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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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832문제 · 19 / 42쪽

361.OpenStax 2권 · 6.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}$ 의 값을 ${\int }_{0}^{1}f(t)dt$ 로 보고 구하세요. 여기서 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}=\frac{1}{1+{x}^{2}}.$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}$ as ${\int }_{0}^{1}f(t)dt$ where $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}=\frac{1}{1+{x}^{2}}.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

362.OpenStax 2권 · 6.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=\ln x$ 의 $x=1$ 에서의 거듭제곱급수 (힌트: $x=1-(1-x))$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)=\ln x$ centered at $x=1$ (Hint: $x=1-(1-x))$

정답·풀이 보기

$\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}$

원본 교재 풀이(영어)

$\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

363.OpenStax 2권 · 6.2절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서의 $\ln (1-x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$\ln (1-x)$ at $x=0$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

364.OpenStax 2권 · 6.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서의 $\ln (1-{x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$\ln (1-{x}^{2})$ at $x=0$

정답·풀이 보기

$-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}$

원본 교재 풀이(영어)

$-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

365.OpenStax 2권 · 6.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서의 $f(x)=\frac{2x}{{(1-{x}^{2})}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)=\frac{2x}{{(1-{x}^{2})}^{2}}$ at $x=0$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

366.OpenStax 2권 · 6.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서 $f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2})$ at $x=0$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{{x}^{2}}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{2n}dt={\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n+1}}{2n+1}|}_{t=0}^{{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+2}}{2n+1}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{{x}^{2}}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{2n}dt={\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n+1}}{2n+1}|}_{t=0}^{{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+2}}{2n+1}$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

367.OpenStax 2권 · 6.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서 $f(x)=\ln (1+{x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)=\ln (1+{x}^{2})$ at $x=0$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

368.OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt$ 이고 $\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}$ 일 때

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt$ where $\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}$

정답·풀이 보기

항별 적분을 하면 ${\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Term-by-term integration gives ${\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

369.OpenStax 2권 · 6.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 을 $x=1$ 에서 계산하여 $\ln (2)$ 가 교대조화급수의 합임을 보이세요. 교대급수 판정법을 이용하여 $\ln (2)$ 를 0.001 이내의 오차로 어림하는 데 급수의 몇 개의 항이 필요한지 판단하고, 그러한 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Evaluate the power series expansion $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ at $x=1$ to show that $\ln (2)$ is the sum of the alternating harmonic series. Use the alternating series test to determine how many terms of the sum are needed to estimate $\ln (2)$ accurate to within 0.001, and find such an approximation.

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# 멱급수의 연산증명·논술자동 분류

370.OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $\ln (1+x)$ 의 무한급수에서 $\ln (1-x)$ 의 무한급수를 빼서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요. $x=\frac{1}{3}$ 에서 값을 구하세요. 이 급수의 제 N 부분합이 $\ln (2)$ 를 오차 0.001 미만으로 근사하게 되는 가장 작은 N 은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Subtract the infinite series of $\ln (1-x)$ from $\ln (1+x)$ to get a power series for $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right).$ Evaluate at $x=\frac{1}{3}.$ What is the smallest N such that the Nth partial sum of this series approximates $\ln (2)$ with an error less than 0.001?

정답·풀이 보기

$\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ 이므로 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 이다. 따라서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}$ 이다. $x=\frac{1}{3}$ 일 때 $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}$ 을 얻는다. $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots$ 이고 $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ 이며 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이므로 $N=4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have $\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ so $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}.$ Thus, $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}.$ When $x=\frac{1}{3}$ we obtain $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}.$ We have $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots ,$ while $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ and $\ln (2)=0.69314\ldots ;$ therefore, $N=4.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 9번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

371.OpenStax 2권 · 6.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우에는 치환을 사용하여, 각 급수를 초등함수로 나타내고 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=0}^{\infty }({x}^{k}-{x}^{2k+1})$

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=0}^{\infty }({x}^{k}-{x}^{2k+1})$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

372.OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 지시가 있으면 치환을 이용하여 각 급수를 초등함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}$

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}$

정답·풀이 보기

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x)$ 이므로 $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3})$ . 수렴 반지름은 비판정법에 의해 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x)$ so $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3}).$ The radius of convergence is equal to 1 by the ratio test.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

373.OpenStax 2권 · 6.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우 치환을 이용하여 각 급수를 기본함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{(1+{x}^{2})}^{-k}$ 에서 $y=\frac{1}{1+{x}^{2}}$ 로 치환하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=1}^{\infty }{(1+{x}^{2})}^{-k}$ using $y=\frac{1}{1+{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 11번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

374.OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우 치환을 이용하여 각 급수를 기본함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ 에서 $y={2}^{-x}$ 로 치환하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ using $y={2}^{-x}$

정답·풀이 보기

$y={2}^{-x}$ 이면 $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}$ 이다. ${a}_{k}={2}^{-kx}$ 이면 $x>0$ 일 때 $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ 이다. 따라서 이 급수는 모든 $x>0$ 에 대해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

If $y={2}^{-x},$ then $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}.$ If ${a}_{k}={2}^{-kx},$ then $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ when $x>0.$ So the series converges for all $x>0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 51번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

375.OpenStax 2권 · 6.2절 · 46번대학 수준우리말 번역

x³ 과 y³ 의 거듭제곱 항까지 $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ 이 $E(x+y)=E(x)E(y)$ 를 만족시킴을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that, up to powers x³ and y³, $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ satisfies $E(x+y)=E(x)E(y).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산증명·논술자동 분류

376.OpenStax 2권 · 6.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

급수 $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ 을 항별로 미분하여 $E(x)$ 가 그 도함수와 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Differentiate the series $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ term-by-term to show that $E(x)$ is equal to its derivative.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 35번

# 멱급수의 연산증명·논술자동 분류

377.OpenStax 2권 · 6.2절 · 48번대학 수준우리말 번역

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 짝수 차수 항들의 합, 즉 n 이 홀수이면 ${a}_{n}=0$ 일 때, $F={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 는 홀수 차수 항들의 합이고, f 가 홀수 차수 항들의 합이면 F 는 짝수 차수 항들의 합임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that if $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ is a sum of even powers, that is, ${a}_{n}=0$ if n is odd, then $F={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ is a sum of odd powers, while if f is a sum of odd powers, then F is a sum of even powers.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산증명·논술자동 분류

378.OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 계수 a_n 이 점화 관계 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}$ 로 정의된다고 하자. ${a}_{0}=0$ , ${a}_{1}=1$ 일 때, $[-1,1]$ 에서 $N=2,3,4,5$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ 을 계산하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that the coefficients a_n of the series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ are defined by the recurrence relation ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}.$ For ${a}_{0}=0$ and ${a}_{1}=1,$ compute and plot the sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ for $N=2,3,4,5$ on $[-1,1].$

정답·풀이 보기

세 개의 곡선을 그린 그래프이다. 곡선은 모두 증가하며, x = 0 에 가까워질수록 서로 매우 가까워진다. 그리고 x 가 0 에서 멀어지면 곡선들이 서로 갈라진다.

실선은 S₅ 이다. 파선은 S₂, 점선은 S₃, 일점쇄선은 S₄ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a graph of three curves. They are all increasing and become very close as the curves approach x = 0. Then they separate as x moves away from 0.

The solid curve is S₅. The dashed curve is S₂, dotted is S₃, and dash-dotted is S₄

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 21번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

379.OpenStax 2권 · 6.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 계수 a_n 이 점화 관계 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{\sqrt{n}}-\frac{{a}_{n-2}}{\sqrt{n(n-1)}}$ 로 정의된다고 하자. ${a}_{0}=1$ , ${a}_{1}=0$ 일 때, $[-1,1]$ 에서 $N=2,3,4,5$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ 을 계산하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that the coefficients a_n of the series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ are defined by the recurrence relation ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{\sqrt{n}}-\frac{{a}_{n-2}}{\sqrt{n(n-1)}}.$ For ${a}_{0}=1$ and ${a}_{1}=0,$ compute and plot the sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ for $N=2,3,4,5$ on $[-1,1].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

380.OpenStax 2권 · 6.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 가 주어졌을 때, $x=-1/2$ 에서 계산한 합의 항을 몇 개(N 개) 더해야 $\ln (2)$ 를 오차 1/1000 이내로 어림할 수 있는지 구하세요. 이에 해당하는 부분합 $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Given the power series expansion $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n},$ determine how many terms N of the sum evaluated at $x=-1/2$ are needed to approximate $\ln (2)$ accurate to within 1/1000. Evaluate the corresponding partial sum $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}.$

정답·풀이 보기

$x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}$ 일 때이다. $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}}$ 이므로 $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ 이고 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이다. 따라서 $N=10.$

원본 교재 풀이(영어)

When $x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}.$ Since $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}},$ one has $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ whereas $\ln (2)=0.69314\ldots ;$ therefore, $N=10.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번

# 멱급수의 연산계산자동 분류