빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 매개변수와 극좌표

극좌표에서의 넓이와 길이

극곡선의 접선, 둘러싸인 넓이, 곡선의 길이를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

107문제 · 4 / 6쪽

61.OpenStax 2권 · 7.4절 · 61번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극곡선 위의 점 중 θ\theta 의 값으로 주어지는 점에서 접선의 기울기를 구하세요.

r=ln⁡ θ,r=\ln \,\theta , θ=e\theta =e

영어 원문 보기

For the following exercises, find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point given by the value of θ.\theta .

r=ln⁡ θ,r=\ln \,\theta , θ=e\theta =e

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 24번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
62.OpenStax 2권 · 7.4절 · 62번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, θ\theta 의 값으로 주어진 점에서 주어진 극곡선의 접선의 기울기를 구하세요.

[계산기 사용] 공학 도구를 사용하세요: θ=π6\theta =\frac{\pi }{6} 일 때 r=2+4 cos⁡ θr=2+4\,\cos \,\theta

영어 원문 보기

For the following exercises, find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point given by the value of θ.\theta .

[T] Use technology: r=2+4 cos⁡ θr=2+4\,\cos \,\theta at θ=π6\theta =\frac{\pi }{6}

정답·풀이 보기

계산기로 구한 답: −0.836.

원본 교재 풀이(영어)

Calculator answer: −0.836.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 48번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
63.OpenStax 2권 · 7.4절 · 63번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 다음 극곡선이 수평 또는 수직인 접선을 갖는 점을 구하세요.

r=4 cos⁡ θr=4\,\cos \,\theta

영어 원문 보기

For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.

r=4 cos⁡ θr=4\,\cos \,\theta

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 50번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
64.OpenStax 2권 · 7.4절 · 64번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 다음 극곡선이 수평 또는 수직인 접선을 갖는 점을 구하세요.

r2=4 cos⁡(2θ){r}^{2}=4\,\cos (2\theta )

영어 원문 보기

For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.

r2=4 cos⁡(2θ){r}^{2}=4\,\cos (2\theta )

정답·풀이 보기

수평 접선은 (±2,π6),\left(\pm \sqrt{2},\frac{\pi }{6}\right), (±2,−π6)\left(\pm \sqrt{2},-\frac{\pi }{6}\right) 에서 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal tangent at (±2,π6),\left(\pm \sqrt{2},\frac{\pi }{6}\right), (±2,−π6).\left(\pm \sqrt{2},-\frac{\pi }{6}\right).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 18번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
65.OpenStax 2권 · 7.4절 · 65번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극곡선이 수평 또는 수직인 접선을 갖는 점을 구하세요.

r=2 sin⁡(2θ)r=2\,\sin (2\theta )

영어 원문 보기

For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.

r=2 sin⁡(2θ)r=2\,\sin (2\theta )

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 30번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
66.OpenStax 2권 · 7.4절 · 66번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극곡선이 수평 또는 수직인 접선을 갖는 점을 구하세요.

심장형 곡선 r=1+sin⁡ θr=1+\sin \,\theta

영어 원문 보기

For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.

The cardioid r=1+sin⁡ θr=1+\sin \,\theta

정답·풀이 보기

수평 접선은 π2,7π6,11π6\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6} 에서 갖는다. 수직 접선은 π6,5π6\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} 에서 갖고, 극점 (0,0)(0,0) 에서도 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal tangents at π2,7π6,11π6.\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}. Vertical tangents at π6,5π6\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} and also at the pole (0,0).(0,0).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 60번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
67.OpenStax 2권 · 7.4절 · 67번대학 수준우리말 번역

곡선 r=sin⁡ θ tan⁡ θr=\sin \,\theta \,\tan \,\theta (디오클레스의 시소이드라고 한다)가 직선 x=1x=1 을 수직 점근선으로 가짐을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the curve r=sin⁡ θ tan⁡ θr=\sin \,\theta \,\tan \,\theta (called a cissoid of Diocles) has the line x=1x=1 as a vertical asymptote.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 38번
# 극좌표에서의 넓이와 길이증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
68.APEX · 9.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

극방정식 r=f(θ)r=f(\theta) 가 주어졌을 때, 같은 곡선을 나타내는 매개변수방정식을 어떻게 만들 수 있습니까?

영어 원문 보기

Given polar equation r=f(θ)r=f(\theta), how can one create parametric equations of the same curve?

정답·풀이 보기

x=rcos⁡θx=r\cos\theta 와 y=rsin⁡θy=r\sin\theta 를 이용하면 x=f(θ)cos⁡θx=f(\theta)\cos\theta, y=f(θ)sin⁡θy=f(\theta)\sin\theta 로 나타낼 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using x=rcos⁡θx=r\cos\theta and y=rsin⁡θy=r\sin\theta, we can write x=f(θ)cos⁡θx=f(\theta)\cos\theta, y=f(θ)sin⁡θy=f(\theta)\sin\theta.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 36번
# 극좌표에서의 넓이와 길이개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
69.APEX · 9.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

직교좌표에서는 넓이를 _____ 로 근사하는 것이 자연스럽고, 극좌표에서는 넓이를 _____ 로 근사하는 것이 자연스럽다.

영어 원문 보기

With rectangular coordinates, it is natural to approximate area with _____; with polar coordinates, it is natural to approximate area with _____.

정답·풀이 보기

직사각형; 원의 부채꼴

원본 교재 풀이(영어)

rectangles; sectors of circles

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.5절 · 1번
# 극좌표에서의 넓이와 길이개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
70.APEX · 9.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3~10에서 다음을 구하세요.

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) 주어진 θ\theta 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

r=1r=1; θ=π/4\theta = \pi/4

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated θ\theta–value.

r=1r=1; θ=π/4\theta = \pi/4

정답·풀이 보기

(a) dydx=−cot⁡θ\frac{dy}{dx} = -\cot\theta (b) 접선: y=−(x−2/2)+2/2y=-(x-\sqrt{2}/2)+\sqrt{2}/2; 법선: y=xy=x

원본 교재 풀이(영어)

(a) dydx=−cot⁡θ\frac{dy}{dx} = -\cot\theta (b) tangent line: y=−(x−2/2)+2/2y=-(x-\sqrt{2}/2)+\sqrt{2}/2; normal line: y=xy=x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 50번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
71.APEX · 9.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) 주어진 θ\theta 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

r=cos⁡θr=\cos\theta; θ=π/4\theta = \pi/4

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated θ\theta–value.

r=cos⁡θr=\cos\theta; θ=π/4\theta = \pi/4

정답·풀이 보기

(a) dydx=1/2(tan⁡θ−cot⁡θ)\frac{dy}{dx} = 1/2(\tan \theta-\cot\theta) (b) 접선: y=1/2y=1/2; 법선: x=1/2x=1/2

원본 교재 풀이(영어)

(a) dydx=1/2(tan⁡θ−cot⁡θ)\frac{dy}{dx} = 1/2(\tan \theta-\cot\theta) (b) tangent line: y=1/2y=1/2; normal line: x=1/2x=1/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 28번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
72.APEX · 9.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) 주어진 θ\theta 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

r=1+sin⁡θr=1+\sin\theta; θ=π/6\theta = \pi/6

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated θ\theta–value.

r=1+sin⁡θr=1+\sin\theta; θ=π/6\theta = \pi/6

정답·풀이 보기

(a) dydx=cos⁡θ(1+2sin⁡θ)cos⁡2θ−sin⁡θ(1+sin⁡θ)\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta(1+2\sin\theta)}{\cos^2\theta-\sin\theta(1+\sin\theta)} (b) 접선: x=33/4x=3\sqrt{3}/4; 법선: y=3/4y=3/4

원본 교재 풀이(영어)

(a) dydx=cos⁡θ(1+2sin⁡θ)cos⁡2θ−sin⁡θ(1+sin⁡θ)\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta(1+2\sin\theta)}{\cos^2\theta-\sin\theta(1+\sin\theta)} (b) tangent line: x=33/4x=3\sqrt{3}/4; normal line: y=3/4y=3/4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 16번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
73.APEX · 9.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) 주어진 θ\theta 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

r=1−3cos⁡θ\displaystyle r=1-3\cos\theta; θ=3π/4\theta = 3\pi/4

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated θ\theta–value.

r=1−3cos⁡θ\displaystyle r=1-3\cos\theta; θ=3π/4\theta = 3\pi/4

정답·풀이 보기

(a) dydx=3sin⁡2(t)+(1−3cos⁡(t))cos⁡(t)3sin⁡(t)cos⁡(t)−sin⁡(t)(1−3cos⁡(t))\frac{dy}{dx} = \frac{3 \sin ^2(t)+(1-3 \cos (t)) \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)-\sin (t) (1-3 \cos (t))} (b) 접선: y=11+32(x+(1/2+3/2))+1/2+3/2≈y=0.19(x+2.21)+2.21y=\frac{1}{1+3\sqrt{2}}(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2 \approx y=0.19(x+2.21)+2.21; 법선: y=−(1+32)(x+(1/2+3/2))+1/2+3/2y=-(1+3\sqrt{2})(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2

원본 교재 풀이(영어)

(a) dydx=3sin⁡2(t)+(1−3cos⁡(t))cos⁡(t)3sin⁡(t)cos⁡(t)−sin⁡(t)(1−3cos⁡(t))\frac{dy}{dx} = \frac{3 \sin ^2(t)+(1-3 \cos (t)) \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)-\sin (t) (1-3 \cos (t))} (b) tangent line: y=11+32(x+(1/2+3/2))+1/2+3/2≈y=0.19(x+2.21)+2.21y=\frac{1}{1+3\sqrt{2}}(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2 \approx y=0.19(x+2.21)+2.21; normal line: y=−(1+32)(x+(1/2+3/2))+1/2+3/2y=-(1+3\sqrt{2})(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 32번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
74.APEX · 9.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) 주어진 θ\theta 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

r=θr=\theta; θ=π/2\theta = \pi/2

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated θ\theta–value.

r=θr=\theta; θ=π/2\theta = \pi/2

정답·풀이 보기

(a) dydx=θcos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ−θsin⁡θ\frac{dy}{dx} = \frac{\theta\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\theta\sin\theta} (b) 접선: y=−2/πx+π/2y=-2/\pi x+\pi/2; 법선: y=π/2x+π/2y=\pi/2x+\pi/2

원본 교재 풀이(영어)

(a) dydx=θcos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ−θsin⁡θ\frac{dy}{dx} = \frac{\theta\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\theta\sin\theta} (b) tangent line: y=−2/πx+π/2y=-2/\pi x+\pi/2; normal line: y=π/2x+π/2y=\pi/2x+\pi/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 36번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
75.APEX · 9.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) 주어진 θ\theta 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

r=cos⁡(3θ)r=\cos(3\theta); θ=π/6\theta = \pi/6

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated θ\theta–value.

r=cos⁡(3θ)r=\cos(3\theta); θ=π/6\theta = \pi/6

정답·풀이 보기

(a) dydx=cos⁡θcos⁡(3θ)−3sin⁡θsin⁡(3θ)−cos⁡(3θ)sin⁡θ−3cos⁡θsin⁡(3θ)\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta\cos(3\theta)-3\sin\theta\sin(3\theta)}{-\cos(3\theta)\sin\theta-3\cos\theta\sin(3\theta)} (b) 접선: y=x/3y=x/\sqrt{3}; 법선: y=−3xy=-\sqrt{3}x

원본 교재 풀이(영어)

(a) dydx=cos⁡θcos⁡(3θ)−3sin⁡θsin⁡(3θ)−cos⁡(3θ)sin⁡θ−3cos⁡θsin⁡(3θ)\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta\cos(3\theta)-3\sin\theta\sin(3\theta)}{-\cos(3\theta)\sin\theta-3\cos\theta\sin(3\theta)} (b) tangent line: y=x/3y=x/\sqrt{3}; normal line: y=−3xy=-\sqrt{3}x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 10번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
76.APEX · 9.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) 주어진 θ\theta 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

r=sin⁡(4θ)r=\sin(4\theta); θ=π/3\theta = \pi/3

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated θ\theta–value.

r=sin⁡(4θ)r=\sin(4\theta); θ=π/3\theta = \pi/3

정답·풀이 보기

(a) dydx=4sin⁡(θ)cos⁡(4θ)+sin⁡(4θ)cos⁡(θ)4cos⁡(θ)cos⁡(4θ)−sin⁡(θ)sin⁡(4θ)\frac{dy}{dx} = \frac{4 \sin (\theta) \cos (4 \theta)+\sin (4 \theta) \cos (\theta)}{4 \cos (\theta) \cos (4 \theta)-\sin (\theta) \sin (4 \theta)} (b) 접선: y=53(x+3/4)−3/4y=5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4; 법선: y=−1/53(x+3/4)−3/4y=-1/5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4

원본 교재 풀이(영어)

(a) dydx=4sin⁡(θ)cos⁡(4θ)+sin⁡(4θ)cos⁡(θ)4cos⁡(θ)cos⁡(4θ)−sin⁡(θ)sin⁡(4θ)\frac{dy}{dx} = \frac{4 \sin (\theta) \cos (4 \theta)+\sin (4 \theta) \cos (\theta)}{4 \cos (\theta) \cos (4 \theta)-\sin (\theta) \sin (4 \theta)} (b) tangent line: y=53(x+3/4)−3/4y=5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4; normal line: y=−1/53(x+3/4)−3/4y=-1/5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 12번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
77.APEX · 9.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) 주어진 θ\theta 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

r=1sin⁡θ−cos⁡θ\displaystyle r=\frac1{\sin\theta-\cos\theta}; θ=π\theta = \pi

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated θ\theta–value.

r=1sin⁡θ−cos⁡θ\displaystyle r=\frac1{\sin\theta-\cos\theta}; θ=π\theta = \pi

정답·풀이 보기

(a) dydx=1\frac{dy}{dx} = 1 (b) 접선: y=x+1y=x+1; 법선: y=−x−1y=-x-1

원본 교재 풀이(영어)

(a) dydx=1\frac{dy}{dx} = 1 (b) tangent line: y=x+1y=x+1; normal line: y=−x−1y=-x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 30번
# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
78.APEX · 9.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 θ\theta 의 값을 구하세요.

r=3\displaystyle r=3; [0,2π][0,2\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of θ\theta in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

r=3\displaystyle r=3; [0,2π][0,2\pi]

정답·풀이 보기

수평접선: θ=π/2,3π/2\theta=\pi/2,3\pi/2;

수직접선: θ=0,π,2π\theta = 0,\pi,2\pi

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: θ=π/2,3π/2\theta=\pi/2,3\pi/2;

vertical: θ=0,π,2π\theta = 0,\pi,2\pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 8번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
79.APEX · 9.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 θ\theta 의 값을 구하세요.

r=2sin⁡θ\displaystyle r=2\sin \theta; [0,π][0,\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of θ\theta in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

r=2sin⁡θ\displaystyle r=2\sin \theta; [0,π][0,\pi]

정답·풀이 보기

수평접선: θ=0,π/2,π\theta=0,\pi/2,\pi;

수직접선: θ=π/4,3π/4\theta = \pi/4,3\pi/4

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: θ=0,π/2,π\theta=0,\pi/2,\pi;

vertical: θ=π/4,3π/4\theta = \pi/4,3\pi/4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 58번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
80.APEX · 9.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 주어진 구간에서 극함수의 그래프가 수평접선과 수직접선을 갖는 θ\theta 의 값을 구하세요.

r=cos⁡(2θ)\displaystyle r=\cos(2\theta); [0,2π][0,2\pi]

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, find the values of θ\theta in the given interval where the graph of the polar function has horizontal and vertical tangent lines.

r=cos⁡(2θ)\displaystyle r=\cos(2\theta); [0,2π][0,2\pi]

정답·풀이 보기

수평접선: θ=tan⁡−1(1/5), π/2, π−tan⁡−1(1/5), π+tan⁡−1(1/5), 3π/2, 2π−tan⁡−1(1/5)\theta=\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi/2,\ \pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi+\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ 3\pi/2,\ 2\pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5});

수직접선: θ=0, tan⁡−1(5), π−tan⁡−1(5), π, π+tan⁡−1(5), 2π−tan⁡−1(5)\theta = 0,\ \tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi-\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi,\ \pi+\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ 2\pi-\tan^{-1}(\sqrt{5})

원본 교재 풀이(영어)

horizontal: θ=tan⁡−1(1/5), π/2, π−tan⁡−1(1/5), π+tan⁡−1(1/5), 3π/2, 2π−tan⁡−1(1/5)\theta=\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi/2,\ \pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ \pi+\tan^{-1}(1/\sqrt{5}),\ 3\pi/2,\ 2\pi-\tan^{-1}(1/\sqrt{5});

vertical: θ=0, tan⁡−1(5), π−tan⁡−1(5), π, π+tan⁡−1(5), 2π−tan⁡−1(5)\theta = 0,\ \tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi-\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ \pi,\ \pi+\tan^{-1}(\sqrt{5}),\ 2\pi-\tan^{-1}(\sqrt{5})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 14번
# 극좌표에서의 넓이와 길이그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)