급수 심화 전체 연습문제

381.OpenStax 2권 · 6.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 가 주어졌을 때, 교대급수 판정법을 이용하여 ${\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$ 를 오차 1/1000 이내로 어림하려면 $x=1$ 에서 계산한 합의 항이 몇 개(N) 필요한지 판단하세요. 그에 해당하는 부분합 $\sum_{k=0}^{N}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Given the power series expansion ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1},$ use the alternating series test to determine how many terms N of the sum evaluated at $x=1$ are needed to approximate ${\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$ accurate to within 1/1000. Evaluate the corresponding partial sum $\sum_{k=0}^{N}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

382.OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}$ 임을 떠올리세요. $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 의 값을 정확한 값으로 가정하고, 거듭제곱급수 전개 ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 의 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에서의 부분합 ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 을 계산하여 $\frac{\pi }{6}$ 을 어림하세요. $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 이 π 를 오차 0.001 이내로 어림하는 가장 작은 수 N 은 얼마인지 구하세요. 오차 0.00001 이내로 어림하려면 항이 몇 개 필요한지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Recall that ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}.$ Assuming an exact value of $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right),$ estimate $\frac{\pi }{6}$ by evaluating partial sums ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ of the power series expansion ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ at $x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ What is the smallest number N such that $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ approximates π accurately to within 0.001? How many terms are needed for accuracy to within 0.00001?

정답·풀이 보기

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ 이므로 $N=5$ 가 오차 0.001 이내인 가장 작은 부분합이다. 또한 $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ 이므로 $N=8$ 이 오차 0.00001 이내가 되는 가장 작은 N 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ One has $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ and $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ so $N=5$ is the smallest partial sum with accuracy to within 0.001. Also, $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ while $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ so $N=8$ is the smallest N to give accuracy to within 0.00001.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 3번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

383.OpenStax 2권 · 6.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ ( $a=1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ at $a=1$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 42번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

384.OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ ( $a=-1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ at $a=-1$

정답·풀이 보기

$f(-1)=1;{f}^{'}(-1)=-1;{f}^{''}(-1)=2;f(x)=1-(x+1)+{(x+1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f(-1)=1;{f}^{'}(-1)=-1;{f}^{''}(-1)=2;f(x)=1-(x+1)+{(x+1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

385.OpenStax 2권 · 6.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\cos (2x)$ 의 $a=\pi$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\cos (2x)$ at $a=\pi$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 40번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

386.OpenStax 2권 · 6.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\sin (2x)$ , $a=\frac{\pi }{2}$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\sin (2x)$ at $a=\frac{\pi }{2}$

정답·풀이 보기

${f}^{'}(x)=2\cos (2x);{f}^{''}(x)=-4\sin (2x);{p}_{2}(x)=-2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=2\cos (2x);{f}^{''}(x)=-4\sin (2x);{p}_{2}(x)=-2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

387.OpenStax 2권 · 6.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x}$ ( $a=4$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\sqrt{x}$ at $a=4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

388.OpenStax 2권 · 6.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\ln x$ , $a=1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\ln x$ at $a=1$

정답·풀이 보기

${f}^{'}(x)=\frac{1}{x};{f}^{''}(x)=-\frac{1}{{x}^{2}};{p}_{2}(x)=0+(x-1)-\frac{1}{2}{(x-1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=\frac{1}{x};{f}^{''}(x)=-\frac{1}{{x}^{2}};{p}_{2}(x)=0+(x-1)-\frac{1}{2}{(x-1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 4번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

389.OpenStax 2권 · 6.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{x}$ ( $a=1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\frac{1}{x}$ at $a=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 38번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

390.OpenStax 2권 · 6.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)={e}^{x}$ , $a=1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)={e}^{x}$ at $a=1$

정답·풀이 보기

${p}_{2}(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}{(x-1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${p}_{2}(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}{(x-1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 23번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

391.OpenStax 2권 · 6.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족시킴을 보이세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않다면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] $\sqrt{10};a=9,n=3$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

[T] $\sqrt{10};a=9,n=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 6번

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류

392.OpenStax 2권 · 6.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족시킴을 보이세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않다면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] ${(28)}^{1/3};a=27,n=1$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

[T] ${(28)}^{1/3};a=27,n=1$

정답·풀이 보기

$x\ge 28$ 일 때 $\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{x}^{1/3}=-\frac{2}{9{x}^{5/3}}\ge -0.00092\ldots$ 이므로 나머지 추정식을 선형 근사 ${x}^{1/3}\approx {p}_{1}(27)=3+\frac{x-27}{27}$ 에 적용할 수 있고, 이로부터 ${(28)}^{1/3}\approx 3+\frac{1}{27}=3.\overline{037}$ 을 얻는다. 한편 ${(28)}^{1/3}\approx 3.03658$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{x}^{1/3}=-\frac{2}{9{x}^{5/3}}\ge -0.00092\ldots$ when $x\ge 28$ so the remainder estimate applies to the linear approximation ${x}^{1/3}\approx {p}_{1}(27)=3+\frac{x-27}{27},$ which gives ${(28)}^{1/3}\approx 3+\frac{1}{27}=3.\overline{037},$ while ${(28)}^{1/3}\approx 3.03658.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 56번

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류

393.OpenStax 2권 · 6.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족시킴을 보이세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않다면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] $\sin (6);a=2\pi ,n=5$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

[T] $\sin (6);a=2\pi ,n=5$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 56번

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류

394.OpenStax 2권 · 6.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지항 어림 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에 대하여, 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족함을 확인하세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않으면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] e²; $a=0,n=9$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

[T] e²; $a=0,n=9$

정답·풀이 보기

어림 $\frac{{2}^{10}}{10!}<0.000283$ 을 이용하면, 9차 테일러 전개를 사용하여 $x=2$ 에서 e^x 의 값을 ${e}^{2}\approx {p}_{9}(2)=1+2+\frac{{2}^{2}}{2}+\frac{{2}^{3}}{6}+\cdots +\frac{{2}^{9}}{9!}=7.3887\ldots$ 로 어림할 수 있으며, 실제로는 ${e}^{2}\approx 7.3891$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the estimate $\frac{{2}^{10}}{10!}<0.000283$ we can use the Taylor expansion of order 9 to estimate e^x at $x=2.$ as ${e}^{2}\approx {p}_{9}(2)=1+2+\frac{{2}^{2}}{2}+\frac{{2}^{3}}{6}+\cdots +\frac{{2}^{9}}{9!}=7.3887\ldots$ whereas ${e}^{2}\approx 7.3891.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 58번

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류

395.OpenStax 2권 · 6.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족시킴을 확인하세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않으면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] $\cos \left(\frac{\pi }{5}\right);a=0,n=4$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

[T] $\cos \left(\frac{\pi }{5}\right);a=0,n=4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 15번

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류

396.OpenStax 2권 · 6.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 선택이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족함을 확인하세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않다면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

[계산기 사용] $\ln (2);a=1,n=1000$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

[T] $\ln (2);a=1,n=1000$

정답·풀이 보기

$\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}(\ln x)={(-1)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{{x}^{n}},{R}_{1000}\approx \frac{1}{1001}$ 이므로 ${p}_{1000}(1)=\sum_{n=1}^{1000}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\approx 0.6936$ 이고, 반면 $\ln (2)\approx 0.6931\cdots$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}(\ln x)={(-1)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{{x}^{n}},{R}_{1000}\approx \frac{1}{1001}.$ One has ${p}_{1000}(1)=\sum_{n=1}^{1000}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}\approx 0.6936$ whereas $\ln (2)\approx 0.6931\cdots .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 52번

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류

397.OpenStax 2권 · 6.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ (여기서 M 은 a 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값이다)에서 주어진 n 의 값이 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 을 만족시킴을 확인하세요. 주어진 점에서 $f$ 의 테일러 다항식 p_n 의 값을 구하세요. $|Rn|$ 이 $1/1000$ 보다 작지 않으면, 그 값이 얼마인지 구하세요.

근삿값 $\sin t\approx t-\frac{{t}^{3}}{6}+\frac{{t}^{5}}{120}-\frac{{t}^{7}}{5040}$ 에 πt 를 대입한 식을 적분하여 ${\int }_{0}^{1}\frac{\sin \pi t}{\pi t}dt$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the given choice of n in the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}.$ Find the value of the Taylor polynomial p_n of $f$ at the indicated point. If $|Rn|$ is not less than $1/1000$ , determine what it is.

Integrate the approximation $\sin t\approx t-\frac{{t}^{3}}{6}+\frac{{t}^{5}}{120}-\frac{{t}^{7}}{5040}$ evaluated at πt to approximate ${\int }_{0}^{1}\frac{\sin \pi t}{\pi t}dt.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 53번

# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류

398.OpenStax 2권 · 6.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

근사식 ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ 에 −x² 을 대입한 식을 적분하여 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Integrate the approximation ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ evaluated at −x² to approximate ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ 이고, 반면 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ whereas ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 54번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

399.OpenStax 2권 · 6.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)=\sin x$ , 구간 $[-\pi ,\pi ],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)=\sin x$ on $[-\pi ,\pi ],a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 36번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

400.OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)=\cos x$ , 구간 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)=\cos x$ on $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

정답·풀이 보기

${f}^{(n+1)}(z)$ 는 $\sin z$ 또는 $\cos z$ 이므로 $M=1$ 이다. $|x-0|\le \frac{\pi }{2}$ 이므로 $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=7$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{7}\le 0.00092$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${f}^{(n+1)}(z)$ is $\sin z$ or $\cos z,$ we have $M=1.$ Since $|x-0|\le \frac{\pi }{2},$ we seek the smallest n such that $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001.$ The smallest such value is $n=7.$ The remainder estimate is ${R}_{7}\le 0.00092.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 12번

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