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벡터함수와 공간곡선

벡터값 함수로 공간곡선을 나타내고 그 극한·연속을 다룬다

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38문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 3권 · 3.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

벡터함수 $\text{r}(t)=3\sec t\text{i}+2\tan t\text{j}$ 의 곡선을 그리고 곡선의 방향을 구하세요. 점근선을 그래프의 길잡이로 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the curve of the vector-valued function $\text{r}(t)=3\sec t\text{i}+2\tan t\text{j}$ and give the orientation of the curve. Sketch asymptotes as a guide to the graph.

정답·풀이 보기

이 그림은 함수 r(t) = 3 sec t i + 2 tan t j 의 그래프이다. 그래프에는 두 개의 기울어진 점근선이 있다. 점근선은 대각선 방향이며 원점을 지난다. 곡선은 두 부분으로 이루어져 있는데, 한 부분은 y축의 왼쪽에 있으며 쌍곡선 모양으로 휘어 있다. 또한 곡선의 다른 한 부분은 y축의 오른쪽에 있으며 역시 쌍곡선 모양으로 휘어 있다. 곡선 위의 화살표로 방향을 나타낸다. 두 곡선 모두 위쪽으로 올라가는 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 5번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 3.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

벡터함수 $\text{r}(t)=\langle \cos t,\sin t\rangle$ 가 주어질 때, 다음 값을 구하세요.

a. $\lim_{t\to \frac{\pi }{3}}\text{r}(t)$ b. $\text{r}\left(\frac{\pi }{3}\right)$ c. $\text{r}(t)$ 는 $t=\frac{\pi }{3}$ 에서 연속인지 판단하세요. d. $\text{r}(t)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Given the vector-valued function $\text{r}(t)=\langle \cos t,\sin t\rangle ,$ find the following values:

a. $\lim_{t\to \frac{\pi }{3}}\text{r}(t)$ b. $\text{r}\left(\frac{\pi }{3}\right)$ c. Is $\text{r}(t)$ continuous at $t=\frac{\pi }{3}?$ d. Graph $\text{r}(t).$

정답·풀이 보기

a. $\langle \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\rangle ,$ b. $\langle \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\rangle ,$ c. 예, t 가 $\pi /3$ 에 가까워질 때의 극한이 $\text{r}(\pi /3)$ 와 같다, d.

이 그림은 원점을 중심으로 하는 원의 그래프이다. 원의 반지름은 1이고, 방향은 시계 반대 방향이며 화살표로 방향을 나타내었다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\langle \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\rangle ,$ b. $\langle \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\rangle ,$ c. Yes, the limit as t approaches $\pi /3$ is equal to $\text{r}(\pi /3),$ d.

This figure is a graph of a circle centered at the origin. The circle has radius of 1 and has counter-clockwise orientation with arrows representing the orientation.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 7번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 3.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=\langle \cos t,t,\sin t\rangle$ 라 하고, 이를 이용하여 다음 물음에 답하세요.

$\text{r}(t)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Let $\text{r}(t)=\langle \cos t,t,\sin t\rangle$ and use it to answer the following questions.

Sketch the graph of $\text{r}(t).$

정답·풀이 보기

이 그림에는 두 개의 그래프가 있다. 첫 번째 그래프에는 "단면"이라는 이름이 붙어 있으며, 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원이다. 이 원은 시계 반대 방향으로 향한다. 두 번째 그래프에는 "옆면도"라는 이름이 붙어 있으며, 3차원 나선이다. 이 나선은 시계 반대 방향으로 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure has two graphs. The first graph is labeled “cross section” and is a circle centered at the origin with radius of 1. It has counter-clockwise orientation. The section graph is labeled “side view” and is a 3 dimensional helix. The helix has counterclockwise orientation.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 11번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 3권 · 3.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

매개변수 t 를 소거하여 직교좌표계의 방정식으로 나타낸 다음, 벡터 함수의 그래프를 그리세요.

$\text{r}(t)={t}^{3}\text{i}+2t\text{j}$

영어 원문 보기

Eliminate the parameter t, write the equation in Cartesian coordinates, then sketch the graphs of the vector-valued functions.

$\text{r}(t)={t}^{3}\text{i}+2t\text{j}$

정답·풀이 보기

$y=2\sqrt[3]{x}$ , 세제곱근 함수를 변형한 꼴

이 그림은 y = 2 × (x의 세제곱근)의 그래프이다. 원점을 지나는 증가 함수이다. 곡선은 원점 근처에서 더 수직에 가까워진다. 곡선 위의 화살표로 오른쪽 방향을 나타내고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$y=2\sqrt[3]{x},$ a variation of the cube-root function

This figure is the graph of y = 2 times the cube root of x. It is an increasing function passing through the origin. The curve becomes more vertical near the origin. It has orientation to the right represented with arrows on the curve.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 25번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 3권 · 3.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

매개변수 t 를 소거하여 직교좌표계의 방정식으로 나타낸 다음, 벡터 함수의 그래프를 그리세요.

$\text{r}(t)=2(\sinh t)\text{i}+2(\cosh t)\text{j},t>0$

영어 원문 보기

Eliminate the parameter t, write the equation in Cartesian coordinates, then sketch the graphs of the vector-valued functions.

$\text{r}(t)=2(\sinh t)\text{i}+2(\cosh t)\text{j},t>0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 9번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 3권 · 3.1절 · 25번대학 수준우리말 번역

매개변수 t 를 소거하여 직교좌표계의 방정식으로 나타낸 다음, 벡터 함수의 그래프를 그리세요.

$\text{r}(t)=3(\cos t)\text{i}+3(\sin t)\text{j}$

영어 원문 보기

Eliminate the parameter t, write the equation in Cartesian coordinates, then sketch the graphs of the vector-valued functions.

$\text{r}(t)=3(\cos t)\text{i}+3(\sin t)\text{j}$

정답·풀이 보기

${x}^{2}+{y}^{2}=9$ , 중심이 $(0,0)$ 이고 반지름이 3인 원이며, 방향은 시계 반대 방향이다

이 그림은 x^2 + y^2 = 9의 그래프이다. 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원이다. 곡선 위의 화살표로 시계 반대 방향을 나타내고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

${x}^{2}+{y}^{2}=9,$ a circle centered at $(0,0)$ with radius 3, and a counterclockwise orientation

This figure is the graph of x^2 + y^2 = 9. It is a circle centered at the origin with radius 3. It has orientation counter-clockwise represented with arrows on the curve.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 27번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 3권 · 3.1절 · 26번대학 수준우리말 번역

매개변수 t 를 소거하여 직교좌표계의 방정식으로 나타낸 다음, 벡터 함수의 그래프를 그리세요.

$\text{r}(t)=\langle 3\sin t,3\cos t\rangle$

영어 원문 보기

Eliminate the parameter t, write the equation in Cartesian coordinates, then sketch the graphs of the vector-valued functions.

$\text{r}(t)=\langle 3\sin t,3\cos t\rangle$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 25번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 3권 · 3.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

그래프 작성 도구를 사용하여 다음 각 벡터 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $\text{r}(t)=(2{\cos }^{2}t)\text{i}+\left(2-\sqrt{t}\right)\text{j}$

영어 원문 보기

Use a graphing utility to sketch each of the following vector-valued functions:

[T] $\text{r}(t)=(2{\cos }^{2}t)\text{i}+\left(2-\sqrt{t}\right)\text{j}$

정답·풀이 보기

이 그림은 r(t) = 2cos t^2 i + (2 – t의 제곱근) j 의 그래프이다. 곡선은 제1사분면에서 나선 모양을 그리며 y축에 닿는다. 곡선이 x축에 가까워질수록 나선은 더 촘촘해진다. 마치 스프링이 압축되는 것처럼 보인다. 곡선 위의 화살표는 방향이 아래쪽임을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is the graph of r(t) = 2cost^2 i + (2 – the square root of t) j. The curve spirals in the first quadrant, touching the y-axis. As the curve gets closer to the x-axis, the spirals become tighter. It has the look of a spring being compressed. The arrows on the curve represent orientation going downward.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 29번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 3권 · 3.1절 · 28번대학 수준우리말 번역

그래프 작성 도구를 사용하여 다음 각 벡터함수의 그래프를 그리세요:

[계산기 사용] $\text{r}(t)=\langle {e}^{\cos (3t)},{e}^{-\sin (t)}\rangle$

영어 원문 보기

Use a graphing utility to sketch each of the following vector-valued functions:

[T] $\text{r}(t)=\langle {e}^{\cos (3t)},{e}^{-\sin (t)}\rangle$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 13번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 3권 · 3.1절 · 29번대학 수준우리말 번역

그래프 작성 도구를 사용하여 다음 각 벡터함수의 그래프를 그리세요:

[계산기 사용] $\text{r}(t)=\langle 2-\sin (2t),3+2\cos t\rangle$

영어 원문 보기

Use a graphing utility to sketch each of the following vector-valued functions:

[T] $\text{r}(t)=\langle 2-\sin (2t),3+2\cos t\rangle$

정답·풀이 보기

이 그림에는 그래프가 두 개 있다. 첫 번째는 3차원 그래프로, 상자 안에서 옆으로 누운 8자 모양을 이루는 곡선이다. 상자는 제1팔분공간을 나타낸다. 두 번째 그래프는 2차원 그래프이다. 같은 곡선을 "yt 평면에서 본 모습"으로 나타낸 것이다. 가로축에는 "t"라고 쓰여 있다. 곡선은 이어져 있으며 제1사분면에서 스스로와 교차하여 8자 모양과 비슷하다.

주어진 곡선을 나타낸 방향으로 그리는 벡터함수를 구하세요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure has two graphs. The first is 3 dimensional and is a curve making a figure eight on its side inside of a box. The box represents the first octant. The second graph is 2 dimensional. It represents the same curve from a “view in the yt plane”. The horizontal axis is labeled “t”. The curve is connected and crosses over itself in the first quadrant resembling a figure eight.

Find a vector-valued function that traces out the given curve in the indicated direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 37번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 3권 · 3.1절 · 30번대학 수준우리말 번역

그래픽 도구를 사용하여 다음 각 벡터함수의 그래프를 그리세요:

$4{x}^{2}+9{y}^{2}=36$ ; 시계 방향과 시계 반대 방향

영어 원문 보기

Use a graphing utility to sketch each of the following vector-valued functions:

$4{x}^{2}+9{y}^{2}=36;$ clockwise and counterclockwise

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 17번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 3권 · 3.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

그래픽 도구를 사용하여 다음 각 벡터함수의 그래프를 그리세요:

$\text{r}(t)=\langle t,{t}^{2}\rangle$ ; 왼쪽에서 오른쪽으로

영어 원문 보기

Use a graphing utility to sketch each of the following vector-valued functions:

$\text{r}(t)=\langle t,{t}^{2}\rangle ;$ from left to right

정답·풀이 보기

왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때, $t$ 가 증가하면서 $y={x}^{2}$ 이다

원본 교재 풀이(영어)

For left to right, $y={x}^{2},$ where t increases

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 19번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 3권 · 3.1절 · 35번대학 수준우리말 번역

벡터값 함수 $\text{r}(t)=(50{e}^{-t}\cos t)\text{i}+(50{e}^{-t}\sin t)\text{j}+(5-5{e}^{-t})\text{k}$ 로 나타내어지는 곡선을 생각하세요.

[계산기 사용] 공학 도구를 사용하여 곡선의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Consider the curve described by the vector-valued function $\text{r}(t)=(50{e}^{-t}\cos t)\text{i}+(50{e}^{-t}\sin t)\text{j}+(5-5{e}^{-t})\text{k}.$

[T] Use technology to sketch the curve.

정답·풀이 보기

이 그림은 3차원 좌표계에 그려진 그래프이다. 곡선은 상자의 한가운데에서 시작하여 왼쪽 위 모서리를 향해 휘어진다. 상자는 좌표계의 한 팔분공간을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the 3 dimensional coordinate system. It is a curve starting at the middle of the box and curving towards the upper left corner The box represents an octant of the coordinate system.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 33번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 3권 · 3.1절 · 37번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $r(t)=\cos t\text{i}+\sin t\text{j}+0.3\sin (2t)\text{k}$ 라고 하자. 공학 도구를 사용하여 구간 $[0,2\pi )$ 에서 이 곡선(롤러코스터 곡선이라고 부른다)의 그래프를 그리세요. 적어도 두 가지 시점을 선택하여 봉우리와 골짜기를 찾으세요.

영어 원문 보기

[T] Let $r(t)=\cos t\text{i}+\sin t\text{j}+0.3\sin (2t)\text{k}.$ Use technology to graph the curve (called the roller-coaster curve) over the interval $[0,2\pi ).$ Choose at least two views to determine the peaks and valleys.

정답·풀이 보기

이 그림에는 두 개의 그래프가 있다. 첫 번째 그래프는 3차원이며, 상자 안에 반시계 방향으로 향하는, 끊어지지 않고 이어진 곡선이다. 두 번째 그래프도 3차원이다. 같은 곡선을 상자의 다른 시점에서 본 것이다. 상자의 옆면에서 보면 곡선은 끊어지지 않고 이어져 있으며 깊이감이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure has two graphs. The first is 3 dimensional and is a connected curve with counter-clockwise orientation inside of a box. The second graph is 3 dimensional. It represents the same curve from different view of the box. From the side of the box the curve is connected and has depth to it.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 35번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 3권 · 3.1절 · 38번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제의 결과를 이용하여, 봉우리에서 가파르게 내려가고 "골짜기"에서 가파르게 올라가는 롤러코스터의 방정식을 만드세요. 그런 다음 공학 도구를 사용하여 그 방정식의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Use the result of the preceding problem to construct an equation of a roller coaster with a steep drop from the peak and steep incline from the “valley.” Then, use technology to graph the equation.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.1절 · 21번

# 벡터함수와 공간곡선그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 3권 · 3.1절 · 40번대학 수준우리말 번역

a. 원하는 두 가지 시점을 사용하여 곡선 $\text{r}(t)=(4+\cos (18t))\cos (t)\text{i}+(4+\cos (18t)\sin (t))\text{j}+0.3\sin (18t)\text{k}$ 의 그래프를 그려 곡선의 전체적인 모양을 보이세요. b. 이 곡선은 "슬링키"와 닮았는지 판단하세요. c. 슬링키의 코일 수를 늘리려면 방정식을 어떻게 바꾸어야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

a. Graph the curve $\text{r}(t)=(4+\cos (18t))\cos (t)\text{i}+(4+\cos (18t)\sin (t))\text{j}+0.3\sin (18t)\text{k}$ using two viewing angles of your choice to see the overall shape of the curve. b. Does the curve resemble a “slinky”? c. What changes to the equation should be made to increase the number of coils of the slinky?