벡터와 공간 전체 연습문제

61.CLP-3 · 1.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

벡터를 이용하여 삼각형의 두 변의 중점을 잇는 선분이 나머지 한 변과 평행하고 그 길이가 나머지 한 변의 길이의 절반임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Use vectors to prove that the line joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half its length.

정답·풀이 보기

삼각형의 꼭짓점을 $A$ , $B$ , $C$ 라 하고, $C$ 는 두 변이 만나는 꼭짓점이라 하자. 좌표계는 언제든지 $C$ 가 원점에 오도록 잡을 수 있다. $C$ 에서 $A$ 로 향하는 벡터를 $\mathbf{a}$ , $C$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터를 $\mathbf{b}$ 라 하자.

그러면 $C$ 에서 $C$ 와 $A$ 를 잇는 변의 중점으로 향하는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ 이고,
$C$ 에서 $C$ 와 $B$ 를 잇는 변의 중점으로 향하는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ 이므로,
두 중점을 잇는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ 이다.

$A$ 에서 $B$ 로 향하는 벡터는 $\mathbf{b}-\mathbf{a}=2\big[\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\big]$ 이므로, 두 중점을 잇는 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 절반이다.

원본 교재 풀이(영어)

Call the vertices of the triangle $A$ , $B$ and $C$ with $C$ being the vertex that joins the two sides. We can always choose our coordinate system so that $C$ is at the origin. Let $\mathbf{a}$ be the vector from $C$ to $A$ and $\mathbf{b}$ be the vector from $C$ to $B$ .

Then the vector from $C$ to the midpoint of the side from $C$ to $A$ is $\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ and
the vector from $C$ to the midpoint of the side from $C$ to $B$ is $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ so that
the vector joining the two midpoints is $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}$ .

As the vector from $A$ to $B$ is $\mathbf{b}-\mathbf{a}=2\big[\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}\big]$ , the line joining the midpoints is indeed parallel to the third side and half its length.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 7번

# 벡터의 연산증명·논술보통자동 분류

62.CLP-3 · 1.2절 · 30번대학 수준우리말 번역

단위 질량의 입자 $P$ 의 시각 $t$ 에서의 공간상 위치가 $\mathbf{r}(t)$ 일 때, 이 입자의 각운동량은 $L(t)=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)$ 이다. 어떤 스칼라 함수 $\rho$ 에 대해 $\mathbf{r}''(t)=\rho(t)\mathbf{r}(t)$ 이면, $L$ 이 상수, 즉 시간에 따라 변하지 않음을 보이세요. 여기서 $'$ 은 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 를 뜻한다.

영어 원문 보기

A particle $P$ of unit mass whose position in space at time $t$ is $\mathbf{r}(t)$ has angular momentum $L(t)=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)$ . If $\mathbf{r}''(t)=\rho(t)\mathbf{r}(t)$ for a scalar function $\rho$ , show that $L$ is constant, i.e. does not change with time. Here $'$ denotes $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ .

정답·풀이 보기

$L$ 의 도함수는

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)\big) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}''(t) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\big(\rho(t)\mathbf{r}(t)\big) \end{aligned}$

이다. 평행한 두 벡터의 외적은 영벡터이므로 두 항이 모두 0이 된다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=0$ 이고, $L(t)$ 는 $t$ 에 관계없이 일정하다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of $L$ is

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)\big) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}''(t) =\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}'(t)+\mathbf{r}(t)\times\big(\rho(t)\mathbf{r}(t)\big) \end{aligned}$

Both terms vanish because the cross product of any two parallel vectors is zero. So $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=0$ and $L(t)$ is independent of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 26번

# 벡터의 연산증명·논술보통자동 분류

63.CLP-3 · 1.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the diagonals of a parallelogram bisect each other.

정답·풀이 보기

벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 로 결정되는 평행사변형의 꼭짓점은 $\mathbf{0},\ \mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 이다. $t$ 가 $0$ 에서 $1$ 까지 변할 때, $t(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 는 $\mathbf{0}$ 에서 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 까지의 대각선을 지난다. $s$ 가 $0$ 에서 $1$ 까지 변할 때, $\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ 는 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 까지의 대각선을 지난다. 이 두 직선은 $s$ 와 $t$ 가 다음을 만족할 때 만난다.

$t(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

즉

$(t+s-1)\mathbf{a}=(s-t)\mathbf{b}$

$\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 평행하지 않다고 가정하면(즉 평행사변형이 선분으로 퇴화하지 않았다면), 이는 $t+s-1=0$ 이고 $s-t=0$ 일 때에만 성립한다. 즉 $s=t=\tfrac{1}{2}$ 이다. 따라서 두 직선은 각각의 중점에서 만난다.

원본 교재 풀이(영어)

The parallelogram determined by the vectors $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ has vertices $\mathbf{0},\ \mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ . As $t$ varies from $0$ to $1$ , $t(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ traverses the diagonal from $\mathbf{0}$ to $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ . As $s$ varies from $0$ to $1$ , $\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ traverses the diagonal from $\mathbf{a}$ to $\mathbf{b}$ . These two straight lines meet when $s$ and $t$ are such that

$t(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}+s(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

or

$(t+s-1)\mathbf{a}=(s-t)\mathbf{b}$

Assuming that $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are not parallel (i.e. the parallelogram has not degenerated to a line segment), this is the case only when $t+s-1=0$ and $s-t=0$ . That is, $s=t=\tfrac{1}{2}$ . So the two lines meet at their midpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 25번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

64.CLP-3 · 1.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

한 모서리의 길이가 $s$ 인 정육면체를 생각하세요. 정육면체 아래쪽의 네 꼭짓점을 차례로 $A, B, C, D$ 라 하고, 위쪽의 대응하는 네 꼭짓점을 $A', B', C', D'$ 이라 하세요.

(a) 사면체 $A'C'BD$ 의 모든 모서리의 길이가 같음을 보이세요. (b) $E$ 를 정육면체의 중심이라 할 때, $EA$ 와 $EC$ 가 이루는 각을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider a cube such that each side has length $s$ . Name, in order, the four vertices on the bottom of the cube $A, B, C, D$ and the corresponding four vertices on the top of the cube $A', B', C', D'$ .

(a) Show that all edges of the tetrahedron $A'C'BD$ have the same length. (b) Let $E$ be the center of the cube. Find the angle between $EA$ and $EC$ .

정답·풀이 보기

좌표축을 $A=(0,0,0)$ , $B=(s,0,0)$ , $C=(s,s,0)$ , $D=(0,s,0)$ 이고 $A'=(0,0,s)$ , $B'=(s,0,s)$ , $C'=(s,s,s)$ , $D'=(0,s,s)$ 가 되도록 잡을 수 있다.

(a) 그러면

$\begin{aligned} |A'C'|&=\big|\left< s,s,s\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,-s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< -s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |BD|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,0,0\right> \big| &&=\big|\left< -s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s \end{aligned}$

(b) $E=\tfrac{1}{2}(s,s,s)$ 이므로 $EA=\left< 0,0,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =-\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right>$ 이고 $EC=\left< s,s,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =\tfrac{1}{2}\left< s,s,-s\right>$ 이다. $\cos\theta =\frac{-\left< s,s,s\right> \cdot\left< s,s,-s\right>} {|\left< s,s,s\right> |\,|\left< s,s,-s\right> |} =\frac{-s^2}{3s^2} =-\frac{1}{3} \qquad \implies\quad \theta=109.5^\circ$

원본 교재 풀이(영어)

We may choose our coordinate axes so that $A=(0,0,0)$ , $B=(s,0,0)$ , $C=(s,s,0)$ , $D=(0,s,0)$ and $A'=(0,0,s)$ , $B'=(s,0,s)$ , $C'=(s,s,s)$ , $D'=(0,s,s)$ .

(a) Then

$\begin{aligned} |A'C'|&=\big|\left< s,s,s\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |A'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< 0,0,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'B|&=\big|\left< s,0,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< 0,-s,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |C'D|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,s,s\right> \big| &&=\big|\left< -s,0,-s\right> \big|&=\sqrt{2}\,s\\ |BD|&=\big|\left< 0,s,0\right> -\left< s,0,0\right> \big| &&=\big|\left< -s,s,0\right> \big|&=\sqrt{2}\,s \end{aligned}$

(b) $E=\tfrac{1}{2}(s,s,s)$ so that $EA=\left< 0,0,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =-\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right>$ and $EC=\left< s,s,0\right> -\tfrac{1}{2}\left< s,s,s\right> =\tfrac{1}{2}\left< s,s,-s\right>$ . $\cos\theta =\frac{-\left< s,s,s\right> \cdot\left< s,s,-s\right>} {|\left< s,s,s\right> |\,|\left< s,s,-s\right> |} =\frac{-s^2}{3s^2} =-\frac{1}{3} \qquad \implies\quad \theta=109.5^\circ$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 24번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

65.CLP-3 · 1.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$ .

정답·풀이 보기

정의에 의해,

$\begin{aligned} \mathbf{b}\times\mathbf{c} \ =\ &(b_2c_3-b_3c_2)\hat{\boldsymbol{\imath}}-(b_1c_3-b_3c_1)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(b_1c_2-b_2c_1)\hat{\mathbf{k}} \\ \\ \text{따라서 좌변과 우변은 다음과 같다} \\ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) \ =\ &\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_2c_3-b_3c_2&-b_1c_3+b_3c_1&b_1c_2-b_2c_1\end{matrix}\right]\\ \ =\ &\hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(-b_1c_3+b_3c_1)]\\ {-}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_2c_3-b_3c_2)]\\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1(-b_1c_3+b_3c_1)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)]&{\rm (lhs)}\\ (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c} \ =\ &(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+b_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b_3\hat{\mathbf{k}}) -(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+c_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c_3\hat{\mathbf{k}})\\ {=}\ & \hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_1b_1c_1+a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_1b_1c_1-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1] \\ {+}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1b_2c_1+a_2b_2c_2+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_2b_2c_2-a_3b_3c_2] \\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2+a_3b_3c_3-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3-a_3b_3c_3]\\ {=}\ & \hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1] \\ {+}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1b_2c_1+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_3b_3c_2] \\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3] &{\rm (rhs)} \end{aligned}$

(lhs)와 (rhs)는 같다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition,

$\begin{aligned} \mathbf{b}\times\mathbf{c} \ =\ &(b_2c_3-b_3c_2)\hat{\boldsymbol{\imath}}-(b_1c_3-b_3c_1)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(b_1c_2-b_2c_1)\hat{\mathbf{k}} \\ \\ \text{so that the left and right hand sides are} \\ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) \ =\ &\det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_2c_3-b_3c_2&-b_1c_3+b_3c_1&b_1c_2-b_2c_1\end{matrix}\right]\\ \ =\ &\hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(-b_1c_3+b_3c_1)]\\ {-}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_2c_3-b_3c_2)]\\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1(-b_1c_3+b_3c_1)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)]&{\rm (lhs)}\\ (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c} \ =\ &(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+b_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b_3\hat{\mathbf{k}}) -(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+c_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c_3\hat{\mathbf{k}})\\ {=}\ & \hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_1b_1c_1+a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_1b_1c_1-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1] \\ {+}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1b_2c_1+a_2b_2c_2+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_2b_2c_2-a_3b_3c_2] \\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2+a_3b_3c_3-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3-a_3b_3c_3]\\ {=}\ & \hat{\boldsymbol{\imath}}\,[a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1] \\ {+}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,[a_1b_2c_1+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_3b_3c_2] \\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\,[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3] &{\rm (rhs)} \end{aligned}$

(lhs) and (rhs) are the same.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2장 복습 · 13번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

66.CLP-3 · 1.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

각기둥의 여섯 꼭짓점이 다음과 같다.

$\begin{aligned} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1) \\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1) \\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{aligned}$

(a) 면 중 세 개가 평행사변형임을 확인하세요. 이 면들은 직사각형인가요? (b) $AA'$ 의 길이를 구하세요. (c) 삼각형 $ABC$ 의 넓이를 구하세요. (d) 이 각기둥의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

A prism has the six vertices

$\begin{aligned} A&=(1,0,0)\qquad & A'&=(5,0,1) \\ B&=(0,3,0) & B'&=(4,3,1) \\ C&=(0,0,4) & C'&=(4,0,5) \end{aligned}$

(a) Verify that three of the faces are parallelograms. Are they rectangular? (b) Find the length of $AA'$ . (c) Find the area of the triangle $ABC$ . (d) Find the volume of the prism.

정답·풀이 보기

(a) $AA'=\left< 4,0,1\right>$ 와 $BB'=\left< 4,0,1\right>$ 는 사각형 $AA'B'B$ 의 마주 보는 변이다. 두 변은 길이와 방향이 같다. $AB=\left< -1,3,0\right>$ 와 $A'B'=\left< -1,3,0\right>$ 도 마찬가지이다. 따라서 $AA'B'B$ 는 평행사변형이다. $AA'\cdot AB=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,3,0\right> =-4\ne 0$ 이므로 $AA'B'B$ 의 이웃한 두 변은 수직이 아니고, 따라서 $AA'B'B$ 는 직사각형이 아니다.

마찬가지로 사각형 $ACC'A'$ 의 마주 보는 변은 $AA'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ 이고 $AC=\left< -1,0,4\right> =A'C'=\left< -1,0,4\right>$ 이므로 평행사변형이다. $AA'\cdot AC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,0,4\right> = 0$ 이므로 $ACC'A'$ 의 이웃한 두 변은 수직이고, 따라서 $ACC'A'$ 는 직사각형이다.

마지막으로 사각형 $BCC'B'$ 의 마주 보는 변은 $BB'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ 이고 $BC=\left< 0,-3,4\right> =B'C'=\left< 0,-3,4\right>$ 이므로 평행사변형이다. $BB'\cdot BC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< 0,-3,4\right> = 4\ne 0$ 이므로 $BCC'B'$ 의 이웃한 두 변은 수직이 아니고, 따라서 $BCC'B'$ 는 직사각형이 아니다.

(b) $AA'$ 의 길이는 $|\left< 4,0,1\right> |=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$ 이다.

(c) 삼각형의 넓이는 밑변의 길이와 높이의 곱의 2분의 1이다. 즉, $|AB|$ 와 $|AC|\sin\theta$ 의 곱의 2분의 1이며, 여기서 $\theta$ 는 $AB$ 와 $AC$ 가 이루는 각이다. 이것은 바로 $\tfrac{1}{2} |AB\times AC|=\tfrac{1}{2}|\left< -1,3,0\right> \times\left< -1,0,4\right> | =\tfrac{1}{2} |\left< 12,4,3\right>|=\frac{13}{2}$ 이다.

(d) 각기둥의 부피는 밑면 $ABC$ 의 넓이에 높이를 곱한 것이다. 높이는 $AA'$ 의 길이에 $AA'$ 와 $ABC$ 의 법선이 이루는 각의 코사인 값을 곱한 것이다. 이것은 $\tfrac{1}{2} \left< 12,4,3\right> \cdot\left< 4,0,1\right> =\tfrac{1}{2}(48+3)=\frac{51}{2}$ 과 같으며, 이는 $\left< 12,4,3\right>$ 의 길이( $ABC$ 의 넓이)와 $\left< 4,0,1\right>$ 의 길이( $AA'$ 의 길이)와 $\left< 12,4,3\right>$ 와 $\left< 4,0,1\right>$ 가 이루는 각( $ABC$ 의 법선과 $AA'$ 가 이루는 각)의 코사인 값을 모두 곱한 것의 2분의 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $AA'=\left< 4,0,1\right>$ and $BB'=\left< 4,0,1\right>$ are opposite sides of the quadrilateral $AA'B'B$ . They have the same length and direction. The same is true for $AB=\left< -1,3,0\right>$ and $A'B'=\left< -1,3,0\right>$ . So $AA'B'B$ is a parallelogram. Because, $AA'\cdot AB=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,3,0\right> =-4\ne 0$ , the neighbouring edges of $AA'B'B$ are not perpendicular and so $AA'B'B$ is not a rectangle.

Similarly, the quadilateral $ACC'A'$ has opposing sides $AA'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ and $AC=\left< -1,0,4\right> =A'C'=\left< -1,0,4\right>$ and so is a parallelogram. Because $AA'\cdot AC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< -1,0,4\right> = 0$ , the neighbouring edges of $ACC'A'$ are perpendicular, so $ACC'A'$ is a rectangle.

Finally, the quadilateral $BCC'B'$ has opposing sides $BB'=\left< 4,0,1\right> =CC'=\left< 4,0,1\right>$ and $BC=\left< 0,-3,4\right> =B'C'=\left< 0,-3,4\right>$ and so is a parallelogram. Because $BB'\cdot BC=\left< 4,0,1\right> \cdot\left< 0,-3,4\right> = 4\ne 0$ , the neighbouring edges of $BCC'B'$ are not perpendicular, so $BCC'B'$ is not a rectangle.

(b) The length of $AA'$ is $|\left< 4,0,1\right> |=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$ .

(c) The area of a triangle is one half its base times its height. That is, one half times $|AB|$ times $|AC|\sin\theta$ , where $\theta$ is the angle between $AB$ and $AC$ . This is precisely $\tfrac{1}{2} |AB\times AC|=\tfrac{1}{2}|\left< -1,3,0\right> \times\left< -1,0,4\right> | =\tfrac{1}{2} |\left< 12,4,3\right>|=\frac{13}{2}$ .

(d) The volume of the prism is the area of its base $ABC$ , times its height, which is the length of $AA'$ times the cosine of the angle between $AA'$ and the normal to $ABC$ . This coincides with $\tfrac{1}{2} \left< 12,4,3\right> \cdot\left< 4,0,1\right> =\tfrac{1}{2}(48+3)=\frac{51}{2}$ , which is one half times the length of $\left< 12,4,3\right>$ (the area of $ABC$ ) times the length of $\left< 4,0,1\right>$ (the length of $AA'$ ) times the cosine of the angle between $\left< 12,4,3\right>$ and $\left< 4,0,1\right>$ (the angle between the normal to $ABC$ and $AA'$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.2절 · 9번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

67.CLP-3 · 1.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

(3차원 피타고라스 정리) 공간에서 꼭짓점이 정확히 네 개인 입체를 사면체라고 한다. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 를 사면체의 네 면의 넓이라고 하자. 넓이가 $D$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점에서 만나는 세 모서리가 서로 수직이라고 하자. $D^2=A^2+B^2+C^2$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

(Three dimensional Pythagorean Theorem) A solid body in space with exactly four vertices is called a tetrahedron. Let $A$ , $B$ , $C$ and $D$ be the areas of the four faces of a tetrahedron. Suppose that the three edges meeting at the vertex opposite the face of area $D$ are perpendicular to each other. Show that $D^2=A^2+B^2+C^2$ .

정답·풀이 보기

넓이가 $D$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점이 원점에 오도록 좌표축을 잡는다. 넓이가 각각 $A$ , $B$ , $C$ 인 면의 반대쪽 꼭짓점을 각각 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 로 나타내자. 그러면 넓이가 $A$ 인 면은 모서리 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 를 가지므로 $A=\tfrac{1}{2} |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ 이다. 마찬가지로 $B=\tfrac{1}{2}|\mathbf{c}\times\mathbf{a}|$ 이고 $C=\tfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ 이다. 넓이가 $D$ 인 면은 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 가 이루는 삼각형이므로

$\begin{aligned} D&=\tfrac{1}{2}|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a})|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}-\mathbf{a}\times\mathbf{c}-\mathbf{b}\times\mathbf{a}|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}| \end{aligned}$

이다.

가정에 의해 벡터 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 는 모두 서로 수직이다. 따라서 벡터 $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ (이는 $\mathbf{a}$ 의 스칼라배이다), $\mathbf{c}\times\mathbf{a}$ (이는 $\mathbf{b}$ 의 스칼라배이다), $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ (이는 $\mathbf{c}$ 의 스칼라배이다)도 서로 수직이다. 그러므로 다음을 전개하면

$D^2=\frac{1}{4}\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]\cdot\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]$

교차항은 모두 0이 되어 다음이 남는다.

$D^2=\frac{1}{4}\big[(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) +(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) +(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\big]=A^2+B^2+C^2$

원본 교재 풀이(영어)

Choose our coordinate axes so that the vertex opposite the face of area $D$ is at the origin. Denote by $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ the vertices opposite the sides of area $A$ , $B$ and $C$ respectively. Then the face of area $A$ has edges $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ so that $A=\tfrac{1}{2} |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|$ . Similarly $B=\tfrac{1}{2}|\mathbf{c}\times\mathbf{a}|$ and $C=\tfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ . The face of area $D$ is the triangle spanned by $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ and $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ so that

$\begin{aligned} D&=\tfrac{1}{2}|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a})|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}-\mathbf{a}\times\mathbf{c}-\mathbf{b}\times\mathbf{a}|\\ &=\tfrac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}| \end{aligned}$

By hypothesis, the vectors $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ are all perpendicular to each other. Consequently the vectors $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ (which is a scalar times $\mathbf{a}$ ), $\mathbf{c}\times\mathbf{a}$ (which is a scalar times $\mathbf{b}$ ) and $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ (which is a scalar times $\mathbf{c}$ ) are also mutually perpendicular. So, when we multiply out

$D^2=\frac{1}{4}\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]\cdot\big[\mathbf{b}\times \mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}+\mathbf{a}\times\mathbf{b}\big]$

all the cross terms vanish, leaving

$D^2=\frac{1}{4}\big[(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) +(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) +(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\big]=A^2+B^2+C^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.1절 · 49번

# 벡터의 연산증명·논술도전자동 분류

68.CLP-3 · 1.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

두 점은 하나의 직선을 결정합니다. 두 직선 위에 모두 놓이는 서로 다른 두 점을 구하여, 방정식

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ 과 $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이 같은 직선을 나타냄을 확인하세요.

영어 원문 보기

Two points determine a line. Verify that the equations

$\left< x-1,y-9\right>=t\left< 8,4\right>$ and $\left< x-9,y-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

describe the same line by finding two different points that lie on both lines.

정답·풀이 보기

여러 답 중 하나는 다음과 같다.

첫 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(1,9)$ 가 첫 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(1,9)$ 가 두 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 두 번째 방정식에 $x=1$ , $y=9$ 를 대입하면

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

이다. 이 방정식은 $t=-8$ 일 때 성립한다. 따라서 $(1,9)$ 는 두 직선 위에 모두 있다.

두 번째 방정식에 $t=0$ 을 대입하면 $(9,13)$ 이 두 번째 직선 위에 있음을 알 수 있다. $(9,13)$ 이 첫 번째 직선 위에도 있음을 확인하기 위해 첫 번째 방정식에 $x=9$ , $y=13$ 을 대입하면

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{또는}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

이다. 이 방정식은 $t=1$ 일 때 성립한다. 따라서 $(9,13)$ 은 두 직선 위에 모두 있다.

두 직선 모두 $(1,9)$ 와 $(9,13)$ 을 지나므로 두 직선은 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

Here is one answer of many.

Setting $t=0$ in the first equation shows that $(1,9)$ is on the first line. To see that $(1,9)$ is also on the second line, we substitute $x=1$ , $y=9$ into the second equation to give

$\left< 1-9,9-13\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>\qquad \text{or}\qquad \left< -8,-4\right>=t\left< 1,\tfrac12\right>$

This equation is satisfied when $t=-8$ . So $(1,9)$ is on both lines.

Setting $t=0$ in the second equation shows that $(9,13)$ is on the second line. To see that $(9,13)$ is also on the first line, we substitute $x=9$ , $y=13$ into the first equation to give

$\left< 9-1,13-9\right>=t\left< 8,4\right>\qquad \text{or}\qquad \left< 8,4\right>=t\left< 8,4\right>$

This equation is satisfied when $t=1$ . So $(9,13)$ is on both lines.

Since both lines pass through $(1,9)$ and $(9,13)$ , the lines are identical.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 19번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술기본자동 분류

69.CLP-3 · 1.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

$P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 를 사면체의 꼭짓점이라 하자. 원점에서 $P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 까지의 벡터를 각각 $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 라 하자. 각 꼭짓점에서 그 마주 보는 면의 무게중심까지 직선을 그린다. 여기서 꼭짓점이 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 인 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 이다. 이 네 직선이 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ) 에서 만남을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $P,\ Q,\ R$ and $S$ be the vertices of a tetrahedron. Denote by $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ the vectors from the origin to $P,\ Q,\ R$ and $S$ respectively. A line is drawn from each vertex to the centroid of the opposite face, where the centroid of a triangle with vertices $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ is $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ . Show that these four lines meet at $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ).

정답·풀이 보기

$\mathbf{p}$ 의 맞은편 면은 꼭짓점이 $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 인 삼각형이다. 이 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선의 방향 벡터는 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선 위의 점은 어떤 실수 $t$ 에 대해 다음 꼴이다.

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 직선 위에 있다. 나머지 세 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\mathbf{q}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{q}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{r}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{s})-\mathbf{r}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{s}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})-\mathbf{s}\right] \end{aligned}$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 세 식의 우변도 각각 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 가 되므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 세 직선 위에도 각각 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The face opposite $\mathbf{p}$ is the triangle with vertices $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ . The centroid of this triangle is $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ . The direction vector of the line through $\mathbf{p}$ and the centroid $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ . The points on the line through $\mathbf{p}$ and the centroid $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ are those of the form

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

for some real number $t$ . Observe that when $t=\frac{3}{4}$ $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ so that $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is on the line. The other three lines have vector parametric equations

$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\mathbf{q}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{q}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{r}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{s})-\mathbf{r}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{s}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})-\mathbf{s}\right] \end{aligned}$

When $t=\frac{3}{4}$ , each of the three right hand sides also reduces to $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ so that $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is also on each of these three lines.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 13번

# 직선과 평면의 방정식증명·논술도전자동 분류

70.CLP-3 · 1.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

시각 $t$ (단위: 초 s)에서 입자의 위치가 다음과 같이 주어져 있다.

$\mathbf{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) 입자의 경로가 원뿔 $z^2=x^2+y^2$ 위에 있음을 보이세요. (b) 시각 $t$ 에서의 속도 벡터와 속력을 구하세요. (c) 시각 $t=1$ s 에서 입자가 경로를 벗어나, 경로에 접하는 방향의 직선 $L$ 을 따라 날아간다고 하자. 직선 $L$ 의 방정식을 구하세요. (d) 입자가 직선 $L$ 을 따라 움직이기 시작한 후, 평면 $x=-1$ 에 부딪히기까지 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

The position of a particle at time $t$ (measured in seconds s) is given by

$\mathbf{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}$

(a) Show that the path of the particle lies on the cone $z^2=x^2+y^2$ . (b) Find the velocity vector and the speed at time $t$ . (c) Suppose that at time $t=1$ s the particle flies off the path on a line $L$ in the direction tangent to the path. Find the equation of the line $L$ . (d) How long does it take for the particle to hit the plane $x=-1$ after it started moving along the straight line $L$ ?

정답·풀이 보기

(a) $x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{그리고}\qquad z(t)^2=t^2$

은 서로 같으므로, 입자의 경로는 원뿔 $z^2=x^2+y^2$ 위에 있다.

(b) 정의에 의해,

$\begin{aligned} \text{속도}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{속력}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}$

(c) $t=1$ 일 때 입자는 $\mathbf{r}(1)=(0,1,1)$ 에 있고 속도는 $\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$ 이다. 따라서 $t\ge 1$ 일 때 입자의 위치는

$\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$

이다. 이것은 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이기도 하다.

(d) 입자가 $L$ 을 따라 날아가는 동안 속력이 일정하게 유지된다고 가정하자. 그러면 시각 $t$ ( $t\ge 1$ )에서 입자의 $x$ 좌표는 $-\frac{\pi}{2}(t-1)$ 이다. 이 값은 $t-1=\frac{2}{\pi}$ 일 때 $-1$ 이 된다. 따라서 입자는 원뿔을 벗어난 지 $\frac{2}{\pi}$ 초 후에 $x=-1$ 에 부딪힌다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

$x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{and}\qquad z(t)^2=t^2$

are the same, the path of the particle lies on the cone $z^2=x^2+y^2$ .

(b) By definition,

$\begin{aligned} \text{velocity}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{speed}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}$

(c) At $t=1$ , the particle is at $\mathbf{r}(1)=(0,1,1)$ and has velocity $\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$ . So for $t\ge 1$ , the particle is at

$\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$

This is also a vector parametric equation for the line.

(d) Assume that the particle's speed remains constant as it flies along $L$ . Then the $x$ -coordinate of the particle at time $t$ (for $t\ge 1$ ) is $-\frac{\pi}{2}(t-1)$ . This takes the value $-1$ when $t-1=\frac{2}{\pi}$ . So the particle hits $x=-1$ , $\frac{2}{\pi}$ seconds after it flew off the cone.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 11번

# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술도전자동 분류

71.CLP-4 · 1.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

호의 길이 $s$ 로 매개화된 곡선을 생각하세요.

(a) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 $\kappa (s)=0$ 이면 이 곡선은 직선임을 보이세요. (b) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 $\kappa (s)>0$ 이고 열률이 $\tau(s)=0$ 이면 이 곡선은 한 평면 위에 놓여 있음을 보이세요. (c) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 양의 상수 $\kappa (s)=\kappa _0$ 이고 열률이 $\tau(s)=0$ 이면 이 곡선은 원임을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider a curve that is parametrized by arc length $s$ .

(a) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)=0$ for all $s$ , then the curve is a straight line. (b) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)>0$ and torsion $\tau(s)=0$ for all $s$ , then the curve lies in a plane. (c) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)=\kappa _0$ , a strictly positive constant, and torsion $\tau(s)=0$ for all $s$ , then the curve is a circle.

정답·풀이 보기

(a) $\kappa (s)\equiv 0$ 이면 $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}=\kappa (s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ 이므로 $\hat{\mathbf{T}}$ 는 상수이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s)=\hat{\mathbf{T}}$ 이고 $\mathbf{r}(s) =s\hat{\mathbf{T}}+\mathbf{r}(0)$ 이므로, 이 곡선은 방향 벡터가 $\hat{\mathbf{T}}$ 이고 $\mathbf{r}(0)$ 을 지나는 직선이다.

(b) $\tau(s)\equiv 0$ 이면 $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}}{\mathrm{d}s}=-\tau(s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ 이므로 $\hat{\mathbf{B}}$ 는 상수이다. $\hat{\mathbf{T}}(s)\perp\hat{\mathbf{B}}$ 이므로

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} (\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}} =\hat{\mathbf{T}}(s)\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$

이고, $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}$ 는 상수이어야 한다. 이 상수는 0이어야 하므로( $s=0$ 을 대입), $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$ 이고 $\mathbf{r}(s)$ 는 항상 $\mathbf{r}(0)$ 을 지나고 법선 벡터가 $\hat{\mathbf{B}}$ 인 평면 위에 놓인다.

(c) 곡선을 호의 길이로 매개화한다. $s$ 에서의 "곡률 중심"을 다음과 같이 정의한다.

$\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa (s)}\hat{\mathbf{N}}(s)$

$\kappa (s)=\kappa _0$ 는 상수이고 $\tau(s)\equiv 0$ 이므로

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{r}_c(s) =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[\tau(s)\hat{\mathbf{B}}-\kappa (s)\hat{\mathbf{T}}\big] =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[0\hat{\mathbf{B}}-\kappa _0\hat{\mathbf{T}}\big] =0$

이다. 따라서 $\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}_c$ 는 상수이고, $\big|\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}_c\big|=\frac{1}{\kappa _0}$ 이므로 곡선은 중심이 $\mathbf{r}_c$ 이고 반지름이 $\frac{1}{\kappa _0}$ 인 구 위에 놓인다. $\tau(s)\equiv 0$ 이므로 곡선은 한 평면 위에도 놓이고, 따라서 이 곡선은 원이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If $\kappa (s)\equiv 0$ , then $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}=\kappa (s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ so that $\hat{\mathbf{T}}$ is a constant. As a result $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s)=\hat{\mathbf{T}}$ and $\mathbf{r}(s) =s\hat{\mathbf{T}}+\mathbf{r}(0)$ so that the curve is the straight line with direction vector $\hat{\mathbf{T}}$ that passes through $\mathbf{r}(0)$ .

(b) If $\tau(s)\equiv 0$ , then $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}}{\mathrm{d}s}=-\tau(s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ so that $\hat{\mathbf{B}}$ is a constant. As $\hat{\mathbf{T}}(s)\perp\hat{\mathbf{B}}$ ,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} (\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}} =\hat{\mathbf{T}}(s)\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$

and $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}$ must be a constant. The constant must be zero (set $s=0$ ), so $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$ and $\mathbf{r}(s)$ always lies in the plane through $\mathbf{r}(0)$ with normal vector $\hat{\mathbf{B}}$ .

(c) Parametrize the curve by arc length. Define the “centre of curvature” at $s$ by

$\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa (s)}\hat{\mathbf{N}}(s)$

Since $\kappa (s)=\kappa _0$ is a constant and $\tau(s)\equiv 0$ ,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{r}_c(s) =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[\tau(s)\hat{\mathbf{B}}-\kappa (s)\hat{\mathbf{T}}\big] =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[0\hat{\mathbf{B}}-\kappa _0\hat{\mathbf{T}}\big] =0$

Thus $\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}_c$ is a constant and $\big|\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}_c\big|=\frac{1}{\kappa _0}$ lies on the sphere of radius $\frac{1}{\kappa _0}$ centred on $\mathbf{r}_c$ . Since $\tau(s)\equiv 0$ , the curve also lies on a plane, so it is a circle.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 6번

# 단위접선·법선벡터증명·논술기본자동 분류

72.CLP-4 · 1.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

마찰이 없는 롤러코스터 트랙은 매개변수 표현이 $\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta)$ 인 원형 나선의 한 바퀴 모양이다. 자동차가 $\ \theta=2\pi\$ 인 점에서 속도 0으로 출발하여 중력을 받으며 $\ \theta=0$ 인 점까지 움직인다. 뉴턴의 운동 법칙에 따라, 시각 $t$ 에서 자동차의 위치 $\mathbf{r}(t)$ 는 다음을 만족한다.

$m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}$

여기서 $m$ 은 자동차의 질량, $g$ 는 상수, $-mg\hat{\mathbf{k}}$ 는 중력에 의한 힘이고, $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ 는 자동차가 트랙 위에 머물도록 롤러코스터 트랙이 자동차에 가하는 힘이다. 트랙에 마찰이 없으므로 $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ 는 항상 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)$ 에 수직이다.

(a) $E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}$ 가 $t$ 에 관계없는 상수임을 보이세요. (이것을 “에너지 보존”이라고 한다.) (b) 점 $\theta$ 에서의 속력 $|\mathbf{v}|$ 가 $\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta)$ 를 만족함을 보이세요. (c) $\theta=0$ 에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

A frictionless roller-coaster track has the form of one turn of the circular helix with parametrization $\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta).$ A car leaves the point where $\ \theta=2\pi\$ with zero velocity and moves under gravity to the point where $\ \theta=0$ . By Newton's law of motion, the position $\mathbf{r}(t)$ of the car at time $t$ obeys

$m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}$

Here $m$ is the mass of the car, $g$ is a constant, $-mg\hat{\mathbf{k}}$ is the force due to gravity and $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ is the force that the roller-coaster track applies to the car to keep the car on the track. Since the track is frictionless, $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ is always perpendicular to $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)$ .

(a) Prove that $E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}$ is a constant, independent of $t$ . (This is called “conservation of energy”.) (b) Prove that the speed $|\mathbf{v}|$ at the point $\theta$ obeys $\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta).$ (c) Find the time it takes to reach $\theta=0$ .

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 의해

$\begin{aligned} E'(t)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\right] =m\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=\mathbf{v}(t)\cdot\big[\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}\big]+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{aligned}$

이다. $\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0$ 이기 때문이다. 따라서 $E(t)$ 는 $t$ 에 관계없는 상수이다.

(b) (a)에 의해

$\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}$

이다.

(c) $\theta=2\pi$ 에서 $\theta=0$ 까지 가는 데 걸리는 시간을 구하려 한다. 먼저 $\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 를 구한다.

$\begin{aligned} &\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =\big(-a\sin\theta,a\cos\theta,b\big)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ &\implies |\mathbf{v}|^2=\big[a^2+b^2]\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &\implies \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\left[\frac{|\mathbf{v}|^2}{a^2+b^2}\right]^{1/2} =-\left[\frac{2gb(2\pi-\theta)}{a^2+b^2}\right]^{1/2} \end{aligned}$

$\theta$ 는 $2\pi$ 에서 0까지 감소해야 하므로 음의 부호를 택했다. 이때 걸리는 시간은

$\begin{aligned} \int dt&=\int_{2\pi}^0 \frac{dt}{d\theta}d\theta =-\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int_{2\pi}^0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta \\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int^{2\pi}_0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta\\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2} \left[-2(2\pi-\theta)^{1/2}\right]_0^{2\pi} =2\left[\frac{a^2+b^2}{gb}\pi\right]^{1/2} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By Newton's law of motion

$\begin{aligned} E'(t)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\right] =m\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=\mathbf{v}(t)\cdot\big[\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}\big]+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{aligned}$

since $\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0$ . So $E(t)$ is a constant, independent of $t$ .

(b) By part (a),

$\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}$

(c) We wish to determine the time it takes to go from $\theta=2\pi$ to $\theta=0$ . We'll first determine $\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ .

$\begin{aligned} &\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =\big(-a\sin\theta,a\cos\theta,b\big)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ &\implies |\mathbf{v}|^2=\big[a^2+b^2]\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &\implies \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\left[\frac{|\mathbf{v}|^2}{a^2+b^2}\right]^{1/2} =-\left[\frac{2gb(2\pi-\theta)}{a^2+b^2}\right]^{1/2} \end{aligned}$

We have chosen the negative sign because $\theta$ must decrease from $2\pi$ to 0. The time required to do so is

$\begin{aligned} \int dt&=\int_{2\pi}^0 \frac{dt}{d\theta}d\theta =-\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int_{2\pi}^0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta \\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int^{2\pi}_0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta\\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2} \left[-2(2\pi-\theta)^{1/2}\right]_0^{2\pi} =2\left[\frac{a^2+b^2}{gb}\pi\right]^{1/2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 3번

# 공간에서의 운동증명·논술도전자동 분류

벡터와 공간 전체 문제