급수 심화 전체 연습문제

401.OpenStax 2권 · 6.3절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)={e}^{-2x}$ , 구간 $[-1,1],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)={e}^{-2x}$ on $[-1,1],a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 48번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

402.OpenStax 2권 · 6.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)={e}^{-x}$ , 구간 $[-3,3],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)={e}^{-x}$ on $[-3,3],a=0$

정답·풀이 보기

${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ 이므로 $M={e}^{3}$ 이다. $|x-0|\le 3$ 이므로 $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=14$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{14}\le 0.000220$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ one has $M={e}^{3}.$ Since $|x-0|\le 3,$ one seeks the smallest n such that $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001.$ The smallest such value is $n=14.$ The remainder estimate is ${R}_{14}\le 0.000220.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 38번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

403.OpenStax 2권 · 6.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 구간 $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 $a$ 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 $R$ 의 함수로 그래프에 나타내어, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 $R$ 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] e^x 을 $1+x,a=0$ 으로 근사

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] e^x approximated by $1+x,a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 11번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

404.OpenStax 2권 · 6.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 a 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 R 의 함수로 그래프를 그려서, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 R 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\sin x$ 를 x 로 근사, $a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] $\sin x$ approximated by x, $a=0$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 y=0.2 인 수평선이 있다. 또한 원점에서 시작하여 아래로 볼록한 곡선이 있다. 곡선과 직선은 순서쌍 (0.5966, 0.2) 에서 만난다.

$\sin x$ 는 작은 x 에서 증가하고 $\mathrm{si}{n}^{''}x=-\sin x$ 이므로, ${R}^{2}\sin (R)\le 0.2$ 일 때마다 이 추정식이 적용되며, 이는 $R=0.596$ 까지 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has a horizontal line at y=0.2. It also has a curve starting at the origin and concave up. The curve and the line intersect at the ordered pair (0.5966, 0.2).

Since $\sin x$ is increasing for small x and since $\mathrm{si}{n}^{''}x=-\sin x,$ the estimate applies whenever ${R}^{2}\sin (R)\le 0.2,$ which applies up to $R=0.596.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 20번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

405.OpenStax 2권 · 6.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 a 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 R 의 함수로 그래프를 그려서, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 R 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\ln x$ 를 $x-1,a=1$ 로 근사

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] $\ln x$ approximated by $x-1,a=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

406.OpenStax 2권 · 6.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 a 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 R 의 함수로 그래프를 그려서, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 R 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\cos x$ 를 $1,a=0$ 으로 근사

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] $\cos x$ approximated by $1,a=0$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 y=0.2 인 수평선이 있다. 또한 원점에서 시작하여 아래로 볼록한 곡선이 있다. 곡선과 직선은 순서쌍 (0.44720, 0.2) 에서 만난다.

$\cos x$ 의 이계도함수는 $-\cos x$ 이고 $\cos x$ 는 $x=0$ 에서 멀어질수록 감소하므로, ${R}^{2}\cos R\le 0.2$ 즉 $R\le 0.447$ 일 때 이 추정식이 적용된다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has a horizontal line at y=0.2. It also has a curve starting at the origin and concave up. The curve and the line intersect at the ordered pair (0.44720, 0.2).

Since the second derivative of $\cos x$ is $-\cos x$ and since $\cos x$ is decreasing away from $x=0,$ the estimate applies when ${R}^{2}\cos R\le 0.2$ or $R\le 0.447.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 22번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

407.OpenStax 2권 · 6.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 하는 주어진 함수의 테일러 급수를 구하세요.

${x}^{4}$ , $a=-1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

${x}^{4}$ at $a=-1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 48번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

408.OpenStax 2권 · 6.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 하는 주어진 함수의 테일러 급수를 구하세요.

$1+x+{x}^{2}+{x}^{3}$ , $a=-1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

$1+x+{x}^{2}+{x}^{3}$ at $a=-1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

${(x+1)}^{3}-2{(x+1)}^{2}+2(x+1)$

원본 교재 풀이(영어)

${(x+1)}^{3}-2{(x+1)}^{2}+2(x+1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 48번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

409.OpenStax 2권 · 6.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 하는 주어진 함수의 테일러 급수를 구하세요.

$\sin x$ ( $a=\pi$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

$\sin x$ at $a=\pi$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 30번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

410.OpenStax 2권 · 6.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수의 테일러 급수를, 주어진 점을 중심으로 구하세요.

$a=2\pi$ 에서 $\cos x$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

$\cos x$ at $a=2\pi$

정답·풀이 보기

미분계수의 값은 $x=0$ 에서와 같으므로 $\cos x={\sum_{n=0}^{\infty }(-1)}^{n}\frac{{(x-2\pi )}^{2n}}{(2n)!}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Values of derivatives are the same as for $x=0$ so $\cos x={\sum_{n=0}^{\infty }(-1)}^{n}\frac{{(x-2\pi )}^{2n}}{(2n)!}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 11번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

411.OpenStax 2권 · 6.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 테일러 급수를 지시된 점을 중심으로 구하세요.

$x=\frac{\pi }{2}$ 에서 $\sin x$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

$\sin x$ at $x=\frac{\pi }{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 8번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

412.OpenStax 2권 · 6.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 테일러 급수를 지시된 점을 중심으로 구하세요.

$x=\frac{\pi }{2}$ 에서 $\cos x$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

$\cos x$ at $x=\frac{\pi }{2}$

정답·풀이 보기

$\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0,-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1$ 이므로 $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\frac{{\left(x-\frac{\pi }{2}\right)}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 이고, 이는 $-\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ 와도 같다.

원본 교재 풀이(영어)

$\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0,-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1$ so $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n+1}\frac{{\left(x-\frac{\pi }{2}\right)}^{2n+1}}{(2n+1)!},$ which is also $-\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 26번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

413.OpenStax 2권 · 6.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수의 테일러 급수를 지정된 점을 중심으로 구하세요.

${e}^{x}$ 를 $a=-1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

${e}^{x}$ at $a=-1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

414.OpenStax 2권 · 6.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 주어진 점을 중심으로 하는 테일러 급수를 구하세요.

${e}^{x}$ ( $a=1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

${e}^{x}$ at $a=1$

정답·풀이 보기

미분계수는 ${f}^{(n)}(1)=e$ 이므로 ${e}^{x}=e\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(x-1)}^{n}}{n!}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivatives are ${f}^{(n)}(1)=e$ so ${e}^{x}=e\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(x-1)}^{n}}{n!}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 24번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

415.OpenStax 2권 · 6.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 주어진 점을 중심으로 하는 테일러 급수를 구하세요.

$\frac{1}{{(x-1)}^{2}}$ ( $a=0$ 에서) (힌트: $\frac{1}{1-x}.)$ 를 미분하세요.)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

$\frac{1}{{(x-1)}^{2}}$ at $a=0$ (Hint: Differentiate $\frac{1}{1-x}.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 11번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

416.OpenStax 2권 · 6.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 주어진 점을 중심으로 하는 테일러 급수를 구하세요.

$\frac{1}{{(x-1)}^{3}}$ ( $a=0$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

$\frac{1}{{(x-1)}^{3}}$ at $a=0$

정답·풀이 보기

$\frac{1}{{(x-1)}^{3}}=-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}\,\frac{1}{1-x}=-\sum_{n=0}^{\infty }\left(\frac{(n+2)(n+1){x}^{n}}{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{{(x-1)}^{3}}=-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}\,\frac{1}{1-x}=-\sum_{n=0}^{\infty }\left(\frac{(n+2)(n+1){x}^{n}}{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 44번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

417.OpenStax 2권 · 6.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 주어진 점을 중심으로 하는 테일러 급수를 구하세요.

$F(x)={\int }_{0}^{x}\cos \left(\sqrt{t}\right)dt;f(t)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{n}}{(2n)!}$ ( $a=0$ 에서) (참고: $f$ 는 $\cos \left(\sqrt{t}\right).)$ 의 테일러 급수이다.)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

$F(x)={\int }_{0}^{x}\cos \left(\sqrt{t}\right)dt;f(t)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{n}}{(2n)!}$ at $a=0$ (Note: $f$ is the Taylor series of $\cos \left(\sqrt{t}\right).)$