비교 판정법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

41.OpenStax 2권 · 5.4절 · 43번대학 수준우리말 번역

모든 $n$ 에 대해 ${a}_{n}>0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴한다고 하자. ${b}_{n}$ 은 0과 1로 이루어진 임의의 수열이라고 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 은 반드시 수렴합니까?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}>0$ for all $n$ and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges. Suppose that ${b}_{n}$ is an arbitrary sequence of zeros and ones. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ necessarily converge?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 8번

# 비교 판정법계산자동 분류

42.OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번대학 수준우리말 번역

모든 $n$ 에 대해 ${a}_{n}>0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 발산한다고 하자. ${b}_{n}$ 은 0과 1로 이루어진 임의의 수열이고 값이 1인 항이 무한히 많다고 하자. 이때 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 은 반드시 발산합니까?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}>0$ for all $n$ and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ diverges. Suppose that ${b}_{n}$ is an arbitrary sequence of zeros and ones with infinitely many terms equal to one. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ necessarily diverge?

정답·풀이 보기

아니요. $\sum_{n=1}^{\infty }1/n$ 은 발산한다. 어떤 $n$ 에 대해 $k={n}^{2}$ 인 경우가 아니면 ${b}_{k}=0$ 이라 하자. 그러면 $\sum_{k}{b}_{k}/k=\sum 1/{k}^{2}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

No. $\sum_{n=1}^{\infty }1/n$ diverges. Let ${b}_{k}=0$ unless $k={n}^{2}$ for some $n.$ Then $\sum_{k}{b}_{k}/k=\sum 1/{k}^{2}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 36번

# 비교 판정법계산자동 분류

43.OpenStax 2권 · 5.4절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 논증의 세부 내용을 완성하세요: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 이 유한한 합 $s$ 로 수렴한다면, $\frac{1}{2}s=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots$ 이고 $s-\frac{1}{2}s=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots$ . 이것이 왜 모순으로 이어집니까?

영어 원문 보기

Complete the details of the following argument: If $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ converges to a finite sum $s,$ then $\frac{1}{2}s=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots$ and $s-\frac{1}{2}s=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots .$ Why does this lead to a contradiction?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 4번

# 비교 판정법계산자동 분류

44.OpenStax 2권 · 5.4절 · 48번대학 수준우리말 번역

${b}_{n}$ 을 0과 1로 이루어진 무한수열이라 하자. $x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}$ 이 가질 수 있는 가장 큰 값은 무엇입니까?

영어 원문 보기

Let ${b}_{n}$ be an infinite sequence of zeros and ones. What is the largest possible value of $x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}?$

정답·풀이 보기

비교판정법에 의해 $x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}\le \sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the comparison test, $x=\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}/{2}^{n}\le \sum_{n=1}^{\infty }1/{2}^{n}=1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 38번

# 비교 판정법계산자동 분류

45.OpenStax 2권 · 5.4절 · 49번대학 수준우리말 번역

${d}_{n}$ 을 숫자들의 무한수열이라 하자. 즉 ${d}_{n}$ 은 $\{0,\,1,\ldots ,9\}$ 의 값을 가진다. 수렴하는 $x=\sum_{n=1}^{\infty }{d}_{n}/{10}^{n}$ 의 가능한 최댓값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

Let ${d}_{n}$ be an infinite sequence of digits, meaning ${d}_{n}$ takes values in $\{0,\,1,\ldots ,9\}.$ What is the largest possible value of $x=\sum_{n=1}^{\infty }{d}_{n}/{10}^{n}$ that converges?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 34번

# 비교 판정법계산자동 분류

46.OpenStax 2권 · 5.4절 · 50번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$x>1/2$ 이면 $x$ 를 $x=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}({b}_{n}=0\,\text{또는}\,1,\,{b}_{1}=0)$ 으로 나타낼 수 없는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

Explain why, if $x>1/2,$ then $x$ cannot be written $x=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}({b}_{n}=0\,\text{or}\,1,\,{b}_{1}=0).$

정답·풀이 보기

${b}_{1}=0$ 이면 비교에 의해 $x\le \sum_{n=2}^{\infty }1/{2}^{n}=1/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If ${b}_{1}=0,$ then, by comparison, $x\le \sum_{n=2}^{\infty }1/{2}^{n}=1/2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 18번

# 비교 판정법계산자동 분류

47.OpenStax 2권 · 5.4절 · 51번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 이블린에게는 완벽하게 평형을 이루는 천칭과, 무제한으로 많은 $1\,\text{-kg}$ 추, 그리고 $1/2\,\text{-kg},\,1/4\,\text{-kg},\,1/8\,\text{-kg}$ 등의 추가 각각 하나씩 있다. 이블린은 출처를 알 수 없는 운석의 무게를 임의의 정밀도로 재려고 한다. 천칭이 충분히 크다고 가정할 때, 이블린은 그렇게 할 수 있습니까? 이것은 무한급수와 어떤 관계가 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Evelyn has a perfect balancing scale, an unlimited number of $1\,\text{-kg}$ weights, and one each of $1/2\,\text{-kg},\,1/4\,\text{-kg},\,1/8\,\text{-kg},$ and so on weights. She wishes to weigh a meteorite of unspecified origin to arbitrary precision. Assuming the scale is big enough, can she do it? What does this have to do with infinite series?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번

# 비교 판정법계산자동 분류

48.OpenStax 2권 · 5.4절 · 52번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 로버트는 자신의 몸무게를 임의의 정밀도로 알고 싶어 한다. 로버트에게는 완벽하게 작동하는 큰 천칭과, 무제한으로 많은 $1\,\text{-kg}$ 추, 그리고 $0.1\,\text{-kg,}$ $0.01\,\text{-kg},\,0.001\,\text{-kg,}$ 등의 추가 각각 아홉 개씩 있다. 천칭이 충분히 크다고 가정할 때, 로버트는 이것을 할 수 있습니까? 이것은 무한급수와 어떤 관계가 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Robert wants to know his body mass to arbitrary precision. He has a big balancing scale that works perfectly, an unlimited collection of $1\,\text{-kg}$ weights, and nine each of $0.1\,\text{-kg,}$ $0.01\,\text{-kg},\,0.001\,\text{-kg,}$ and so on weights. Assuming the scale is big enough, can he do this? What does this have to do with infinite series?

정답·풀이 보기

예. 천칭이 추가 있는 쪽으로 기울 때까지 $1\,\text{-kg}$ 추를 계속 더한다. 로버트가 반대쪽에 서 있는 상태에서 정확히 평형을 이루면 멈춘다. 그렇지 않으면 $1\,\text{-kg}$ 추 하나를 빼고, $0.1\,\text{-kg}$ 추를 한 번에 하나씩 더한다. 이 추들을 몇 개 더한 후 평형을 이루면 멈춘다. 그렇지 않고 추 쪽으로 기울면 마지막 $0.1\,\text{-kg}$ 추를 뺀다. 이제 $0.01\,\text{-kg}$ 추를 더하기 시작한다. 평형을 이루면 멈춘다. 추가 있는 쪽으로 기울면 마지막에 더한 $0.01\,\text{-kg}$ 추를 뺀다. $0.001\,\text{-kg}$ 추에 대해서도 이와 같은 방식으로 계속하고, 그 이후의 추에 대해서도 마찬가지로 한다. 유한한 횟수의 단계를 거치면 $A+\sum_{n=1}^{N}{s}_{n}/{10}^{n}$ 꼴의 유한급수를 얻는다. 여기서 $A$ 는 $1\,\text{-kg}$ 추의 개수이고 ${d}_{n}$ 은 더한 $1/{10}^{n}\,\text{-kg}$ 추의 개수이다. 어떤 단계에서 이 급수가 로버트의 정확한 몸무게이면 과정은 멈춘다. 그렇지 않으면 이 급수는 로버트의 정확한 몸무게를 나타내는 무한급수의 $N$ 번째 부분합이며, 이 합의 오차는 많아야 $1/{10}^{N}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. Keep adding $1\,\text{-kg}$ weights until the balance tips to the side with the weights. If it balances perfectly, with Robert standing on the other side, stop. Otherwise, remove one of the $1\,\text{-kg}$ weights, and add $0.1\,\text{-kg}$ weights one at a time. If it balances after adding some of these, stop. Otherwise if it tips to the weights, remove the last $0.1\,\text{-kg}$ weight. Start adding $0.01\,\text{-kg}$ weights. If it balances, stop. If it tips to the side with the weights, remove the last $0.01\,\text{-kg}$ weight that was added. Continue in this way for the $0.001\,\text{-kg}$ weights, and so on. After a finite number of steps, one has a finite series of the form $A+\sum_{n=1}^{N}{s}_{n}/{10}^{n}$ where $A$ is the number of full kg weights and ${d}_{n}$ is the number of $1/{10}^{n}\,\text{-kg}$ weights that were added. If at some state this series is Robert’s exact weight, the process will stop. Otherwise it represents the $N\text{th}$ partial sum of an infinite series that gives Robert’s exact weight, and the error of this sum is at most $1/{10}^{N}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 50번

# 비교 판정법계산자동 분류

49.OpenStax 2권 · 5.4절 · 53번대학 수준우리말 번역

급수 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n}$ 은 조화급수의 절반이므로 발산한다. 이 급수는 조화급수에서 $n$ 이 홀수인 항을 모두 지워서 얻은 것이다. $m>1$ 을 고정하자. 더 일반적으로, 어떤 정수 $k$ 에 대해 $n=mk$ 인 항 $1/n$ 을 모두 지워도 발산하는 급수가 됨을 보이세요.

영어 원문 보기

The series $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n}$ is half the harmonic series and hence diverges. It is obtained from the harmonic series by deleting all terms in which $n$ is odd. Let $m>1$ be fixed. Show, more generally, that deleting all terms $1/n$ where $n=mk$ for some integer $k$ also results in a divergent series.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 28번

# 비교 판정법계산자동 분류

50.OpenStax 2권 · 5.4절 · 55번대학 수준우리말 번역

수열 ${a}_{n}>0$ 이 ${a}_{1}=1$ 이고 ${a}_{n+1}=\frac{1}{n+1}{S}_{n}$ 을 만족한다고 하자. 여기서 ${S}_{n}={a}_{1}+\cdots +{a}_{n}$ 이다. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단할 수 있나요? (힌트: ${S}_{n}$ 은 단조이다.)

영어 원문 보기

Suppose that a sequence of numbers ${a}_{n}>0$ has the property that ${a}_{1}=1$ and ${a}_{n+1}=\frac{1}{n+1}{S}_{n},$ where ${S}_{n}={a}_{1}+\cdots +{a}_{n}.$ Can you determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges? (Hint: ${S}_{n}$ is monotone.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 30번

# 비교 판정법계산자동 분류

51.OpenStax 2권 · 5.4절 · 56번대학 수준우리말 번역

수열 ${a}_{n}>0$ 이 ${a}_{1}=1$ 이고 ${a}_{n+1}=\frac{1}{{(n+1)}^{2}}{S}_{n}$ 을 만족한다고 하세요. 여기서 ${S}_{n}={a}_{1}+\cdots +{a}_{n}$ 입니다. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단할 수 있나요? (힌트: ${S}_{2}={a}_{2}+{a}_{1}={a}_{2}+{S}_{1}={a}_{2}+1=1+1/4=(1+1/4){S}_{1},$ ${S}_{3}=\frac{1}{{3}^{2}}{S}_{2}+{S}_{2}=(1+1/9){S}_{2}=(1+1/9)(1+1/4){S}_{1}$ , 등이다. $\ln ({S}_{n})$ 을 살펴보고, $\ln (1+t)\le t,$ $t>0.)$ 을 이용하세요.)

영어 원문 보기

Suppose that a sequence of numbers ${a}_{n}>0$ has the property that ${a}_{1}=1$ and ${a}_{n+1}=\frac{1}{{(n+1)}^{2}}{S}_{n},$ where ${S}_{n}={a}_{1}+\cdots +{a}_{n}.$ Can you determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges? (Hint: ${S}_{2}={a}_{2}+{a}_{1}={a}_{2}+{S}_{1}={a}_{2}+1=1+1/4=(1+1/4){S}_{1},$ ${S}_{3}=\frac{1}{{3}^{2}}{S}_{2}+{S}_{2}=(1+1/9){S}_{2}=(1+1/9)(1+1/4){S}_{1},$ etc. Look at $\ln ({S}_{n}),$ and use $\ln (1+t)\le t,$ $t>0.)$

정답·풀이 보기

힌트를 계속 이어 가면 ${S}_{N}=(1+1/{N}^{2})(1+1/{(N-1)}^{2}\ldots (1+1/4))$ 이다. 그러면 $\ln ({S}_{N})=\ln (1+1/{N}^{2})+\ln (1+1/{(N-1)}^{2})+\cdots +\ln (1+1/4)$ 이다. $0<t<1$ 일 때 $\ln (1+t)$ 는 $t$ 의 상수배로 유계이므로 $\ln ({S}_{N})\le C\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{{n}^{2}}$ 이고, 이 급수는 $p=2$ 인 p-급수와 비교하여 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Continuing the hint gives ${S}_{N}=(1+1/{N}^{2})(1+1/{(N-1)}^{2}\ldots (1+1/4)).$ Then $\ln ({S}_{N})=\ln (1+1/{N}^{2})+\ln (1+1/{(N-1)}^{2})+\cdots +\ln (1+1/4).$ Since $\ln (1+t)$ is bounded by a constant times $t,$ when $0<t<1$ one has $\ln ({S}_{N})\le C\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{{n}^{2}},$ which converges by comparison to the p-series for $p=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 16번

# 비교 판정법계산자동 분류

52.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 5번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

${a}_{n}=\frac{3+{n}^{2}}{1-n}$

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

${a}_{n}=\frac{3+{n}^{2}}{1-n}$

정답·풀이 보기

비유계, 단조가 아니다, 발산

원본 교재 풀이(영어)

unbounded, not monotone, divergent

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 7번

# 비교 판정법계산자동 분류

53.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 6번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

${a}_{n}=\ln \left(\frac{1}{n}\right)$

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

${a}_{n}=\ln \left(\frac{1}{n}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번

# 비교 판정법계산자동 분류

54.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

${a}_{n}=\frac{\ln (n+1)}{\sqrt{n+1}}$

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

${a}_{n}=\frac{\ln (n+1)}{\sqrt{n+1}}$

정답·풀이 보기

유계, 단조, 수렴, $0$

원본 교재 풀이(영어)

bounded, monotone, convergent, $0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 49번

# 비교 판정법계산자동 분류

55.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 8번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

${a}_{n}=\frac{{2}^{n+1}}{{5}^{n}}$

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

${a}_{n}=\frac{{2}^{n+1}}{{5}^{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 17번

# 비교 판정법계산자동 분류

56.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 9번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

${a}_{n}=\frac{\ln (\cos n)}{n}$

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

${a}_{n}=\frac{\ln (\cos n)}{n}$

정답·풀이 보기

비유계, 단조가 아니다, 발산

원본 교재 풀이(영어)

unbounded, not monotone, divergent

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 1번

# 비교 판정법계산자동 분류

57.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 10번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}+5n+4}$

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}+5n+4}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 34번

# 비교 판정법계산자동 분류

58.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 11번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)$

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)$

정답·풀이 보기

발산한다

원본 교재 풀이(영어)

diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 13번

# 비교 판정법계산자동 분류

59.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 12번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{n}^{4}}$

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{n}^{4}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 17번

# 비교 판정법계산자동 분류

60.OpenStax 2권 · 5장 복습 · 13번대학 수준우리말 번역

급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{e}^{n}}{n!}$

영어 원문 보기

Is the series convergent or divergent?

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{e}^{n}}{n!}$

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5장 복습 · 15번

# 비교 판정법계산자동 분류