극좌표에서의 넓이와 길이 연습문제

81.APEX · 9.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서, 주어진 구간에서 극방정식으로 나타낸 함수의 그래프가 수평 접선과 수직 접선을 갖는 $\theta$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle r=1+\cos\theta$ ; $[0,2\pi]$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of $\theta$ in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

$\displaystyle r=1+\cos\theta$ ; $[0,2\pi]$

정답·풀이 보기

수평 접선: $\theta=\pi/3,\ 5\pi/3$ ;

수직 접선: $\theta = 0,\ 2\pi/3,\ 4\pi/3,\ 2\pi$

$\theta=\pi$ 일 때 $\frac{dy}{dx} = 0/0$ 이다. 로피탈의 정리를 적용하면 $\theta\rightarrow \pi$ 일 때 $\frac{dy}{dx}\rightarrow 0$ 임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: $\theta=\pi/3,\ 5\pi/3$ ;

vertical: $\theta = 0,\ 2\pi/3,\ 4\pi/3,\ 2\pi$

At $\theta=\pi$ , $\frac{dy}{dx} = 0/0$ ; apply L'Hopital's Rule to find that $\frac{dy}{dx}\rightarrow 0$ as $\theta\rightarrow \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 42번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

82.APEX · 9.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–16에서, 극점에서 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$\displaystyle r=\sin\theta$ ; $[0,\pi]$

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, find the equation of the lines tangent to the graph at the pole.

$\displaystyle r=\sin\theta$ ; $[0,\pi]$

정답·풀이 보기

극좌표: $\theta = 0 \ \cong \ \theta = \pi$

직교좌표: $y=0$

원본 교재 풀이(영어)

In polar: $\theta = 0 \ \cong \ \theta = \pi$

In rectangular: $y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 26번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

83.APEX · 9.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–16에서, 극점에서 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$\displaystyle r=\sin(3\theta)$ ; $[0,\pi]$

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, find the equation of the lines tangent to the graph at the pole.

$\displaystyle r=\sin(3\theta)$ ; $[0,\pi]$

정답·풀이 보기

극좌표: $\theta = 0,\ \theta = \pi/3,\ \theta = 2\pi/3$ .

직교좌표: $y=0$ , $y=\sqrt{3}x$ , $y= -\sqrt{3}x$ .

원본 교재 풀이(영어)

In polar: $\theta = 0,\ \theta = \pi/3,\ \theta = 2\pi/3$ .

In rectangular: $y=0$ , $y=\sqrt{3}x$ , and $y= -\sqrt{3}x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.5절 · 1번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

84.APEX · 9.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서, 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

원 $\displaystyle r=4\sin\theta$ 로 둘러싸인 영역

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by the circle: $\displaystyle r=4\sin\theta$

정답·풀이 보기

넓이 = $4\pi$

원본 교재 풀이(영어)

area = $4\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 2번

# 극좌표에서의 넓이와 길이활용자동 분류

85.APEX · 9.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서, 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

원 $\displaystyle r=5$ 로 둘러싸인 영역

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by the circle $\displaystyle r=5$

정답·풀이 보기

넓이 = $25\pi$

원본 교재 풀이(영어)

area = $25\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.5절 · 1번

# 극좌표에서의 넓이와 길이활용자동 분류

86.APEX · 9.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28번에서 설명하는 영역의 넓이를 구하세요.

$\displaystyle r=\sin(3\theta)$ 의 꽃잎 하나로 둘러싸인 영역

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by one petal of $\displaystyle r=\sin(3\theta)$

정답·풀이 보기

넓이 = $\pi/12$

원본 교재 풀이(영어)

area = $\pi/12$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 66번

# 극좌표에서의 넓이와 길이활용자동 분류

87.APEX · 9.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28번에서 설명하는 영역의 넓이를 구하세요.

장미 곡선 $r=\cos (n\ \theta)$ 의 꽃잎 하나로 둘러싸인 영역. 단, $n$ 은 양의 정수이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by one petal of the rose curve $r=\cos (n\ \theta)$ , where $n$ is a positive integer.

정답·풀이 보기

넓이 = $\pi/(4n)$

원본 교재 풀이(영어)

area = $\pi/(4n)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 24번

# 극좌표에서의 넓이와 길이활용자동 분류

88.APEX · 9.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28번에서 설명하는 영역의 넓이를 구하세요.

심장형 곡선 $\displaystyle r=1-\sin\theta$ 로 둘러싸인 영역

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by the cardioid $\displaystyle r=1-\sin\theta$

정답·풀이 보기

넓이 = $3\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

area = $3\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 20번

# 극좌표에서의 넓이와 길이활용자동 분류

89.APEX · 9.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28번에서 설명하는 영역의 넓이를 구하세요.

리마송 $\displaystyle r=1+2\cos \theta$ 의 안쪽 고리로 둘러싸인 영역

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by the inner loop of the lima\c con $\displaystyle r=1+2\cos \theta$

정답·풀이 보기

넓이 = $\pi-3\sqrt{3}/2$

원본 교재 풀이(영어)

area = $\pi-3\sqrt{3}/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 8번

# 극좌표에서의 넓이와 길이활용자동 분류

90.APEX · 9.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28번에서 설명하는 영역의 넓이를 구하세요.

리마송 $\displaystyle r=1+2\cos \theta$ 의 바깥쪽 고리로 둘러싸인 영역 (안쪽 고리로 둘러싸인 넓이를 포함한다)

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by the outer loop of the lima\c con $\displaystyle r=1+2\cos \theta$ (including area enclosed by the inner loop)

정답·풀이 보기

넓이 = $2\pi+3\sqrt{3}/2$

원본 교재 풀이(영어)

area = $2\pi+3\sqrt{3}/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 32번

# 극좌표에서의 넓이와 길이활용자동 분류

91.APEX · 9.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

리마송 $r=1+2\cos \theta$ 의 안쪽 고리와 바깥쪽 고리 사이에 둘러싸인 영역

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed between the inner and outer loop of the lima\c con $\displaystyle r=1+2\cos \theta$

정답·풀이 보기

넓이 = $\pi+3\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

area = $\pi+3\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 14번

# 극좌표에서의 넓이와 길이활용자동 분류

92.APEX · 9.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

그림과 같이 $r=2\cos \theta$ 와 $r=2\sin\theta$ 로 둘러싸인 영역:

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by $r=2\cos \theta$ and $r=2\sin\theta$ , as shown:

정답·풀이 보기

넓이 = $1$

원본 교재 풀이(영어)

area = $1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 26번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

93.APEX · 9.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

그림과 같이 $r=\cos(3 \theta)$ 와 $r=\sin(3\theta)$ 로 둘러싸인 영역:

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by $r=\cos(3 \theta)$ and $r=\sin(3\theta)$ , as shown:

정답·풀이 보기

넓이 = $\displaystyle \int_{\pi/12}^{\pi/3} \frac12 \sin^2(3\theta)\ d\theta - \int_{\pi/12}^{\pi/6}\frac12\cos^2(3\theta)\ d\theta = \frac1{12}+\frac{\pi}{24}$

원본 교재 풀이(영어)

area = $\displaystyle \int_{\pi/12}^{\pi/3} \frac12 \sin^2(3\theta)\ d\theta - \int_{\pi/12}^{\pi/6}\frac12\cos^2(3\theta)\ d\theta = \frac1{12}+\frac{\pi}{24}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 42번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

94.APEX · 9.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

그림과 같이 $r=\cos \theta$ 와 $r=\sin(2\theta)$ 로 둘러싸인 영역:

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by $r=\cos \theta$ and $r=\sin(2\theta)$ , as shown:

정답·풀이 보기

넓이 = $\frac{1}{32}(4\pi-3\sqrt{3})$

원본 교재 풀이(영어)

area = $\frac{1}{32}(4\pi-3\sqrt{3})$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 48번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

95.APEX · 9.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–28에서 설명된 영역의 넓이를 구하세요.

그림과 같이 $r=\cos\theta$ 와 $r=1-\cos\theta$ 로 둘러싸인 영역:

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, find the area of the described region.

Enclosed by $r=\cos\theta$ and $r=1-\cos\theta$ , as shown:

정답·풀이 보기

넓이 = $\displaystyle \int_{0}^{\pi/3} \frac12 (1-\cos\theta)^2\ d\theta +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac12 (\cos\theta)^2\ d\theta =\frac{7\pi}{24}-\frac{\sqrt{3}}2\approx 0.0503$

원본 교재 풀이(영어)

area = $\displaystyle \int_{0}^{\pi/3} \frac12 (1-\cos\theta)^2\ d\theta +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac12 (\cos\theta)^2\ d\theta =\frac{7\pi}{24}-\frac{\sqrt{3}}2\approx 0.0503$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 2번

# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류

96.APEX · 9.5절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 곡선의 길이와 관련된 물음에 답하세요.

곡선의 길이 공식을 이용하여 원 $r=2$ 의 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, answer the questions involving arc length.

Use the arc length formula to compute the arc length of the circle $r=2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$4\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$4\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 44번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

97.APEX · 9.5절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 곡선의 길이와 관련된 물음에 답하세요.

곡선의 길이 공식을 이용하여 원 $r=4\sin\theta$ 의 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, answer the questions involving arc length.

Use the arc length formula to compute the arc length of the circle $r=4\sin\theta$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$4\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$4\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.5절 · 2번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

98.APEX · 9.5절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 곡선의 길이와 관련된 물음에 답하세요.

곡선의 길이 공식을 이용하여 $r=\cos \theta+\sin \theta$ 의 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, answer the questions involving arc length.

Use the arc length formula to compute the arc length of $r=\cos \theta+\sin \theta$ .

정답·풀이 보기

넓이 = $\sqrt{2}\pi$

원본 교재 풀이(영어)

area = $\sqrt{2}\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 60번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

99.APEX · 9.5절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–34에서 곡선의 길이와 관련된 물음에 답하세요.

곡선의 길이 공식을 이용하여 심장형 곡선 $r=1+\cos\theta$ 의 곡선의 길이를 구하세요. (힌트: 공식을 적용하여 간단히 한 다음, 반각(거듭제곱 낮추기) 공식을 이용하여 $1+\cos \theta$ 를 제곱식으로 바꾸세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, answer the questions involving arc length.

Use the arc length formula to compute the arc length of the cardioid $r=1+\cos\theta$ . (Hint: apply the formula, simplify, then use a Power–Reducing Formula to convert $1+\cos \theta$ into a square.)