교재 풀이(영어)

$16$ cm³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

36.OpenStax 3권 · 4.4절 · 36번대학 수준우리말 번역

전미분 $dz$ 를 이용하여 $(x,y)$ 가 점 $(1,1)$ 에서 점 $(1.01,0.97)$ 로 움직일 때 $z=\sqrt{4-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 의 변화량을 어림하세요. 이 근삿값을 함수의 실제 변화량과 비교하세요.

영어 원문 보기

Use the differential $dz$ to approximate the change in $z=\sqrt{4-{x}^{2}-{y}^{2}}$ as $(x,y)$ moves from point $(1,1)$ to point $(1.01,0.97).$ Compare this approximation with the actual change in the function.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 41번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

37.OpenStax 3권 · 4.4절 · 37번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)={x}^{2}+3xy-{y}^{2}$ 이라 하자. $x$ 가 $2.00\,\text{에서}\,2.05$ 까지 변하고 $y$ 가 $3.00\,\text{에서}\,2.96$ 까지 변할 때, 함수의 정확한 변화량과 함수의 근사 변화량을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $z=f(x,y)={x}^{2}+3xy-{y}^{2}.$ Find the exact change in the function and the approximate change in the function as $x$ changes from $2.00\,\text{to}\,2.05$ and $y$ changes from $3.00\,\text{to}\,2.96.$

정답·풀이 보기

$\Delta z=$ 정확한 변화량 $=0.6449$ , 근사 변화량은 $dz=0.65$ 이다. 두 값은 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

$\Delta z=$ exact change $=0.6449,$ approximate change is $dz=0.65.$ The two values are close.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 27번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

38.OpenStax 3권 · 4.4절 · 38번대학 수준우리말 번역

원운동을 하는 입자의 구심 가속도는 $a(r,v)=\frac{{v}^{2}}{r}$ 로 주어진다. 여기서 $v$ 는 속도이고 $r$ 은이다. $v$ 에서 $3\%$ 의 오차가, $r$ 에서 $2\%$ 의 오차가 생길 때, 가속도를 측정할 때 생기는 최대 백분율 오차를 어림하세요. (백분율 오차는 원래의 양에 대한 오차의 양의 비임을 떠올리세요. 따라서 이 경우 $a$ 의 백분율 오차는 $\frac{da}{a}.)$ 로 주어진다.

영어 원문 보기

The centripetal acceleration of a particle moving in a circle is given by $a(r,v)=\frac{{v}^{2}}{r},$ where $v$ is the velocity and $r$ is the radius of the circle. Approximate the maximum percent error in measuring the acceleration resulting from errors of $3\%$ in $v$ and $2\%$ in $r.$ (Recall that the percentage error is the ratio of the amount of error over the original amount. So, in this case, the percentage error in $a$ is given by $\frac{da}{a}.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 21번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

39.OpenStax 3권 · 4.4절 · 39번대학 수준우리말 번역

직원기둥(직원기둥은 쓰이나 「원기둥의 반지름 $r$ 과 높이 $h$ 를 측정할 때 각각 $4\%\,\text{와}\,5\%$ 의 오차가 생길 수 있습니다. 부피를 측정할 때 생길 수 있는 최대 백분율 오차를 어림하세요. (백분율 오차는 원래 양에 대한 오차의 양의 비임을 상기하세요. 따라서 이 경우 $V$ 의 백분율 오차는 다음과 같습니다: $\frac{dV}{V}.)$

영어 원문 보기

The radius $r$ and height $h$ of a right circular cylinder are measured with possible errors of $4\%\,\text{and}\,5\%,$ respectively. Approximate the maximum possible percentage error in measuring the volume (Recall that the percentage error is the ratio of the amount of error over the original amount. So, in this case, the percentage error in $V$ is given by $\frac{dV}{V}.)$

정답·풀이 보기

$13\%\,\text{or}\,0.13$

원본 교재 풀이(영어)

$13\%\,\text{or}\,0.13$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 29번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

40.OpenStax 3권 · 4.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

직원뿔의 밑면의 반지름과 높이를 각각 $10$ 인치, $25$ 인치로 측정했으며, 측정값에는 각각 최대 $0.1$ 인치의 오차가 있을 수 있습니다. 미분을 이용하여 이 원뿔의 계산된 부피의 최대 오차를 어림하세요.

영어 원문 보기

The base radius and height of a right circular cone are measured as $10$ in. and $25$ in., respectively, with a possible error in measurement of as much as $0.1$ in. each. Use differentials to estimate the maximum error in the calculated volume of the cone.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류