테일러 급수의 활용 연습문제

21.OpenStax 2권 · 6.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 사차 다항식일 필요는 없음)을 쓰세요.

${(1+4x)}^{1/3};a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

${(1+4x)}^{1/3};a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

22.OpenStax 2권 · 6.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 사차 다항식일 필요는 없음)을 쓰세요.

${(1+4x)}^{4/3};a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

${(1+4x)}^{4/3};a=0$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{c}{(1+4x)}^{4/3}=(1+4x){(1+4x)}^{1/3} \\ =(1+4x)\left(1+\frac{4x}{3}-\frac{16{x}^{3}}{9}+\frac{320{x}^{3}}{81}-\frac{2560{x}^{4}}{243}\right) \\ =1+\frac{16}{3}x+\frac{32}{9}{x}^{2}-\frac{256}{81}{x}^{3}+\frac{1280}{243}{x}^{4}-\frac{10240}{243}{x}^{5}\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{c}{(1+4x)}^{4/3}=(1+4x){(1+4x)}^{1/3} \\ =(1+4x)\left(1+\frac{4x}{3}-\frac{16{x}^{3}}{9}+\frac{320{x}^{3}}{81}-\frac{2560{x}^{4}}{243}\right) \\ =1+\frac{16}{3}x+\frac{32}{9}{x}^{2}-\frac{256}{81}{x}^{3}+\frac{1280}{243}{x}^{4}-\frac{10240}{243}{x}^{5}\end{array}$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

23.OpenStax 2권 · 6.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 4차 다항식일 필요는 없다)을 구하세요.

${(3+2x)}^{1/3};a=-1$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

${(3+2x)}^{1/3};a=-1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

24.OpenStax 2권 · 6.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 4차 다항식일 필요는 없다)을 구하세요.

${({x}^{2}+6x+10)}^{1/3};a=-3$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

${({x}^{2}+6x+10)}^{1/3};a=-3$

정답·풀이 보기

${(1+{(x+3)}^{2})}^{1/3}=1+\frac{1}{3}{(x+3)}^{2}-\frac{1}{9}{(x+3)}^{4}+\frac{5}{81}{(x+3)}^{6}-\frac{10}{243}{(x+3)}^{8}+\cdots$

원본 교재 풀이(영어)

${(1+{(x+3)}^{2})}^{1/3}=1+\frac{1}{3}{(x+3)}^{2}-\frac{1}{9}{(x+3)}^{4}+\frac{5}{81}{(x+3)}^{6}-\frac{10}{243}{(x+3)}^{8}+\cdots$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

25.OpenStax 2권 · 6.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 4차 다항식일 필요는 없다)을 구하세요.

${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 에 $x=1$ 을 대입하여 ${2}^{1/3}$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

Use ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ with $x=1$ to approximate ${2}^{1/3}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

26.OpenStax 2권 · 6.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 4차 다항식일 필요는 없다)을 구하세요.

$|x|<1$ 에 대해 근사식 ${(1-x)}^{2/3}=1-\frac{2x}{3}-\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{4{x}^{3}}{81}-\frac{7{x}^{4}}{243}-\frac{14{x}^{5}}{729}+\cdots$ 을 이용하여 ${2}^{1/3}={2.2}^{-2/3}$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

Use the approximation ${(1-x)}^{2/3}=1-\frac{2x}{3}-\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{4{x}^{3}}{81}-\frac{7{x}^{4}}{243}-\frac{14{x}^{5}}{729}+\cdots$ for $|x|<1$ to approximate ${2}^{1/3}={2.2}^{-2/3}.$

정답·풀이 보기

근삿값의 2배는 $1.260\ldots$ 인 반면 ${2}^{1/3}=1.2599$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Twice the approximation is $1.260\ldots$ whereas ${2}^{1/3}=1.2599....$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

27.OpenStax 2권 · 6.4절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 4차 다항식일 필요는 없다)을 구하세요.

$f(x)={(1+{x}^{2})}^{13}$ 의 $x=0$ 에서의 $25\text{th}$ 미분계수를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

Find the $25\text{th}$ derivative of $f(x)={(1+{x}^{2})}^{13}$ at $x=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

28.OpenStax 2권 · 6.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 전개식 ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ 을 이용하여 각 식의 처음 다섯 항(반드시 사차 다항식일 필요는 없다)을 쓰세요.

$f(x)={(1+{x}^{4})}^{25}$ 의 $x=0$ 에서의 $99$ 번째 미분계수를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the expansion ${(1+x)}^{1/3}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{5}{81}{x}^{3}-\frac{10}{243}{x}^{4}+\cdots$ to write the first five terms (not necessarily a quartic polynomial) of each expression.

Find the $99$ th derivative at $x=0$ of $f(x)={(1+{x}^{4})}^{25}.$

정답·풀이 보기

${f}^{(99)}(0)=0$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{(99)}(0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 32번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

29.OpenStax 2권 · 6.4절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

$f(x)=x{e}^{2x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)=x{e}^{2x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

30.OpenStax 2권 · 6.4절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

$f(x)={2}^{x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)={2}^{x}$

정답·풀이 보기

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(\ln (2)x)}^{n}}{n!}$

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(\ln (2)x)}^{n}}{n!}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 78번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

31.OpenStax 2권 · 6.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

$f(x)=\frac{\sin x}{x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)=\frac{\sin x}{x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

32.OpenStax 2권 · 6.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

$f(x)=\frac{\sin \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}},\,(x>0),$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)=\frac{\sin \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}},\,(x>0),$

정답·풀이 보기

$x>0,\sin \left(\sqrt{x}\right)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{(2n+1)/2}}{\sqrt{x}(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{n}}{(2n+1)!}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

For $x>0,\sin \left(\sqrt{x}\right)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{(2n+1)/2}}{\sqrt{x}(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{n}}{(2n+1)!}.$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

33.OpenStax 2권 · 6.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

$f(x)=\sin ({x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)=\sin ({x}^{2})$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 30번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

34.OpenStax 2권 · 6.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

$f(x)={e}^{{x}^{3}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)={e}^{{x}^{3}}$

정답·풀이 보기

${e}^{{x}^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{3n}}{n!}$

원본 교재 풀이(영어)

${e}^{{x}^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{3n}}{n!}$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

35.OpenStax 2권 · 6.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

항등식 ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2x)$ 를 이용하여 $f(x)={\cos }^{2}x$ 의 매클로린 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)={\cos }^{2}x$ using the identity ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

36.OpenStax 2권 · 6.4절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 매클로린 급수를 구하세요.

항등식 ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2x)$ 를 이용하여 $f(x)={\sin }^{2}x$ 의 매클로린 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of each function.

$f(x)={\sin }^{2}x$ using the identity ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2x)$

정답·풀이 보기

${\sin }^{2}x=-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k}{2}^{2k-1}{x}^{2k}}{(2k)!}$

원본 교재 풀이(영어)

${\sin }^{2}x=-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k}{2}^{2k-1}{x}^{2k}}{(2k)!}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 62번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

37.OpenStax 2권 · 6.4절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $f$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 매클로린 급수를 구하세요. $f$ 가 0에서 엄밀하게 정의되지 않는 경우에는 매클로린 급수의 0에서의 값을 대신 사용해도 됩니다.

$F(x)={\int }_{0}^{x}{e}^{-{t}^{2}}dt;f(t)={e}^{-{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n}}{n!}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ by integrating the Maclaurin series of $f$ term by term. If $f$ is not strictly defined at zero, you may substitute the value of the Maclaurin series at zero.

$F(x)={\int }_{0}^{x}{e}^{-{t}^{2}}dt;f(t)={e}^{-{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n}}{n!}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 42번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

38.OpenStax 2권 · 6.4절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $f$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 매클로린 급수를 구하세요. $f$ 가 0에서 엄밀하게 정의되지 않으면, 0에서의 매클로린 급수의 값을 대입해도 됩니다.

$F(x)={\tan }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{t}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ by integrating the Maclaurin series of $f$ term by term. If $f$ is not strictly defined at zero, you may substitute the value of the Maclaurin series at zero.

$F(x)={\tan }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{t}^{2n}$

정답·풀이 보기

${\tan }^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k}{x}^{2k+1}}{2k+1}$

원본 교재 풀이(영어)

${\tan }^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{k}{x}^{2k+1}}{2k+1}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 70번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

39.OpenStax 2권 · 6.4절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $f$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 매클로린 급수를 구하세요. $f$ 가 0에서 엄밀하게 정의되지 않으면, 0에서의 매클로린 급수의 값을 대입해도 됩니다.

$F(x)={\tanh }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{1-{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{t}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ by integrating the Maclaurin series of $f$ term by term. If $f$ is not strictly defined at zero, you may substitute the value of the Maclaurin series at zero.

$F(x)={\tanh }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{1-{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{t}^{2n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

40.OpenStax 2권 · 6.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $f$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 매클로린 급수를 구하세요. $f$ 가 0에서 엄밀하게 정의되지 않으면, 0에서의 매클로린 급수의 값을 대입해도 됩니다.

$F(x)={\sin }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-{t}^{2}}}=\sum_{k=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ k\end{array}\right)\frac{{t}^{2k}}{k!}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series of $F(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ by integrating the Maclaurin series of $f$ term by term. If $f$ is not strictly defined at zero, you may substitute the value of the Maclaurin series at zero.

$F(x)={\sin }^{-1}x;\,f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-{t}^{2}}}=\sum_{k=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ k\end{array}\right)\frac{{t}^{2k}}{k!}$

정답·풀이 보기

${\sin }^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right)\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)n!}$

원본 교재 풀이(영어)

${\sin }^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} \\ n\end{array}\right)\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)n!}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 56번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류