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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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832문제 · 12 / 42쪽

221.OpenStax 2권 · 5.6절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

ak=(kk+ln⁡k)k{a}_{k}={\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)}^{k} (힌트: ak=(1+ln⁡kk)−(k/ln⁡k)ln⁡k≈e−ln⁡k.){a}_{k}={\left(1+\frac{\ln k}{k}\right)}^{-(k/\ln k)\ln k}\approx {e}^{-\ln k}.)

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

ak=(kk+ln⁡k)k{a}_{k}={\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)}^{k} (Hint: ak=(1+ln⁡kk)−(k/ln⁡k)ln⁡k≈e−ln⁡k.){a}_{k}={\left(1+\frac{\ln k}{k}\right)}^{-(k/\ln k)\ln k}\approx {e}^{-\ln k}.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 53번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
222.OpenStax 2권 · 5.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

ak=(kk+ln⁡k)2k{a}_{k}={\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)}^{2k} (힌트: ak=(1+ln⁡kk)−(k/ln⁡k)ln⁡k2.){a}_{k}={\left(1+\frac{\ln k}{k}\right)}^{-(k/\ln k)\ln {k}^{2}}.)

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

ak=(kk+ln⁡k)2k{a}_{k}={\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)}^{2k} (Hint: ak=(1+ln⁡kk)−(k/ln⁡k)ln⁡k2.){a}_{k}={\left(1+\frac{\ln k}{k}\right)}^{-(k/\ln k)\ln {k}^{2}}.)

정답·풀이 보기

ak≈e−ln⁡k2=1/k2.{a}_{k}\approx {e}^{-\ln {k}^{2}}=1/{k}^{2}. p−급수,p-\text{급수,} p=2p=2 와의 극한 비교판정법에 의해 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

ak≈e−ln⁡k2=1/k2.{a}_{k}\approx {e}^{-\ln {k}^{2}}=1/{k}^{2}. Series converges by limit comparison with p−series,p-\text{series,} p=2.p=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 41번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
223.OpenStax 2권 · 5.6절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 비판정법에 의해 수렴합니다. 부분합산법 ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak)\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}) 을 이용하여 주어진 급수의 합을 구하세요.

∑k=1∞k2k\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{{2}^{k}} (힌트: ak=k{a}_{k}=k 이고 bk=21−k.){b}_{k}={2}^{1-k}.) 로 놓으세요.)

영어 원문 보기

The following series converge by the ratio test. Use summation by parts, ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak),\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}), to find the sum of the given series.

∑k=1∞k2k\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{{2}^{k}} (Hint: Take ak=k{a}_{k}=k and bk=21−k.){b}_{k}={2}^{1-k}.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 51번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
224.OpenStax 2권 · 5.6절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 비판정법에 의해 수렴합니다. 부분합산법 ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak)\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}) 을 이용하여 주어진 급수의 합을 구하세요.

∑k=1∞kck\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{{c}^{k}}, 단, c>1c>1 (힌트: ak=k{a}_{k}=k 이고 bk=c1−k/(c−1).){b}_{k}={c}^{1-k}/(c-1).) 로 놓으세요.)

영어 원문 보기

The following series converge by the ratio test. Use summation by parts, ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak),\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}), to find the sum of the given series.

∑k=1∞kck,\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{{c}^{k}}, where c>1c>1 (Hint: Take ak=k{a}_{k}=k and bk=c1−k/(c−1).){b}_{k}={c}^{1-k}/(c-1).)

정답·풀이 보기

bk=c1−k/(c−1){b}_{k}={c}^{1-k}/(c-1) 이고 ak=k{a}_{k}=k 이면 bk+1−bk=−c−k{b}_{k+1}-{b}_{k}=-{c}^{-k} 이고 ∑n=1∞kck=a1b1+1c−1∑k=1∞c−k=c(c−1)2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{k}{{c}^{k}}={a}_{1}{b}_{1}+\frac{1}{c-1}\sum_{k=1}^{\infty }{c}^{-k}=\frac{c}{{(c-1)}^{2}} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If bk=c1−k/(c−1){b}_{k}={c}^{1-k}/(c-1) and ak=k,{a}_{k}=k, then bk+1−bk=−c−k{b}_{k+1}-{b}_{k}=-{c}^{-k} and ∑n=1∞kck=a1b1+1c−1∑k=1∞c−k=c(c−1)2.\sum_{n=1}^{\infty }\frac{k}{{c}^{k}}={a}_{1}{b}_{1}+\frac{1}{c-1}\sum_{k=1}^{\infty }{c}^{-k}=\frac{c}{{(c-1)}^{2}}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 3번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
225.OpenStax 2권 · 5.6절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 비판정법에 의해 수렴합니다. 부분 합산 공식 ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak)\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}) 을 이용하여 주어진 급수의 합을 구하세요.

∑n=1∞n22n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}

영어 원문 보기

The following series converge by the ratio test. Use summation by parts, ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak),\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}), to find the sum of the given series.

∑n=1∞n22n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 47번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
226.OpenStax 2권 · 5.6절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 비판정법에 의해 수렴한다. 부분합산 공식 ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak)\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}) 을 이용하여 주어진 급수의 합을 구하세요.

∑n=1∞(n+1)22n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n+1)}^{2}}{{2}^{n}}

영어 원문 보기

The following series converge by the ratio test. Use summation by parts, ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak),\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k+1}-{b}_{k})=[{a}_{n+1}{b}_{n+1}-{a}_{1}{b}_{1}]-\sum_{k=1}^{n}{b}_{k+1}({a}_{k+1}-{a}_{k}), to find the sum of the given series.

∑n=1∞(n+1)22n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n+1)}^{2}}{{2}^{n}}

정답·풀이 보기

6+4+1=116+4+1=11

원본 교재 풀이(영어)

6+4+1=116+4+1=11

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 1번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
227.OpenStax 2권 · 5.6절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수의 k번째 항은 인수 xk{x}^{k} 를 가진다. 비판정법에 의해 급수가 수렴함을 알 수 있는 xx 의 범위를 구하세요.

∑k=1∞xkk2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{{k}^{2}}

영어 원문 보기

The kth term of each of the following series has a factor xk.{x}^{k}. Find the range of xx for which the ratio test implies that the series converges.

∑k=1∞xkk2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{{k}^{2}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 55번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
228.OpenStax 2권 · 5.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수의 k번째 항은 인수 xk{x}^{k} 를 가진다. 비판정법에 의해 급수가 수렴함을 알 수 있는 xx 의 범위를 구하세요.

∑k=1∞x2kk2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{2k}}{{k}^{2}}

영어 원문 보기

The kth term of each of the following series has a factor xk.{x}^{k}. Find the range of xx for which the ratio test implies that the series converges.

∑k=1∞x2kk2\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{2k}}{{k}^{2}}

정답·풀이 보기

∣x∣≤1|x|\le 1

원본 교재 풀이(영어)

∣x∣≤1|x|\le 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 57번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
229.OpenStax 2권 · 5.6절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수의 k번째 항은 인수 xk{x}^{k} 를 가진다. 비판정법에 의해 급수가 수렴함을 알 수 있는 xx 의 범위를 구하세요.

∑k=1∞x2k3k\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{2k}}{{3}^{k}}

영어 원문 보기

The kth term of each of the following series has a factor xk.{x}^{k}. Find the range of xx for which the ratio test implies that the series converges.

∑k=1∞x2k3k\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{2k}}{{3}^{k}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 13번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
230.OpenStax 2권 · 5.6절 · 51번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수의 k번째 항은 인수 xk{x}^{k} 를 가진다. 비판정법에 의해 급수가 수렴함을 알 수 있는 xx 의 범위를 구하세요.

∑k=1∞xkk!\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k!}

영어 원문 보기

The kth term of each of the following series has a factor xk.{x}^{k}. Find the range of xx for which the ratio test implies that the series converges.

∑k=1∞xkk!\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k!}

정답·풀이 보기

∣x∣<∞|x|<\infty

원본 교재 풀이(영어)

∣x∣<∞|x|<\infty

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 45번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
231.OpenStax 2권 · 5.6절 · 52번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수의 k번째 항은 인수 xk{x}^{k} 를 가진다. 비판정법에 의해 급수가 수렴함을 알 수 있는 xx 의 범위를 구하세요.

급수 ∑n=1∞2nnp\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{n}^{p}} 이 수렴하도록 하는 수 pp 가 존재하나요?

영어 원문 보기

The kth term of each of the following series has a factor xk.{x}^{k}. Find the range of xx for which the ratio test implies that the series converges.

Does there exist a number pp such that ∑n=1∞2nnp\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{n}^{p}} converges?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 37번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
232.OpenStax 2권 · 5.6절 · 53번대학 수준우리말 번역

다음 각 급수의 k번째 항은 인수 xk{x}^{k} 를 가진다. 비판정법에 의해 급수가 수렴함을 알 수 있는 xx 의 범위를 구하세요.

0<r<10<r<1 이라 하자. 어떤 실수 pp 에 대해 ∑n=1∞nprn\sum_{n=1}^{\infty }{n}^{p}{r}^{n} 이 수렴하나요?

영어 원문 보기

The kth term of each of the following series has a factor xk.{x}^{k}. Find the range of xx for which the ratio test implies that the series converges.

Let 0<r<1.0<r<1. For which real numbers pp does ∑n=1∞nprn\sum_{n=1}^{\infty }{n}^{p}{r}^{n} converge?

정답·풀이 보기

비판정법에 의해 모든 실수 pp 에 대해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

All real numbers pp by the ratio test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 43번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
233.OpenStax 2권 · 5.6절 · 54번대학 수준우리말 번역

lim⁡n→∞∣an+1an∣=p\lim_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|=p 라 하자. pp 의 어떤 값에 대해 ∑n=1∞2nan\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{n}{a}_{n} 이 반드시 수렴하나요?

영어 원문 보기

Suppose that lim⁡n→∞∣an+1an∣=p.\lim_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|=p. For which values of pp must ∑n=1∞2nan\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{n}{a}_{n} converge?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 45번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
234.OpenStax 2권 · 5.6절 · 55번대학 수준우리말 번역

lim⁡n→∞∣an+1an∣=p\lim_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|=p 라 하자. r>0r>0 의 어떤 값에 대해 ∑n=1∞rnan\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{n}{a}_{n} 이 수렴하는 것이 보장되나요?

영어 원문 보기

Suppose that lim⁡n→∞∣an+1an∣=p.\lim_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|=p. For which values of r>0r>0 is ∑n=1∞rnan\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{n}{a}_{n} guaranteed to converge?

정답·풀이 보기

r<1/pr<1/p

원본 교재 풀이(영어)

r<1/pr<1/p

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 49번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
235.OpenStax 2권 · 5.6절 · 56번대학 수준우리말 번역

모든 n=1,2,…n=1,2,\ldots 에 대해 ∣an+1an∣≤(n+1)p|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\le {(n+1)}^{p} 이라 하자. 여기서 pp 는 고정된 실수이다. pp 의 어떤 값에 대해 ∑n=1∞n! an\sum_{n=1}^{\infty }n!\,{a}_{n} 이 수렴하는 것이 보장되나요?

영어 원문 보기

Suppose that ∣an+1an∣≤(n+1)p|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\le {(n+1)}^{p} for all n=1,2,…n=1,2,\ldots where pp is a fixed real number. For which values of pp is ∑n=1∞n! an\sum_{n=1}^{\infty }n!\,{a}_{n} guaranteed to converge?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 43번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
236.OpenStax 2권 · 5.6절 · 57번대학 수준우리말 번역

어떤 r>0r>0 에 대해 ∑n=1∞rn\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}} 이 수렴하는지 구하세요. 수렴하는 rr 이 없으면 없다고 답하세요. (힌트: ∑n=1∞an=∑k=1∞∑n=k2(k+1)2−1an.)\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{a}_{n}.)

영어 원문 보기

For which values of r>0,r>0, if any, does ∑n=1∞rn\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}} converge? (Hint: ∑n=1∞an=∑k=1∞∑n=k2(k+1)2−1an.)\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{a}_{n}.)

정답·풀이 보기

0<r<10<r<1. 비판정법과 근판정법으로는 판정할 수 없다. 힌트를 이용하면 k2≤n<(k+1)2{k}^{2}\le n<{(k+1)}^{2} 일 때 rn{r}^{\sqrt{n}} 꼴의 항이 2k2k 개 있고, r<1r<1 이면 각 항은 rk{r}^{k} 이상이다. 따라서 ∑n=1∞rn=∑k=1∞∑n=k2(k+1)2−1rn\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{r}^{\sqrt{n}} ≥∑k=1∞2krk\ge \sum_{k=1}^{\infty }2k{r}^{k} 이고, 이 급수는 r<1r<1 일 때 비판정법에 의해 수렴한다. r≥1r\ge 1 이면 발산판정법에 의해 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

0<r<1.0<r<1. Note that the ratio and root tests are inconclusive. Using the hint, there are 2k2k terms rn{r}^{\sqrt{n}} for k2≤n<(k+1)2,{k}^{2}\le n<{(k+1)}^{2}, and for r<1r<1 each term is at least rk.{r}^{k}. Thus, ∑n=1∞rn=∑k=1∞∑n=k2(k+1)2−1rn\sum_{n=1}^{\infty }{r}^{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n={k}^{2}}^{{(k+1)}^{2}-1}{r}^{\sqrt{n}} ≥∑k=1∞2krk,\ge \sum_{k=1}^{\infty }2k{r}^{k}, which converges by the ratio test for r<1.r<1. For r≥1r\ge 1 the series diverges by the divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 47번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
237.OpenStax 2권 · 5.6절 · 58번대학 수준우리말 번역

모든 nn 에 대해 ∣an+2an∣≤r<1|\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}|\le r<1 이라고 하자. 이때 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 이 수렴한다고 결론지을 수 있나요?

영어 원문 보기

Suppose that ∣an+2an∣≤r<1|\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}|\le r<1 for all n.n. Can you conclude that ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} converges?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 49번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
238.OpenStax 2권 · 5.6절 · 59번대학 수준우리말 번역

an=2−[n/2]{a}_{n}={2}^{-[n/2]} 이라고 하자. 여기서 [x][x] 는 xx 보다 크지 않은 최대 정수이다. ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 이 수렴하는지 판단하고, 그 답의 근거를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let an=2−[n/2]{a}_{n}={2}^{-[n/2]} where [x][x] is the greatest integer less than or equal to x.x. Determine whether ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} converges and justify your answer.

정답·풀이 보기

a1=1,{a}_{1}=1, a2=a3=1/2,… a2n=a2n+1=1/2n{a}_{2}={a}_{3}=1/2,\ldots \,{a}_{2n}={a}_{2n+1}=1/{2}^{n} 이다. nn 이 짝수이면 an+1/an=1{a}_{n+1}/{a}_{n}=1 이므로 비판정법은 적용할 수 없다. 그러나 an+2/an=1/2{a}_{n+2}/{a}_{n}=1/2 이므로 앞의 연습문제에 따라 급수는 수렴한다. 물론 이 급수는 등비급수를 두 번씩 늘어놓은 것일 뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

One has a1=1,{a}_{1}=1, a2=a3=1/2,… a2n=a2n+1=1/2n.{a}_{2}={a}_{3}=1/2,\ldots \,{a}_{2n}={a}_{2n+1}=1/{2}^{n}. The ratio test does not apply because an+1/an=1{a}_{n+1}/{a}_{n}=1 if nn is even. However, an+2/an=1/2,{a}_{n+2}/{a}_{n}=1/2, so the series converges according to the previous exercise. Of course, the series is just a duplicated geometric series.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 4번
# 비율 판정법과 근 판정법증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
239.OpenStax 2권 · 5.6절 · 60번대학 수준우리말 번역

an=14 36 58⋯2n−12n+2=1⋅3⋅5⋯(2n−1)2n(n+1)!{a}_{n}=\frac{1}{4}\,\frac{3}{6}\,\frac{5}{8}\cdots \frac{2n-1}{2n+2}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{{2}^{n}(n+1)!} 이라고 하자. 비판정법으로 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 의 수렴 여부를 판정할 수 없는 이유를 설명하세요. 1−1/(4k)1-1/(4k) 가 kk 에 대해 증가한다는 사실을 이용하여 lim⁡n→∞a2nan\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}} 을 어림하세요.

영어 원문 보기

Let an=14 36 58⋯2n−12n+2=1⋅3⋅5⋯(2n−1)2n(n+1)!.{a}_{n}=\frac{1}{4}\,\frac{3}{6}\,\frac{5}{8}\cdots \frac{2n-1}{2n+2}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{{2}^{n}(n+1)!}. Explain why the ratio test cannot determine convergence of ∑n=1∞an.\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}. Use the fact that 1−1/(4k)1-1/(4k) is increasing kk to estimate lim⁡n→∞a2nan.\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 15번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
240.OpenStax 2권 · 5.6절 · 61번대학 수준우리말 번역

an=11+x 22+x⋯nn+x 1n=(n−1)!(1+x)(2+x)⋯(n+x){a}_{n}=\frac{1}{1+x}\,\frac{2}{2+x}\cdots \frac{n}{n+x}\,\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots (n+x)} 라 하자. a2n/an≤e−x/2/2{a}_{2n}/{a}_{n}\le {e}^{-x/2}/2 임을 보이세요. 어떤 x>0x>0 에 대해 일반화된 비판정법으로 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 이 수렴함을 알 수 있는지 구하세요. (힌트: 2a2n/an2{a}_{2n}/{a}_{n} 을 각각 1/(1+x/(2n)).)1/(1+x/(2n)).) 보다 작은 nn 개의 인수의 곱으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let an=11+x 22+x⋯nn+x 1n=(n−1)!(1+x)(2+x)⋯(n+x).{a}_{n}=\frac{1}{1+x}\,\frac{2}{2+x}\cdots \frac{n}{n+x}\,\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots (n+x)}. Show that a2n/an≤e−x/2/2.{a}_{2n}/{a}_{n}\le {e}^{-x/2}/2. For which x>0x>0 does the generalized ratio test imply convergence of ∑n=1∞an?\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}? (Hint: Write 2a2n/an2{a}_{2n}/{a}_{n} as a product of nn factors each smaller than 1/(1+x/(2n)).)1/(1+x/(2n)).)

정답·풀이 보기

a2n/an=12⋅n+1n+1+x n+2n+2+x⋯2n2n+x{a}_{2n}/{a}_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n+1+x}\,\frac{n+2}{n+2+x}\cdots \frac{2n}{2n+x} 이다. kk번째 인수의 역수는 (n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n) 이므로 곱은 (1+x/(2n))−n≈e−x/2{(1+x/(2n))}^{-n}\approx {e}^{-x/2} 보다 작다. 따라서 x>0x>0 일 때 a2nan≤12e−x/2\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\le \frac{1}{2}{e}^{-x/2} 이다. 이 급수는 x>0x>0 일 때 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

a2n/an=12⋅n+1n+1+x n+2n+2+x⋯2n2n+x.{a}_{2n}/{a}_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n+1+x}\,\frac{n+2}{n+2+x}\cdots \frac{2n}{2n+x}. The inverse of the kthk\text{th} factor is (n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n) so the product is less than (1+x/(2n))−n≈e−x/2.{(1+x/(2n))}^{-n}\approx {e}^{-x/2}. Thus for x>0,x>0, a2nan≤12e−x/2.\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\le \frac{1}{2}{e}^{-x/2}. The series converges for x>0.x>0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 33번
# 비율 판정법과 근 판정법증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)