매개변수와 극좌표 전체 연습문제

521.APEX · 9.4절 · 53번대학 수준우리말 번역

49–56번 문제에서, 극좌표 그래프의 교점을 구하세요.

구간 $[0,\pi]$ 에서 $r=\sin(3\theta)$ 와 $r=\cos(3\theta)$

영어 원문 보기

In Exercises 49–56, find the points of intersection of the polar graphs.

$r=\sin(3\theta)$ and $r=\cos(3\theta)$ on $[0,\pi]$

정답·풀이 보기

$P(0,0)=P(0,\pi/6)$ , $P(\sqrt{2}/2,\pi/12)$ , $P(-\sqrt{2}/2,5\pi/12)$ , $P(\sqrt{2}/2,3\pi/4)$

원본 교재 풀이(영어)

$P(0,0)=P(0,\pi/6)$ , $P(\sqrt{2}/2,\pi/12)$ , $P(-\sqrt{2}/2,5\pi/12)$ , $P(\sqrt{2}/2,3\pi/4)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.3절 · 1번

# 극좌표와 극방정식의 그래프계산자동 분류

522.APEX · 9.4절 · 54번대학 수준우리말 번역

49–56번 문제에서, 극좌표 그래프의 교점을 구하세요.

구간 $[-\pi,\pi]$ 에서 $r=3\cos\theta$ 와 $r=1+\cos\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 49–56, find the points of intersection of the polar graphs.

$r=3\cos\theta$ and $r=1+\cos\theta$ on $[-\pi,\pi]$

정답·풀이 보기

$P(3/2,\pi/3)$ , $P(3/2,-\pi/3)$

원본 교재 풀이(영어)

$P(3/2,\pi/3)$ , $P(3/2,-\pi/3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.3절 · 37번

# 극좌표와 극방정식의 그래프계산자동 분류

523.APEX · 9.4절 · 55번대학 수준우리말 번역

49–56번 문제에서, 극좌표 그래프의 교점을 구하세요.

구간 $[0,2\pi]$ 에서 $r=1$ 과 $r=2\sin(2\theta)$

영어 원문 보기

In Exercises 49–56, find the points of intersection of the polar graphs.

$r=1$ and $r=2\sin(2\theta)$ on $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

모든 점에서 $r=1$ 이고, $\theta = \pi/12,\ 5\pi/12,\ 7\pi/12,\ 11\pi/12,\ 13\pi/12,\ 17\pi/12,\ 19\pi/12,\ 23\pi/12$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

For all points, $r=1$ ; $\theta = \pi/12,\ 5\pi/12,\ 7\pi/12,\ 11\pi/12,\ 13\pi/12,\ 17\pi/12,\ 19\pi/12,\ 23\pi/12$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.8절 · 3번

# 극좌표와 극방정식의 그래프계산자동 분류

524.APEX · 9.4절 · 56번대학 수준우리말 번역

49–56번 문제에서, 극좌표 그래프의 교점을 구하세요.

구간 $[0,2\pi]$ 에서 $r=1-\cos\theta$ 와 $r=1+\sin\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 49–56, find the points of intersection of the polar graphs.

$r=1-\cos\theta$ and $r=1+\sin\theta$ on $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

$P(0,0)=P(0,3\pi/2)$ , $P(1+\sqrt{2}/2,3\pi/4)$ , $P(1-\sqrt{2}/2,7\pi/4)$

원본 교재 풀이(영어)

$P(0,0)=P(0,3\pi/2)$ , $P(1+\sqrt{2}/2,3\pi/4)$ , $P(1-\sqrt{2}/2,7\pi/4)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.4절 · 58번

# 극좌표와 극방정식의 그래프계산자동 분류

525.APEX · 9.4절 · 57번대학 수준우리말 번역

$n$ 의 값으로 $n\neq 2,3$ 인 정수를 하나 고르고, 공학 도구를 사용하여 서로 다른 세 정수 $m$ 에 대해 $\displaystyle r=\sin\left(\frac mn\theta\right)$ 의 그래프를 그리세요. 이 그래프들을 그리고, 전체 그래프가 나타나는 최소의 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Pick a integer value for $n$ , where $n\neq 2,3$ , and use technology to plot $\displaystyle r=\sin\left(\frac mn\theta\right)$ for three different integer values of $m$ . Sketch these and determine a minimal interval on which the entire graph is shown.

정답·풀이 보기

답은 다양하다. $m$ 과 $n$ 이 1 이외의 공약수가 없으면, 전체 그래프를 그리는 데 $2n\pi$ 의 구간이 필요하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. If $m$ and $n$ do not have any common factors, then an interval of $2n\pi$ is needed to sketch the entire graph.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.4절 · 58번

# 극좌표와 극방정식의 그래프그래프·표 해석자동 분류

526.APEX · 9.4절 · 58번대학 수준우리말 번역

자신만의 극함수 $r=f(\theta)$ 를 만들어 그래프를 그리세요. 그래프가 그런 모양인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Create your own polar function, $r=f(\theta)$ and sketch it. Describe why the graph looks as it does.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.3절 · 29번

# 극좌표와 극방정식의 그래프그래프·표 해석자동 분류

527.APEX · 9.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

극방정식 $r=f(\theta)$ 가 주어졌을 때, 같은 곡선을 나타내는 매개변수방정식을 어떻게 만들 수 있습니까?

영어 원문 보기

Given polar equation $r=f(\theta)$ , how can one create parametric equations of the same curve?

정답·풀이 보기

$x=r\cos\theta$ 와 $y=r\sin\theta$ 를 이용하면 $x=f(\theta)\cos\theta$ , $y=f(\theta)\sin\theta$ 로 나타낼 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$ , we can write $x=f(\theta)\cos\theta$ , $y=f(\theta)\sin\theta$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 36번

# 극좌표에서의 넓이와 길이개념 확인자동 분류

528.APEX · 9.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

직교좌표에서는 넓이를 _____ 로 근사하는 것이 자연스럽고, 극좌표에서는 넓이를 _____ 로 근사하는 것이 자연스럽다.

영어 원문 보기

With rectangular coordinates, it is natural to approximate area with _____; with polar coordinates, it is natural to approximate area with _____.

정답·풀이 보기

직사각형; 원의 부채꼴

원본 교재 풀이(영어)

rectangles; sectors of circles

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.5절 · 1번

# 극좌표에서의 넓이와 길이개념 확인자동 분류

529.APEX · 9.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3~10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=1$ ; $\theta = \pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=1$ ; $\theta = \pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = -\cot\theta$ (b) 접선: $y=-(x-\sqrt{2}/2)+\sqrt{2}/2$ ; 법선: $y=x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = -\cot\theta$ (b) tangent line: $y=-(x-\sqrt{2}/2)+\sqrt{2}/2$ ; normal line: $y=x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 50번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

530.APEX · 9.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=\cos\theta$ ; $\theta = \pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=\cos\theta$ ; $\theta = \pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = 1/2(\tan \theta-\cot\theta)$ (b) 접선: $y=1/2$ ; 법선: $x=1/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = 1/2(\tan \theta-\cot\theta)$ (b) tangent line: $y=1/2$ ; normal line: $x=1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 28번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

531.APEX · 9.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=1+\sin\theta$ ; $\theta = \pi/6$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=1+\sin\theta$ ; $\theta = \pi/6$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta(1+2\sin\theta)}{\cos^2\theta-\sin\theta(1+\sin\theta)}$ (b) 접선: $x=3\sqrt{3}/4$ ; 법선: $y=3/4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta(1+2\sin\theta)}{\cos^2\theta-\sin\theta(1+\sin\theta)}$ (b) tangent line: $x=3\sqrt{3}/4$ ; normal line: $y=3/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 16번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

532.APEX · 9.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$\displaystyle r=1-3\cos\theta$ ; $\theta = 3\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$\displaystyle r=1-3\cos\theta$ ; $\theta = 3\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{3 \sin ^2(t)+(1-3 \cos (t)) \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)-\sin (t) (1-3 \cos (t))}$ (b) 접선: $y=\frac{1}{1+3\sqrt{2}}(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2 \approx y=0.19(x+2.21)+2.21$ ; 법선: $y=-(1+3\sqrt{2})(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{3 \sin ^2(t)+(1-3 \cos (t)) \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)-\sin (t) (1-3 \cos (t))}$ (b) tangent line: $y=\frac{1}{1+3\sqrt{2}}(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2 \approx y=0.19(x+2.21)+2.21$ ; normal line: $y=-(1+3\sqrt{2})(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 32번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

533.APEX · 9.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=\theta$ ; $\theta = \pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=\theta$ ; $\theta = \pi/2$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\theta\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\theta\sin\theta}$ (b) 접선: $y=-2/\pi x+\pi/2$ ; 법선: $y=\pi/2x+\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\theta\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\theta\sin\theta}$ (b) tangent line: $y=-2/\pi x+\pi/2$ ; normal line: $y=\pi/2x+\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 36번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

534.APEX · 9.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=\cos(3\theta)$ ; $\theta = \pi/6$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=\cos(3\theta)$ ; $\theta = \pi/6$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta\cos(3\theta)-3\sin\theta\sin(3\theta)}{-\cos(3\theta)\sin\theta-3\cos\theta\sin(3\theta)}$ (b) 접선: $y=x/\sqrt{3}$ ; 법선: $y=-\sqrt{3}x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta\cos(3\theta)-3\sin\theta\sin(3\theta)}{-\cos(3\theta)\sin\theta-3\cos\theta\sin(3\theta)}$ (b) tangent line: $y=x/\sqrt{3}$ ; normal line: $y=-\sqrt{3}x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 10번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

535.APEX · 9.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=\sin(4\theta)$ ; $\theta = \pi/3$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=\sin(4\theta)$ ; $\theta = \pi/3$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{4 \sin (\theta) \cos (4 \theta)+\sin (4 \theta) \cos (\theta)}{4 \cos (\theta) \cos (4 \theta)-\sin (\theta) \sin (4 \theta)}$ (b) 접선: $y=5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4$ ; 법선: $y=-1/5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{4 \sin (\theta) \cos (4 \theta)+\sin (4 \theta) \cos (\theta)}{4 \cos (\theta) \cos (4 \theta)-\sin (\theta) \sin (4 \theta)}$ (b) tangent line: $y=5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4$ ; normal line: $y=-1/5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 12번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

536.APEX · 9.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$\displaystyle r=\frac1{\sin\theta-\cos\theta}$ ; $\theta = \pi$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$\displaystyle r=\frac1{\sin\theta-\cos\theta}$ ; $\theta = \pi$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = 1$ (b) 접선: $y=x+1$ ; 법선: $y=-x-1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = 1$ (b) tangent line: $y=x+1$ ; normal line: $y=-x-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 30번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

537.APEX · 9.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 $\theta$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle r=3$ ; $[0,2\pi]$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of $\theta$ in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

$\displaystyle r=3$ ; $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

수평접선: $\theta=\pi/2,3\pi/2$ ;

수직접선: $\theta = 0,\pi,2\pi$

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: $\theta=\pi/2,3\pi/2$ ;

vertical: $\theta = 0,\pi,2\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 8번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

538.APEX · 9.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 $\theta$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle r=2\sin \theta$ ; $[0,\pi]$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of $\theta$ in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

$\displaystyle r=2\sin \theta$ ; $[0,\pi]$

정답·풀이 보기

수평접선: $\theta=0,\pi/2,\pi$ ;

수직접선: $\theta = \pi/4,3\pi/4$

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: $\theta=0,\pi/2,\pi$ ;

vertical: $\theta = \pi/4,3\pi/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 58번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

539.APEX · 9.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 $\theta$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle r=\cos(2\theta)$ ; $[0,2\pi]$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of $\theta$ in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

$\displaystyle r=\cos(2\theta)$ ; $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

수평접선: $\theta=\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi/2,\ \pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi+\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ 3\pi/2,\ 2\pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5})$ ;

수직접선: $\theta = 0,\ \tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi-\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi,\ \pi+\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ 2\pi-\tan^{-1}(\sqrt{5})$

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: $\theta=\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi/2,\ \pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi+\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ 3\pi/2,\ 2\pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5})$ ;

vertical: $\theta = 0,\ \tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi-\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi,\ \pi+\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ 2\pi-\tan^{-1}(\sqrt{5})$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 14번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

540.APEX · 9.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서, 주어진 구간에서 극방정식으로 나타낸 함수의 그래프가 수평 접선과 수직 접선을 갖는 $\theta$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle r=1+\cos\theta$ ; $[0,2\pi]$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of $\theta$ in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

$\displaystyle r=1+\cos\theta$ ; $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

수평 접선: $\theta=\pi/3,\ 5\pi/3$ ;

수직 접선: $\theta = 0,\ 2\pi/3,\ 4\pi/3,\ 2\pi$

$\theta=\pi$ 일 때 $\frac{dy}{dx} = 0/0$ 이다. 로피탈의 정리를 적용하면 $\theta\rightarrow \pi$ 일 때 $\frac{dy}{dx}\rightarrow 0$ 임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: $\theta=\pi/3,\ 5\pi/3$ ;

vertical: $\theta = 0,\ 2\pi/3,\ 4\pi/3,\ 2\pi$

At $\theta=\pi$ , $\frac{dy}{dx} = 0/0$ ; apply L'Hopital's Rule to find that $\frac{dy}{dx}\rightarrow 0$ as $\theta\rightarrow \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 42번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

매개변수와 극좌표 전체 문제