급수의 수렴과 발산 연습문제

101.APEX · 8.2절 · 43번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 하나씩 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \frac{1}{1\cdot 4}+\frac1{2\cdot5}+\frac1{3\cdot6}+\frac1{4\cdot7}+\cdots$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \frac{1}{1\cdot 4}+\frac1{2\cdot5}+\frac1{3\cdot6}+\frac1{4\cdot7}+\cdots$

정답·풀이 보기

(a) $a_n = \frac1{n(n+3)}$ 이다. 부분분수를 이용하면 소거되는 합(망원급수)이 되어 $S_n = \frac13\left(1+\frac12+\frac13-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right)$ 으로 간단히 정리된다. (b) $11/18$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $a_n = \frac1{n(n+3)}$ ; using partial fractions, the resulting telescoping sum reduces to $S_n = \frac13\left(1+\frac12+\frac13-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right)$ (b) Converges to $11/18$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

102.APEX · 8.2절 · 44번우리말 번역

연습문제 31–46번에서 급수가 주어집니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle 2+\left(\frac12+\frac13\right) + \left(\frac14+\frac19\right) + \left(\frac18+\frac1{27}\right)+\cdots$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle 2+\left(\frac12+\frac13\right) + \left(\frac14+\frac19\right) + \left(\frac18+\frac1{27}\right)+\cdots$

정답·풀이 보기

(a) $n\geq 0$ 에 대해 $a_n = 1/2^n+1/3^n$ 이다. 따라서 $S_n = \frac{1-1/2^2}{1/2}+\frac{1-1/3^n}{2/3}$ 이다. (b) $2+3/2 = 7/2$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $a_n = 1/2^n+1/3^n$ for $n\geq 0$ . Thus $S_n = \frac{1-1/2^2}{1/2}+\frac{1-1/3^n}{2/3}$ . (b) Converges to $2+3/2 = 7/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

103.APEX · 8.2절 · 45번우리말 번역

연습문제 31–46번에서 급수가 주어집니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1}$

정답·풀이 보기

(a) 부분분수로 분해하면 $a_n = \frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)$ 이다. 따라서 $S_n = \frac12\left(3/2-\frac1n-\frac{1}{n+1}\right)$ 이다. (b) 3/4 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) With partial fractions, $a_n = \frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)$ . Thus $S_n = \frac12\left(3/2-\frac1n-\frac{1}{n+1}\right)$ . (b) Converges to 3/4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

104.APEX · 8.2절 · 46번우리말 번역

연습문제 31–46번에서 급수가 주어집니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \big(\sin 1\big)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \big(\sin 1\big)^n$

정답·풀이 보기

(a) $S_n=\frac{1-(\sin 1)^{n+1}}{1-\sin 1}$ (b) $\frac{1}{1-\sin 1}$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n=\frac{1-(\sin 1)^{n+1}}{1-\sin 1}$ (b) Converges to $\frac{1}{1-\sin 1}$ ..

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

105.APEX · 8.2절 · 47번우리말 번역

조화급수를 홀수번째 항과 짝수번째 항의 합으로 나누세요. $\sum_{n=1}^\infty \frac1n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}.$ 목표는 오른쪽의 두 급수가 각각 발산함을 보이는 것입니다.

(a) 왜 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ 인지 보이세요.

(각 $n^\text{th}$ 부분합을 비교하세요.) (b) 왜 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}<1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ 인지 보이세요. (c) (a)와 (b)가 홀수번째 항의 급수가 수렴하는 것과 짝수번째 항의 급수도 수렴하는 것이 서로 필요충분조건임을 어떻게 보여 주는지 설명하세요. (즉, 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산함을 보이세요.) (d) 조화급수가 발산한다는 사실로부터 짝수번째 항의 급수와 홀수번째 항의 급수도 발산하게 되는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Break the Harmonic Series into the sum of the odd and even terms: $\sum_{n=1}^\infty \frac1n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}.$ The goal is to show that each of the series on the right diverge.

(a) Show why $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ .

(Compare each $n^\text{th}$ partial sum.) (b) Show why $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}<1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ (c) Explain why (a) and (b) demonstrate that the series of odd terms is convergent, if, and only if, the series of even terms is also convergent. (That is, show both converge or both diverge.) (d) Explain why knowing the Harmonic Series is divergent determines that the even and odd series are also divergent.

정답·풀이 보기

(a) 홀수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}$ 이다. 짝수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $\frac12+\frac14 + \frac16 + \cdots +\frac1{2n}$ 이다. 짝수번째 항의 급수의 각 항은 홀수번째 항의 급수에서 대응하는 항보다 작으므로 결과를 얻는다. (b) 홀수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac1{2n-1}$ 이다. 1에 짝수번째 항의 급수를 더한 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac12+\frac14+\cdots + \frac{1}{2(n-1)}$ 이다. 이제 짝수번째 항의 급수의 각 항은 홀수번째 항의 급수에서 대응하는 항보다 크거나 같고, 첫째 항에서만 같다. 따라서 결과를 얻는다. (c) 홀수번째 항의 급수가 수렴하면 (a)의 풀이에 의해 짝수번째 항의 급수도 수렴한다. (짝수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합으로 이루어진 수열은 유계이고 단조증가한다.) 마찬가지로 (b)에 의해 짝수번째 항의 급수가 수렴하면 홀수번째 항의 급수도 수렴한다. 따라서 어느 한 급수가 수렴하면 다른 급수도 수렴한다.

비슷하게 (a)와 (b)를 이용하면, 어느 한 급수가 발산하면 다른 급수도 발산함을 보일 수 있다. (d) 짝수번째 항의 급수와 홀수번째 항의 급수가 모두 수렴한다면 두 급수의 합은 수렴하는 급수가 된다. 이는 두 급수의 합인 조화급수가 수렴한다는 뜻이 된다. 그러나 조화급수는 수렴하지 않는다. 그러므로 각 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The $n^\text{th}$ partial sum of the odd series is $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}$ . The $n^\text{th}$ partial sum of the even series is $\frac12+\frac14 + \frac16 + \cdots +\frac1{2n}$ . Each term of the even series is less than the corresponding term of the odd series, giving us our result. (b) The $n^\text{th}$ partial sum of the odd series is $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac1{2n-1}$ . The $n^\text{th}$ partial sum of 1 plus the even series is $1+\frac12+\frac14+\cdots + \frac{1}{2(n-1)}$ . Each term of the even series is now greater than or equal to the corresponding term of the odd series, with equality only on the first term. This gives us the result. (c) If the odd series converges, the work done in (a) shows the even series converges also. (The sequence of the $n^\text{th}$ partial sum of the even series is bounded and monotonically increasing.) Likewise, (b) shows that if the even series converges, the odd series will, too. Thus if either series converges, the other does.

Similarly, (a) and (b) can be used to show that if either series diverges, the other does, too. (d) If both the even and odd series converge, then their sum would be a convergent series. This would imply that the Harmonic Series, their sum, is convergent. It is not. Hence each series diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 3번

# 급수의 수렴과 발산증명·논술자동 분류

106.CLP-2 · 3.2절 · 1번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 에 대응하는 처음 다섯 개의 부분합을 쓰세요.

각 항을 간단히 할 필요는 없다.

영어 원문 보기

Write out the first five partial sums corresponding to the series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ .

You don't need to simplify the terms.

정답·풀이 보기

부분합의 수열의 $N$ 번째 항 $S_N$ 은 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 의 처음 $N$ 개 항의 합이다. $\begin{array}{l|l} \mathbf{N}&\mathbf{S_N}\\ \hline 1 & 1\\[7pt] 2 & 1+\frac12\\[7pt] 3 & 1+\frac12 + \frac13\\[7pt] 4 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14\\[7pt] 5 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14+\frac15\\[7pt] \end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

The $N$ th term of the sequence of partial sums, $S_N$ , is the sum of the first $N$ terms of the series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ . $\begin{array}{l|l} \mathbf{N}&\mathbf{S_N}\\ \hline 1 & 1\\[7pt] 2 & 1+\frac12\\[7pt] 3 & 1+\frac12 + \frac13\\[7pt] 4 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14\\[7pt] 5 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14+\frac15\\[7pt] \end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 51번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류

107.CLP-2 · 3.2절 · 2번우리말 번역

수업에 오는 학생은 모두 강사에게 쿠키를 가져와 강사의 책상 위에 놓고 간다. $k$ 번째 학생이 온 뒤 강사의 책상 위에 있는 쿠키의 총수를 $C_k$ 라 하자.

$C_{11}=20$ 이고 $C_{10}=17$ 일 때, 11번째 학생은 수업에 쿠키를 몇 개 가져왔는지 구하세요.

영어 원문 보기

Every student who comes to class brings their instructor cookies, and leaves them on the instructor's desk. Let $C_k$ be the total number of cookies on the instructor's desk after the $k$ th student comes.

If $C_{11}=20$ , and $C_{10}=17$ , how many cookies did the 11th student bring to class?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

11번째 학생이 오기 전에 쿠키가 모두 17개였고 온 뒤에 20개였다면, 11번째 학생은 쿠키를 3개 가져온 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

If there were a total of 17 cookies before Student 11 came, and 20 cookies after, then Student 11 brought 3 cookies.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류

108.CLP-2 · 3.2절 · 5번우리말 번역

$f(N)$ 을 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ 의 $N$ 번째 부분합을 나타내는 식이라 하자. (즉, $f(N)=S_N$ 이다.) 모든 $N > 1$ 에 대해 $f'(N)<0$ 이면, $a_n$ 에 대해 무엇을 알 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(N)$ be a formula for the $N$ th partial sum of $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ . (That is, $f(N)=S_N$ .) If $f'(N)<0$ for all $N > 1$ , what does that say about $a_n$ ?

정답·풀이 보기

$f'(N)<0$ 이면 $f(N)$ 은 감소한다. 따라서 항을 더 더할수록 합이 작아진다. 이는 더해지는 항들이 음수라는 뜻이다. 즉, 모든 $n \geq 2$ 에 대해 $a_n < 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f'(N)<0$ , that means $f(N)$ is decreasing. So, adding more terms makes for a smaller sum. That means the terms we're adding are negative. That is, $a_n < 0$ for all $n \geq 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류

109.CLP-2 · 3.2절 · 27번우리말 번역

$\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)$ .

정답·풀이 보기

로그의 성질을 이용하면 다음을 알 수 있다. $\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)= \displaystyle\sum_{n=5}^\infty \big[\log(n-3)-\log n\big]$ 이는 망원급수처럼 보인다. 부분합을 알아보기 위해 표를 만들어 보자.

$\begin{array}{c||cc||c} \mathbf{n}&\mathbf{\log(n-3)}&\mathbf{-\log n}&\mathbf{s_n}\\[7pt] \hline 5&\log 2&-\log 5&\log 2 - \log 5\\[7pt] 6&\log 3&-\log 6&\log 2 +\log 3- \log 5-\log 6\\[7pt] 7&\log 4&-\log 7&\log 2 +\log 3+\log 4- \log 5-\log 6 -\log 7\\[7pt] 8&\log 5&-\log 8&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 6 -\log 7-\log 8\\[7pt] 9&\log 6&-\log 9&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 7-\log 8-\log 9\\[7pt] 10&\log 7&-\log 10&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 8-\log 9-\log 10\\[7pt] 11&\log 8&-\log 11&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 9-\log 10-\log 11\\[7pt] \vdots&&& \end{array}$

항들이 소거되기 전에 "지연"이 있으므로, 앞선 예에서 본 것보다 항들이 더 많이 "쌓인다". 그래도 $N$ 번째 부분합은 분명히 알 수 있다.

$\begin{aligned} \sum_{n=5}^N \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&=\log 2+\log 3 + \log 4 - \log(N-2)-\log(N-1)-\log(N)\\ &=\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\ \text{$N \geq 7$ 일 때, 따라서} \\ \sum_{n=5}^\infty \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&= \lim_{N \to \infty}s_N\\ &=\lim_{N \to \infty}\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\&=-\infty \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using logarithm rules, we see $\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)= \displaystyle\sum_{n=5}^\infty \big[\log(n-3)-\log n\big]$ which looks like a telescoping series. Let's make a table to figure out the partial sums.

$\begin{array}{c||cc||c} \mathbf{n}&\mathbf{\log(n-3)}&\mathbf{-\log n}&\mathbf{s_n}\\[7pt] \hline 5&\log 2&-\log 5&\log 2 - \log 5\\[7pt] 6&\log 3&-\log 6&\log 2 +\log 3- \log 5-\log 6\\[7pt] 7&\log 4&-\log 7&\log 2 +\log 3+\log 4- \log 5-\log 6 -\log 7\\[7pt] 8&\log 5&-\log 8&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 6 -\log 7-\log 8\\[7pt] 9&\log 6&-\log 9&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 7-\log 8-\log 9\\[7pt] 10&\log 7&-\log 10&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 8-\log 9-\log 10\\[7pt] 11&\log 8&-\log 11&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 9-\log 10-\log 11\\[7pt] \vdots&&& \end{array}$

There is a “lag" before the terms cancel, which is why they “build up" more than we saw in past examples. Still, we can clearly see the $N$ th partial sum:

$\begin{aligned} \sum_{n=5}^N \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&=\log 2+\log 3 + \log 4 - \log(N-2)-\log(N-1)-\log(N)\\ &=\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\ \text{when $N \geq 7$. So,} \\ \sum_{n=5}^\infty \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&= \lim_{N \to \infty}s_N\\ &=\lim_{N \to \infty}\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\&=-\infty \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 28번

# 급수의 수렴과 발산계산보통자동 분류

110.CLP-2 · 3.2절 · 28번우리말 번역

$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이 급수는 망원급수이다. 늘 하던 방법대로 살펴보자. 소거되는 규칙을 더 분명히 보이기 위해 $\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}= \frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}$ 로 나타내고, 표 가운데의 분수는 간단히 하지 않고 그대로 둔다. 그러면 모든 분수의 분자가 1이고, 분모가 같고 부호가 반대인 두 항이 서로 소거된다.

$\begin{array}{c||cccc||c} \mathbf{n}&\mathbf{\dfrac{1}{n}}&\mathbf{\dfrac{1}{n}}&\mathbf{-\dfrac{1}{n+1}}&\mathbf{-\dfrac{1}{n-1}}&\mathbf{s_n}\\[7pt] \hline 2&\dfrac{1}{2}&{{\dfrac{1}{2}}}&{{-\dfrac{1}{3}}}&-\dfrac{1}{1}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{2}}} {{-\dfrac{1}{3}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 3&{{\dfrac{1}{3}}}&{{\dfrac{1}{3}}}&{{-\dfrac{1}{4}}}&{{-\dfrac{1}{2}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{3}}}{{-\dfrac{1}{4}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 4&{{\dfrac{1}{4}}}&{{\dfrac{1}{4}}}&{{-\dfrac{1}{5}}}&{{-\dfrac{1}{3}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{4}}} {{-\dfrac{1}{5}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 5&{{\dfrac{1}{5}}}&{{\dfrac{1}{5}}}&{{-\dfrac{1}{6}}}&{{-\dfrac{1}{4}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{5}}}{{-\dfrac{1}{6}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 6&{{\dfrac{1}{6}}}&{{\dfrac{1}{6}}}&{{-\dfrac{1}{7}}}&{{-\dfrac{1}{5}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{6}}}{{-\dfrac{1}{7}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 7&{{\dfrac{1}{7}}}&{{\dfrac{1}{7}}}&{{-\dfrac{1}{8}}}&{{-\dfrac{1}{6}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{7}}} {{-\dfrac{1}{8}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 8&{{\dfrac{1}{8}}}&\dfrac{1}{8}&-\dfrac{1}{9}&{{-\dfrac{1}{7}}}& \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] \vdots&&&& \end{array}$

맨 첫 행과 맨 마지막 행을 제외한 임의의 행 $n$ 에 주목하자. 그 행의 첫 번째 $\frac{1}{n}$ 은 바로 위 행 가운데에 있는 $-\frac{1}{n}$ 과 소거되고, 그 행의 두 번째 $\frac{1}{n}$ 은 바로 아래 행 끝에 있는 $-\frac{1}{n}$ 과 소거된다. 첫 번째( $n=2$ ) 행의 경우, 첫 행 위에는 행이 없으므로 첫 번째 $\frac{1}{2}$ 과 마지막 $-\frac{1}{1}$ 은 끝내 소거되지 않는다. 또 맨 마지막 행의 경우, 마지막 행 다음에는 행이 없으므로 가운데의 두 항은 끝내 소거되지 않는다. 따라서 부분합은 다음과 같다.

$\begin{aligned} s_N&=\sum_{n=2}^N \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right) =\overbrace{\frac{1}{2}-\frac{1}{1}}^{\text{첫째 행에서}} +\overbrace{\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}}^{\text{마지막 행에서}} \end{aligned}$

위의 논의에서 착안하여 같은 $s_N$ 을 대수적인 계산만으로 구하는 또 다른 방법이 있다.

$\begin{aligned} s_N&=\sum_{n=2}^N \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right) \\ &=\sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) +\sum_{n=2}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} \right) \end{aligned}$

앞의 합은

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) &=\left(\frac{1}{2}{{-\frac{1}{3}}}\right) + \left({{\frac{1}{3}}} {{-\frac{1}{4}}}\right) + \left({{\frac{1}{4}}}{{-\frac{1}{5}}}\right) + \cdots +\left({{\frac{1}{N}}}-\frac{1}{N+1}\right) \\ &=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}\right] \end{aligned}$

이고, 뒤의 합은

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} \right) &=\left({{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{1} \right) + \left({{\frac{1}{3}}}{{-\frac{1}{2}}} \right) + \left({{\frac{1}{4}}}{{-\frac{1}{3}}}\right) +\cdots + \left(\frac{1}{N}-{{\frac{1}{N-1}}} \right) \\ &=\left\{-\frac{1}{1}+\frac{1}{N}\right\} \end{aligned}$

이다. 그러므로

$\begin{aligned} s_N&=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}\right]+\left\{-\frac{1}{1}+\frac{1}{N}\right\} \\ &=-\frac{1}{2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1} \end{aligned}$

이고, 극한을 구하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right)&=\lim_{N \to \infty}s_N\\&=\lim_{N \to \infty} \left[-\frac{1}{2} +\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right]\\ &=-\frac{1}{2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is a telescoping series. Let's investigate it in the usual way. To make the pattern of cancellation clearer, we express $\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}= \frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}$ , and leave the fractions in the middle of the table unsimplified. Then every fraction has numerator one and two terms with the same denominator and opposite sign cancel.

$\begin{array}{c||cccc||c} \mathbf{n}&\mathbf{\dfrac{1}{n}}&\mathbf{\dfrac{1}{n}}&\mathbf{-\dfrac{1}{n+1}}&\mathbf{-\dfrac{1}{n-1}}&\mathbf{s_n}\\[7pt] \hline 2&\dfrac{1}{2}&{{\dfrac{1}{2}}}&{{-\dfrac{1}{3}}}&-\dfrac{1}{1}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{2}}} {{-\dfrac{1}{3}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 3&{{\dfrac{1}{3}}}&{{\dfrac{1}{3}}}&{{-\dfrac{1}{4}}}&{{-\dfrac{1}{2}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{3}}}{{-\dfrac{1}{4}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 4&{{\dfrac{1}{4}}}&{{\dfrac{1}{4}}}&{{-\dfrac{1}{5}}}&{{-\dfrac{1}{3}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{4}}} {{-\dfrac{1}{5}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 5&{{\dfrac{1}{5}}}&{{\dfrac{1}{5}}}&{{-\dfrac{1}{6}}}&{{-\dfrac{1}{4}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{5}}}{{-\dfrac{1}{6}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 6&{{\dfrac{1}{6}}}&{{\dfrac{1}{6}}}&{{-\dfrac{1}{7}}}&{{-\dfrac{1}{5}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{6}}}{{-\dfrac{1}{7}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 7&{{\dfrac{1}{7}}}&{{\dfrac{1}{7}}}&{{-\dfrac{1}{8}}}&{{-\dfrac{1}{6}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{7}}} {{-\dfrac{1}{8}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 8&{{\dfrac{1}{8}}}&\dfrac{1}{8}&-\dfrac{1}{9}&{{-\dfrac{1}{7}}}& \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] \vdots&&&& \end{array}$

Concentrate on any row $n$ , except the very first row and the very last row. The first $\frac{1}{n}$ in that row cancels the $-\frac{1}{n}$ in the middle of the row above it, and the second $\frac{1}{n}$ in that row cancels the $-\frac{1}{n}$ at the end of the row below it. As far as the first ( $n=2$ ) row is concerned, the first $\frac{1}{2}$ and the last $-\frac{1}{1}$ never get cancelled out because there is no row above the first one. And as far as the very last row is concerned, the two middle terms never get cancelled out because there is no row after the last one. So the partial sum is

$\begin{aligned} s_N&=\sum_{n=2}^N \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right) =\overbrace{\frac{1}{2}-\frac{1}{1}}^{\text{from the first row}} +\overbrace{\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}}^{\text{from the last row}} \end{aligned}$

There is another purely algebraic way to find the same $s_N$ , motivated by the above discussion.

$\begin{aligned} s_N&=\sum_{n=2}^N \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right) \\ &=\sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) +\sum_{n=2}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} \right) \end{aligned}$

The first half

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) &=\left(\frac{1}{2}{{-\frac{1}{3}}}\right) + \left({{\frac{1}{3}}} {{-\frac{1}{4}}}\right) + \left({{\frac{1}{4}}}{{-\frac{1}{5}}}\right) + \cdots +\left({{\frac{1}{N}}}-\frac{1}{N+1}\right) \\ &=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}\right] \end{aligned}$

and the second half

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} \right) &=\left({{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{1} \right) + \left({{\frac{1}{3}}}{{-\frac{1}{2}}} \right) + \left({{\frac{1}{4}}}{{-\frac{1}{3}}}\right) +\cdots + \left(\frac{1}{N}-{{\frac{1}{N-1}}} \right) \\ &=\left\{-\frac{1}{1}+\frac{1}{N}\right\} \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} s_N&=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}\right]+\left\{-\frac{1}{1}+\frac{1}{N}\right\} \\ &=-\frac{1}{2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1} \end{aligned}$

and the limit

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right)&=\lim_{N \to \infty}s_N\\&=\lim_{N \to \infty} \left[-\frac{1}{2} +\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right]\\ &=-\frac{1}{2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 29번

# 급수의 수렴과 발산계산보통자동 분류

111.CLP-2 · 3.2절 · 29번우리말 번역

무한히 긴 평평한 절벽에 질량을 무시할 수 있는 가는 철사에 매달린 돌들이 있다. 위치 $x=1$ 에서 시작하여, 1미터마다(위치 $x$ 에서, 여기서 $x$ 는 0 이상의 정수) 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 절벽 꼭대기에서 $2^x$ 미터 아래에 매달려 있다.

영어 원문 보기

An infinitely long, flat cliff has stones hanging off it, attached to thin wire of negligible mass. Starting at position $x=1$ , every metre (at position $x$ , where $x$ is some whole number) the stone has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg and is hanging $2^x$ metres below the top of the cliff.

답 쓰고 채점

J

정답·풀이 보기

위치 $x$ 에 있는 돌의 질량은 $\dfrac{1}{4^x}$ kg 이고 이 돌을 $2^x$ 미터만큼 끌어올려야 하므로, 돌 하나를 옮기는 데 필요한 일은 $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ 이다. 따라서 모든 돌을 옮기는 데 필요한 일은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{9.8}{2^x}& =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2^{x+1}}\\ &=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{2^{x}} =\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=9.8 \text{ J} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The stone at position $x$ has mass $\dfrac{1}{4^x}$ kg, and we have to pull it a distance of $2^x$ metres, so the work involved in moving that one stone is $\left(\frac{1}{4^x}\text{ kg}\right)\left(2^x\text{ m}\right)\left(9.8 ~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{9.8}{2^x}\text{ J}$ Therefore, the work to move all the stones is:

$\begin{aligned} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{9.8}{2^x}& =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2^{x+1}}\\ &=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{2^{x}} =\frac{9.8}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=9.8 \text{ J} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 69번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류

112.CLP-2 · 3.2절 · 33번우리말 번역

다음 방법으로 과녁을 만드세요.

넓이가 1인 빨간 원에서 시작하여, 반지름을 3등분해서 두 개의 고리와 하나의 원을 만든다. 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

안쪽 원에 대해서도 같은 방식을 계속한다. 그 반지름을 3등분하고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

이와 같이 끝없이 계속한다. 가장 안쪽 원의 반지름을 3등분하여 두 개의 고리와 또 하나의 원을 만들고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

빨간색 부분의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Create a bullseye using the following method:

Starting with a red circle of area 1, divide the radius into thirds, creating two rings and a circle. Colour the middle ring blue.

Continue the pattern with the inside circle: divide its radius into thirds, and colour the middle ring blue.

Continue in this way indefinitely: dividing the radius of the innermost circle into thirds, creating two rings and another circle, and colouring the middle ring blue.

What is the area of the red portion?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

반지름이 $R$ 인 원을 생각하자. 이 원에는 $\frac{R}{3}$ 에서 $\frac{2R}{3}$ 까지의 “안쪽 고리"와 $\frac{2R}{3}$ 에서 $R$ 까지의 “바깥쪽 고리"가 있다.

바깥쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

안쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

따라서 바깥쪽 고리의 넓이에 대한 안쪽 고리의 넓이의 비는 $\frac{3}{5}$ 이다.

과녁 그림에서 빨간 고리와 그 바로 안쪽에 있는 파란 고리를 짝지으면, 파란 고리의 넓이는 빨간 고리 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다. 그러므로 과녁의 파란색 부분의 넓이는 빨간색 부분 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다.

원의 넓이가 1이므로, 빨간색 부분의 넓이를 $A$ 라 하면 $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$ 이다.

따라서 빨간색 부분의 넓이는 $\frac{5}{8}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We consider a circle of radius $R$ , with an “inner ring" from $\frac{R}{3}$ to $\frac{2R}{3}$ and an “outer ring" from $\frac{2R}{3}$ to $R$ .

The area of the outer ring is: $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

The area of the inner ring is: $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

So, the ratio of the inner ring's area to the outer ring's area is $\frac{3}{5}$ .

In our bullseye diagram, if we pair up any red ring with the blue ring just inside it, the blue ring has $\frac{3}{5}$ the area of the red ring. So, the blue portion of the bullseye has $\frac{3}{5}$ the area of the red portion.

Since the circle has area 1, if we let the red portion have area $A$ , then $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$

So, the red portion has area $\frac{5}{8}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 27번

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류