벡터 미적분 전체 연습문제

501.APEX · 14.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ 는 직선 $y=x$ 위의 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 선분이고, 거리는 미터 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ is the segment of the line $y=x$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ , where distances are measured in meters.

정답·풀이 보기

$5/6$ 줄. ( $C$ 의 한 가지 매개변수화는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$5/6$ joules. (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,t\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 2번

# 선적분활용자동 분류

502.APEX · 14.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ 는 $y=\sqrt x$ 의 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 부분이고, 거리는 미터 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ is the portion of $y=\sqrt x$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ , where distances are measured in meters.

정답·풀이 보기

$13/15$ 줄. ( $C$ 의 한 가지 매개변수화는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,\sqrt t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$13/15$ joules. (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,\sqrt t\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 29번

# 선적분활용자동 분류

503.APEX · 14.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ 는 $0\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle t, t^2, t^3\rangle$ 로 나타내어지는 $(0,0,0)$ 에서 $(2,4,8)$ 까지의 경로이고, 거리는 피트 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ is the path from $(0,0,0)$ to $(2,4,8)$ via $\vec r(t) = \langle t, t^2, t^3\rangle$ on $0\leq t\leq 2$ , where distance are measured in feet.

정답·풀이 보기

$24$ ft-lbs.

원본 교재 풀이(영어)

$24$ ft-lbs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 3번

# 선적분활용자동 분류

504.APEX · 14.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ 는 $0\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,2t, 4t\rangle$ 로 나타내어지는 $(0,0,0)$ 에서 $(2,4,8)$ 까지의 경로이고, 거리는 피트 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ is the path from $(0,0,0)$ to $(2,4,8)$ via $\vec r(t) = \langle t,2t, 4t\rangle$ on $0\leq t\leq 2$ , where distance are measured in feet.

정답·풀이 보기

$24$ ft-lbs.

원본 교재 풀이(영어)

$24$ ft-lbs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 7번

# 선적분활용자동 분류

505.APEX · 14.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 를 벡터장, $C$ 를 곡선이라 하자. 흐름은 $\vec F$ 가 $C$ _____ 진행하는 양의 척도이고, 플럭스는 $\vec F$ 가 $C$ _____ 진행하는 양의 척도이다.

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a vector field and let $C$ be a curve. Flow is a measure of the amount of $\vec F$ going _____ $C$ ; flux is a measure of the amount of $\vec F$ going _____ $C$ .

정답·풀이 보기

따라, 가로질러

원본 교재 풀이(영어)

along, across

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 3번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

506.APEX · 14.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

순환이란 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is circulation?

정답·풀이 보기

닫힌 곡선 $C$ 전체를 따라 흐르는 흐름의 척도이다.

원본 교재 풀이(영어)

It is the measure of flow around the entirety of a closed curve $C$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 5번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

507.APEX · 14.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

그린 정리는 비형식적으로 말하면, 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선을 따른 순환이 $R$ 전체에 걸친 _____ 의 합과 같다는 것이다.

영어 원문 보기

Green's Theorem states, informally, that the circulation around a closed curve that bounds a region $R$ is equal to the sum of _____ across $R$ .

정답·풀이 보기

$\vec F$ 의 회전, 즉 $\operatorname{curl} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

the curl of $\vec F$ , or $\operatorname{curl} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 2번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

508.APEX · 14.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

발산 정리는 비형식적으로 말하면, 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선을 가로지르는 바깥쪽 플럭스가 $R$ 전체에 걸친 _____ 의 합과 같다는 것이다.

영어 원문 보기

The Divergence Theorem states, informally, that the outward flux across a closed curve that bounds a region $R$ is equal to the sum of _____ across $R$ .

정답·풀이 보기

$\vec F$ 의 발산, 즉 $\operatorname{div} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

the divergence of $\vec F$ , or $\operatorname{div} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 6번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

509.APEX · 14.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 를 벡터장이라 하고, $C_1$ 과 $C_2$ 를 각각 점 $A$ 에서 시작하여 점 $B$ 에서 끝나는 것을 제외하고는 서로 만나지 않는 임의의 경로라 하자. _____ $=0$ 이면 $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec T\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec T\ ds$ 이다.

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a vector field and let $C_1$ and $C_2$ be any nonintersecting paths except that each starts at point $A$ and ends at point $B$ . If _____ $=0$ , then $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec T\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec T\ ds$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{curl} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

$\operatorname{curl} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 4번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

510.APEX · 14.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 를 벡터장이라 하고, $C_1$ 과 $C_2$ 를 각각 점 $A$ 에서 시작하여 점 $B$ 에서 끝나는 것을 제외하고는 서로 만나지 않는 임의의 경로라 하자. _____ $=0$ 이면 $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec n\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec n\ ds$ 이다.

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a vector field and let $C_1$ and $C_2$ be any nonintersecting paths except that each starts at point $A$ and ends at point $B$ . If _____ $=0$ , then $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec n\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec n\ ds$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{div} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

$\operatorname{div} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 10번

# 그린 정리개념 확인자동 분류

511.APEX · 14.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x+y,x-y\rangle$ ; $C$ 는 시점이 $(3,-2)$ , 종점이 $(3,2)$ 인 곡선이며, $-1\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle 3t^2,2t\rangle$ 로 매개화된다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle x+y,x-y\rangle$ ; $C$ is the curve with initial and terminal points $(3,-2)$ and $(3,2)$ , respectively, parametrized by $\vec r(t) = \langle 3t^2,2t\rangle$ on $-1\leq t\leq 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

12

원본 교재 풀이(영어)

12

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 48번

# 그린 정리계산자동 분류

512.APEX · 14.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x+y,x-y\rangle$ ; $C$ 는 시점이 $(3,-2)$ , 종점이 $(3,2)$ 인 곡선이며, $-2\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle 3,t\rangle$ 로 매개화된다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle x+y,x-y\rangle$ ; $C$ is the curve with initial and terminal points $(3,-2)$ and $(3,2)$ , respectively, parametrized by $\vec r(t) = \langle 3,t\rangle$ on $-2\leq t\leq 2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$12$

원본 교재 풀이(영어)

$12$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 2번

# 그린 정리계산자동 분류

513.APEX · 14.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x^2,y+1\rangle$ ; $C$ 는 $(0,0)$ 에서 $(2,4)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle x^2,y+1\rangle$ ; $C$ is line segment from $(0,0)$ to $(2,4)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-2/3$

원본 교재 풀이(영어)

$-2/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 3번

# 그린 정리계산자동 분류

514.APEX · 14.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x^2,y+1\rangle$ ; $C$ 는 포물선 $y=x^2$ 의 $(0,0)$ 에서 $(2,4)$ 까지의 부분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle x^2,y+1\rangle$ ; $C$ is the portion of the parabola $y=x^2$ from $(0,0)$ to $(2,4)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$10/3$

원본 교재 풀이(영어)

$10/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 6번

# 그린 정리계산자동 분류

515.APEX · 14.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 위에서의 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y,0\rangle$ ; $C$ 는 $(0,0)$ 에서 $(0,1)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle y,0\rangle$ ; $C$ is the line segment from $(0,0)$ to $(0,1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 4번

# 그린 정리계산자동 분류

516.APEX · 14.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\vec F$ 의 $C$ 를 지나는 플럭스인 $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y,0\rangle$ ; $C$ 는 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\int_C \vec F\cdot\vec n\ ds$ , the flux of $\vec F$ over $C$ .

$\vec F = \langle y,0\rangle$ ; $C$ is the line segment from $(0,0)$ to $(1,1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 8번

# 그린 정리계산자동 분류

517.APEX · 14.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 와 $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ 의 값을 각각 구하여 두 값이 같음을 보임으로써 그린 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle x-y,x+y\rangle$ ; $C$ 는 $0\leq x\leq 2$ 에서 포물선 $y=x^2$ 을 따라간 뒤 $(2,4)$ 에서 $(0,0)$ 까지 선분을 따라가는 닫힌 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify Green's Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ and $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle x-y,x+y\rangle$ ; $C$ is the closed curve composed of the parabola $y=x^2$ on $0\leq x\leq 2$ followed by the line segment from $(2,4)$ to $(0,0)$ .

정답·풀이 보기

포물선을 따른 선적분 $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값은 $38/3$ 이고, 선분을 따른 값은 $-10$ 이다. 따라서 전체 선적분의 값은 $38/3-10 = 8/3$ 이다. $R$ 에서 $\operatorname{curl} \vec F = 2$ 의 이중적분의 값도 $8/3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The line integral $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ , over the parabola, is $38/3$ ; over the line, it is $-10$ . The total line integral is thus $38/3-10 = 8/3$ . The double integral of $\operatorname{curl} \vec F = 2$ over $R$ also has value $8/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 2번

# 그린 정리계산자동 분류

518.APEX · 14.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 와 $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ 의 값을 각각 구하여 두 값이 같음을 보임으로써 그린 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle -y,x\rangle$ ; $C$ 는 단위원이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify Green's Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ and $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle -y,x\rangle$ ; $C$ is the unit circle.

정답·풀이 보기

선적분과 이중적분의 값은 모두 $2\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Both the line integral and double integral have value of $2\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 3번

# 그린 정리계산자동 분류

519.APEX · 14.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 와 $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ 의 값을 각각 구하여 두 값이 같음을 보임으로써 그린 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle 0,x^2\rangle$ ; $C$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(2,0)$ , $(1,1)$ 인 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify Green's Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ and $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle 0,x^2\rangle$ ; $C$ the triangle with corners at $(0,0)$ , $(2,0)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ 를 계산하려면 세 개의 선적분을 계산해야 한다. 어느 꼭짓점에서 먼저 출발하든 상관없지만, 삼각형을 반시계 방향으로 돌아야 한다는 점에 주의한다.

$(0,0)$ 에서 $(2,0)$ 까지의 선적분의 값은 0 이다. $(2,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 적분의 값은 $7/3$ 이다. $(1,1)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 선적분의 값은 $-1/3$ 이다. 전체 값은 2 이다.

$R$ 에서 $\operatorname{curl}\vec F$ 의 이중적분의 값도 2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Three line integrals need to be computed to compute $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ . It does not matter which corner one starts from first, but be sure to proceed around the triangle in a counterclockwise fashion.

From $(0,0)$ to $(2,0)$ , the line integral has a value of 0. From $(2,0)$ to $(1,1)$ the integral has a value of $7/3$ . From $(1,1)$ to $(0,0)$ the line integral has a value of $-1/3$ . Total value is 2.

The double integral of $\operatorname{curl}\vec F$ over $R$ also has value 2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 1번

# 그린 정리계산자동 분류

520.APEX · 14.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ 와 $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ 의 값을 각각 구하여 두 값이 같음을 보임으로써 그린 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle x+y,2x\rangle$ ; $C$ 는 $(0,1)$ 에서 출발하여 포물선 $y=(x-1)^2$ 을 따라 $(3,4)$ 까지 간 다음, 직선을 따라 다시 $(0,1)$ 로 돌아오는 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify Green's Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ and $\iint_R \operatorname{curl} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle x+y,2x\rangle$ ; $C$ the curve that starts at $(0,1)$ , follows the parabola $y=(x-1)^2$ to $(3,4)$ , then follows a line back to $(0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ 를 계산하려면 두 선적분을 계산해야 한다. 포물선을 따른 선적분의 값은 $25.5$ 이다. 직선을 따른 선적분의 값은 $-21$ 이다. 따라서 합은 $4.5$ 이다.

$R$ 에서 $\operatorname{curl}\vec F$ 의 이중적분의 값도 $4.5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two line integrals need to be computed to compute $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ . Along the parabola, the line integral has value $25.5$ . Along the line, the line integral has value $-21$ . Together, the total value is $4.5$

The double integral of $\operatorname{curl}\vec F$ over $R$ also has value $4.5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 5번

# 그린 정리계산자동 분류

벡터 미적분 전체 문제