급수 심화 전체 연습문제

301.OpenStax 2권 · 6.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 부분분수를 이용하여 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$\frac{3}{(x+2)(x-1)}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use partial fractions to find the power series of each function.

$\frac{3}{(x+2)(x-1)}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

302.OpenStax 2권 · 6.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 부분분수를 이용하여 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$\frac{5}{({x}^{2}+4)({x}^{2}-1)}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use partial fractions to find the power series of each function.

$\frac{5}{({x}^{2}+4)({x}^{2}-1)}$

정답·풀이 보기

$\frac{5}{({x}^{2}+4)({x}^{2}-1)}=\frac{1}{{x}^{2}-1}-\frac{1}{4}\,\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty }\left(-1+(-1){\cdot }^{n+1}\frac{1}{{2}^{n+2}}\right){x}^{2n}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{5}{({x}^{2}+4)({x}^{2}-1)}=\frac{1}{{x}^{2}-1}-\frac{1}{4}\,\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty }\left(-1+(-1){\cdot }^{n+1}\frac{1}{{2}^{n+2}}\right){x}^{2n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 11번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

303.OpenStax 2권 · 6.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 부분분수를 이용하여 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$\frac{30}{({x}^{2}+1)({x}^{2}-9)}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use partial fractions to find the power series of each function.

$\frac{30}{({x}^{2}+1)({x}^{2}-9)}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

304.OpenStax 2권 · 6.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 급수를 유리함수로 나타내세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{x}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, express each series as a rational function.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{x}^{n}}$

정답·풀이 보기

$\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{{x}^{n}}=\frac{1}{x}\,\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1}{x-1}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{{x}^{n}}=\frac{1}{x}\,\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1}{x-1}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 5번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

305.OpenStax 2권 · 6.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 급수를 유리함수로 나타내세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{x}^{2n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, express each series as a rational function.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{x}^{2n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

306.OpenStax 2권 · 6.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 급수를 유리함수로 나타내세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{(x-3)}^{2n-1}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, express each series as a rational function.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{(x-3)}^{2n-1}}$

정답·풀이 보기

$\frac{1}{x-3}\,\frac{1}{1-\frac{1}{{(x-3)}^{2}}}=\frac{x-3}{{(x-3)}^{2}-1}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{x-3}\,\frac{1}{1-\frac{1}{{(x-3)}^{2}}}=\frac{x-3}{{(x-3)}^{2}-1}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 27번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

307.OpenStax 2권 · 6.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 급수를 유리함수로 나타내세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{{(x-3)}^{2n-1}}-\frac{1}{{(x-2)}^{2n-1}}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, express each series as a rational function.

$\sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{{(x-3)}^{2n-1}}-\frac{1}{{(x-2)}^{2n-1}}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 47번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

308.OpenStax 2권 · 6.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

연금의 현재 가치 P 를 계산하세요. 이 연금은 매년 $10,000 씩 20년 동안 지급되며, 이자율은 $r=0.03,r=0.05$ , 그리고 $r=0.07$ 인 경우를 가정합니다.

영어 원문 보기

Calculate the present values P of an annuity in which $10,000 is to be paid out annually for a period of 20 years, assuming interest rates of $r=0.03,r=0.05,$ and $r=0.07.$

정답·풀이 보기

$P={P}_{1}+\cdots +{P}_{20}$ 이고 ${P}_{k}=10,000\frac{1}{{(1+r)}^{k}}$ 이다. 그러면 $P=10,000\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{{(1+r)}^{k}}=10,000\frac{1-{(1+r)}^{-20}}{r}$ 이다. $r=0.03,P\approx 10,000\,\times \,14.8775=148,775$ 일 때, $r=0.05,P\approx 10,000\,\times \,12.4622=124,622$ 일 때, $r=0.07,P\approx 105,940$ 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

$P={P}_{1}+\cdots +{P}_{20}$ where ${P}_{k}=10,000\frac{1}{{(1+r)}^{k}}.$ Then $P=10,000\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{{(1+r)}^{k}}=10,000\frac{1-{(1+r)}^{-20}}{r}.$ When $r=0.03,P\approx 10,000\,\times \,14.8775=148,775.$ When $r=0.05,P\approx 10,000\,\times \,12.4622=124,622.$ When $r=0.07,P\approx 105,940.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 13번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

309.OpenStax 2권 · 6.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

매년 $9,000씩 영원히 지급되는 연금의 현재가치 P 를 이자율이 $r=0.03,r=0.05$ 및 $r=0.07$ 일 때 각각 구하세요.

영어 원문 보기

Calculate the present values P of annuities in which $9,000 is to be paid out annually perpetually, assuming interest rates of $r=0.03,r=0.05$ and $r=0.07.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

310.OpenStax 2권 · 6.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

현재 가치가 $100,000인 연금에 대해, 이자율이 각각 $r=0.03,r=0.05$ , 그리고 $r=0.07$ 일 때 20년 동안 지급할 연간 지급액 C 를 계산하세요.

영어 원문 보기

Calculate the annual payouts C to be given for 20 years on annuities having present value $100,000 assuming respective interest rates of $r=0.03,r=0.05,$ and $r=0.07.$

정답·풀이 보기

일반적으로 N년 동안 지급할 때 $P=\frac{C(1-{(1+r)}^{-N})}{r}$ 이고, 이는 $C=\frac{Pr}{1-{(1+r)}^{-N}}$ 와 같다. $N=20$ 이고 $P=100,000$ 이면 $C=6721.57$ 이고 이때 $r=0.03;C=8024.26$ 이며 이때 $r=0.05$ ; 그리고 $C\approx 9439.29$ 이며 이때 $r=0.07$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, $P=\frac{C(1-{(1+r)}^{-N})}{r}$ for N years of payouts, or $C=\frac{Pr}{1-{(1+r)}^{-N}}.$ For $N=20$ and $P=100,000,$ one has $C=6721.57$ when $r=0.03;C=8024.26$ when $r=0.05;$ and $C\approx 9439.29$ when $r=0.07.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 15번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

311.OpenStax 2권 · 6.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

현재가치가 $100,000인 연금에서 영원히 지급되는 매년의 지급액 C 를 이자율이 각각 $r=0.03,r=0.05$ , 및 $r=0.07$ 일 때 구하세요.

영어 원문 보기

Calculate the annual payouts C to be given perpetually on annuities having present value $100,000 assuming respective interest rates of $r=0.03,r=0.05,$ and $r=0.07.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 3번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

312.OpenStax 2권 · 6.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

어떤 연금의 현재가치가 $P=1\,\text{million dollars}$ 라고 하자. 매년 $50,000씩 영원히 지급할 수 있게 하는 이자율 r은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that an annuity has a present value $P=1\,\text{million dollars}.$ What interest rate r would allow for perpetual annual payouts of $50,000?

정답·풀이 보기

일반적으로 $P=\frac{C}{r}$ 이다. 따라서 $r=\frac{C}{P}=5\,\times \,\frac{{10}^{4}}{{10}^{6}}=0.05$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, $P=\frac{C}{r}.$ Thus, $r=\frac{C}{P}=5\,\times \,\frac{{10}^{4}}{{10}^{6}}=0.05.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 17번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

313.OpenStax 2권 · 6.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

어떤 연금의 현재가치가 $P=10\,\text{million dollars}$ 라고 하자. 매년 $100,000씩 영원히 지급할 수 있게 하는 이자율 r은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that an annuity has a present value $P=10\,\text{million dollars}.$ What interest rate r would allow for perpetual annual payouts of $100,000?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

314.OpenStax 2권 · 6.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

$x+{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}+{x}^{5}-{x}^{6}+\cdots$ (힌트: 거듭제곱 x^3k, ${x}^{3k-1},$ ${x}^{3k-2}.)$ 끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

$x+{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}+{x}^{5}-{x}^{6}+\cdots$ (Hint: Group powers x^3k, ${x}^{3k-1},$ and ${x}^{3k-2}.)$

정답·풀이 보기

$(x+{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x+{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$(x+{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x+{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

315.OpenStax 2권 · 6.2절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

$x+{x}^{2}-{x}^{3}-{x}^{4}+{x}^{5}+{x}^{6}-{x}^{7}-{x}^{8}+\cdots$ (힌트: 거듭제곱 x^4k, ${x}^{4k-1}$ , 등끼리 묶으세요.)

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

$x+{x}^{2}-{x}^{3}-{x}^{4}+{x}^{5}+{x}^{6}-{x}^{7}-{x}^{8}+\cdots$ (Hint: Group powers x^4k, ${x}^{4k-1},$ etc.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 13번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

316.OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

$x-{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}-{x}^{5}-{x}^{6}+{x}^{7}-\cdots$ (힌트: 거듭제곱 x^3k, ${x}^{3k-1},$ ${x}^{3k-2}.)$ 끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

$x-{x}^{2}-{x}^{3}+{x}^{4}-{x}^{5}-{x}^{6}+{x}^{7}-\cdots$ (Hint: Group powers x^3k, ${x}^{3k-1},$ and ${x}^{3k-2}.)$

정답·풀이 보기

$(x-{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x-{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$(x-{x}^{2}-{x}^{3})(1+{x}^{3}+{x}^{6}+\cdots )=\frac{x-{x}^{2}-{x}^{3}}{1-{x}^{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

317.OpenStax 2권 · 6.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 거듭제곱급수의 합을 등비급수로 나타낸 다음, 그 합을 유리함수로 나타내세요.

$\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{x}^{3}}{8}+\frac{{x}^{4}}{16}+\frac{{x}^{5}}{32}-\frac{{x}^{6}}{64}+\cdots$ (힌트: 거듭제곱 ${\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k},{\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k-1},$ ${\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k-2}.)$ 끼리 묶으세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, express the sum of each power series in terms of geometric series, and then express the sum as a rational function.

$\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{x}^{3}}{8}+\frac{{x}^{4}}{16}+\frac{{x}^{5}}{32}-\frac{{x}^{6}}{64}+\cdots$ (Hint: Group powers ${\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k},{\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k-1},$ and ${\left(\frac{x}{2}\right)}^{3k-2}.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

318.OpenStax 2권 · 6.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 f 와 g 가 주어진 대로 정의될 때, $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=2,{b}_{n}=n$ 이므로 ${c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1)$ 이고 $f(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=2,{b}_{n}=n$ so ${c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1)$ and $f(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 23번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

319.OpenStax 2권 · 6.2절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 와 $g$ 가 아래와 같이 주어질 때 $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^{n}.$ $f(x)g(x)$ 의 계수를 ${H}_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^{n}.$ Express the coefficients of $f(x)g(x)$ in terms of ${H}_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

320.OpenStax 2권 · 6.2절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 와 $g$ 가 아래와 같이 주어질 때 $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n}$ 이므로 ${c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}}$ 이고 $f(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n}$ so ${c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}}$ and $f(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 33번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

급수 심화 전체 문제