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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

미분방정식 전체 문제

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367문제 · 6 / 19쪽

101.OpenStax 2권 · 4.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 소프트웨어 프로그램이나 계산기를 사용하여 방향장을 만드세요. 해를 명시적으로 구하고 여러 초기 조건에 대한 해 곡선을 그리세요. 해의 거동을 바꾸는 임계 초기 조건이 있나요?

[계산기 사용] y′=eyy'={e}^{y}

영어 원문 보기

For the following problems, use a software program or your calculator to generate the directional fields. Solve explicitly and draw solution curves for several initial conditions. Are there some critical initial conditions that change the behavior of the solution?

[T] y′=eyy'={e}^{y}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 16번
# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
102.OpenStax 2권 · 4.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 소프트웨어 프로그램이나 계산기를 사용하여 방향장을 만드세요. 해를 명시적으로 구하고, 여러 초기 조건에 대한 해 곡선을 그리세요. 해의 거동을 바꾸는 임계 초기 조건이 있나요?

[계산기 사용] y′=yln⁡(x)y'=y\ln (x)

영어 원문 보기

For the following problems, use a software program or your calculator to generate the directional fields. Solve explicitly and draw solution curves for several initial conditions. Are there some critical initial conditions that change the behavior of the solution?

[T] y′=yln⁡(x)y'=y\ln (x)

정답·풀이 보기

y=Ce−xxxy=C{e}^{-x}{x}^{x}

화살표가 오른쪽을 향하는 방향장이다. y = 1 위에서는 화살표가 수평이다. 이 직선에서 멀어질수록 화살표는 더 가파르다. 이 직선보다 위에서는 화살표가 위쪽을 향하고, 아래에서는 아래쪽을 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

y=Ce−xxxy=C{e}^{-x}{x}^{x}

A direction field with arrows pointing to the right. The arrows are flat on y = 1. The further the arrows are from that, the steeper they become. They point up above that line and down below that line.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 43번
# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
103.OpenStax 2권 · 4.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

약물이 환자에게 rr mg/h 의 속도로 정맥 투여되고, 체내에 남아 있는 약물의 양 dd 에 비례하는 속도로 몸에서 배출된다. 처음에 체내에 약물이 없다고 가정하고, 미분방정식을 세워 푸세요.

영어 원문 보기

A drug is administered intravenously to a patient at a rate rr mg/h and is cleared from the body at a rate proportional to the amount of drug still present in the body, dd. Set up and solve the differential equation, assuming there is no drug initially present in the body.

정답·풀이 보기

y=rd(1−e−dt)y=\frac{r}{d}(1-{e}^{-dt})

원본 교재 풀이(영어)

y=rd(1−e−dt)y=\frac{r}{d}(1-{e}^{-dt})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.4절 · 10번
# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
104.OpenStax 2권 · 4.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 약물의 투여량이 33 mg 이고, 배출 속도가 c=0.1c=0.1 mg/h 이며, 혈류 속에 항상 11 mg 이 있어야 한다면, 약물을 얼마나 자주 복용해야 하나요?

영어 원문 보기

[T] How often should a drug be taken if its dose is 33 mg, it is cleared at a rate c=0.1c=0.1 mg/h, and 11 mg is required to be in the bloodstream at all times?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 22번
# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
105.OpenStax 2권 · 4.3절 · 48번대학 수준우리말 번역

낙엽은 숲 바닥에 2 g/cm2/yr 의 비율로 쌓이고, 동시에 해마다 90%90\% 의 비율로 분해됩니다. 시간 00 에서 땅 위에 낙엽층이 없다고 가정하고, 숲 바닥 1제곱센티미터당 낙엽층의 그램 수를 나타내는 미분방정식을 쓰세요. 이 양은 일정한 값에 가까워집니까? 그 값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

Leaves accumulate on the forest floor at a rate of 22 g/cm2/yr and also decompose at a rate of 90%90\% per year. Write a differential equation governing the number of grams of leaf litter per square centimeter of forest floor, assuming at time 00 there is no leaf litter on the ground. Does this amount approach a steady value? What is that value?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 15번
# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
106.OpenStax 2권 · 4.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

낙엽이 숲 바닥에 44 g/cm2/yr 의 비율로 쌓인다. 이 낙엽은 매년 10%10\% 의 비율로 분해된다. 숲 바닥 1제곱센티미터당 낙엽층의 질량(g)을 나타내는 미분방정식을 세우세요. 이 양은 일정한 값에 가까워지나요? 그 값은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Leaves accumulate on the forest floor at a rate of 44 g/cm2/yr. These leaves decompose at a rate of 10%10\% per year. Write a differential equation governing the number of grams of leaf litter per square centimeter of forest floor. Does this amount approach a steady value? What is that value?

정답·풀이 보기

y=40(1−e−0.1t),40y=40(1-{e}^{-0.1t}),40 g/cm2

원본 교재 풀이(영어)

y=40(1−e−0.1t),40y=40(1-{e}^{-0.1t}),40 g/cm2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 4번
# 변수분리형 미분방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
107.OpenStax 2권 · 4.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 P′=CP−P2P'=CP-{P}^{2} 꼴의 로지스틱 방정식을 생각합니다. 방향장을 그리고 평형해의 안정성을 구하세요.

C=3C=3

영어 원문 보기

For the following problems, consider the logistic equation in the form P′=CP−P2.P'=CP-{P}^{2}. Draw the directional field and find the stability of the equilibria.

C=3C=3

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 26번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
108.OpenStax 2권 · 4.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 P′=CP−P2P'=CP-{P}^{2} 꼴의 로지스틱 방정식을 생각합니다. 방향장을 그리고 평형해의 안정성을 구하세요.

C=0C=0

영어 원문 보기

For the following problems, consider the logistic equation in the form P′=CP−P2.P'=CP-{P}^{2}. Draw the directional field and find the stability of the equilibria.

C=0C=0

정답·풀이 보기

화살표가 오른쪽을 향하는 방향장이다. x축 위에서는 화살표가 수평이다. x축의 위쪽과 아래쪽에서는 화살표가 아래를 향한다. 화살표가 x축에서 멀어질수록 선은 점점 더 수직에 가까워진다.

P=0P=0 은 반안정이다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows pointing to the right. The arrows are horizontal along the x axis. The arrows point down above the x axis and below the x axis. The further away the arrows are from the x axis, the more vertical the lines become.

P=0P=0 semi-stable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 24번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
109.OpenStax 2권 · 4.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 P′=CP−P2P'=CP-{P}^{2} 꼴의 로지스틱 방정식을 생각합니다. 방향장을 그리고 평형해의 안정성을 구하세요.

C=−3C=-3

영어 원문 보기

For the following problems, consider the logistic equation in the form P′=CP−P2.P'=CP-{P}^{2}. Draw the directional field and find the stability of the equilibria.

C=−3C=-3

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 22번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
110.OpenStax 2권 · 4.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

C=10C=10 이고 초기 조건이 P(0)=2P(0)=2 일 때, 로지스틱 방정식을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve the logistic equation for C=10C=10 and an initial condition of P(0)=2.P(0)=2.

정답·풀이 보기

P=10e10xe10x+4P=\frac{10{e}^{10x}}{{e}^{10x}+4}

원본 교재 풀이(영어)

P=10e10xe10x+4P=\frac{10{e}^{10x}}{{e}^{10x}+4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 2번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
111.OpenStax 2권 · 4.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

C=−10C=-10 이고 초기 조건이 P(0)=2P(0)=2 일 때, 로지스틱 방정식을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve the logistic equation for C=−10C=-10 and an initial condition of P(0)=2.P(0)=2.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.6절 · 5번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
112.OpenStax 2권 · 4.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

앞의 문제에서 평형해 0<P1<P2?0<{P}_{1}<{P}_{2}? 의 안정성은 각각 무엇인가요?

영어 원문 보기

In the preceding problem, what are the stabilities of the equilibria 0<P1<P2?0<{P}_{1}<{P}_{2}?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 4번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
113.OpenStax 2권 · 4.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제에서 소프트웨어를 이용하여 f=400f=400 일 때의 방향장을 그리세요. 평형해의 안정성은 각각 무엇인가요?

영어 원문 보기

[T] For the preceding problem, use software to generate a directional field for the value f=400.f=400. What are the stabilities of the equilibria?

정답·풀이 보기

화살표가 오른쪽 아래를 향하는 방향장이다. y = 4,000 근처에서는 화살표가 더 수평에 가깝다. 이 직선에서 멀어질수록 화살표는 더 수직에 가까워진다.

P1{P}_{1} 은 반안정

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows pointing down and to the right. Around y = 4,000, the arrows are more horizontal. The further the arrows are from this line, the more vertical the arrows become.

P1{P}_{1} semi-stable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 22번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
114.OpenStax 2권 · 4.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제들에 대해, 소프트웨어를 사용하여 f=600f=600 일 때의 방향장을 그리세요. 평형점의 안정성은 어떠한지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] For the preceding problems, use software to generate a directional field for the value f=600.f=600. What are the stabilities of the equilibria?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 28번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
115.OpenStax 2권 · 4.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제들에 대해, 연못에 물고기를 일정 수만큼 추가하는 경우, 즉 f=−200f=-200 인 경우를 생각하세요. 음이 아닌 평형점과 그 안정성을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] For the preceding problems, consider the case where a certain number of fish are added to the pond, or f=−200.f=-200. What are the nonnegative equilibria and their stabilities?

정답·풀이 보기

P &lt; 10,000 에서는 화살표가 위쪽을 향하고, P &gt; 10,000 에서는 화살표가 아래쪽을 향하는 방향장.

P2>0{P}_{2}>0 안정

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows pointing up for P &lt; 10,000 and arrows pointing down for P &gt; 10,000.

P2>0{P}_{2}>0 stable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 26번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
116.OpenStax 2권 · 4.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 물고기 잡이 문제에 대해, k=0.1k=0.1 이라 가정하고 방향장을 그리세요. 이러한 거동을 보이는 해를 몇 개 그리세요. 평형점과 그 안정성을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] For the previous fishing problem, draw a directional field assuming k=0.1.k=0.1. Draw some solutions that exhibit this behavior. What are the equilibria and what are their stabilities?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 20번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
117.OpenStax 2권 · 4.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 소프트웨어나 계산기를 사용하여 k=0.4k=0.4 일 때의 방향장을 그리세요. 음이 아닌 평형점과 그 안정성을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Use software or a calculator to draw directional fields for k=0.4.k=0.4. What are the nonnegative equilibria and their stabilities?

정답·풀이 보기

P = 0 에서 화살표가 오른쪽을 향하는 방향장. 0보다 아래에서는 화살표가 오른쪽 아래를 향한다. 0보다 위에서도 화살표가 오른쪽 아래를 향한다. 0에서 멀어질수록 화살표는 더 수직에 가까워진다.

P1=0{P}_{1}=0 은 반안정

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with arrows pointing to the right at P = 0. Below 0, the arrows point down and to the right. Above 0, the arrows point down and to the right. The further away from 0, the more vertical the arrows become.

P1=0{P}_{1}=0 is semi-stable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 38번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
118.OpenStax 2권 · 4.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 소프트웨어나 계산기를 사용하여 k=0.6k=0.6 일 때의 방향장을 그리세요. 평형점과 그 안정성을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Use software or a calculator to draw directional fields for k=0.6.k=0.6. What are the equilibria and their stabilities?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 36번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
119.OpenStax 2권 · 4.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

k=0.05k=0.05 이고 처음 물고기 수가 20002000 마리라고 가정하고, 이 방정식을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve this equation, assuming a value of k=0.05k=0.05 and an initial condition of 20002000 fish.

정답·풀이 보기

P(t)=3500(4+3e−035t)P(t)=\frac{3500}{(4+3{e}^{-035t})}

원본 교재 풀이(영어)

P(t)=3500(4+3e−035t)P(t)=\frac{3500}{(4+3{e}^{-035t})}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 22번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
120.OpenStax 2권 · 4.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

k=0.05k=0.05 이고 처음 물고기 수가 50005000 마리라고 가정하고, 이 방정식을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve this equation, assuming a value of k=0.05k=0.05 and an initial condition of 50005000 fish.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.4절 · 2번
# 로지스틱 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)