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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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832문제 · 14 / 42쪽

261.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 20번대학 수준우리말 번역

값을 구하세요

∑n=1∞2n+47n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n+4}}{{7}^{n}}

영어 원문 보기

Evaluate

∑n=1∞2n+47n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n+4}}{{7}^{n}}

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 6번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
262.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 21번대학 수준우리말 번역

값을 구하세요

∑n=1∞1(n+1)(n+2)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}

영어 원문 보기

Evaluate

∑n=1∞1(n+1)(n+2)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}

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12\frac{1}{2}

원본 교재 풀이(영어)

12\frac{1}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 23번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
263.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 22번대학 수준우리말 번역

인도의 전설에 따르면 한 수학자가 왕을 위해 체스를 발명했다. 왕은 이 게임이 너무 마음에 들어 수학자에게 원하는 대가를 무엇이든 요구하도록 허락했다. 수학자는 체스판의 첫 번째 칸에는 쌀 한 알, 두 번째 칸에는 쌀 두 알, 세 번째 칸에는 쌀 네 알, 이와 같은 방식으로 요구했다. 수학자가 요구한 총 대가(쌀알의 수)를 나타내는 정확한 식을 구하세요. 쌀 30,00030,000 알이 1 파운드이고 20002000 파운드가 1 톤이라고 할 때, 수학자는 몇 톤의 쌀을 받으려 한 것인지 구하세요.

영어 원문 보기

A legend from India tells that a mathematician invented chess for a king. The king enjoyed the game so much he allowed the mathematician to demand any payment. The mathematician asked for one grain of rice for the first square on the chessboard, two grains of rice for the second square on the chessboard, four grains of rice for the third square on the chessboard, and so on. Find an exact expression for the total payment (in grains of rice) requested by the mathematician. Assuming there are 30,00030,000 grains of rice in 11 pound, and 20002000 pounds in 11 ton, how many tons of rice did the mathematician attempt to receive?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 23번
# 비교 판정법활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
264.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 문제들은 집파리의 단순한 개체수 모형을 다루며, 이 모형은 점화식 xn+1=bxn{x}_{n+1}=b{x}_{n} 으로 나타낼 수 있다. 여기서 xn{x}_{n} 은 nn 세대의 집파리 개체수이고, bb 는 집파리 한 마리당 다음 세대까지 살아남는 자손의 평균 수이다. 처음 개체수는 x0{x}_{0} 이라고 가정한다.

b>1,b>1, b<1,b<1, b=1b=1 일 때 각각 lim⁡n→∞xn\lim_{n\to \infty }{x}_{n} 을 구하세요.

영어 원문 보기

The following problems consider a simple population model of the housefly, which can be exhibited by the recursive formula xn+1=bxn,{x}_{n+1}=b{x}_{n}, where xn{x}_{n} is the population of houseflies at generation n,n, and bb is the average number of offspring per housefly who survive to the next generation. Assume a starting population x0.{x}_{0}.

Find lim⁡n→∞xn\lim_{n\to \infty }{x}_{n} if b>1,b>1, b<1,b<1, and b=1.b=1.

정답·풀이 보기

∞,\infty , 0,0, x0{x}_{0}

원본 교재 풀이(영어)

∞,\infty , 0,0, x0{x}_{0}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 25번
# 비교 판정법활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
265.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 24번대학 수준우리말 번역

Sn=∑i=0nxi{S}_{n}=\sum_{i=0}^{n}{x}_{i} 을 bb 와 x0{x}_{0} 으로 나타낸 식을 구하세요. 이것은 물리적으로 무엇을 나타내나요?

영어 원문 보기

Find an expression for Sn=∑i=0nxi{S}_{n}=\sum_{i=0}^{n}{x}_{i} in terms of bb and x0.{x}_{0}. What does it physically represent?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 18번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
266.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 문제들은 집파리의 단순한 개체 수 모형을 다루는데, 이 모형은 점화식 xn+1=bxn{x}_{n+1}=b{x}_{n} 으로 나타낼 수 있다. 여기서 xn{x}_{n} 은 nn 번째 세대의 집파리 개체 수이고, bb 는 다음 세대까지 살아남는 집파리 한 마리당 평균 새끼 수이다. 처음 개체 수는 x0{x}_{0} 이라고 가정한다.

b=34b=\frac{3}{4} 이고 x0=100{x}_{0}=100 일 때, S10{S}_{10} 과 lim⁡n→∞Sn\lim_{n\to \infty }{S}_{n} 을 구하세요.

영어 원문 보기

The following problems consider a simple population model of the housefly, which can be exhibited by the recursive formula xn+1=bxn,{x}_{n+1}=b{x}_{n}, where xn{x}_{n} is the population of houseflies at generation n,n, and bb is the average number of offspring per housefly who survive to the next generation. Assume a starting population x0.{x}_{0}.

If b=34b=\frac{3}{4} and x0=100,{x}_{0}=100, find S10{S}_{10} and lim⁡n→∞Sn\lim_{n\to \infty }{S}_{n}

정답·풀이 보기

S10≈383,{S}_{10}\approx 383, lim⁡n→∞Sn=400\lim_{n\to \infty }{S}_{n}=400

원본 교재 풀이(영어)

S10≈383,{S}_{10}\approx 383, lim⁡n→∞Sn=400\lim_{n\to \infty }{S}_{n}=400

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 6번
# 비교 판정법활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
267.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 26번대학 수준우리말 번역

bb 의 값이 어떠할 때 급수가 수렴하고 발산하는지 구하세요. 급수는 어떤 값으로 수렴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

For what values of bb will the series converge and diverge? What does the series converge to?

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 52번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
268.OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 명제가 참인지 말하고, 거짓이면 그것을 보이는 예를 드세요.

∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} 이 수렴하면 n→∞n\to \infty 일 때 anxn→0{a}_{n}{x}^{n}\to 0 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, state whether each statement is true, or give an example to show that it is false.

If ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} converges, then anxn→0{a}_{n}{x}^{n}\to 0 as n→∞.n\to \infty .

정답·풀이 보기

참이다. 급수가 수렴하면 그 항은 0에 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

True. If a series converges then its terms tend to zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번
# 멱급수와 수렴 반경증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
269.OpenStax 2권 · 6.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 명제가 참인지 말하고, 거짓이면 그것을 보이는 예를 드세요.

임의의 실수 an{a}_{n} 에 대해 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} 은 x=0x=0 에서 수렴한다.

영어 원문 보기

In the following exercises, state whether each statement is true, or give an example to show that it is false.

∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} converges at x=0x=0 for any real numbers an.{a}_{n}.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 51번
# 멱급수와 수렴 반경증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
270.OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

임의의 수열 an{a}_{n} 에 대하여, 매우 작을 수도 있는 어떤 R>0R>0 이 항상 존재하여 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} 이 (−R,R)(-R,R) 에서 수렴한다.

영어 원문 보기

Given any sequence an,{a}_{n}, there is always some R>0,R>0, possibly very small, such that ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} converges on (−R,R).(-R,R).

정답·풀이 보기

거짓이다. 그렇다면 ∣x∣<R|x|<R 에 대해 anxn→0{a}_{n}{x}^{n}\to 0 이어야 한다. an=nn{a}_{n}={n}^{n} 이면 anxn=(nx)n{a}_{n}{x}^{n}={(nx)}^{n} 은 x≠0x\ne 0 인 어떤 xx 에 대해서도 0에 수렴하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

False. It would imply that anxn→0{a}_{n}{x}^{n}\to 0 for ∣x∣<R.|x|<R. If an=nn,{a}_{n}={n}^{n}, then anxn=(nx)n{a}_{n}{x}^{n}={(nx)}^{n} does not tend to zero for any x≠0.x\ne 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 5번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
271.OpenStax 2권 · 6.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} 의 수렴 반지름이 R>0R>0 이고 모든 n 에 대해 ∣bn∣≤∣an∣|{b}_{n}|\le |{a}_{n}| 이면, ∑n=1∞bnxn\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n} 의 수렴 반지름은 R 보다 크거나 같다.

영어 원문 보기

If ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n} has radius of convergence R>0R>0 and if ∣bn∣≤∣an∣|{b}_{n}|\le |{a}_{n}| for all n, then the radius of convergence of ∑n=1∞bnxn\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}{x}^{n} is greater than or equal to R.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 17번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
272.OpenStax 2권 · 6.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

∑n=0∞an(x−3)n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-3)}^{n} 이 x=6x=6 에서 수렴한다고 하자. 다음 중 이 급수가 발산할 수도 있는 점은 어느 것인지 구하세요. ∑an(x−c)n\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n} 이 x 에서 수렴하면 c 에 x 보다 더 가까운 모든 점에서도 수렴한다는 사실을 이용하세요.

a. x=1x=1 b. x=2x=2 c. x=3x=3 d. x=0x=0 e. x=5.99x=5.99 f. x=0.000001x=0.000001

영어 원문 보기

Suppose that ∑n=0∞an(x−3)n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-3)}^{n} converges at x=6.x=6. At which of the following points might the series diverge? Use the fact that if ∑an(x−c)n\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n} converges at x, then it converges at any point closer to c than x.

a. x=1x=1 b. x=2x=2 c. x=3x=3 d. x=0x=0 e. x=5.99x=5.99 f. x=0.000001x=0.000001

정답·풀이 보기

이 급수는 (0,6](0,6] 에서 반드시 수렴하므로 a. x=1;x=1; b. x=2;x=2; c. x=3;x=3; d. x=0;x=0; e. x=5.99;x=5.99; f. x=0.000001x=0.000001 에서 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

It must converge on (0,6](0,6] and hence at: a. x=1;x=1; b. x=2;x=2; c. x=3;x=3; d. x=0;x=0; e. x=5.99;x=5.99; and f. x=0.000001.x=0.000001.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
273.OpenStax 2권 · 6.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

∑n=0∞an(x+1)n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x+1)}^{n} 이 x=−2x=-2 에서 수렴한다고 하자. 다음 중 이 급수가 반드시 수렴하는 점은 어느 것인지 구하세요. ∑an(x−c)n\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n} 이 x 에서 수렴하면 c 에 x 보다 더 가까운 모든 점에서도 수렴한다는 사실을 이용하세요.

a. x=2x=2 b. x=−1x=-1 c. x=−3x=-3 d. x=0x=0 e. x=0.99x=0.99 f. x=0.000001x=0.000001

영어 원문 보기

Suppose that ∑n=0∞an(x+1)n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x+1)}^{n} converges at x=−2.x=-2. At which of the following points must the series also converge? Use the fact that if ∑an(x−c)n\sum {a}_{n}{(x-c)}^{n} converges at x, then it converges at any point closer to c than x.

a. x=2x=2 b. x=−1x=-1 c. x=−3x=-3 d. x=0x=0 e. x=0.99x=0.99 f. x=0.000001x=0.000001

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 3번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
274.OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 n→∞n\to \infty 일 때 ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 이라고 가정하고, 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

∑n=0∞an2nxn\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 as n→∞.n\to \infty . Find the radius of convergence for each series.

∑n=0∞an2nxn\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}

정답·풀이 보기

∣an+12n+1xn+1an2nxn∣=2∣x∣∣an+1an∣→2∣x∣|\frac{{a}_{n+1}{2}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}}|=2|x||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 2|x| so R=12R=\frac{1}{2}

원본 교재 풀이(영어)

∣an+12n+1xn+1an2nxn∣=2∣x∣∣an+1an∣→2∣x∣|\frac{{a}_{n+1}{2}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{2}^{n}{x}^{n}}|=2|x||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 2|x| so R=12R=\frac{1}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 3번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
275.OpenStax 2권 · 6.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 n→∞n\to \infty 일 때 ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 이라고 가정하고, 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

∑n=0∞anxn2n\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{x}^{n}}{{2}^{n}}

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 as n→∞.n\to \infty . Find the radius of convergence for each series.

∑n=0∞anxn2n\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{x}^{n}}{{2}^{n}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 33번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
276.OpenStax 2권 · 6.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 n→∞n\to \infty 일 때 ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

∑n=0∞anπnxnen\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{\pi }^{n}{x}^{n}}{{e}^{n}}

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 as n→∞.n\to \infty . Find the radius of convergence for each series.

∑n=0∞anπnxnen\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{\pi }^{n}{x}^{n}}{{e}^{n}}

정답·풀이 보기

∣an+1(πe)n+1xn+1an(πe)nxn∣=π∣x∣e∣an+1an∣→π∣x∣e|\frac{{a}_{n+1}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n}{x}^{n}}|=\frac{\pi |x|}{e}|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to \frac{\pi |x|}{e} so R=eπR=\frac{e}{\pi }

원본 교재 풀이(영어)

∣an+1(πe)n+1xn+1an(πe)nxn∣=π∣x∣e∣an+1an∣→π∣x∣e|\frac{{a}_{n+1}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n+1}{x}^{n+1}}{{a}_{n}{\left(\frac{\pi }{e}\right)}^{n}{x}^{n}}|=\frac{\pi |x|}{e}|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to \frac{\pi |x|}{e} so R=eπR=\frac{e}{\pi }

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
277.OpenStax 2권 · 6.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 n→∞n\to \infty 일 때 ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

∑n=0∞an(−1)nxn10n\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{n}}{{10}^{n}}

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 as n→∞.n\to \infty . Find the radius of convergence for each series.

∑n=0∞an(−1)nxn10n\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{n}}{{10}^{n}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 33번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
278.OpenStax 2권 · 6.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 n→∞n\to \infty 일 때 ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

∑n=0∞an(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 as n→∞.n\to \infty . Find the radius of convergence for each series.

∑n=0∞an(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}

정답·풀이 보기

∣an+1(−1)n+1x2n+2an(−1)nx2n∣=∣x2∣∣an+1an∣→∣x2∣|\frac{{a}_{n+1}{(-1)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}}|=|{x}^{2}||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to |{x}^{2}| so R=1R=1

원본 교재 풀이(영어)

∣an+1(−1)n+1x2n+2an(−1)nx2n∣=∣x2∣∣an+1an∣→∣x2∣|\frac{{a}_{n+1}{(-1)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{{a}_{n}{(-1)}^{n}{x}^{2n}}|=|{x}^{2}||\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to |{x}^{2}| so R=1R=1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번
# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
279.OpenStax 2권 · 6.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 n→∞n\to \infty 일 때 ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 이라고 가정합니다. 각 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

∑n=0∞an(−4)nx2n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-4)}^{n}{x}^{2n}

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that ∣an+1an∣→1|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}|\to 1 as n→∞.n\to \infty . Find the radius of convergence for each series.

∑n=0∞an(−4)nx2n\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(-4)}^{n}{x}^{2n}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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다음 연습문제에서 주어진 계수 an{a}_{n} 에 대하여 ∑anxn\sum {a}_{n}{x}^{n} 의 수렴 반지름 R 과 수렴 구간을 구하세요.

∑n=1∞(2x)nn\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(2x)}^{n}}{n}

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence R and interval of convergence for ∑anxn\sum {a}_{n}{x}^{n} with the given coefficients an.{a}_{n}.

∑n=1∞(2x)nn\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(2x)}^{n}}{n}

정답·풀이 보기

an=2nn{a}_{n}=\frac{{2}^{n}}{n} 이므로 an+1xan→2x\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to 2x. 따라서 R=12.R=\frac{1}{2}. x=12x=\frac{1}{2} 일 때 급수는 조화급수이므로 발산한다. x=−12x=-\frac{1}{2} 일 때 급수는 교대조화급수이므로 수렴한다. 수렴 구간은 I=[−12,12)I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

an=2nn{a}_{n}=\frac{{2}^{n}}{n} so an+1xan→2x.\frac{{a}_{n+1}x}{{a}_{n}}\to 2x. so R=12.R=\frac{1}{2}. When x=12x=\frac{1}{2} the series is harmonic and diverges. When x=−12x=-\frac{1}{2} the series is alternating harmonic and converges. The interval of convergence is I=[−12,12).I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}).

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