극한·미분 심화 전체 연습문제

21.OpenStax 1권 · 6.9절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\cosh (x)$ 와 $\sinh (x)$ 가 ${y}^{''}=y$ 를 만족시킴을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\cosh (x)$ and $\sinh (x)$ satisfy ${y}^{''}=y.$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 1번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

22.OpenStax 1권 · 6.9절 · 7번대학 수준우리말 번역

식을 지수 형태로 바꾸어 $\sinh (x+y)=\sinh (x)\cosh (y)+\cosh (x)\sinh (y)$ 임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove $\sinh (x+y)=\sinh (x)\cosh (y)+\cosh (x)\sinh (y)$ by changing the expression to exponentials.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 5번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

23.OpenStax 1권 · 6.9절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 속도의 제곱과 같은 마찰을 받으며 떨어지는 물체는 방정식 $dv/dt=g-{v}^{2}$ 을 따른다는 사실을 이용하세요.

$v(t)=\sqrt{g}\,\tanh \left(\left(\sqrt{g}\right)t\right)$ 가 이 방정식을 만족시킴을 보이세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the fact that a falling body with friction equal to velocity squared obeys the equation $dv/dt=g-{v}^{2}.$

Show that $v(t)=\sqrt{g}\,\tanh \left(\left(\sqrt{g}\right)t\right)$ satisfies this equation.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.6절 · 1번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

24.OpenStax 1권 · 6.9절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서는 이 상황을 이용하세요: 자기 무게로 늘어져 매달린 케이블의 기울기 $S=dy/dx$ 는 $dS/dx=c\sqrt{1+{S}^{2}}$ 을 만족시킨다. 상수 $c$ 는 케이블의 밀도와 장력의 비이다.

$S=\sinh (cx)$ 가 이 방정식을 만족시킴을 보이세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use this scenario: A cable hanging under its own weight has a slope $S=dy/dx$ that satisfies $dS/dx=c\sqrt{1+{S}^{2}}.$ The constant $c$ is the ratio of cable density to tension.

Show that $S=\sinh (cx)$ satisfies this equation.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 51번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

25.OpenStax 1권 · 6.9절 · 53번대학 수준우리말 번역

$x=\sinh (y)$ 를 미분하여 $y={\sinh }^{-1}(x)$ 의 도함수 공식을 증명하세요. (힌트: 쌍곡선 삼각함수의 항등식을 이용하세요.)

영어 원문 보기

Prove the formula for the derivative of $y={\sinh }^{-1}(x)$ by differentiating $x=\sinh (y).$ (Hint: Use hyperbolic trigonometric identities.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 13번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

26.OpenStax 1권 · 6.9절 · 54번대학 수준우리말 번역

$x=\cosh (y)$ 를 미분하여 $y={\cosh }^{-1}(x)$ 의 도함수 공식을 증명하세요.

(힌트: 쌍곡선 삼각함수의 항등식을 이용하세요.)

영어 원문 보기

Prove the formula for the derivative of $y={\cosh }^{-1}(x)$ by differentiating $x=\cosh (y).$

(Hint: Use hyperbolic trigonometric identities.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 21번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

27.OpenStax 1권 · 6.9절 · 56번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 문제를 푸세요.

${(\cosh (x)+\sinh (x))}^{n}=\cosh (nx)+\sinh (nx)$ 임을 증명하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, solve each problem.

Prove that ${(\cosh (x)+\sinh (x))}^{n}=\cosh (nx)+\sinh (nx).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 17번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

28.OpenStax 1권 · 6.9절 · 57번대학 수준우리말 번역

${\sinh }^{-1}(x)$ 에 대한 식을 증명하세요. $x=\sinh (y)=(1/2)({e}^{y}-{e}^{-y})$ 에 $2{e}^{y}$ 를 곱하고 $y$ 에 대해 푸세요. 여러분이 얻은 식은 교재의 식과 일치합니까?

영어 원문 보기

Prove the expression for ${\sinh }^{-1}(x).$ Multiply $x=\sinh (y)=(1/2)({e}^{y}-{e}^{-y})$ by $2{e}^{y}$ and solve for $y.$ Does your expression match the textbook?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.6절 · 7번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

29.OpenStax 1권 · 6.9절 · 58번대학 수준우리말 번역

${\cosh }^{-1}(x)$ 에 대한 식을 증명하세요. $x=\cosh (y)=(1/2)({e}^{y}+{e}^{-y})$ 에 $2{e}^{y}$ 을 곱하고 $y$ 에 대해 푸세요. 여러분이 얻은 식은 교재의 식과 일치합니까?

영어 원문 보기

Prove the expression for ${\cosh }^{-1}(x).$ Multiply $x=\cosh (y)=(1/2)({e}^{y}+{e}^{-y})$ by $2{e}^{y}$ and solve for $y.$ Does your expression match the textbook?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 25번

# 쌍곡선함수의 미적분증명·논술자동 분류

30.APEX · 1.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x+5) = 13$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x+5) = 13$

정답·풀이 보기

임의의 $\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-4|<\delta$ 일 때 $|f(x)-13|<\epsilon$ 이 성립하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|f(x)-13|<\epsilon$ 을 살펴보면:

$\begin{gathered} |f(x) -13 | < \epsilon \\ |(2x+5)-13 |<\epsilon \\ | 2x-8 | < \epsilon \\ 2| x-4 | < \epsilon \\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2. \\ \end{gathered}$

이로부터 $\delta =\epsilon/2$ 로 놓을 수 있다. 그러면:

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ -\delta < x-4 < \delta\\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2\\ -\epsilon < 2x-8 < \epsilon \\ -\epsilon < (2x+5)-13 < \epsilon \\ |(2x+5) - 13| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 바이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-4|<\delta$ , $|f(x)-13|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-13|<\epsilon$ :

$\begin{gathered} |f(x) -13 | < \epsilon \\ |(2x+5)-13 |<\epsilon \\ | 2x-8 | < \epsilon \\ 2| x-4 | < \epsilon \\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2. \\ \end{gathered}$

This implies we can let $\delta =\epsilon/2$ . Then:

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ -\delta < x-4 < \delta\\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2\\ -\epsilon < 2x-8 < \epsilon \\ -\epsilon < (2x+5)-13 < \epsilon \\ |(2x+5) - 13| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 12번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

31.APEX · 1.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 5} (3-x) = -2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 5} (3-x) = -2$

정답·풀이 보기

임의의 $\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-5|<\delta$ 일 때 $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ 이 성립하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|f(x)-(-2)|<\epsilon$ 을 살펴보면:

$\begin{gathered} |f(x) + 2 | < \epsilon \\ |(3-x) + 2 |<\epsilon \\ | 5-x | < \epsilon \\ -\epsilon < 5-x < \epsilon \\ -\epsilon < x-5 < \epsilon. \\ \end{gathered}$

이로부터 $\delta =\epsilon$ 으로 놓을 수 있다. 그러면:

$\begin{gathered} |x-5|<\delta \\ -\delta < x-5 < \delta\\ -\epsilon < x-5 < \epsilon\\ -\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\ -\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\ |3-x - (-2)| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 바이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-5|<\delta$ , $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ :

$\begin{gathered} |f(x) + 2 | < \epsilon \\ |(3-x) + 2 |<\epsilon \\ | 5-x | < \epsilon \\ -\epsilon < 5-x < \epsilon \\ -\epsilon < x-5 < \epsilon. \\ \end{gathered}$

This implies we can let $\delta =\epsilon$ . Then:

$\begin{gathered} |x-5|<\delta \\ -\delta < x-5 < \delta\\ -\epsilon < x-5 < \epsilon\\ -\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\ -\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\ |3-x - (-2)| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 4번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

32.APEX · 1.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 3} \big(x^2-3\big) = 6$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 3} \big(x^2-3\big) = 6$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-3|<\delta$ 일 때 $|f(x)-6|<\epsilon$ 이 성립하도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-3|$ 에 대한 식을 얻어야 함에 유의하면서 $|f(x)-6|<\epsilon$ 을 생각하자.

$\begin{gathered} |f(x) -6 | < \epsilon \\ |x^2-3 -6 |<\epsilon \\ | x^2-9 | < \epsilon \\ | x-3 |\cdot|x+3| < \epsilon \\ | x-3 | < \epsilon/|x+3| \\ \end{gathered}$

$x$ 가 3 가까이에 있으므로, 예를 들어 $2<x<4$ 라고 가정해도 무방하다. 따라서

$\begin{gathered} 2+3<x+3<4+3 \\ 5 < x+3 < 7 \\ \frac{1}{7} < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{5} \\ \frac{\epsilon}{7} < \frac{\epsilon}{x+3} < \frac{\epsilon}{5} \\ \end{gathered}$

$\delta =\frac{\epsilon}{7}$ 로 놓자. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{gathered} |x-3|<\delta \\ |x-3| < \frac{\epsilon}7\\ |x-3| < \frac{\epsilon}{x+3}\\ |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot|x+3|\\ \end{gathered}$

$x$ 가 3 가까이에 있다고 가정하면 $x+3$ 은 양수이므로 오른쪽의 절댓값 기호를 없앨 수 있다.

$\begin{gathered} |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot(x+3)\\ |x^2-9| < \epsilon\\ |(x^2-3) - 6| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하고자 했던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-3|<\delta$ , $|f(x)-6|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-6|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-3|$ :

$\begin{gathered} |f(x) -6 | < \epsilon \\ |x^2-3 -6 |<\epsilon \\ | x^2-9 | < \epsilon \\ | x-3 |\cdot|x+3| < \epsilon \\ | x-3 | < \epsilon/|x+3| \\ \end{gathered}$

Since $x$ is near 3, we can safely assume that, for instance, $2<x<4$ . Thus

$\begin{gathered} 2+3<x+3<4+3 \\ 5 < x+3 < 7 \\ \frac{1}{7} < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{5} \\ \frac{\epsilon}{7} < \frac{\epsilon}{x+3} < \frac{\epsilon}{5} \\ \end{gathered}$

Let $\delta =\frac{\epsilon}{7}$ . Then:

$\begin{gathered} |x-3|<\delta \\ |x-3| < \frac{\epsilon}7\\ |x-3| < \frac{\epsilon}{x+3}\\ |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot|x+3|\\ \end{gathered}$

Assuming $x$ is near 3, $x+3$ is positive and we can drop the absolute value signs on the right.

$\begin{gathered} |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot(x+3)\\ |x^2-9| < \epsilon\\ |(x^2-3) - 6| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 1번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

33.APEX · 1.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} \big(x^2+x-5\big) = 15$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} \big(x^2+x-5\big) = 15$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-4|<\delta$ 일 때 $|f(x)-15|<\epsilon$ 이 성립하도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-4|$ 에 대한 식을 얻어야 함에 유의하면서 $|f(x)-15|<\epsilon$ 을 생각하자.

$\begin{gathered} |f(x) -15 | < \epsilon \\ |x^2+x-5 -15 |<\epsilon \\ | x^2+x-20 | < \epsilon \\ | x-4 |\cdot|x+5| < \epsilon \\ | x-4 | < \epsilon/|x+5| \\ \end{gathered}$

$x$ 가 4 가까이에 있으므로, 예를 들어 $3<x<5$ 라고 가정해도 무방하다. 따라서

$\begin{gathered} 3+5<x+5<5+5 \\ 8 < x+5 < 10 \\ \frac{1}{10} < \frac{1}{x+5} < \frac{1}{8} \\ \frac{\epsilon}{10} < \frac{\epsilon}{x+5} < \frac{\epsilon}{8} \\ \end{gathered}$

$\delta =\frac{\epsilon}{10}$ 으로 놓자. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ |x-4| < \frac{\epsilon}{10}\\ |x-4| < \frac{\epsilon}{x+5}\\ |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot|x+5|\\ \end{gathered}$

$x$ 가 4 가까이에 있다고 가정하면 $x+5$ 는 양수이므로 오른쪽의 절댓값 기호를 없앨 수 있다.

$\begin{gathered} |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot(x+5)\\ |x^2+x-20| < \epsilon\\ |(x^2+x-5) -15| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하고자 했던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-4|<\delta$ , $|f(x)-15|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-15|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-4|$ :

$\begin{gathered} |f(x) -15 | < \epsilon \\ |x^2+x-5 -15 |<\epsilon \\ | x^2+x-20 | < \epsilon \\ | x-4 |\cdot|x+5| < \epsilon \\ | x-4 | < \epsilon/|x+5| \\ \end{gathered}$

Since $x$ is near 4, we can safely assume that, for instance, $3<x<5$ . Thus

$\begin{gathered} 3+5<x+5<5+5 \\ 8 < x+5 < 10 \\ \frac{1}{10} < \frac{1}{x+5} < \frac{1}{8} \\ \frac{\epsilon}{10} < \frac{\epsilon}{x+5} < \frac{\epsilon}{8} \\ \end{gathered}$

Let $\delta =\frac{\epsilon}{10}$ . Then:

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ |x-4| < \frac{\epsilon}{10}\\ |x-4| < \frac{\epsilon}{x+5}\\ |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot|x+5|\\ \end{gathered}$

Assuming $x$ is near 4, $x+5$ is positive and we can drop the absolute value signs on the right.

$\begin{gathered} |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot(x+5)\\ |x^2+x-20| < \epsilon\\ |(x^2+x-5) -15| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 14번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

34.APEX · 1.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 1} \big(2x^2+3x+1\big) = 6$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 1} \big(2x^2+3x+1\big) = 6$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-1|<\delta$ 일 때 $|f(x)-6|<\epsilon$ 이 성립하도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-1|$ 에 대한 명제를 만들어야 함을 염두에 두고 $|f(x)-6|<\epsilon$ 을 살펴보자.

$\begin{gathered} |f(x) -6 | < \epsilon \\ |(2x^2+3x+1)-6 |<\epsilon \\ | 2x^2+3x-5 | < \epsilon \\ | 2x+5 |\cdot|x-1| < \epsilon \\ | x-1 | < \epsilon/|2x+5| \\ \end{gathered}$

$x$ 가 1 에 가까우므로, 예를 들어 $0<x<2$ 라고 가정해도 무방하다. 따라서

$\begin{gathered} 0+5<2x+5<4+5 \\ 5 < 2x+5 < 9 \\ \frac{1}{9} < \frac{1}{2x+5} < \frac{1}{5} \\ \frac{\epsilon}{9} < \frac{\epsilon}{2x+5} < \frac{\epsilon}{5} \\ \end{gathered}$

$\delta =\frac{\epsilon}{9}$ 라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{gathered} |x-1|<\delta \\ |x-1| < \frac{\epsilon}{9}\\ |x-1| < \frac{\epsilon}{2x+5}\\ |x-1|\cdot|2x+5| < \frac{\epsilon}{2x+5}\cdot|2x+5|\\ \end{gathered}$

$x$ 가 1 에 가깝다고 가정하면 $2x+5$ 는 양수이므로 오른쪽의 절댓값 기호를 없앨 수 있다.

$\begin{gathered} |x-1|\cdot|2x+5| < \frac{\epsilon}{2x+5}\cdot(2x+5)\\ |2x^2+3x-5| < \epsilon\\ |(2x^2+3x+1) -6| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하고자 했던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-1|<\delta$ , $|f(x)-6|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-6|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-1|$ :

$\begin{gathered} |f(x) -6 | < \epsilon \\ |(2x^2+3x+1)-6 |<\epsilon \\ | 2x^2+3x-5 | < \epsilon \\ | 2x+5 |\cdot|x-1| < \epsilon \\ | x-1 | < \epsilon/|2x+5| \\ \end{gathered}$

Since $x$ is near 1, we can safely assume that, for instance, $0<x<2$ . Thus

$\begin{gathered} 0+5<2x+5<4+5 \\ 5 < 2x+5 < 9 \\ \frac{1}{9} < \frac{1}{2x+5} < \frac{1}{5} \\ \frac{\epsilon}{9} < \frac{\epsilon}{2x+5} < \frac{\epsilon}{5} \\ \end{gathered}$

Let $\delta =\frac{\epsilon}{9}$ . Then:

$\begin{gathered} |x-1|<\delta \\ |x-1| < \frac{\epsilon}{9}\\ |x-1| < \frac{\epsilon}{2x+5}\\ |x-1|\cdot|2x+5| < \frac{\epsilon}{2x+5}\cdot|2x+5|\\ \end{gathered}$

Assuming $x$ is near 1, $2x+5$ is positive and we can drop the absolute value signs on the right.

$\begin{gathered} |x-1|\cdot|2x+5| < \frac{\epsilon}{2x+5}\cdot(2x+5)\\ |2x^2+3x-5| < \epsilon\\ |(2x^2+3x+1) -6| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 10번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

35.APEX · 1.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 2} \big(x^3-1\big) = 7$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 2} \big(x^3-1\big) = 7$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-2|<\delta$ 일 때 $|f(x)-7|<\epsilon$ 이 성립하도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-2|$ 에 대한 식을 만들어야 함을 염두에 두고 $|f(x)-7|<\epsilon$ 을 살펴보자.

$\begin{gathered} |f(x) -7 | < \epsilon \\ |x^3-1 -7 |<\epsilon \\ | x^3-8 | < \epsilon \\ | x-2 |\cdot|x^2+2x+4| < \epsilon \\ | x-3 | < \epsilon/|x^2+2x+4| \\ \end{gathered}$

$x$ 가 2 에 가까우므로, 예를 들어 $1<x<3$ 이라고 가정해도 무방하다. 따라서

$\begin{gathered} 1^2+2\cdot1+4<x^2+2x+4<3^2+2\cdot3+4 \\ 7 < x^2+2x+4 < 19 \\ \frac{1}{19} < \frac{1}{x^2+2x+4} < \frac{1}{7} \\ \frac{\epsilon}{19} < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4} < \frac{\epsilon}{7} \\ \end{gathered}$

$\delta =\frac{\epsilon}{19}$ 라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{gathered} |x-2|<\delta \\ |x-2| < \frac{\epsilon}{19}\\ |x-2| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\\ |x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot|x^2+2x+4|\\ \end{gathered}$

$x$ 가 2 에 가깝다고 가정하면 $x^2+2x+4$ 는 양수이므로 오른쪽의 절댓값 기호를 없앨 수 있다.

$\begin{gathered} |x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot(x^2+2x+4)\\ |x^3-8| < \epsilon\\ |(x^3-1) - 7| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-2|<\delta$ , $|f(x)-7|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-7|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-2|$ :

$\begin{gathered} |f(x) -7 | < \epsilon \\ |x^3-1 -7 |<\epsilon \\ | x^3-8 | < \epsilon \\ | x-2 |\cdot|x^2+2x+4| < \epsilon \\ | x-3 | < \epsilon/|x^2+2x+4| \\ \end{gathered}$

Since $x$ is near 2, we can safely assume that, for instance, $1<x<3$ . Thus

$\begin{gathered} 1^2+2\cdot1+4<x^2+2x+4<3^2+2\cdot3+4 \\ 7 < x^2+2x+4 < 19 \\ \frac{1}{19} < \frac{1}{x^2+2x+4} < \frac{1}{7} \\ \frac{\epsilon}{19} < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4} < \frac{\epsilon}{7} \\ \end{gathered}$

Let $\delta =\frac{\epsilon}{19}$ . Then:

$\begin{gathered} |x-2|<\delta \\ |x-2| < \frac{\epsilon}{19}\\ |x-2| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\\ |x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot|x^2+2x+4|\\ \end{gathered}$

Assuming $x$ is near 2, $x^2+2x+4$ is positive and we can drop the absolute value signs on the right.

$\begin{gathered} |x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot(x^2+2x+4)\\ |x^3-8| < \epsilon\\ |(x^3-1) - 7| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 28번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

36.APEX · 1.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 2} 5 = 5$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 2} 5 = 5$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-2|<\delta$ 일 때 $|f(x)-5|<\epsilon$ 이 성립하도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다. 그런데 $f(x)=5$ 는 상수함수이므로 뒤의 부등식은 단순히 $|5-5|<\epsilon$ 이며, 이는 항상 참이다. 따라서 $\delta$ 를 원하는 대로 택할 수 있으며, 여기서는 임의로 $\delta =\epsilon$ 으로 택한다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-2|<\delta$ , $|f(x)-5|<\epsilon$ . However, since $f(x)=5$ , a constant function, the latter inequality is simply $|5-5|<\epsilon$ , which is always true. Thus we can choose any $\delta$ we like; we arbitrarily choose $\delta =\epsilon$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 8번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

37.APEX · 1.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \big(e^{2x}-1\big) = 0$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \big(e^{2x}-1\big) = 0$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-0|<\delta$ 일 때 $|f(x)-0|<\epsilon$ 이 되도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-0|$ (즉, $|x|$ )에 대한 식을 얻는 것이 목표임을 염두에 두고 $|f(x)-0|<\epsilon$ 을 살펴보자:

$\begin{gathered} |f(x) -0 | < \epsilon \\ |e^{2x}-1 |<\epsilon \\ -\epsilon< e^{2x}-1 < \epsilon \\ 1-\epsilon< e^{2x} < 1+\epsilon \\ \ln (1-\epsilon) < 2x < \ln (1+\epsilon) \\ \frac{\ln (1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln (1+\epsilon)}{2} \\ \end{gathered}$

$\delta = \min\left\{\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right|,\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\right\}=\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}$ 라고 하자.

그러면:

$\begin{gathered} |x| < \delta \\ |x| <\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}<\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right| \\ \frac{\ln(1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\\ \ln(1-\epsilon)< 2x < \ln(1+\epsilon)\\ 1-\epsilon < e^{2x} < 1+\epsilon\\ -\epsilon < e^{2x}-1 < \epsilon\\ |e^{2x}-1-(0)| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-0|<\delta$ , $|f(x)-0|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-0|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-0|$ (i.e., $|x|$ ):

$\begin{gathered} |f(x) -0 | < \epsilon \\ |e^{2x}-1 |<\epsilon \\ -\epsilon< e^{2x}-1 < \epsilon \\ 1-\epsilon< e^{2x} < 1+\epsilon \\ \ln (1-\epsilon) < 2x < \ln (1+\epsilon) \\ \frac{\ln (1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln (1+\epsilon)}{2} \\ \end{gathered}$

Let $\delta = \min\left\{\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right|,\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\right\}=\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}.$

Thus:

$\begin{gathered} |x| < \delta \\ |x| <\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}<\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right| \\ \frac{\ln(1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\\ \ln(1-\epsilon)< 2x < \ln(1+\epsilon)\\ 1-\epsilon < e^{2x} < 1+\epsilon\\ -\epsilon < e^{2x}-1 < \epsilon\\ |e^{2x}-1-(0)| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 3번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

38.APEX · 1.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac1x = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac1x = 1$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-1|<\delta$ 일 때 $|f(x)-1|<\epsilon$ 이 되도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-1|$ 에 대한 식을 얻는 것이 목표임을 염두에 두고 $|f(x)-1|<\epsilon$ 을 살펴보자:

$\begin{gathered} |f(x) -1 | < \epsilon \\ |1/x-1 |<\epsilon \\ | (1-x)/x | < \epsilon \\ | x-1 |/|x| < \epsilon \\ | x-1 | < \epsilon\cdot|x| \\ \end{gathered}$

$x$ 가 1 에 가까우므로, 예를 들어 $1/2<x<3/2$ 라고 가정해도 안전하다. 따라서 $\epsilon/2 < \epsilon\cdot x$ 이다.

$\delta =\frac{\epsilon}{2}$ 라고 하자. 그러면:

$\begin{gathered} |x-1|<\delta \\ |x-1| < \frac{\epsilon}{2}\\ |x-1| < \epsilon\cdot x\\ |x-1|/x < \epsilon\\ \end{gathered}$

$x$ 가 1 에 가깝다고 가정하면 $x$ 는 양수이므로, 이를 왼쪽의 절댓값 기호 안으로 넣을 수 있다.

$\begin{gathered} |(x-1)/x| < \epsilon\\ |1-1/x| < \epsilon\\ |(1/x) -1| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-1|<\delta$ , $|f(x)-1|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-1|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-1|$ :

$\begin{gathered} |f(x) -1 | < \epsilon \\ |1/x-1 |<\epsilon \\ | (1-x)/x | < \epsilon \\ | x-1 |/|x| < \epsilon \\ | x-1 | < \epsilon\cdot|x| \\ \end{gathered}$

Since $x$ is near 1, we can safely assume that, for instance, $1/2<x<3/2$ . Thus $\epsilon/2 < \epsilon\cdot x$ .

Let $\delta =\frac{\epsilon}{2}$ . Then:

$\begin{gathered} |x-1|<\delta \\ |x-1| < \frac{\epsilon}{2}\\ |x-1| < \epsilon\cdot x\\ |x-1|/x < \epsilon\\ \end{gathered}$

Assuming $x$ is near 1, $x$ is positive and we can bring it into the absolute value signs on the left.

$\begin{gathered} |(x-1)/x| < \epsilon\\ |1-1/x| < \epsilon\\ |(1/x) -1| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 26번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

39.APEX · 1.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \sin x= 0$ (힌트: $|\sin x| \leq |x|$ 이고, 등호는 $x=0$ 일 때만 성립한다는 사실을 이용하세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \sin x= 0$ (Hint: use the fact that $|\sin x| \leq |x|$ , with equality only when $x=0$ .)

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

40.CLP-1 · 2.12절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan(x) \right)\right\} = (x^2+1)^{-3/2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan(x) \right)\right\} = (x^2+1)^{-3/2}$ .

정답·풀이 보기

$\theta = \arctan x$ 라 하자. 그러면 $\theta$ 는 $\tan \theta = x$ 를 만족하는 직각삼각형의 한 각이다. 특히 반대변과 인접변의 길이의 비는 $x$ 이다. 따라서 다음과 같은 삼각형을 얻는다.

여기서 빗변의 길이는 피타고라스 정리에서 얻은 것이다. 이제, $\sin\left(\arctan x\right) = \sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ 이로부터 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right\}&= \frac{\sqrt{x^2+1}-x\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\ &=\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\\ &=\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\\ &=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}=(x^2+1)^{-3/2} \end{aligned}$

참고: 또 다른 방법은 먼저 합성함수의 미분법을 이용하여 미분한 다음, 삼각형을 그려서 얻은 식을 간단히 하는 것이다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan x\right)\right\}=\dfrac{\cos(\arctan x)}{1+x^2}$ .

원본 교재 풀이(영어)

Let $\theta = \arctan x$ . Then $\theta$ is the angle of a right triangle that gives $\tan \theta = x$ . In particular, the ratio of the opposite side to the adjacent side is $x$ . So, we have a triangle that looks like this:

where the length of the hypotenuse came from the Pythagorean Theorem. Now, $\sin\left(\arctan x\right) = \sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ From here, we differentiate using the quotient rule:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right\}&= \frac{\sqrt{x^2+1}-x\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\ &=\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\\ &=\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\\ &=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}=(x^2+1)^{-3/2} \end{aligned}$

Remark: another strategy is to differentiate first, using the chain rule, then draw a triangle to simplify the resulting expression $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan x\right)\right\}=\dfrac{\cos(\arctan x)}{1+x^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.12절 · 17번

# 역삼각함수의 미분증명·논술보통자동 분류

극한·미분 심화 전체 문제