발산 정리 연습문제 | 빌드라인 스쿨

61.APEX · 14.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리를 검증하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 꼭짓점이 $(0,0,2)$ , $(4,0,0)$ , $(0,3,0)$ 인 삼각형을 따라 이 순서대로 꼭짓점을 지나 다시 $(0,0,2)$ 로 돌아오는 곡선이고, $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 평면 $z=2-x/2-2y/3$ 의 부분이다. $\vec F = \langle y,-z,y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve that follows the triangle with vertices at $(0,0,2)$ , $(4,0,0)$ and $(0,3,0)$ , traversing the the vertices in that order and returning to $(0,0,2)$ , and $\mathcal{S}$ is the portion of the plane $z=2-x/2-2y/3$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle y,-z,y\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: $(0,0,2)$ 에서 $(4,0,0)$ 까지의 선분을 따른 흐름은 0이고, $(4,0,0)$ 에서 $(0,3,0)$ 까지는 $-6$ 이며, $(0,3,0)$ 에서 $(0,0,2)$ 까지는 6이다. 따라서 전체 순환은 $0+(-6)+6=0$ 이다.

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \iint_\mathcal{S} 0 \ dS = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : The flow along the line from $(0,0,2)$ to $(4,0,0)$ is 0; from $(4,0,0)$ to $(0,3,0)$ it is $-6$ , and from $(0,3,0)$ to $(0,0,2)$ it is 6. The total circulation is $0+(-6)+6=0$ .

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \iint_\mathcal{S} 0 \ dS = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 10번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

62.APEX · 14.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리가 성립함을 확인하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 $x=1$ 에서 $x=-1$ 까지 포물선 $y=1-x^2$ 을 따라가고, 이어서 $(-1,0)$ 에서 $(1,0)$ 까지 직선을 따라 되돌아오는 곡선이며, $C$ 의 $z$ 좌표는 $f(x,y) = 2x^2+y^2$ 으로 정해진다. $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 $z=2x^2+y^2$ 의 부분이고, $\vec F = \langle y^2+z,x,x^2-y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve whose $x$ and $y$ coordinates follow the parabola $y=1-x^2$ from $x=1$ to $x=-1$ , then follow the line from $(-1,0)$ back to $(1,0)$ , where the $z$ coordinates of $C$ are determined by $f(x,y) = 2x^2+y^2$ , and $\mathcal{S}$ is the portion of $z=2x^2+y^2$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle y^2+z,x,x^2-y\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: 포물선을 따른 흐름은 $-32/15$ 이고, 직선을 따른 흐름은 $4/3$ 이다. 따라서 전체 순환은 $4/3-32/15 = -4/5$ 이다.

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = -4/5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : The flow along the parabola is $-32/15$ ; the flow along the line is $4/3$ . The total circulation is $4/3-32/15 = -4/5$ .

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = -4/5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 10번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

63.APEX · 14.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 $z=0$ 과 $z=(x^2-1)(y^2-1)$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle x^2+1,yz,xz^2\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of $z=0$ and $z=(x^2-1)(y^2-1)$ ; $\vec F = \langle x^2+1,yz,xz^2\rangle$ .

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$128/225$

원본 교재 풀이(영어)

$128/225$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 43번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

64.APEX · 14.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 평면 $z=\frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ , $z=0$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle x,y^2,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of the planes $z=\frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ and $z=0$ ; $\vec F = \langle x,y^2,z\rangle$ .

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$8$

원본 교재 풀이(영어)

$8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 44번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

65.APEX · 14.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 평면 $z=2y$ , 곡면 $y=4-x^2$ , 평면 $z=0$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle xz,0,xz\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of the planes $z=2y$ , $y=4-x^2$ and $z=0$ ; $\vec F = \langle xz,0,xz\rangle$ .

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$8192/105\approx 78.019$

원본 교재 풀이(영어)

$8192/105\approx 78.019$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 26번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

66.APEX · 14.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 에 대한 $\vec F$ 의 바깥쪽 플럭스를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 기둥면 $z=1-x^2$ 과 평면 $y=-2$ , $y=2$ , $z=0$ 이 만나 이루어진 곡면이고, $\vec F = \langle 0,y^3,0\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of the cylinder $z=1-x^2$ and the planes $y=-2$ , $y=2$ and $z=0$ ; $\vec F = \langle 0,y^3,0\rangle$ .

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$64/3$

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$64/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 47번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

67.APEX · 14.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 스토크스 정리를 이용하여 $C$ 를 따라 $\vec F$ 의 순환을 구하세요.

$C$ 는 $x$ 값과 $y$ 값이 꼭짓점이 $(-1,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ 인 삼각형의 세 변으로 정해지고 이 순서대로 지나가며, $z$ 값은 함수 $z=xy$ 로 정해지는 곡선이다. $\vec F = \langle z-y^2,x,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Find the circulation of $\vec F$ around $C$ either through direct computation or through Stokes' Theorem.

$C$ is the curve whose $x$ - and $y$ -values are determined by the three sides of a triangle with vertices at $(-1,0)$ , $(1,0)$ and $(0,1)$ , traversed in that order, and the $z$ -values are determined by the function $z=xy$ ; $\vec F = \langle z-y^2,x,z\rangle$ .

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$5/3$

원본 교재 풀이(영어)

$5/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 4번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

68.APEX · 14.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 스토크스 정리를 이용하여 $C$ 를 따라 $\vec F$ 의 순환을 구하세요.

$C$ 는 $x$ 값과 $y$ 값이 $\vec r(t) = \langle 2\cos t,2\sin t\rangle$ 로 주어지고 $z$ 값은 함수 $z=x^2+y^3-3y+1$ 로 정해지는 곡선이다. $\vec F = \langle -y,x,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Find the circulation of $\vec F$ around $C$ either through direct computation or through Stokes' Theorem.

$C$ is the curve whose $x$ - and $y$ -values are given by $\vec r(t) = \langle 2\cos t,2\sin t\rangle$ and the $z$ -values are determined by the function $z=x^2+y^3-3y+1$ ; $\vec F = \langle -y,x,z\rangle$ .

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$8\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$8\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 17번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

69.APEX · 14.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 스토크스 정리를 이용하여 $C$ 를 따라 $\vec F$ 의 순환을 구하세요.

$C$ 는 $x$ 값과 $y$ 값이 $\vec r(t) = \langle \cos t,3\sin t\rangle$ 로 주어지고 $z$ 값은 함수 $z=5-2x-y$ 로 정해지는 곡선이다. $\vec F = \langle -\frac13y,3x,\frac23y-3x\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Find the circulation of $\vec F$ around $C$ either through direct computation or through Stokes' Theorem.

$C$ is the curve whose $x$ - and $y$ -values are given by $\vec r(t) = \langle \cos t,3\sin t\rangle$ and the $z$ -values are determined by the function $z=5-2x-y$ ; $\vec F = \langle -\frac13y,3x,\frac23y-3x\rangle$ .

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정답·풀이 보기

$23\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$23\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 50번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

70.APEX · 14.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 스토크스 정리를 이용하여 $C$ 를 따라 $\vec F$ 의 순환을 구하세요.

$C$ 는 $x$ 값과 $y$ 값이 꼭짓점이 $(1,1)$ , $(-1,1)$ , $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ 인 정사각형의 변으로 정해지고 이 순서대로 지나가며, $z$ 값은 함수 $z=10-5x-2y$ 로 정해지는 곡선이다. $\vec F = \langle 5y^2,2y^2,y^2\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Find the circulation of $\vec F$ around $C$ either through direct computation or through Stokes' Theorem.

$C$ is the curve whose $x$ - and $y$ -values are sides of the square with vertices at $(1,1)$ , $(-1,1)$ , $(-1,-1)$ and $(1,-1)$ , traversed in that order, and the $z$ -values are determined by the function $z=10-5x-2y$ ; $\vec F = \langle 5y^2,2y^2,y^2\rangle$ .

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정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 42번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

71.APEX · 14.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24번은 여러분의 이해를 확인하기 위한 문제이며 계산이 필요하지 않다.

$\mathcal{S}$ 를 정의역 $D$ 를 둘러싸는 임의의 닫힌 곡면이라 하자. $\vec F_1 = \langle x,0,0\rangle$ 과 $\vec F_2=\langle y,y^2,z-2yz\rangle$ 를 생각하자.

이 두 벡터장은 분명히 서로 매우 다르다. 그런데도 $\mathcal{S}$ 를 지나는 각 장의 바깥쪽 전체 선속이 같은 이유는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 21–24 are designed to challenge your understanding and require no computation.

Let $\mathcal{S}$ be any closed surface enclosing a domain $D$ . Consider $\vec F_1 = \langle x,0,0\rangle$ and $\vec F_2=\langle y,y^2,z-2yz\rangle$ .

These fields are clearly very different. Why is it that the total outward flux of each field across $\mathcal{S}$ is the same?

정답·풀이 보기

두 벡터장의 발산은 모두 1이다. 발산 정리에 의해 $\mathcal{S}$ 를 지나는 바깥쪽 전체 선속은 두 장 모두 $\iint_D 1\ dS$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Each field has a divergence of 1; by the Divergence Theorem, the total outward flux across $\mathcal{S}$ is $\iint_D 1\ dS$ for each field.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 32번

# 발산 정리계산자동 분류

72.APEX · 14.7절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24는 여러분의 이해를 시험하기 위한 것이며 계산이 필요하지 않습니다.

(a) 그린 정리는 적절한 벡터장 $\vec F$ 를 선택하여 선적분을 계산함으로써 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 데 쓸 수 있습니다. 이것이 가능하려면 $\vec F$ 가 어떤 조건을 만족해야 하는지 구하세요. (b) 마찬가지로, 스토크스 정리는 적절한 벡터장 $\vec F$ 를 선택하여 선적분을 계산함으로써 공간의 곡선으로 둘러싸인 영역의 겉넓이를 구하는 데 쓸 수 있습니다. 이것이 가능하려면 $\vec F$ 가 어떤 조건을 만족해야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 21–24 are designed to challenge your understanding and require no computation.

(a) Green's Theorem can be used to find the area of a region enclosed by a curve by evaluating a line integral with the appropriate choice of vector field $\vec F$ . What condition on $\vec F$ makes this possible? (b) Likewise, Stokes' Theorem can be used to find the surface area of a region enclosed by a curve in space by evaluating a line integral with the appropriate choice of vector field $\vec F$ . What condition on $\vec F$ makes this possible?

정답·풀이 보기

(a) $\operatorname{curl}\vec F = 1$ 이다. (b) $\operatorname{curl}\vec F\cdot \vec n = 1$ 이다. 여기서 $\vec n$ 은 $\mathcal{S}$ 에 수직인 단위벡터이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\operatorname{curl}\vec F = 1$ . (b) $\operatorname{curl}\vec F\cdot \vec n = 1$ , where $\vec n$ is a unit vector normal to $\mathcal{S}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 50번

# 발산 정리활용자동 분류

73.APEX · 14.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24는 여러분의 이해를 시험하기 위한 것이며 계산이 필요하지 않습니다.

발산 정리는 특정한 이중적분과 특정한 삼중적분이 서로 같음을 보여 줍니다. 이중적분 대신 삼중적분을 계산하는 쪽을 택하게 되는 경우는 어떤 상황인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 21–24 are designed to challenge your understanding and require no computation.

The Divergence Theorem establishes equality between a particular double integral and a particular triple integral. What types of circumstances would lead one to choose to evaluate the triple integral over the double integral?

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 가 여러 개의 매끄러운 곡면으로 이루어진 경우가 많다. 바깥쪽으로 나가는 전체 선속을 구하려면 이중적분을 여러 개 계산해야 할 수 있다. 각 이중적분마다 곡면의 매개변수화와 편도함수들의 외적 계산이 필요하다. 특히 벡터장의 발산은 대체로 계산하기 쉬우므로, 삼중적분 하나를 계산하는 편이 일이 더 적을 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. Often the closed surface $\mathcal{S}$ is composed of several smooth surfaces. To measure total outward flux, this may require evaluating multiple double integrals. Each double integral requires the parametrization of a surface and the computation of the cross product of partial derivatives. One triple integral may require less work, especially as the divergence of a vector field is generally easy to compute.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 19번

# 발산 정리계산자동 분류

74.APEX · 14.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24는 여러분의 이해를 시험하기 위한 것이며 계산이 필요하지 않습니다.

스토크스 정리는 특정한 선적분과 특정한 이중적분이 서로 같음을 보여 줍니다. 선적분 대신 이중적분을 계산하는 쪽을 택하게 되는 경우는 어떤 상황인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 21–24 are designed to challenge your understanding and require no computation.

Stokes' Theorem establishes equality between a particular line integral and a particular double integral. What types of circumstances would lead one to choose to evaluate the double integral over the line integral?

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 닫힌 곡선 $C$ 가 여러 개의 매끄러운 곡선으로 이루어진 경우가 많다. 전체 순환을 구하려면 각 곡선을 따라 선적분을 계산해야 할 수 있다. 각 선적분마다 해당 곡선의 매개변수화가 필요하다. 하나의 이중적분(곧 면적분)을 계산하는 편이 일이 더 적을 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. Often the closed curve $C$ is composed of several smooth curves. To measure the total circulation, one may have to evaluate line integrals along each curve. Each line integral requires the parameterization of its curve. It may be less work to evaluate one single double (i.e., surface) integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 22번

# 발산 정리계산자동 분류

75.CLP-4 · 4.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

$V$ 를 정육면체

$\begin{aligned} V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1\ \big\} \end{aligned}$

라 하고, $R$ 를 정사각형

$\begin{aligned} R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\ \big\} \end{aligned}$

라 하자. 또 $f(x,y,z)$ 는 연속인 일계 편도함수를 가진다고 하자.

(a) 미적분의 기본정리를 이용하여

$\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

임을 보이세요. (b) 발산정리를 이용하여

$\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

임을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $V$ be the cube

$\begin{aligned} V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1\ \big\} \end{aligned}$

and $R$ be the square

$\begin{aligned} R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\ \big\} \end{aligned}$

and let $f(x,y,z)$ have continuous first partial derivatives.

(a) Use the fundamental theorem of calculus to show that

$\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$ (b) Use the divergence theorem to show that

$\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

정답·풀이 보기

(a) 좌변을 $z$ 를 가장 안쪽 적분변수로 하는 반복적분으로 나타내면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}y\left[\int_0^1\mathrm{d}z\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\right] \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}y\ \big[f(x,y,1)-f(x,y,0)\big] \\ &\text{미적분의 기본정리에 의해} \\ &=\iint _R\big[f(x,y,1)-f(x,y,0)\big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

(b) 벡터장 $\mathbf{F}(x,y,z) = f(x,y,z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 를 정의하자. 그러면 $\mathbf{F}$ 의 발산은 ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)$ 이다. 정육면체 $V$ 의 경계는 다음 여섯 면의 합집합이다.

$\begin{aligned} S_1&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=1\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}$} \\ S_2&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=0\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}$} \\ S_3&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1,\ y=1\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\boldsymbol{\jmath}}$} \\ S_4&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1,\ y=0\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$} \\ S_5&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1,\ x=1\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\boldsymbol{\imath}}$} \\ S_6&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1,\ x=0\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\imath}}$} \end{aligned}$

다음에 주목하자.

$\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = f\,\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{n}} = \begin{cases} +f &\text{$S_1$ 위에서} \\ -f &\text{$S_2$ 위에서} \\ 0 &\text{$S_3$, $S_4$, $S_5$, $S_6$ 위에서} \end{cases} \end{aligned}$

따라서 발산정리에 의해 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &= \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\sum_{j=1}^6 \iint _{S_j} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S\\ &=\iint _{S_1} f\ \mathrm{d}S -\iint _{S_2} f\ \mathrm{d}S \\ &=\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Expressing the left hand side as an iterated integral, with $z$ as the innermost integration variable, we have

$\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}y\left[\int_0^1\mathrm{d}z\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\right] \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}y\ \big[f(x,y,1)-f(x,y,0)\big] \\ &\text{by the fundamental theorem of calculus} \\ &=\iint _R\big[f(x,y,1)-f(x,y,0)\big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

(b) Define the vector field $\mathbf{F}(x,y,z) = f(x,y,z)\,\hat{\mathbf{k}}$ . Then the divergence of $\mathbf{F}$ is ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)$ . The boundary of the cube $V$ is the union of six faces

$\begin{aligned} S_1&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=1\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}$} \\ S_2&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=0\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}$} \\ S_3&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1,\ y=1\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\boldsymbol{\jmath}}$} \\ S_4&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1,\ y=0\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$} \\ S_5&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1,\ x=1\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\boldsymbol{\imath}}$} \\ S_6&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1,\ x=0\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\imath}}$} \end{aligned}$

Observe that

$\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = f\,\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{n}} = \begin{cases} +f &\text{on $S_1$} \\ -f &\text{on $S_2$} \\ 0 &\text{on $S_3$, $S_4$, $S_5$, $S_6$} \end{cases} \end{aligned}$

So the divergence theorem gives

$\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &= \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\sum_{j=1}^6 \iint _{S_j} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S\\ &=\iint _{S_1} f\ \mathrm{d}S -\iint _{S_2} f\ \mathrm{d}S \\ &=\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 36번

# 발산 정리증명·논술기본자동 분류

76.CLP-4 · 4.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

(a) $\mathbf{a}$ 가 임의의 상수 벡터일 때, $\mathbf{F}=\phi\,\mathbf{a}$ 에 발산 정리를 적용하여 다음을 보이세요.

$\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V=\iint _{\partial V}\phi\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ (b) 부피가 $|V|$ 인 입체 $V$ 의 무게중심 $(\bar x,\bar y,\bar z)$ 가 다음과 같이 주어짐을 보이세요.

$(\bar x,\bar y,\bar z)=\frac{1}{2|V|}\iint _{\partial V} (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$

영어 원문 보기

(a) By applying the divergence theorem to $\mathbf{F}=\phi\,\mathbf{a}$ , where $\mathbf{a}$ is an arbitrary constant vector, show that

$\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V=\iint _{\partial V}\phi\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ (b) Show that the centroid $(\bar x,\bar y,\bar z)$ of a solid $V$ with volume $|V|$ is given by

$(\bar x,\bar y,\bar z)=\frac{1}{2|V|}\iint _{\partial V} (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$

정답·풀이 보기

(a) $\phi\,\mathbf{a}$ 의 발산은 ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(\phi\,\mathbf{a}) ={ \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}+\phi{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{a}={ \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}$ 이다. $\mathbf{a}$ 가 상수이기 때문이다. 따라서 발산 정리에 의해

$\iint _{\partial V}\phi\,\mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(\phi\,\mathbf{a})\ \mathrm{d}V =\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}\ \mathrm{d}V \implies \left[\iint _{\partial V}\phi\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S -\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V\right]\cdot\mathbf{a}=0$

이는 모든 벡터 $\mathbf{a}$ 에 대해 성립한다. 특히 $\mathbf{a}=\hat{\boldsymbol{\imath}},\hat{\boldsymbol{\jmath}},\hat{\mathbf{k}}$ 로 놓으면 $\left[\iint _{\partial V}\phi\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S -\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V\right]$ 의 세 성분이 모두 0이다. 따라서

$\iint _{\partial V}\phi\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S-\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V=0$

(b) (a)에서 $\phi=x^2+y^2+z^2$ 이고 ${ \boldsymbol{\nabla} }\phi = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}}$ 이므로

$\frac{1}{2|V|}\iint _{\partial V} (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{1}{2|V|} \iiint _V (2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}V =(\bar x,\bar y,\bar z)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The divergence of $\phi\,\mathbf{a}$ is ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(\phi\,\mathbf{a}) ={ \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}+\phi{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{a}={ \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}$ , since $\mathbf{a}$ is constant. So, by the divergence theorem,

$\iint _{\partial V}\phi\,\mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(\phi\,\mathbf{a})\ \mathrm{d}V =\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}\ \mathrm{d}V \implies \left[\iint _{\partial V}\phi\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S -\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V\right]\cdot\mathbf{a}=0$

This is true for all vectors $\mathbf{a}$ . In particular, applying this with $\mathbf{a}=\hat{\boldsymbol{\imath}},\hat{\boldsymbol{\jmath}},\hat{\mathbf{k}}$ , we have that all three components of $\left[\iint _{\partial V}\phi\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S -\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V\right]$ are zero. So

$\iint _{\partial V}\phi\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S-\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V=0$

(b) By part (a), with $\phi=x^2+y^2+z^2$ and ${ \boldsymbol{\nabla} }\phi = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}}$ ,

$\frac{1}{2|V|}\iint _{\partial V} (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{1}{2|V|} \iiint _V (2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}V =(\bar x,\bar y,\bar z)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 15번

# 발산 정리증명·논술기본자동 분류

77.CLP-4 · 4.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

두 가지 방법으로 적분 $\iint _S\mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\mathbf{F}=z\,\hat{\mathbf{k}}$ 이고, $S$ 는 곡면 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 이며 $\hat{\mathbf{n}}$ 은 $S$ 의 바깥쪽을 향하는 단위법선벡터이다.

(a) 먼저, 면적분을 직접 계산하세요. (b) 다음으로, 발산 정리를 이용하세요.

영어 원문 보기

Evaluate, by two methods, the integral $\iint _S\mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ , where $\mathbf{F}=z\,\hat{\mathbf{k}}$ , $S$ is the surface $x^2+y^2+z^2=a^2$ and $\hat{\mathbf{n}}$ is the outward pointing unit normal to $S$ .

(a) First, by direct computation of the surface integral. (b) Second, by using the divergence theorem.

정답·풀이 보기

(a) 구면좌표를 사용하자. $S$ 는 원점을 중심으로 하는 반지름 $a$ 인 구면이므로 다음과 같이 매개화할 수 있다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta,\varphi) &=a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} &=-a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} &= \phantom{-}a\cos\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\cos\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a\sin\varphi\,\hat{\mathbf{k}} \\ \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\pm\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} \ \mathrm{d}\theta\, d\varphi\\ &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin\varphi\sin\theta & a\sin\varphi\cos\theta & 0 \\ a\cos\varphi\cos\theta & a\cos\varphi\sin\theta & -a\sin\varphi \end{matrix}\right] \mathrm{d}\theta\, d\varphi\\ &=\pm\Big(-a^2\sin^2\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -a^2\sin^2\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a^2\sin\varphi\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \\ &=\mp a^2\sin\varphi \big(\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \end{aligned}$

바깥쪽 법선이 되려면 $+$ 부호를 택해야 하므로

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= a^2\sin\varphi \big(\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \\ \mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= z(\theta,\varphi)\,\hat{\mathbf{k}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = a^3 \sin\varphi\cos^2\varphi\ \mathrm{d}\theta\,d\varphi \end{aligned}$

이고,

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= a^3\int_0^\pi d\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \sin\varphi\,\cos^2\varphi\\ &=2\pi a^3 \int_0^\pi d\varphi \ \sin\varphi\,\cos^2\varphi =2\pi a^3\left[-\frac{1}{3}\cos^3\varphi\right]_0^\pi \\ &=\frac{4}{3}\pi a^3 \end{aligned}$

이다.

(b) 입체 $x^2+y^2+z^2\le a^2$ 을 $V$ 라 하자.

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}(0) +\frac{\partial }{\partial y}(0) +\frac{\partial }{\partial z}(z) =1$

이므로 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V \ \mathrm{d}V =\text{부피}(V) =\frac{4}{3}\pi a^3 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let's use spherical coordinates. As $S$ is the sphere of radius $a$ centred on the origin, we can parametrize it by

$\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta,\varphi) &=a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} &=-a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} &= \phantom{-}a\cos\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\cos\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a\sin\varphi\,\hat{\mathbf{k}} \\ \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\pm\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} \ \mathrm{d}\theta\, d\varphi\\ &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin\varphi\sin\theta & a\sin\varphi\cos\theta & 0 \\ a\cos\varphi\cos\theta & a\cos\varphi\sin\theta & -a\sin\varphi \end{matrix}\right] \mathrm{d}\theta\, d\varphi\\ &=\pm\Big(-a^2\sin^2\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -a^2\sin^2\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a^2\sin\varphi\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \\ &=\mp a^2\sin\varphi \big(\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \end{aligned}$

For the outward normal, we want the $+$ sign, so

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= a^2\sin\varphi \big(\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\Big)\ \mathrm{d}\theta\, d\varphi \\ \mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= z(\theta,\varphi)\,\hat{\mathbf{k}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = a^3 \sin\varphi\cos^2\varphi\ \mathrm{d}\theta\,d\varphi \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= a^3\int_0^\pi d\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \sin\varphi\,\cos^2\varphi\\ &=2\pi a^3 \int_0^\pi d\varphi \ \sin\varphi\,\cos^2\varphi =2\pi a^3\left[-\frac{1}{3}\cos^3\varphi\right]_0^\pi \\ &=\frac{4}{3}\pi a^3 \end{aligned}$

(b) Call the solid $x^2+y^2+z^2\le a^2$ , $V$ . As

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}(0) +\frac{\partial }{\partial y}(0) +\frac{\partial }{\partial z}(z) =1$

the divergence theorem gives

$\begin{aligned} \iint _{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V \ \mathrm{d}V =\text{Volume}(V) =\frac{4}{3}\pi a^3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 32번

# 발산 정리활용보통자동 분류

78.CLP-4 · 4.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

(a) 벡터장 $\mathbf{F} = (z + \sin y, zy, \sin x \cos y)$ 의 발산을 구하세요. (b) (a)의 벡터장 $\mathbf{F}$ 가 $\mathbb{R}^3$ 에서 원점을 중심으로 하는 반지름이 $3$ 인 구면을 바깥쪽으로 통과하는 플럭스를 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find the divergence of the vector field $\mathbf{F} = (z + \sin y, zy, \sin x \cos y)$ . (b) Find the flux of the vector field $\mathbf{F}$ of (a) outward through the sphere of radius $3$ centred at the origin in $\mathbb{R}^3$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 발산은 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &= \frac{\partial }{\partial x}\big(z+\sin y\big) +\frac{\partial }{\partial y}\left(zy\right) +\frac{\partial }{\partial z}\big(\sin x\cos y\big) \\ &= z \end{aligned}$

(b) 다음과 같이 놓는다.

$\begin{aligned} V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2\le 9\ \big\} \end{aligned}$

발산 정리에 의해 (구하는 것이 바깥쪽 플럭스임에 유의한다),

$\begin{aligned} \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot \mathbf{F}\ \mathrm{d}V = \iiint _V z\ \mathrm{d}V = 0 \end{aligned}$

이다. $z$ 가 홀함수이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The divergence is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &= \frac{\partial }{\partial x}\big(z+\sin y\big) +\frac{\partial }{\partial y}\left(zy\right) +\frac{\partial }{\partial z}\big(\sin x\cos y\big) \\ &= z \end{aligned}$

(b) Let

$\begin{aligned} V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2\le 9\ \big\} \end{aligned}$

By the divergence theorem (note that we are to find the outward flux),

$\begin{aligned} \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot \mathbf{F}\ \mathrm{d}V = \iiint _V z\ \mathrm{d}V = 0 \end{aligned}$

since $z$ is odd.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 4번

# 발산 정리계산보통자동 분류

79.CLP-4 · 4.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

$B$ 를 점 $(x_0, y_0, z_0)$ 을 중심으로 하는 부피 $V$ 의 공이라 하고, $S$ 를 $B$ 의 경계인 구면이라 하자. $\mathbf{F} = x^2\hat{\boldsymbol{\imath}} + xy\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3 z - yz)\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S$ 를 ( $B$ 로부터) 바깥쪽으로 통과하는 플럭스를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $B$ be the ball of volume $V$ centered at the point $(x_0, y_0, z_0)$ , and let $S$ be the sphere that is the boundary of $B$ . Find the flux of $\mathbf{F} = x^2\hat{\boldsymbol{\imath}} + xy\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3 z - yz)\hat{\mathbf{k}}$ outward (from $B$ ) through $S$ .

정답·풀이 보기

발산 정리를 적용한다. $\mathbf{F}$ 의 발산은 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}(x^2) +\frac{\partial }{\partial y}(xy) +\frac{\partial }{\partial z}(3 z - yz) =3+3x-y$

따라서

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _B{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _B(3+3x-y)\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

이다.

$x$ 와 $y$ 의 적분을 계산하기 위해, $\mathbb{R}^3$ 의 임의의 입체 $\mathcal{V}$ 에 대해 다음이 성립함을 이용한다.

$\begin{aligned} \iiint _\mathcal{V}\mathrm{d}V=\text{부피}(\mathcal{V})\qquad \bar x =\frac{\iiint _\mathcal{V} x\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})}\qquad \bar y =\frac{\iiint _\mathcal{V} y\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})}\qquad \bar z =\frac{\iiint _\mathcal{V} z\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})} \end{aligned}$

여기서 $(\bar x,\bar y,\bar z)$ 는 $\mathcal{V}$ 의 무게중심이다. 주어진 공의 부피는 $V$ 이고 무게중심은 $(\bar x,\bar y,\bar z) = (x_0,y_0,z_0)$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = V[3+3\bar x-\bar y] =[3+3x_0-y_0]\,V \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Apply the divergence theorem. The divergence of $\mathbf{F}$ is

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}(x^2) +\frac{\partial }{\partial y}(xy) +\frac{\partial }{\partial z}(3 z - yz) =3+3x-y$

So

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _B{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _B(3+3x-y)\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

To evaluate the integrals of $x$ and $y$ we use that, for any solid $\mathcal{V}$ in $\mathbb{R}^3$ ,

$\begin{aligned} \iiint _\mathcal{V}\mathrm{d}V=\text{Volume}(\mathcal{V})\qquad \bar x =\frac{\iiint _\mathcal{V} x\,\mathrm{d}V}{\text{Volume}(\mathcal{V})}\qquad \bar y =\frac{\iiint _\mathcal{V} y\,\mathrm{d}V}{\text{Volume}(\mathcal{V})}\qquad \bar z =\frac{\iiint _\mathcal{V} z\,\mathrm{d}V}{\text{Volume}(\mathcal{V})} \end{aligned}$

where $(\bar x,\bar y,\bar z)$ is the centroid of $\mathcal{V}$ . Our ball has volume $V$ and centroid $(\bar x,\bar y,\bar z) = (x_0,y_0,z_0)$ . So

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = V[3+3\bar x-\bar y] =[3+3x_0-y_0]\,V \end{aligned}$

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# 발산 정리계산보통자동 분류

80.CLP-4 · 4.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{F}(x, y, z) = \big( 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\, 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\,1\big)$

라 하자.

$S$ 를 곡면

$x^2 + y^2 = 1 - z^4$

중 $xy$ 평면 위쪽에 있는 부분이라 하자. $\mathbf{F}$ 가 $S$ 를 통과하여 아래쪽으로 나가는 플럭스를 구하세요.

영어 원문 보기

Let

$\mathbf{F}(x, y, z) = \big( 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\, 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\,1\big)$

Let $S$ be the portion of the surface

$x^2 + y^2 = 1 - z^4$

which is above the $xy$ -plane. What is the flux of $\mathbf{F}$ downward through $S$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1-z^4,\ 0\le z\le 1\ \big\}$

라 하자.

그러면 발산 정리에서 쓰는 방향을 준 $V$ 의 경계 $\partial V$ 는 두 부분으로 이루어진다.

법선이 위쪽을 향하는 곡면 $S$ , 그리고
법선이 $-\hat{\mathbf{k}}$ 인 원판 $D=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ z=0\ \big\}$

따라서 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iint _{\partial V}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =- \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S +\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

이다. ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}=0$ 이고 $\mathbf{F}(x,y,0) = \big( 1 \,,\, 1 \,,\,1\big)$ 이므로

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =-\iint _D\mathrm{d}S =-\pi \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1-z^4,\ 0\le z\le 1\ \big\}$

Then the boundary, $\partial V$ , of $V$ , with the orientation that is used in the divergence theorem, consists of two parts

the surface $S$ , but with the upward pointing normal, and
the disk $D=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ z=0\ \big\}$ , with normal $-\hat{\mathbf{k}}$ .

So the divergence theorem gives

$\begin{aligned} \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iint _{\partial V}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =- \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S +\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

As ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}=0$ and $\mathbf{F}(x,y,0) = \big( 1 \,,\, 1 \,,\,1\big)$

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =-\iint _D\mathrm{d}S =-\pi \end{aligned}$

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# 발산 정리계산보통자동 분류