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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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731문제 · 17 / 37쪽

321.OpenStax 2권 · 6.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, ff 와 gg 가 아래와 같이 주어질 때 f(x)g(x)f(x)g(x) 의 거듭제곱급수를 구하세요.

f(x)=g(x)=∑n=1∞nxnf(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n{x}^{n}

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of f(x)g(x)f(x)g(x) given f and g as defined.

f(x)=g(x)=∑n=1∞nxnf(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n{x}^{n}

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 11번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
322.OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 미분하여 ff 의 도함수에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=11+x=∑n=0∞(−1)nxnf(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}

영어 원문 보기

In the following exercises, differentiate the given series expansion of f term-by-term to obtain the corresponding series expansion for the derivative of f.

f(x)=11+x=∑n=0∞(−1)nxnf(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}

정답·풀이 보기

ff 의 도함수는 −1(1+x)2=−∑n=0∞(−1)n(n+1)xn-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of ff is −1(1+x)2=−∑n=0∞(−1)n(n+1)xn.-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 31번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
323.OpenStax 2권 · 6.2절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 미분하여 ff 의 도함수에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=11−x2=∑n=0∞x2nf(x)=\frac{1}{1-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}

영어 원문 보기

In the following exercises, differentiate the given series expansion of f term-by-term to obtain the corresponding series expansion for the derivative of f.

f(x)=11−x2=∑n=0∞x2nf(x)=\frac{1}{1-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 27번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
324.OpenStax 2권 · 6.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 0부터 x 까지 적분하여 ff 의 부정적분에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=2x(1+x2)2=∑n=1∞(−1)n(2n)x2n−1f(x)=\frac{2x}{{(1+{x}^{2})}^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}(2n){x}^{2n-1}

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate the given series expansion of ff term-by-term from zero to x to obtain the corresponding series expansion for the indefinite integral of f.f.

f(x)=2x(1+x2)2=∑n=1∞(−1)n(2n)x2n−1f(x)=\frac{2x}{{(1+{x}^{2})}^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}(2n){x}^{2n-1}

정답·풀이 보기

ff 의 부정적분은 −11+x2=∑n=0∞(−1)nx2n-\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The indefinite integral of ff is −11+x2=∑n=0∞(−1)nx2n.-\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 37번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
325.OpenStax 2권 · 6.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 ff 의 급수 전개를 항별로 0부터 x 까지 적분하여 ff 의 부정적분에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

f(x)=2x1+x2=2∑n=0∞(−1)nx2n+1f(x)=\frac{2x}{1+{x}^{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n+1}

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate the given series expansion of ff term-by-term from zero to x to obtain the corresponding series expansion for the indefinite integral of f.f.

f(x)=2x1+x2=2∑n=0∞(−1)nx2n+1f(x)=\frac{2x}{1+{x}^{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n+1}

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
326.OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

f(x)=∑n=0∞xnf(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 일 때, ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}} 의 값을 f′(12){f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right) 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}} as f′(12){f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.

정답·풀이 보기

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′(12)=∑n=1∞n2n−1=ddx(1−x)−1∣x=1/2=1(1−x)2∣x=1/2=4f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n-1}}={\frac{d}{dx}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{1}{{(1-x)}^{2}}|}_{x=1/2}=4 so ∑n=1∞n2n=2.\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}=2.

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′(12)=∑n=1∞n2n−1=ddx(1−x)−1∣x=1/2=1(1−x)2∣x=1/2=4f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n-1}}={\frac{d}{dx}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{1}{{(1-x)}^{2}}|}_{x=1/2}=4 so ∑n=1∞n2n=2.\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
327.OpenStax 2권 · 6.2절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

f(x)=∑n=0∞xnf(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 일 때, ∑n=1∞n3n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{3}^{n}} 의 값을 f′(13){f}^{'}\left(\frac{1}{3}\right) 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate ∑n=1∞n3n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{3}^{n}} as f′(13){f}^{'}\left(\frac{1}{3}\right) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 9번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
328.OpenStax 2권 · 6.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

f(x)=∑n=0∞xnf(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 일 때, ∑n=2∞n(n−1)2n\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}} 의 값을 f′′(12){f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right) 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate ∑n=2∞n(n−1)2n\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}} as f′′(12){f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right) where f(x)=∑n=0∞xn.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.

정답·풀이 보기

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′′(12)=∑n=2∞n(n−1)2n−2=d2dx2(1−x)−1∣x=1/2=2(1−x)3∣x=1/2=16f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n-2}}={\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{2}{{(1-x)}^{3}}|}_{x=1/2}=16 so ∑n=2∞n(n−1)2n=4.\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}=4.

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=∑n=0∞xn=11−x;f′′(12)=∑n=2∞n(n−1)2n−2=d2dx2(1−x)−1∣x=1/2=2(1−x)3∣x=1/2=16f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n-2}}={\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{2}{{(1-x)}^{3}}|}_{x=1/2}=16 so ∑n=2∞n(n−1)2n=4.\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}=4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
329.OpenStax 2권 · 6.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

∑n=0∞(−1)n2n+1\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1} 의 값을 ∫01f(t)dt{\int }_{0}^{1}f(t)dt 로 보고 구하세요. 여기서 f(x)=∑n=0∞(−1)nx2n=11+x2.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}=\frac{1}{1+{x}^{2}}.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate ∑n=0∞(−1)n2n+1\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1} as ∫01f(t)dt{\int }_{0}^{1}f(t)dt where f(x)=∑n=0∞(−1)nx2n=11+x2.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}=\frac{1}{1+{x}^{2}}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 5번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
330.OpenStax 2권 · 6.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x 의 x=1x=1 에서의 거듭제곱급수 (힌트: x=1−(1−x))x=1-(1-x))

영어 원문 보기

In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn,\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}, use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x centered at x=1x=1 (Hint: x=1−(1−x))x=1-(1-x))

정답·풀이 보기

∫∑(1−x)ndx=∫∑(−1)n(x−1)ndx=∑(−1)n(x−1)n+1n+1\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}

원본 교재 풀이(영어)

∫∑(1−x)ndx=∫∑(−1)n(x−1)ndx=∑(−1)n(x−1)n+1n+1\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
331.OpenStax 2권 · 6.2절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

x=0x=0 에서의 ln⁡(1−x)\ln (1-x)

영어 원문 보기

In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn,\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}, use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

ln⁡(1−x)\ln (1-x) at x=0x=0

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
332.OpenStax 2권 · 6.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

x=0x=0 에서의 ln⁡(1−x2)\ln (1-{x}^{2})

영어 원문 보기

In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn,\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}, use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

ln⁡(1−x2)\ln (1-{x}^{2}) at x=0x=0

정답·풀이 보기

−∫t=0x211−tdt=−∑n=0∞∫0x2tndx−∑n=0∞x2(n+1)n+1=−∑n=1∞x2nn-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}

원본 교재 풀이(영어)

−∫t=0x211−tdt=−∑n=0∞∫0x2tndx−∑n=0∞x2(n+1)n+1=−∑n=1∞x2nn-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
333.OpenStax 2권 · 6.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

x=0x=0 에서의 f(x)=2x(1−x2)2f(x)=\frac{2x}{{(1-{x}^{2})}^{2}}

영어 원문 보기

In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn,\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}, use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

f(x)=2x(1−x2)2f(x)=\frac{2x}{{(1-{x}^{2})}^{2}} at x=0x=0

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
334.OpenStax 2권 · 6.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

x=0x=0 에서 f(x)=tan⁡−1(x2)f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2})

영어 원문 보기

In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn,\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}, use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

f(x)=tan⁡−1(x2)f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2}) at x=0x=0

정답·풀이 보기

∫0x2dt1+t2=∑n=0∞(−1)n∫0x2t2ndt=∑n=0∞(−1)nt2n+12n+1∣t=0x2=∑n=0∞(−1)nx4n+22n+1{\int }_{0}^{{x}^{2}}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{2n}dt={\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n+1}}{2n+1}|}_{t=0}^{{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+2}}{2n+1}

원본 교재 풀이(영어)

∫0x2dt1+t2=∑n=0∞(−1)n∫0x2t2ndt=∑n=0∞(−1)nt2n+12n+1∣t=0x2=∑n=0∞(−1)nx4n+22n+1{\int }_{0}^{{x}^{2}}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{2n}dt={\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n+1}}{2n+1}|}_{t=0}^{{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+2}}{2n+1}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 47번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
335.OpenStax 2권 · 6.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

x=0x=0 에서 f(x)=ln⁡(1+x2)f(x)=\ln (1+{x}^{2})

영어 원문 보기

In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn,\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}, use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

f(x)=ln⁡(1+x2)f(x)=\ln (1+{x}^{2}) at x=0x=0

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
336.OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n} 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

f(x)=∫0xln⁡tdtf(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt 이고 ln⁡(x)=∑n=1∞(−1)n−1(x−1)nn\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n} 일 때

영어 원문 보기

In the following exercises, given that 11−x=∑n=0∞xn,\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}, use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

f(x)=∫0xln⁡tdtf(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt where ln⁡(x)=∑n=1∞(−1)n−1(x−1)nn\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}

정답·풀이 보기

항별 적분을 하면 ∫0xln⁡tdt=∑n=1∞(−1)n−1(x−1)n+1n(n+1)=∑n=1∞(−1)n−1(1n−1n+1)(x−1)n+1=(x−1)ln⁡x+∑n=2∞(−1)n(x−1)nn=xln⁡x−x{\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Term-by-term integration gives ∫0xln⁡tdt=∑n=1∞(−1)n−1(x−1)n+1n(n+1)=∑n=1∞(−1)n−1(1n−1n+1)(x−1)n+1=(x−1)ln⁡x+∑n=2∞(−1)n(x−1)nn=xln⁡x−x.{\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
337.OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ln⁡(1+x)\ln (1+x) 의 무한급수에서 ln⁡(1−x)\ln (1-x) 의 무한급수를 빼서 ln⁡(1+x1−x)\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) 의 거듭제곱급수를 구하세요. x=13x=\frac{1}{3} 에서 값을 구하세요. 이 급수의 제 N 부분합이 ln⁡(2)\ln (2) 를 오차 0.001 미만으로 근사하게 되는 가장 작은 N 은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Subtract the infinite series of ln⁡(1−x)\ln (1-x) from ln⁡(1+x)\ln (1+x) to get a power series for ln⁡(1+x1−x).\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right). Evaluate at x=13.x=\frac{1}{3}. What is the smallest N such that the Nth partial sum of this series approximates ln⁡(2)\ln (2) with an error less than 0.001?

정답·풀이 보기

ln⁡(1−x)=−∑n=1∞xnn\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n} 이므로 ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xnn\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n} 이다. 따라서 ln⁡(1+x1−x)=∑n=1∞(1+(−1)n−1)xnn=2∑n=1∞x2n−12n−1\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1} 이다. x=13x=\frac{1}{3} 일 때 ln⁡(2)=2∑n=1∞132n−1(2n−1)\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)} 을 얻는다. 2∑n=13132n−1(2n−1)=0.69300…2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots 이고 2∑n=14132n−1(2n−1)=0.69313…2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots 이며 ln⁡(2)=0.69314…\ln (2)=0.69314\ldots 이므로 N=4N=4 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have ln⁡(1−x)=−∑n=1∞xnn\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n} so ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1xnn.\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}. Thus, ln⁡(1+x1−x)=∑n=1∞(1+(−1)n−1)xnn=2∑n=1∞x2n−12n−1.\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}. When x=13x=\frac{1}{3} we obtain ln⁡(2)=2∑n=1∞132n−1(2n−1).\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}. We have 2∑n=13132n−1(2n−1)=0.69300…,2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots , while 2∑n=14132n−1(2n−1)=0.69313…2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots and ln⁡(2)=0.69314…;\ln (2)=0.69314\ldots ; therefore, N=4.N=4.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
338.OpenStax 2권 · 6.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우에는 치환을 사용하여, 각 급수를 초등함수로 나타내고 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

∑k=0∞(xk−x2k+1)\sum_{k=0}^{\infty }({x}^{k}-{x}^{2k+1})

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

∑k=0∞(xk−x2k+1)\sum_{k=0}^{\infty }({x}^{k}-{x}^{2k+1})

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류
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339.OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 지시가 있으면 치환을 이용하여 각 급수를 초등함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

∑k=1∞x3k6k\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

∑k=1∞x3k6k\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}

정답·풀이 보기

∑k=1∞xkk=−ln⁡(1−x)\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x) 이므로 ∑k=1∞x3k6k=−16ln⁡(1−x3)\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3}). 수렴 반지름은 비판정법에 의해 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

∑k=1∞xkk=−ln⁡(1−x)\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x) so ∑k=1∞x3k6k=−16ln⁡(1−x3).\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3}). The radius of convergence is equal to 1 by the ratio test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번
# 멱급수의 연산계산자동 분류
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340.OpenStax 2권 · 6.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우 치환을 이용하여 각 급수를 기본함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

∑k=1∞(1+x2)−k\sum_{k=1}^{\infty }{(1+{x}^{2})}^{-k} 에서 y=11+x2y=\frac{1}{1+{x}^{2}} 로 치환하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

∑k=1∞(1+x2)−k\sum_{k=1}^{\infty }{(1+{x}^{2})}^{-k} using y=11+x2y=\frac{1}{1+{x}^{2}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 11번
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