벡터 미적분 전체 연습문제

401.APEX · 14.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x+y,x-y\rangle$ ; $C$ 는 시점이 $(3,-2)$ , 종점이 $(3,2)$ 인 곡선이며, $-1\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle 3t^2,2t\rangle$ 로 매개화된다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle x+y,x-y\rangle$ ; $C$ is the curve with initial and terminal points $(3,-2)$ and $(3,2)$ , respectively, parametrized by $\vec r(t) = \langle 3t^2,2t\rangle$ on $-1\leq t\leq 1$ .

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12

원본 교재 풀이(영어)

12

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 48번

# 그린 정리계산자동 분류

402.APEX · 14.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x+y,x-y\rangle$ ; $C$ 는 시점이 $(3,-2)$ , 종점이 $(3,2)$ 인 곡선이며, $-2\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle 3,t\rangle$ 로 매개화된다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle x+y,x-y\rangle$ ; $C$ is the curve with initial and terminal points $(3,-2)$ and $(3,2)$ , respectively, parametrized by $\vec r(t) = \langle 3,t\rangle$ on $-2\leq t\leq 2$ .

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$12$

원본 교재 풀이(영어)

$12$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 2번

# 그린 정리계산자동 분류

403.APEX · 14.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x^2,y+1\rangle$ ; $C$ 는 $(0,0)$ 에서 $(2,4)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle x^2,y+1\rangle$ ; $C$ is line segment from $(0,0)$ to $(2,4)$ .

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$-2/3$

원본 교재 풀이(영어)

$-2/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 3번

# 그린 정리계산자동 분류

404.APEX · 14.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x^2,y+1\rangle$ ; $C$ 는 포물선 $y=x^2$ 의 $(0,0)$ 에서 $(2,4)$ 까지의 부분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle x^2,y+1\rangle$ ; $C$ is the portion of the parabola $y=x^2$ from $(0,0)$ to $(2,4)$ .

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$10/3$

원본 교재 풀이(영어)

$10/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 6번

# 그린 정리계산자동 분류

405.APEX · 14.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y,0\rangle$ ; $C$ 는 $(0,0)$ 에서 $(0,1)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle y,0\rangle$ ; $C$ is the line segment from $(0,0)$ to $(0,1)$ .

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$1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 4번

# 그린 정리계산자동 분류

406.APEX · 14.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 를 지나는 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y,0\rangle$ ; $C$ 는 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle y,0\rangle$ ; $C$ is the line segment from $(0,0)$ to $(1,1)$ .

답 쓰고 채점

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$1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 8번

# 그린 정리계산자동 분류

407.APEX · 14.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 와 $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ 의 값을 각각 구하여 두 값이 같음을 보임으로써 그린 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle x-y,x+y\rangle$ ; $C$ 는 $0\leq x\leq 2$ 에서 포물선 $y=x^2$ 을 따라간 뒤 $(2,4)$ 에서 $(0,0)$ 까지 선분을 따라가는 닫힌 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify Green's Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ and $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle x-y,x+y\rangle$ ; $C$ is the closed curve composed of the parabola $y=x^2$ on $0\leq x\leq 2$ followed by the line segment from $(2,4)$ to $(0,0)$ .

정답·풀이 보기

포물선을 따른 선적분 $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값은 $38/3$ 이고, 선분을 따른 값은 $-10$ 이다. 따라서 전체 선적분의 값은 $38/3-10 = 8/3$ 이다. $R$ 에서 $\operatorname{curl} \vec F = 2$ 의 이중적분의 값도 $8/3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The line integral $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ , over the parabola, is $38/3$ ; over the line, it is $-10$ . The total line integral is thus $38/3-10 = 8/3$ . The double integral of $\operatorname{curl} \vec F = 2$ over $R$ also has value $8/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 2번

# 그린 정리계산자동 분류

408.APEX · 14.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 와 $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ 의 값을 각각 구하여 두 값이 같음을 보임으로써 그린 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle -y,x\rangle$ ; $C$ 는 단위원이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify Green's Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ and $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle -y,x\rangle$ ; $C$ is the unit circle.

정답·풀이 보기

선적분과 이중적분의 값은 모두 $2\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Both the line integral and double integral have value of $2\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 3번

# 그린 정리계산자동 분류

409.APEX · 14.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 와 $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ 의 값을 각각 구하여 두 값이 같음을 보임으로써 그린 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle 0,x^2\rangle$ ; $C$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(2,0)$ , $(1,1)$ 인 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify Green's Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ and $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle 0,x^2\rangle$ ; $C$ the triangle with corners at $(0,0)$ , $(2,0)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ 를 계산하려면 세 개의 선적분을 계산해야 한다. 어느 꼭짓점에서 먼저 출발하든 상관없지만, 삼각형을 반시계 방향으로 돌아야 한다는 점에 주의한다.

$(0,0)$ 에서 $(2,0)$ 까지의 선적분의 값은 0 이다. $(2,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 적분의 값은 $7/3$ 이다. $(1,1)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 선적분의 값은 $-1/3$ 이다. 전체 값은 2 이다.

$R$ 에서 $\operatorname{curl}\vec F$ 의 이중적분의 값도 2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Three line integrals need to be computed to compute $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ . It does not matter which corner one starts from first, but be sure to proceed around the triangle in a counterclockwise fashion.

From $(0,0)$ to $(2,0)$ , the line integral has a value of 0. From $(2,0)$ to $(1,1)$ the integral has a value of $7/3$ . From $(1,1)$ to $(0,0)$ the line integral has a value of $-1/3$ . Total value is 2.

The double integral of $\operatorname{curl}\vec F$ over $R$ also has value 2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 1번

# 그린 정리계산자동 분류

410.APEX · 14.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 와 $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ 의 값을 각각 구하여 두 값이 같음을 보임으로써 그린 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle x+y,2x\rangle$ ; $C$ 는 $(0,1)$ 에서 출발하여 포물선 $y=(x-1)^2$ 을 따라 $(3,4)$ 까지 간 다음, 직선을 따라 다시 $(0,1)$ 로 돌아오는 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify Green's Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ and $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle x+y,2x\rangle$ ; $C$ the curve that starts at $(0,1)$ , follows the parabola $y=(x-1)^2$ to $(3,4)$ , then follows a line back to $(0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ 를 계산하려면 두 선적분을 계산해야 한다. 포물선을 따른 선적분의 값은 $25.5$ 이다. 직선을 따른 선적분의 값은 $-21$ 이다. 따라서 합은 $4.5$ 이다.

$R$ 에서 $\operatorname{curl}\vec F$ 의 이중적분의 값도 $4.5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two line integrals need to be computed to compute $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ . Along the parabola, the line integral has value $25.5$ . Along the line, the line integral has value $-21$ . Together, the total value is $4.5$

The double integral of $\operatorname{curl}\vec F$ over $R$ also has value $4.5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 5번

# 그린 정리계산자동 분류

411.APEX · 14.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서는 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어진다. $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 와 $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ 를 각각 계산하여 두 값이 같음을 보임으로써 발산 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle x-y,x+y\rangle$ 이고, $C$ 는 $0\leq x\leq 2$ 에서의 포물선 $y=x^2$ 과 이어서 점 $(2,4)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 선분으로 이루어진 닫힌 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify the Divergence Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ and $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle x-y,x+y\rangle$ ; $C$ is the closed curve composed of the parabola $y=x^2$ on $0\leq x\leq 2$ followed by the line segment from $(2,4)$ to $(0,0)$ .

정답·풀이 보기

포물선 위에서 선적분 $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 의 값은 $-22/3$ 이고, 직선 위에서는 $10$ 이다. 따라서 선적분의 전체 값은 $-22/3+10 = 8/3$ 이다. $R$ 위에서 $\operatorname{div} \vec F = 2$ 의 이중적분 값도 $8/3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The line integral $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ , over the parabola, is $-22/3$ ; over the line, it is $10$ . The total line integral is thus $-22/3+10 = 8/3$ . The double integral of $\operatorname{div} \vec F = 2$ over $R$ also has value $8/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 24번

# 그린 정리계산자동 분류

412.APEX · 14.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서는 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어진다. $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 와 $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ 를 각각 계산하여 두 값이 같음을 보임으로써 발산 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle -y,x\rangle$ 이고, $C$ 는 단위원이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify the Divergence Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ and $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle -y,x\rangle$ ; $C$ is the unit circle.

정답·풀이 보기

선적분과 이중적분의 값은 모두 $0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Both the line integral and double integral have value of $0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 58번

# 그린 정리계산자동 분류

413.APEX · 14.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서는 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어진다. $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 와 $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ 를 각각 계산하여 두 값이 같음을 보임으로써 발산 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle 0,y^2\rangle$ 이고, $C$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(2,0)$ , $(1,1)$ 인 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify the Divergence Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ and $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle 0,y^2\rangle$ ; $C$ the triangle with corners at $(0,0)$ , $(2,0)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\oint_C \vec F\cdot \vec n\ ds$ 를 계산하려면 세 개의 선적분을 구해야 한다. 어느 꼭짓점에서 먼저 시작하는지는 상관없지만, 삼각형을 반드시 반시계 방향으로 돌아야 한다.

$(0,0)$ 에서 $(2,0)$ 까지의 선적분 값은 0 이다. $(2,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 적분 값은 $1/3$ 이다. $(1,1)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 선적분 값은 $1/3$ 이다. 전체 값은 $2/3$ 이다.

$R$ 위에서 $\operatorname{div}\vec F$ 의 이중적분 값도 $2/3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Three line integrals need to be computed to compute $\oint_C \vec F\cdot \vec n\ ds$ . It does not matter which corner one starts from first, but be sure to proceed around the triangle in a counterclockwise fashion.

From $(0,0)$ to $(2,0)$ , the line integral has a value of 0. From $(2,0)$ to $(1,1)$ the integral has a value of $1/3$ . From $(1,1)$ to $(0,0)$ the line integral has a value of $1/3$ . Total value is $2/3$ .

The double integral of $\operatorname{div}\vec F$ over $R$ also has value $2/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 46번

# 그린 정리계산자동 분류

414.APEX · 14.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 와 $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ 를 각각 계산하여 두 값이 같음을 보임으로써 발산 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle x^2/2,y^2/2\rangle$ ; $C$ 는 $(0,1)$ 에서 출발하여 포물선 $y=(x-1)^2$ 을 따라 $(3,4)$ 까지 간 다음, 직선을 따라 $(0,1)$ 로 되돌아오는 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify the Divergence Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ and $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle x^2/2,y^2/2\rangle$ ; $C$ the curve that starts at $(0,1)$ , follows the parabola $y=(x-1)^2$ to $(3,4)$ , then follows a line back to $(0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\oint_C \vec F\cdot \vec n\ ds$ 를 계산하려면 두 개의 선적분을 계산해야 한다. 포물선을 따른 선적분의 값은 $159/20$ 이다. 직선을 따른 선적분의 값은 $6$ 이다. 이를 합한 전체 값은 $279/20$ 이다.

$R$ 위에서 $\operatorname{div}\vec F$ 의 이중적분의 값도 $279/20$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two line integrals need to be computed to compute $\oint_C \vec F\cdot \vec n\ ds$ . Along the parabola, the line integral has value $159/20$ . Along the line, the line integral has value $6$ . Together, the total value is $279/20$ .

The double integral of $\operatorname{div}\vec F$ over $R$ also has value $279/20$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 52번

# 그린 정리계산자동 분류

415.APEX · 14.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–4에서, 함수 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면을 $x$ - $y$ 평면의 주어진 각 영역 $R$ 위에서 매개화하세요.

$z = 4x+2y^2$ ;

(a) $R$ 은 $1\leq x\leq 4$ 와 $5\leq y\leq 7$ 로 유계인 직사각형이다. (b) $R$ 은 원점을 중심으로 하고, 길이가 8인 장축은 $x$ 축에 평행하며 길이가 6인 단축은 $y$ 축에 평행한 타원이다. (c) $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(2,2)$ , $(0,4)$ 인 삼각형이다. (d) $R$ 은 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원과 반지름 5인 원 사이로 유계인 원환이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–4, parametrize the surface defined by the function $z=f(x,y)$ over each of the given regions $R$ of the $x$ - $y$ plane.

$z = 4x+2y^2$ ;

(a) $R$ is the rectangle bounded by $1\leq x\leq 4$ and $5\leq y\leq 7$ . (b) $R$ is the ellipse with major axis of length 8 parallel to the $x$ -axis, and minor axis of length 6 parallel to the $y$ -axis, centered at the origin. (c) $R$ is the triangle with vertices $(0,0)$ , $(2,2)$ and $(0,4)$ . (d) $R$ is the annulus bounded between the circles, centered at the origin, with radius 2 and radius 5.

정답·풀이 보기

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 4u+2u^2\rangle$ on $1\leq u\leq 4$ , $5\leq v\leq 7$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 4v\cos u, 3v\sin u, 16v\cos u+2(3v\sin u)^2\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, u+v(4-2u), 4u+2\big(u+v(4-2u)\big)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 4v\cos u + 2(v\sin u)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2\pi$ , $2\leq v\leq 5$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 4u+2u^2\rangle$ on $1\leq u\leq 4$ , $5\leq v\leq 7$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 4v\cos u, 3v\sin u, 16v\cos u+2(3v\sin u)^2\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, u+v(4-2u), 4u+2\big(u+v(4-2u)\big)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 4v\cos u + 2(v\sin u)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2\pi$ , $2\leq v\leq 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

416.APEX · 14.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,2,1)$ , $(0,0,1)$ 인 공간의 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the rectangle in space with corners at $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,2,1)$ and $(0,0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle 0, u, v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle 0, u, v\rangle$ with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

417.APEX · 14.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ , $(0,0,1)$ 인 공간의 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the triangle in space with corners at $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ and $(0,0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle u, 0, 1-u+vu\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle u, 0, 1-u+vu\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

418.APEX · 14.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 타원체 $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} = 1$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the ellipsoid $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} = 1$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle 3\sin u\cos v, 2\sin u\sin v, 4\cos u\rangle$ , 단 $0\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle 3\sin u\cos v, 2\sin u\sin v, 4\cos u\rangle$ with $0\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

419.APEX · 14.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 $-1 \leq y \leq 5$ 에서 타원뿔 $\displaystyle y^2= x^2+\frac{z^2}{16}$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the elliptic cone $\displaystyle y^2= x^2+\frac{z^2}{16}$ , for $-1 \leq y \leq 5$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다. 한 가지 풀이는 $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v, 4v\sin u\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ , $-1\leq v\leq 5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one solution is $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v, 4v\sin u\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ , $-1\leq v\leq 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.5절 · 2번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

420.APEX · 14.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 공학 도구의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 직사각형 $-1\leq x\leq 1$ , $2\leq v \leq 3$ 위에 놓인 평면 $z=2x+3y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=2x+3y$ over the rectangle $-1\leq x\leq 1$ , $2\leq v \leq 3$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = 2\sqrt{14}$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 2\sqrt{14}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 1번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

벡터 미적분 전체 문제