벡터 미적분 전체 연습문제

461.APEX · 14.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 포물선 $y=2x^2+x+1$ 의 $[0,1]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=x^2+2y$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of the parabola $y=2x^2+x+1$ on $[0,1]$ ; the surface is $f(x,y)=x^2+2y$ .

정답·풀이 보기

$\int_0^1(5t^2+_2t+2)\sqrt{(4t+1)^2+1}\ dt \approx 17.071$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^1(5t^2+_2t+2)\sqrt{(4t+1)^2+1}\ dt \approx 17.071$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 10번

# 선적분계산자동 분류

462.APEX · 14.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 곡선 $y=\sin x$ 의 $[0,\pi]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=x$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of the curve $y=\sin x$ on $[0,\pi]$ ; the surface is $f(x,y)=x$ .

정답·풀이 보기

$\int_0^\pi t\sqrt{1+\cos^2t}\ dt \approx 6.001$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^\pi t\sqrt{1+\cos^2t}\ dt \approx 6.001$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 15번

# 선적분계산자동 분류

463.APEX · 14.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 $[0,2\pi]$ 에서 $\vec r(t) = \langle 2\cos t,\sin t\rangle$ 로 주어진 타원이고, 곡면은 $f(x,y)=10-x^2-y^2$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the ellipse given by $\vec r(t) = \langle 2\cos t,\sin t\rangle$ on $[0,2\pi]$ ; the surface is $f(x,y)=10-x^2-y^2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\oint_0^{2\pi} \big(10-4\cos^2t-\sin^2t\big)\sqrt{\cos^2t+4\sin^2t}\ dt \approx 74.986$

원본 교재 풀이(영어)

$\oint_0^{2\pi} \big(10-4\cos^2t-\sin^2t\big)\sqrt{\cos^2t+4\sin^2t}\ dt \approx 74.986$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 7번

# 선적분계산자동 분류

464.APEX · 14.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 $y=x^3$ 의 $[-1,1]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=2x+3y+5$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of $y=x^3$ on $[-1,1]$ ; the surface is $f(x,y)=2x+3y+5$ .

정답·풀이 보기

$\int_{-1}^{1} \big(3t^3+2t+5\big)\sqrt{9t^4+1}\ dt \approx 15.479$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-1}^{1} \big(3t^3+2t+5\big)\sqrt{9t^4+1}\ dt \approx 15.479$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 51번

# 선적분계산자동 분류

465.APEX · 14.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서는 공간에서 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $1\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle 5t,t,t^2\rangle$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 5t,t,t^2\rangle$ for $1\leq t\leq 2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$7\sqrt{26}/3$

원본 교재 풀이(영어)

$7\sqrt{26}/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 55번

# 선적분계산자동 분류

466.APEX · 14.1절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, \sin(2t)+1\rangle$ , $0\leq t\leq 2\pi$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, \sin(2t)+1\rangle$ for $0\leq t\leq 2\pi$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 3번

# 선적분계산자동 분류

467.APEX · 14.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3\cos t,3\sin t, t^2\rangle$ , $0\leq t\leq 2\pi$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3\cos t,3\sin t, t^2\rangle$ for $0\leq t\leq 2\pi$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8\pi^3$

원본 교재 풀이(영어)

$8\pi^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 34번

# 선적분계산자동 분류

468.APEX · 14.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3t,4t, t\rangle$ , $0\leq t\leq 1$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3t,4t, t\rangle$ for $0\leq t\leq 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$5/2$

원본 교재 풀이(영어)

$5/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 1번

# 선적분계산자동 분류

469.APEX · 14.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 밀도가 $\delta$ 인 가는 철사를 나타내는 매개변수 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 이 가는 철사의 질량과 질량중심을 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, t\rangle$ , $0\leq t\leq 4\pi$ ; $\delta(x,y,z) = z$ .

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, a parametrized curve $C$ is given that represents a thin wire with density $\delta$ . Find the mass and center of mass of the thin wire.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, t\rangle$ for $0\leq t\leq 4\pi$ ; $\delta(x,y,z) = z$ .

정답·풀이 보기

$M=8\sqrt{2}\pi^2$ 이고, 질량중심은 $(0,-1/(2\pi), 8\pi/3)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$M=8\sqrt{2}\pi^2$ ; center of mass is $(0,-1/(2\pi), 8\pi/3)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 19번

# 선적분계산자동 분류

470.APEX · 14.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 밀도가 $\delta$ 인 가는 철사를 나타내는 매개변수 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 이 가는 철사의 질량과 질량중심을 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle t-t^2,t^2-t^3,t^3-t^4\rangle$ , $0\leq t\leq 1$ ; $\delta(x,y,z) = x+2y+2z$ . 각 적분의 값은 공학적 도구를 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, a parametrized curve $C$ is given that represents a thin wire with density $\delta$ . Find the mass and center of mass of the thin wire.

$C$ : $\vec r(t) = \langle t-t^2,t^2-t^3,t^3-t^4\rangle$ for $0\leq t\leq 1$ ; $\delta(x,y,z) = x+2y+2z$ . Use technology to approximate the value of each integral.

정답·풀이 보기

$M\approx 0.237$ 이고, 질량중심은 약 $(0.173, 0.099,0.065)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$M\approx 0.237$ ; center of mass is approximately $(0.173, 0.099,0.065)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 21번

# 선적분계산자동 분류

471.APEX · 14.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

평면 또는 공간에서 벡터장으로 나타낼 수 있는 양 두 가지를 쓰세요.

영어 원문 보기

Give two quantities that can be represented by a vector field in the plane or in space.

정답·풀이 보기

답은 다양하다. 알맞은 답으로는 움직이는 입자(공기, 물 등)의 속도, 중력 또는 전자기력이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. Appropriate answers include velocities of moving particles (air, water, etc.); gravitational or electromagnetic forces.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.2절 · 4번

# 벡터장과 흐름선개념 확인자동 분류

472.APEX · 14.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

벡터장이 한 점에서 음의 발산을 갖는다는 것이 무슨 뜻인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe what it means for a vector field to have a negative divergence at a point.

정답·풀이 보기

구체적인 답은 다양하지만, "그 점에서 밖으로 나가는 벡터장보다 그 점으로 들어오는 벡터장이 더 많다"는 생각과 관련되어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Specific answers will vary, though should relate to the idea that “more of the vector field is moving into that point than out of that point.”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.2절 · 1번

# 벡터장과 흐름선개념 확인자동 분류

473.APEX · 14.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

벡터장이 한 점에서 음의 회전을 갖는다는 것이 무슨 뜻인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe what it means for a vector field to have a negative curl at a point.

정답·풀이 보기

구체적인 답은 다양하지만, 벡터장이 그 점에서 시계 방향으로 회전한다는 생각과 관련되어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Specific answers will vary, though should relate to the idea that the vector field is spinning clockwise at that point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.2절 · 2번

# 벡터장과 흐름선개념 확인자동 분류

474.APEX · 14.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\vec F$ 의 특정한 한 점에서의 발산이 0이다. 이것은 $\vec F$ 가 비압축성이라는 뜻인가요? 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

The divergence of a vector field $\vec F$ at a particular point is 0. Does this mean that $\vec F$ is incompressible? Why/why not?

정답·풀이 보기

아니요. 비압축성이려면 발산이 한 점에서만이 아니라 모든 점에서 0이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

No; to be incompressible, the divergence needs to be 0 everywhere, not just at one point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.1절 · 19번

# 벡터장과 흐름선개념 확인자동 분류

475.APEX · 14.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 마주 보는 두 꼭짓점이 $(-2,-2)$ 와 $(2,2)$ 인 직사각형 위에 주어진 벡터장의 그래프를 그리세요. 이때 좌표가 정수인 모든 점마다(즉, $(0,0)$ , $(1,2)$ 등에서) 벡터를 하나씩 그리세요.

$\vec F = \langle x,0\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners $(-2,-2)$ and $(2,2)$ , sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at $(0,0)$ , $(1,2)$ , etc.).

$\vec F = \langle x,0\rangle$

정답·풀이 보기

정답은 다음과 비슷해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Correct answers should look similar to

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.1절 · 27번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류

476.APEX · 14.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서, 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(-2,-2)$ 와 $(2,2)$ 인 직사각형 위에 주어진 벡터장의 그래프를 그리세요. 좌표가 정수인 모든 점(즉, $(0,0)$ , $(1,2)$ 등)마다 벡터를 하나씩 그리세요.

$\vec F = \langle 0,x\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners $(-2,-2)$ and $(2,2)$ , sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at $(0,0)$ , $(1,2)$ , etc.).

$\vec F = \langle 0,x\rangle$

정답·풀이 보기

정답은 다음과 비슷한 모양이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Correct answers should look similar to

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.1절 · 37번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류

477.APEX · 14.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서, 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(-2,-2)$ 와 $(2,2)$ 인 직사각형 위에 주어진 벡터장의 그래프를 그리세요. 좌표가 정수인 모든 점(즉, $(0,0)$ , $(1,2)$ 등)마다 벡터를 하나씩 그리세요.

$\vec F = \langle 1,-1\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners $(-2,-2)$ and $(2,2)$ , sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at $(0,0)$ , $(1,2)$ , etc.).

$\vec F = \langle 1,-1\rangle$

정답·풀이 보기

정답은 다음과 비슷한 모양이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Correct answers should look similar to

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.1절 · 25번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류

478.APEX · 14.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서, 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(-2,-2)$ 와 $(2,2)$ 인 직사각형 위에 주어진 벡터장의 그래프를 그리세요. 좌표가 정수인 모든 점(즉, $(0,0)$ , $(1,2)$ 등)마다 벡터를 하나씩 그리세요.

$\vec F = \langle y^2,1\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners $(-2,-2)$ and $(2,2)$ , sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at $(0,0)$ , $(1,2)$ , etc.).

$\vec F = \langle y^2,1\rangle$

정답·풀이 보기

정답은 다음과 비슷한 모양이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Correct answers should look similar to

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.2절 · 2번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류

479.APEX · 14.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–18번에서, 주어진 벡터장의 발산과 회전을 구하세요.

$\vec F = \langle x,y^2\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 9–18, find the divergence and curl of the given vector field.

$\vec F = \langle x,y^2\rangle$

정답·풀이 보기

$\operatorname{div} \vec F = 1+2y$

$\operatorname{curl} \vec F = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$\operatorname{div} \vec F = 1+2y$

$\operatorname{curl} \vec F = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.2절 · 1번

# 벡터장과 흐름선계산자동 분류

480.APEX · 14.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–18번에서, 주어진 벡터장의 발산과 회전을 구하세요.

$\vec F = \langle -y^2,x\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 9–18, find the divergence and curl of the given vector field.

$\vec F = \langle -y^2,x\rangle$

정답·풀이 보기

$\operatorname{div} \vec F = 0$

$\operatorname{curl} \vec F = 1+2y$

원본 교재 풀이(영어)

$\operatorname{div} \vec F = 0$

$\operatorname{curl} \vec F = 1+2y$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.2절 · 3번

# 벡터장과 흐름선계산자동 분류

벡터 미적분 전체 문제