빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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832문제 · 13 / 42쪽

241.OpenStax 2권 · 5.6절 · 62번대학 수준우리말 번역

다음 심화 연습문제는 이 장의 판정법(비판정법과 근판정법 포함)만으로는 수렴 여부를 판정하기에 충분하지 않을 때, 특정한 응용에서 나타나는 몇몇 급수의 수렴을 판정하기 위해 일반화된 비판정법을 사용한다. 이 판정법은 lim⁡n→∞a2nan<1/2\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}<1/2 이면 ∑an\sum {a}_{n} 이 수렴하고, lim⁡n→∞a2n+1an>1/2\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}}>1/2 이면 ∑an\sum {a}_{n} 이 발산한다는 것이다.

an=nln⁡ n(ln⁡ n)n{a}_{n}=\frac{{n}^{\ln \,n}}{{(\ln \,n)}^{n}} 이라 하자. n→∞n\to \infty 일 때 a2nan→0\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\to 0 임을 보이세요.

영어 원문 보기

The following advanced exercises use a generalized ratio test to determine convergence of some series that arise in particular applications when tests in this chapter, including the ratio and root test, are not powerful enough to determine their convergence. The test states that if lim⁡n→∞a2nan<1/2,\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}<1/2, then ∑an\sum {a}_{n} converges, while if lim⁡n→∞a2n+1an>1/2,\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}}>1/2, then ∑an\sum {a}_{n} diverges.

Let an=nln⁡ n(ln⁡ n)n.{a}_{n}=\frac{{n}^{\ln \,n}}{{(\ln \,n)}^{n}}. Show that a2nan→0\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\to 0 as n→∞.n\to \infty .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 19번
# 비율 판정법과 근 판정법증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
242.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

장 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=0 이면 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 은 수렴한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If lim⁡n→∞an=0,\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=0, then ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} converges.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

false

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 3번
# 비교 판정법개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
243.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

장 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

lim⁡n→∞an≠0\lim_{n\to \infty }{a}_{n}\ne 0 이면 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 은 발산한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If lim⁡n→∞an≠0,\lim_{n\to \infty }{a}_{n}\ne 0, then ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} diverges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 30번
# 비교 판정법개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
244.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 3번대학 수준우리말 번역

장 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty }|{a}_{n}| 이 수렴하면 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} 도 수렴한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If ∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty }|{a}_{n}| converges, then ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n} converges.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

true

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 5번
# 비교 판정법개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
245.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 4번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

∑n=1∞2nan\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{n}{a}_{n} 이 수렴하면 ∑n=1∞(−2)nan\sum_{n=1}^{\infty }{(-2)}^{n}{a}_{n} 도 수렴한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If ∑n=1∞2nan\sum_{n=1}^{\infty }{2}^{n}{a}_{n} converges, then ∑n=1∞(−2)nan\sum_{n=1}^{\infty }{(-2)}^{n}{a}_{n} converges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 28번
# 비교 판정법개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
246.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 5번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

an=3+n21−n{a}_{n}=\frac{3+{n}^{2}}{1-n}

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

an=3+n21−n{a}_{n}=\frac{3+{n}^{2}}{1-n}

정답·풀이 보기

비유계, 단조가 아니다, 발산

원본 교재 풀이(영어)

unbounded, not monotone, divergent

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 7번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
247.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 6번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

an=ln⁡(1n){a}_{n}=\ln \left(\frac{1}{n}\right)

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

an=ln⁡(1n){a}_{n}=\ln \left(\frac{1}{n}\right)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
248.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

an=ln⁡(n+1)n+1{a}_{n}=\frac{\ln (n+1)}{\sqrt{n+1}}

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

an=ln⁡(n+1)n+1{a}_{n}=\frac{\ln (n+1)}{\sqrt{n+1}}

정답·풀이 보기

유계, 단조, 수렴, 00

원본 교재 풀이(영어)

bounded, monotone, convergent, 00

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 49번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
249.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 8번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

an=2n+15n{a}_{n}=\frac{{2}^{n+1}}{{5}^{n}}

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

an=2n+15n{a}_{n}=\frac{{2}^{n+1}}{{5}^{n}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 17번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
250.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 9번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

an=ln⁡(cos⁡n)n{a}_{n}=\frac{\ln (\cos n)}{n}

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

an=ln⁡(cos⁡n)n{a}_{n}=\frac{\ln (\cos n)}{n}

정답·풀이 보기

비유계, 단조가 아니다, 발산

원본 교재 풀이(영어)

unbounded, not monotone, divergent

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 1번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
251.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 10번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞1n2+5n+4\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}+5n+4}

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

∑n=1∞1n2+5n+4\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}+5n+4}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 34번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
252.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 11번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞ln⁡(n+1n)\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

∑n=1∞ln⁡(n+1n)\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)

정답·풀이 보기

발산한다

원본 교재 풀이(영어)

diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 13번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
253.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 12번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞2nn4\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{n}^{4}}

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

∑n=1∞2nn4\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{n}^{4}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 17번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
254.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 13번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞enn!\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{e}^{n}}{n!}

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

∑n=1∞enn!\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{e}^{n}}{n!}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 15번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
255.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 14번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞n−(n+1/n)\sum_{n=1}^{\infty }{n}^{-(n+1/n)}

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

∑n=1∞n−(n+1/n)\sum_{n=1}^{\infty }{n}^{-(n+1/n)}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 16번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
256.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 15번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 절대수렴하는지 판단하세요.

∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{\sqrt{n}}

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent? If convergent, is it absolutely convergent?

∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{\sqrt{n}}

정답·풀이 보기

수렴하지만 절대수렴하지는 않는다

원본 교재 풀이(영어)

converges, but not absolutely

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 17번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
257.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 16번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 절대수렴하는지 판단하세요.

∑n=1∞(−1)nn!3n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}n!}{{3}^{n}}

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent? If convergent, is it absolutely convergent?

∑n=1∞(−1)nn!3n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}n!}{{3}^{n}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 3번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
258.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 17번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 절대수렴하는지 판단하세요.

∑n=1∞(−1)nn!nn\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}n!}{{n}^{n}}

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent? If convergent, is it absolutely convergent?

∑n=1∞(−1)nn!nn\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}n!}{{n}^{n}}

정답·풀이 보기

절대수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges absolutely

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 9번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
259.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 18번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 절대수렴하는지 판단하세요.

∑n=1∞sin⁡(nπ2)\sum_{n=1}^{\infty }\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent? If convergent, is it absolutely convergent?

∑n=1∞sin⁡(nπ2)\sum_{n=1}^{\infty }\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 20번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
260.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 19번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 절대수렴하는지 판단하세요.

∑n=1∞cos⁡(πn)e−n\sum_{n=1}^{\infty }\cos (\pi n){e}^{-n}

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent? If convergent, is it absolutely convergent?

∑n=1∞cos⁡(πn)e−n\sum_{n=1}^{\infty }\cos (\pi n){e}^{-n}

정답·풀이 보기

절대수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges absolutely

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 11번
# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)