테일러 다항식과 오차 연습문제

1.APEX · 8.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서 주어진 함수의 $n$ 차 매클로린 다항식을 구하세요.

$f(x) = e^{-x}, \quad n=3$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the Maclaurin polynomial of degree $n$ for the given function.

$f(x) = e^{-x}, \quad n=3$

정답·풀이 보기

$p_3(x) = 1-x+\frac12x^2-\frac16x^3$

원본 교재 풀이(영어)

$p_3(x) = 1-x+\frac12x^2-\frac16x^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 9번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

2.APEX · 8.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서 주어진 함수의 $n$ 차 매클로린 다항식을 구하세요.

$f(x) = \sin x, \quad n=8$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the Maclaurin polynomial of degree $n$ for the given function.

$f(x) = \sin x, \quad n=8$

정답·풀이 보기

$p_8(x) = x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5-\frac1{5040}x^7$

원본 교재 풀이(영어)

$p_8(x) = x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5-\frac1{5040}x^7$

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# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

3.APEX · 8.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서 주어진 함수의 $n$ 차 매클로린 다항식을 구하세요.

$f(x) = x\cdot e^x, \quad n=5$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the Maclaurin polynomial of degree $n$ for the given function.

$f(x) = x\cdot e^x, \quad n=5$

정답·풀이 보기

$p_5(x) = x+x^2+\frac12x^3+\frac16x^4+\frac1{24}x^5$

원본 교재 풀이(영어)

$p_5(x) = x+x^2+\frac12x^3+\frac16x^4+\frac1{24}x^5$

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# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

4.APEX · 8.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 함수의 $n$ 차 매클로린 다항식을 구하세요.

$f(x) = \tan x, \quad n=6$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the Maclaurin polynomial of degree $n$ for the given function.

$f(x) = \tan x, \quad n=6$

정답·풀이 보기

$p_6(x) = \frac{2 x^5}{15}+\frac{x^3}{3}+x$

원본 교재 풀이(영어)

$p_6(x) = \frac{2 x^5}{15}+\frac{x^3}{3}+x$

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# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

5.APEX · 8.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 함수의 $n$ 차 매클로린 다항식을 구하세요.

$f(x) = e^{2x}, \quad n=4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the Maclaurin polynomial of degree $n$ for the given function.

$f(x) = e^{2x}, \quad n=4$

정답·풀이 보기

$p_4(x) = \frac{2 x^4}{3}+\frac{4 x^3}{3}+2 x^2+2 x+1$

원본 교재 풀이(영어)

$p_4(x) = \frac{2 x^4}{3}+\frac{4 x^3}{3}+2 x^2+2 x+1$

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# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

6.APEX · 8.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 함수의 $n$ 차 매클로린 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac1{1-x}, \quad n=4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the Maclaurin polynomial of degree $n$ for the given function.

$\displaystyle f(x) = \frac1{1-x}, \quad n=4$

정답·풀이 보기

$p_4(x) = x^4+x^3+x^2+x+1$

원본 교재 풀이(영어)

$p_4(x) = x^4+x^3+x^2+x+1$

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# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

7.APEX · 8.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 함수의 $n$ 차 매클로린 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac1{1+x}, \quad n=4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the Maclaurin polynomial of degree $n$ for the given function.

$\displaystyle f(x) = \frac1{1+x}, \quad n=4$

정답·풀이 보기

$p_4(x) = x^4-x^3+x^2-x+1$

원본 교재 풀이(영어)

$p_4(x) = x^4-x^3+x^2-x+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 6번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

8.APEX · 8.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 함수의 $n$ 차 매클로린 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac1{1+x}, \quad n=7$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, find the Maclaurin polynomial of degree $n$ for the given function.

$\displaystyle f(x) = \frac1{1+x}, \quad n=7$

정답·풀이 보기

$p_7(x) = -\frac{x^7}{7}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+x$

원본 교재 풀이(영어)

$p_7(x) = -\frac{x^7}{7}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

9.APEX · 8.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 주어진 함수의 $x=c$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt x, \quad n=4, \quad c=1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the Taylor polynomial of degree $n$ , at $x=c$ , for the given function.

$\displaystyle f(x) = \sqrt x, \quad n=4, \quad c=1$

정답·풀이 보기

$p_4(x) = 1+\frac{1}{2} (-1+x)-\frac{1}{8} (-1+x)^2+\frac{1}{16} (-1+x)^3-\frac{5}{128} (-1+x)^4$

원본 교재 풀이(영어)

$p_4(x) = 1+\frac{1}{2} (-1+x)-\frac{1}{8} (-1+x)^2+\frac{1}{16} (-1+x)^3-\frac{5}{128} (-1+x)^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 5번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

10.APEX · 8.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 주어진 함수의 $x=c$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \ln (x+1), \quad n=4, \quad c=1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the Taylor polynomial of degree $n$ , at $x=c$ , for the given function.

$\displaystyle f(x) = \ln (x+1), \quad n=4, \quad c=1$

정답·풀이 보기

$p_4(x) = \ln (2)+\frac{1}{2} (-1+x)-\frac{1}{8} (-1+x)^2+\frac{1}{24} (-1+x)^3-\frac{1}{64} (-1+x)^4$

원본 교재 풀이(영어)

$p_4(x) = \ln (2)+\frac{1}{2} (-1+x)-\frac{1}{8} (-1+x)^2+\frac{1}{24} (-1+x)^3-\frac{1}{64} (-1+x)^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 6번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

11.APEX · 8.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 주어진 함수의 $x=c$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \cos x, \quad n=6, \quad c=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the Taylor polynomial of degree $n$ , at $x=c$ , for the given function.

$\displaystyle f(x) = \cos x, \quad n=6, \quad c=\pi/4$

정답·풀이 보기

$p_6(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{-\frac{\pi }{4}+x}{\sqrt{2}}-\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^2}{2 \sqrt{2}}+\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^3}{6 \sqrt{2}}+\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^4}{24 \sqrt{2}}-\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^5}{120 \sqrt{2}}-\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^6}{720 \sqrt{2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$p_6(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{-\frac{\pi }{4}+x}{\sqrt{2}}-\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^2}{2 \sqrt{2}}+\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^3}{6 \sqrt{2}}+\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^4}{24 \sqrt{2}}-\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^5}{120 \sqrt{2}}-\frac{\left(-\frac{\pi }{4}+x\right)^6}{720 \sqrt{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 10번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

12.APEX · 8.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 주어진 함수의 $x=c$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \sin x, \quad n=5, \quad c=\pi/6$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the Taylor polynomial of degree $n$ , at $x=c$ , for the given function.

$\displaystyle f(x) = \sin x, \quad n=5, \quad c=\pi/6$

정답·풀이 보기

$p_5(x) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} \left(-\frac{\pi }{6}+x\right)-\frac{1}{4} \left(-\frac{\pi }{6}+x\right)^2-\frac{\left(-\frac{\pi }{6}+x\right)^3}{4 \sqrt{3}}+\frac{1}{48} \left(-\frac{\pi }{6}+x\right)^4+\frac{\left(-\frac{\pi }{6}+x\right)^5}{80 \sqrt{3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$p_5(x) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} \left(-\frac{\pi }{6}+x\right)-\frac{1}{4} \left(-\frac{\pi }{6}+x\right)^2-\frac{\left(-\frac{\pi }{6}+x\right)^3}{4 \sqrt{3}}+\frac{1}{48} \left(-\frac{\pi }{6}+x\right)^4+\frac{\left(-\frac{\pi }{6}+x\right)^5}{80 \sqrt{3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 5번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

13.APEX · 8.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 주어진 함수의 $x=c$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac1x, \quad n=5, \quad c=2$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the Taylor polynomial of degree $n$ , at $x=c$ , for the given function.

$\displaystyle f(x) = \frac1x, \quad n=5, \quad c=2$

정답·풀이 보기

$p_5(x) = \frac{1}{2}-\frac{x-2}{4}+\frac{1}{8} (x-2)^2-\frac{1}{16} (x-2)^3+\frac{1}{32} (x-2)^4-\frac{1}{64} (x-2)^5$

원본 교재 풀이(영어)

$p_5(x) = \frac{1}{2}-\frac{x-2}{4}+\frac{1}{8} (x-2)^2-\frac{1}{16} (x-2)^3+\frac{1}{32} (x-2)^4-\frac{1}{64} (x-2)^5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

14.APEX · 8.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 주어진 함수의 $x=c$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}, \quad n=8, \quad c=1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the Taylor polynomial of degree $n$ , at $x=c$ , for the given function.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}, \quad n=8, \quad c=1$

정답·풀이 보기

$p_8(x) = 1-2 (-1+x)+3 (-1+x)^2-4 (-1+x)^3+5 (-1+x)^4-6 (-1+x)^5+7 (-1+x)^6-8 (-1+x)^7+9 (-1+x)^8$

원본 교재 풀이(영어)

$p_8(x) = 1-2 (-1+x)+3 (-1+x)^2-4 (-1+x)^3+5 (-1+x)^4-6 (-1+x)^5+7 (-1+x)^6-8 (-1+x)^7+9 (-1+x)^8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 7번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

15.APEX · 8.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 주어진 함수의 $x=c$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}, \quad n=3, \quad c=-1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the Taylor polynomial of degree $n$ , at $x=c$ , for the given function.

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}, \quad n=3, \quad c=-1$

정답·풀이 보기

$p_3(x) =\frac{1}{2}+\frac{1+x}{2}+\frac{1}{4} (1+x)^2$

원본 교재 풀이(영어)

$p_3(x) =\frac{1}{2}+\frac{1+x}{2}+\frac{1}{4} (1+x)^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 4번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

16.APEX · 8.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–20에서, 주어진 함수의 $x=c$ 에서의 $n$ 차 테일러 다항식을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = x^2\cos x, \quad n=2, \quad c=\pi$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the Taylor polynomial of degree $n$ , at $x=c$ , for the given function.

$\displaystyle f(x) = x^2\cos x, \quad n=2, \quad c=\pi$

정답·풀이 보기

$p_2(x) =-\pi ^2-2 \pi (x-\pi)+\frac{1}{2} \left(\pi ^2-2\right) (x-\pi)^2$

원본 교재 풀이(영어)

$p_2(x) =-\pi ^2-2 \pi (x-\pi)+\frac{1}{2} \left(\pi ^2-2\right) (x-\pi)^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 4번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

17.APEX · 8.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 한계를 구하세요.

3차 매클로린 다항식으로 $\sin 0.1$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\sin 0.1$ with the Maclaurin polynomial of degree 3.

정답·풀이 보기

$p_3(x) =x-\frac{x^3}{6}$ ; $p_3(0.1) = 0.09983$ . 오차는 $\pm \frac{1}{4!}\cdot0.1^4 \approx \pm 0.000004167$ 이내로 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_3(x) =x-\frac{x^3}{6}$ ; $p_3(0.1) = 0.09983$ . Error is bounded by $\pm \frac{1}{4!}\cdot0.1^4 \approx \pm 0.000004167$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 21번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

18.APEX · 8.7절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 한계를 구하세요.

4차 매클로린 다항식으로 $\cos 1$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\cos 1$ with the Maclaurin polynomial of degree 4.

정답·풀이 보기

$p_4(x) =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ ; $p_4(1) = 13/24\approx 0.54167$ . 오차는 $\pm \frac{1}{5!}\cdot1^5 \approx \pm 0.00833$ 이내로 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_4(x) =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ ; $p_4(1) = 13/24\approx 0.54167$ . Error is bounded by $\pm \frac{1}{5!}\cdot1^5 \approx \pm 0.00833$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 8번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

19.APEX · 8.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 범위를 구하세요.

$x=9$ 에서의 2차 테일러 다항식으로 $\sqrt{10}$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\sqrt{10}$ with the Taylor polynomial of degree 2 centered at $x=9$ .

정답·풀이 보기

$p_2(x) =3+\frac{1}{6} (-9+x)-\frac{1}{216} (-9+x)^2$ ; $p_2(10) = 3.16204$ . 함수 $f(x) =\sqrt x$ 의 3계 도함수는 $(8,11)$ 에서 $0.003$ 으로 유계이다. 오차는 $\pm \frac{0.003}{3!}\cdot1^3 = \pm 0.0005$ 이내이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_2(x) =3+\frac{1}{6} (-9+x)-\frac{1}{216} (-9+x)^2$ ; $p_2(10) = 3.16204$ . The third derivative of $f(x) =\sqrt x$ is bounded on $(8,11)$ by $0.003$ . Error is bounded by $\pm \frac{0.003}{3!}\cdot1^3 = \pm 0.0005.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.7절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류

20.APEX · 8.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 테일러 다항식으로 함수의 값을 어림하고 오차의 대략적인 범위를 구하세요.

$x=1$ 에서의 3차 테일러 다항식으로 $\ln1.5$ 를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, approximate the function value with the indicated Taylor polynomial and give approximate bounds on the error.

Approximate $\ln1.5$ with the Taylor polynomial of degree 3 centered at $x=1$ .

정답·풀이 보기

$p_3(x) =-1+x-\frac{1}{2} (-1+x)^2+\frac{1}{3} (-1+x)^3$ ; $p_3(1.5) = 0.41667$ . 함수 $f(x) =\ln x$ 의 4계 도함수는 $(.9,2)$ 에서 $10$ 으로 유계이다. 오차는 $\pm \frac{10}{4!}\cdot.5^4 = \pm 0.026$ 이내이다.

원본 교재 풀이(영어)

$p_3(x) =-1+x-\frac{1}{2} (-1+x)^2+\frac{1}{3} (-1+x)^3$ ; $p_3(1.5) = 0.41667$ . The fourth derivative of $f(x) =\ln x$ is bounded on $(.9,2)$ by $10$ . Error is bounded by $\pm \frac{10}{4!}\cdot.5^4 = \pm 0.026.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산자동 분류