접평면과 선형근사 연습문제

41.APEX · 12.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = x\sin y + x^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = x\sin y + x^2$

정답·풀이 보기

$dz = (\sin y + 2x)dx + (x\cos y)dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (\sin y + 2x)dx + (x\cos y)dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 41번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

42.APEX · 12.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = (2x^2+3y)^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = (2x^2+3y)^2$

정답·풀이 보기

$dz = 8x(2x^2+3y)dx + 6(2x^2+3y)dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = 8x(2x^2+3y)dx + 6(2x^2+3y)dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

43.APEX · 12.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = 5x-7y$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = 5x-7y$

정답·풀이 보기

$dz = 5dx -7dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = 5dx -7dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 7번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

44.APEX · 12.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = xe^{x+y}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = xe^{x+y}$

정답·풀이 보기

$dz = (e^{x+y}+xe^{x+y})dx +xe^{x+y}dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (e^{x+y}+xe^{x+y})dx +xe^{x+y}dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

45.APEX · 12.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \sqrt{x^2+y}$ . $f(3,7) = 4$ 임을 이용하여 $f(2.95,7.1)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \sqrt{x^2+y}$ . Approximate $f(2.95,7.1)$ knowing $f(3,7) = 4$ .

정답·풀이 보기

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2+y}}dx + \frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}dy$ , 이때 $dx = -0.05$ , $dy = .1$ 이다. $(3,7)$ 에서 $dz = 3/4(-0.05) + 1/8(.1) = -0.025$ 이므로 $f(2.95,7.1) \approx -0.025+4 = 3.975$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2+y}}dx + \frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}dy$ , with $dx = -0.05$ and $dy = .1$ . At $(3,7)$ , $dz = 3/4(-0.05) + 1/8(.1) = -0.025$ , so $f(2.95,7.1) \approx -0.025+4 = 3.975$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 2번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

46.APEX · 12.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \sin x\cos y$ . $f(0,0) = 0$ 임을 이용하여 $f(0.1,-0.1)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \sin x\cos y$ . Approximate $f(0.1,-0.1)$ knowing $f(0,0) = 0$ .

정답·풀이 보기

$dz = (\cos x\cos y)dx - (\sin x\sin y)dy$ , 이때 $dx = 0.1$ , $dy = -0.1$ 이다. $(0,0)$ 에서 $dz = 1(.1) - (0)(-0.1) = 0.1$ 이므로 $f(0.1,-0.1) \approx 0.1+0 = 0.1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (\cos x\cos y)dx - (\sin x\sin y)dy$ , with $dx = 0.1$ and $dy = -0.1$ . At $(0,0)$ , $dz = 1(.1) - (0)(-0.1) = 0.1$ , so $f(0.1,-0.1) \approx 0.1+0 = 0.1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 25번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

47.APEX · 12.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = x^2y-xy^2$ . $f(2,3) = -6$ 임을 이용하여 $f(2.04,3.06)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = x^2y-xy^2$ . Approximate $f(2.04,3.06)$ knowing $f(2,3) = -6$ .

정답·풀이 보기

$dz = (2xy-y^2)dx + (x^2-2xy)dy$ , 이때 $dx = 0.04$ , $dy = 0.06$ 이다. $(2,3)$ 에서 $dz = 3(0.04) + (-8)(0.06) = -0.36$ 이므로 $f(2.04,3.06) \approx -0.36-6 = -6.36$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (2xy-y^2)dx + (x^2-2xy)dy$ , with $dx = 0.04$ and $dy = 0.06$ . At $(2,3)$ , $dz = 3(0.04) + (-8)(0.06) = -0.36$ , so $f(2.04,3.06) \approx -0.36-6 = -6.36$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 23번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

48.APEX · 12.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. 전미분을 이용하여 지시된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \ln(x-y)$ . $f(5,4) = 0$ 임을 이용하여 $f(5.1,3.98)$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \ln(x-y)$ . Approximate $f(5.1,3.98)$ knowing $f(5,4) = 0$ .

정답·풀이 보기

$dz = \frac1{x-y}dx -\frac{1}{x-y}dy$ 이고, $dx = 0.1$ , $dy = -0.02$ 이다. $(5,4)$ 에서 $dz = 1(0.1) + (-1)(-0.02) = 0.12$ 이므로 $f(5.1,3.98) \approx 0.12+0 = 0.12$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = \frac1{x-y}dx -\frac{1}{x-y}dy$ , with $dx = 0.1$ and $dy = -0.02$ . At $(5,4)$ , $dz = 1(0.1) + (-1)(-0.02) = 0.12$ , so $f(5.1,3.98) \approx 0.12+0 = 0.12$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 16번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

49.APEX · 12.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16은 오차 근사와 민감도 분석에 관한 여러 가지 질문을 다룹니다.

먼 거리를 짧은 줄자보다 긴 줄자로 재는 것이 훨씬 낫다는 것은 "상식"입니다. 측정한 거리 $D$ 는 줄자의 길이 $\ell$ 과 줄자를 사용한 횟수 $n$ 의 곱으로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 3' 줄자를 10번 사용하면 길이는 30'가 됩니다. 같은 거리를 12' 줄자로 재려면 줄자를 2.5번 사용하게 됩니다. (즉, $30=12\times 2.5$ .) 따라서 $D = n\ell$ 입니다.

줄자로 한 번 측정할 때마다 기록된 거리가 실제 거리와 1/16” 이내로 차이 난다고 가정합니다. (즉, $d\ell = 1/16'' \approx 0.005$ ft.) 미분을 이용하여, 먼 거리를 잴 때 긴 줄자를 쓰는 것이 더 낫다는 상식이 옳음을 보이세요.

영어 원문 보기

Exercises 13–16 ask a variety of questions dealing with approximating error and sensitivity analysis.

It is “common sense” that it is far better to measure a long distance with a long measuring tape rather than a short one. A measured distance $D$ can be viewed as the product of the length $\ell$ of a measuring tape times the number $n$ of times it was used. For instance, using a 3' tape 10 times gives a length of 30'. To measure the same distance with a 12' tape, we would use the tape 2.5 times. (I.e., $30=12\times 2.5$ .) Thus $D = n\ell$ .

Suppose each time a measurement is taken with the tape, the recorded distance is within 1/16” of the actual distance. (I.e., $d\ell = 1/16'' \approx 0.005$ ft). Using differentials, show why common sense proves correct in that it is better to use a long tape to measure long distances.

정답·풀이 보기

$D = n\ell$ 이므로 전미분은 $dD = \ell\, dn+ n\,d\ell$ 이다. 짧은 줄자로 측정하면 $n$ 이 커야 하므로, $n\,d\ell$ 은 긴 줄자를 사용할 때( $n$ 이 작을 때)보다 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

With $D = n\ell$ , the total differential is $dD = \ell\, dn+ n\,d\ell.$ If one measures with a short tape, $n$ must be large and hence $n\,d\ell$ is going to be greater than when a large tape is used (wherein $n$ will be small).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 18번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

50.APEX · 12.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–18에서 전미분 $dw$ 를 구하세요.

$w= x^2yz^3$

영어 원문 보기

In Exercises 17–18, find the total differential $dw$ .

$w= x^2yz^3$

정답·풀이 보기

$dw = 2xyz^3\,dx + x^2z^3\,dy + 3x^2yz^2\,dz$

원본 교재 풀이(영어)

$dw = 2xyz^3\,dx + x^2z^3\,dy + 3x^2yz^2\,dz$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 45번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

51.APEX · 12.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–18에서 전미분 $dw$ 를 구하세요.

$w= e^x\sin y\ln z$

영어 원문 보기

In Exercises 17–18, find the total differential $dw$ .

$w= e^x\sin y\ln z$

정답·풀이 보기

$dw = e^x\sin y\ln z\,dx + e^x\cos y\ln z\,dy + e^x\sin y\frac1z\,dz$

원본 교재 풀이(영어)

$dw = e^x\sin y\ln z\,dx + e^x\cos y\ln z\,dy + e^x\sin y\frac1z\,dz$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 45번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

52.APEX · 12.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(3,1) = 7$ , $f_x(3,1) = 9$ , $f_y(3,1) = -2$ . $f(3.05, 0.9)$ 를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(3,1) = 7$ , $f_x(3,1) = 9$ , $f_y(3,1) = -2$ . Approximate $f(3.05, 0.9)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.05$ , $dy = -0.1$ . $dz = 9(.05)+(-2)(-0.1) = 0.65$ . So $f(3.05,0.9) \approx 7+0.65=7.65$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.05$ , $dy = -0.1$ . $dz = 9(.05)+(-2)(-0.1) = 0.65$ . So $f(3.05,0.9) \approx 7+0.65=7.65$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 19번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

53.APEX · 12.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(-4,2) = 13$ , $f_x(-4,2) = 2.6$ , $f_y(-4,2) = 5.1$ . $f(-4.12, 2.07)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(-4,2) = 13$ , $f_x(-4,2) = 2.6$ , $f_y(-4,2) = 5.1$ . Approximate $f(-4.12, 2.07)$ .

정답·풀이 보기

$dx = -0.12$ , $dy = 0.07$ . $dz = 2.6(-.12)+(5.1)(0.07) = 0.045$ . So $f(-4.12, 2.07) \approx 13+0.045=13.045$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = -0.12$ , $dy = 0.07$ . $dz = 2.6(-.12)+(5.1)(0.07) = 0.045$ . So $f(-4.12, 2.07) \approx 13+0.045=13.045$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.7절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

54.APEX · 12.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(2,4,5) = -1$ , $f_x(2,4,5) = 2$ , $f_y(2,4,5) = -3$ , $f_z(2,4,5) = 3.7$ . $f(2.5,4.1,4.8)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(2,4,5) = -1$ , $f_x(2,4,5) = 2$ , $f_y(2,4,5) = -3$ , $f_z(2,4,5) = 3.7$ . Approximate $f(2.5,4.1,4.8)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.5$ , $dy = 0.1$ , $dz = -0.2$ .

$dw = 2(0.5) + (-3)(0.1) + 3.7(-0.2) = -0.04$ , so $f(2.5, 4.1, 4.8) \approx -1-0.04 = -1.04$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.5$ , $dy = 0.1$ , $dz = -0.2$ .

$dw = 2(0.5) + (-3)(0.1) + 3.7(-0.2) = -0.04$ , so $f(2.5, 4.1, 4.8) \approx -1-0.04 = -1.04$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 18번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

55.APEX · 12.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(3,3,3) = 5$ , $f_x(3,3,3) = 2$ , $f_y(3,3,3) = 0$ , $f_z(3,3,3) = -2$ . $f(3.1, 3.1,3.1)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(3,3,3) = 5$ , $f_x(3,3,3) = 2$ , $f_y(3,3,3) = 0$ , $f_z(3,3,3) = -2$ . Approximate $f(3.1, 3.1,3.1)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.1$ , $dy = 0.1$ , $dz = 0.1$ .

$dw = 2(0.1) + (0)(0.1) + (-2)(.1) = 0$ , so $f(3.1,3.1,3.1) \approx 5+0=5$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.1$ , $dy = 0.1$ , $dz = 0.1$ .

$dw = 2(0.1) + (0)(0.1) + (-2)(.1) = 0$ , so $f(3.1,3.1,3.1) \approx 5+0=5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 12번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

56.APEX · 12.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^2+y+1$ , 꼭짓점이 $(0,1)$ , $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ 인 삼각형으로 제한된다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^2+y+1$ , constrained to the triangle with vertices $(0,1)$ , $(-1,-1)$ and $(1,-1)$ .

정답·풀이 보기

이 삼각형은 직선 $y=-1$ , $y=2x+1$ , $y=-2x+1$ 로 둘러싸여 있다.

$y=-1$ 위에서는 $(0,-1)$ 에 임계점이 있다.

$y=2x+1$ 위에서는 $(-3/5,-1/5)$ 에 임계점이 있다.

$y=-2x+1$ 위에서는 $(3/5,-1/5)$ 에 임계점이 있다.

함수 $f$ 는 제약 조건과 관계없이 $(0,-1/2)$ 에 임계점이 하나 있다.

이 네 점과 삼각형의 세 꼭짓점에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(0,1,3)$ 에서, 최솟값은 $(0,-1/2,3/4)$ 에서 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

The triangle is bound by the lines $y=-1$ , $y=2x+1$ and $y=-2x+1$ .

Along $y=-1$ , there is a critical point at $(0,-1)$ .

Along $y=2x+1$ , there is a critical point at $(-3/5,-1/5)$ .

Along $y=-2x+1$ , there is a critical point at $(3/5,-1/5)$ .

The function $f$ has one critical point, irrespective of the constraint, at $(0,-1/2)$ .

Checking the value of $f$ at these four points, along with the three vertices of the triangle, we find the absolute maximum is at $(0,1,3)$ and the absolute minimum is at $(0,-1/2,3/4)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 37번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

57.APEX · 12.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15~18번에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = 5x-7y$ , 영역은 $y=x^2$ 과 $y=1$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = 5x-7y$ , constrained to the region bounded by $y=x^2$ and $y=1$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 $(1,1)$ 과 $(-1,1)$ 에 두 개의 "꼭짓점"이 있다.

$y=1$ 을 따라서는 임계점이 없다.

$y=x^2$ 을 따라서는 $(5/14,25/196)\approx (0.357,0.128)$ 에 임계점이 있다.

함수 $f$ 자체는 임계점이 없다. 꼭짓점 $(1,1)$ , $(-1,1)$ 과 임계점 $(5/14,25/196)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(5/14,25/196,25/28) \approx (0.357,0.128,0.893)$ 에서 나타나고 최솟값은 $(-1,1,-12)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has two “corners” at $(1,1)$ and $(-1,1)$ .

Along $y=1$ , there is no critical point.

Along $y=x^2$ , there is a critical point at $(5/14,25/196)\approx (0.357,0.128)$ .

The function $f$ itself has no critical points. Checking the value of $f$ at the corners $(1,1)$ , $(-1,1)$ and the critical point $(5/14,25/196)$ , we find the absolute maximum is at $(5/14,25/196,25/28) \approx (0.357,0.128,0.893)$ and the absolute minimum is at $(-1,1,-12)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

58.APEX · 12.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15~18번에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2x+y^2+2y$ , 영역은 원 $x^2+y^2=4$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2x+y^2+2y$ , constrained to the region bounded by the circle $x^2+y^2=4$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 "꼭짓점"이 없고, 매끄러운 경계만 있다.

원 $x^2+y^2=4$ 를 따라 임계점을 찾기 위해 $y^2$ 에 대해 풀면 $y^2=4-x^2$ 이다. 더 나아가 $y=\pm\sqrt{4-x^2}$ 로 쓸 수 있다.

$f$ 를 $f(x)=x^2+2x + (4-x^2) + 2\sqrt{4-x^2} = 2x+4+2\sqrt{4-x^2}$ 로 다시 쓸 수 있다. ( $-\sqrt{4-x^2}$ 는 나중에 다시 다룬다.) $f\,'(x)=0$ 을 풀면 $x=\sqrt{2} \Rightarrow y=\sqrt{2}$ 이다. 또한 $f\,'(x)$ 는 $x=\pm 2$ 에서 정의되지 않으며, 이때 $y=0$ 이다.

$y=-\sqrt{4-x^2}$ 을 이용하면 $f(x,y)$ 를 $f(x) = 2x+4-2\sqrt{4-x^2}$ 로 다시 쓸 수 있다. $f\,'(x) =0$ 을 풀면 $x=-\sqrt{2},\ y=-\sqrt{2}$ 이다. 이 경우에도 $f\,'(x)$ 는 $x=\pm 2$ 에서 정의되지 않는다.

함수 $z=f(x,y)$ 자체는 $(-1,-1)$ 에 임계점을 갖는다.

$(-1,-1)$ , $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ , $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ , $(2,0)$ , $(-2,0)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(\sqrt2,\sqrt2,4+4\sqrt2)$ 에서 나타나고 최솟값은 $(-1,-1,-2)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has no “corners” or “vertices,” just a smooth edge.

To find critical points along the circle $x^2+y^2=4$ , we solve for $y^2$ : $y^2=4-x^2$ . We can go further and state $y=\pm\sqrt{4-x^2}$ .

We can rewrite $f$ as $f(x)=x^2+2x + (4-x^2) + 2\sqrt{4-x^2} = 2x+4+2\sqrt{4-x^2}$ . (We will return and use $-\sqrt{4-x^2}$ later.) Solving $f\,'(x)=0$ , we get $x=\sqrt{2} \Rightarrow y=\sqrt{2}$ . $f\,'(x)$ is also undefined at $x=\pm 2$ , where $y=0$ .

Using $y=-\sqrt{4-x^2}$ , we rewrite $f(x,y)$ as $f(x) = 2x+4-2\sqrt{4-x^2}$ . Solving $f\,'(x) =0$ , we get $x=-\sqrt{2},\ y=-\sqrt{2}$ . Again, $f\,'(x)$ is undefined at $x=\pm 2$ .

The function $z=f(x,y)$ itself has a critical point at $(-1,-1)$ .

Checking the value of $f$ at $(-1,-1)$ , $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ , $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ , $(2,0)$ and $(-2,0)$ , we find the absolute maximum is at $(\sqrt2,\sqrt2,4+4\sqrt2)$ and the absolute minimum is at $(-1,-1,-2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 26번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

59.APEX · 12.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = 3y-2x^2$ , 포물선 $y=x^2+x-1$ 과 직선 $y=x$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = 3y-2x^2$ , constrained to the region bounded by the parabola $y=x^2+x-1$ and the line $y=x$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 $(-1,-1)$ 과 $(1,1)$ 에 두 개의 “꼭짓점”이 있다.

직선 $y=x$ 위에서 $f(x,y)$ 는 $f(x) = 3x-2x^2$ 이 된다. 이 직선 위에서 임계점은 $(3/4,3/4)$ 이다.

곡선 $y=x^2+x-1$ 위에서 $f(x,y)$ 는 $f(x) =x^2+3x-3$ 이 된다. 이 곡선 위의 임계점은 $(-3/2, -1/4)$ 이다. $x=-3/2$ 는 유계인 이 영역 밖에 있으므로 이 임계점은 무시한다.

함수 $f$ 자체에는 임계점이 없다.

$(-1,-1)$ , $(1,1)$ , $(3/4,3/4)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(3/4,3/4,9/8)$ 에서, 최솟값은 $(-1,-1,-5)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has two “corners” at $(-1,-1)$ and $(1,1)$ .

Along the line $y=x$ , $f(x,y)$ becomes $f(x) = 3x-2x^2$ . Along this line, we have a critical point at $(3/4,3/4)$ .

Along the curve $y=x^2+x-1$ , $f(x,y)$ becomes $f(x) =x^2+3x-3$ . There is a critical point along this curve at $(-3/2, -1/4)$ . Since $x=-3/2$ lies outside our bounded region, we ignore this critical point.

The function $f$ itself has no critical points.

Checking the value of $f$ at $(-1,-1)$ , $(1,1)$ , $(3/4,3/4)$ , we find the absolute maximum is at $(3/4,3/4,9/8)$ and the absolute minimum is at $(-1,-1,-5)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 13번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

60.CLP-3 · 2.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 과 $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ 이 $(0,0,0)$ 에서 서로 접한다고 말하는 것이 타당한가요?

영어 원문 보기

Is it reasonable to say that the surfaces $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ and $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ are tangent to each other at $(0,0,0)$ ?

정답·풀이 보기

$F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ , $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ 이라 하자. 곡면 $F(x,y,z)=0$ 을 $S_1$ , 곡면 $G(x,y,z)=0$ 을 $S_2$ 라 하자. 먼저 $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ 이므로 점 $(0,0,0)$ 은 $S_1$ 과 $S_2$ 위에 모두 있다. $F$ 와 $G$ 의 그래디언트는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) &=\left<\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z-1)\right> \\ { \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) &=\left<\frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z+1)\right> \end{aligned}$

특히,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left< 0,0,-2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left< 0,0,2\right>$

이므로 벡터 $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ 은 $(0,0,0)$ 에서 두 곡면에 모두 수직이다. 따라서 $(0,0,0)$ 에서 $S_1$ 과 $S_2$ 의 접평면은 모두

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left< x-0,y-0,z-0\right>=0\qquad\text{또는}\qquad z=0$

이다.

평면 $z=0$ 을 $P$ 라 하자. 그러면 $S_1$ 은 $(0,0,0)$ 에서 $P$ 에 접하고, $P$ 는 $(0,0,0)$ 에서 $S_2$ 에 접한다. 따라서 $S_1$ 과 $S_2$ 가 $(0,0,0)$ 에서 접한다고 말하는 것은 타당하다.

원본 교재 풀이(영어)

Write $F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ and $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ . Let $S_1$ denote the surface $F(x,y,z)=0$ and $S_2$ denote the surface $G(x,y,z)=0$ . First note that $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ so that the point $(0,0,0)$ lies on both $S_1$ and $S_2$ . The gradients of $F$ and $G$ are

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) &=\left<\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z-1)\right> \\ { \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) &=\left<\frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z+1)\right> \end{aligned}$

In particular,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left< 0,0,-2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left< 0,0,2\right>$

so that the vector $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ is normal to both surfaces at $(0,0,0)$ . So the tangent plane to both $S_1$ and $S_2$ at $(0,0,0)$ is

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left< x-0,y-0,z-0\right>=0\qquad\text{or}\qquad z=0$

Denote by $P$ the plane $z=0$ . Thus $S_1$ is tangent to $P$ at $(0,0,0)$ and $P$ is tangent to $S_2$ at $(0,0,0)$ . So it is reasonable to say that $S_1$ and $S_2$ are tangent at $(0,0,0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 2번

# 접평면과 선형근사계산기본자동 분류