미분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

21.OpenStax 1권 · 3.9절 · 32번우리말 번역

[계산기 사용] 미분가능한 함수 $y=f(x)$ 의 상대변화율은 $\frac{100\cdot {f}^{'}(x)}{f(x)}\%$ 로 주어진다. 인구 증가의 한 모델은 곰퍼츠 성장 함수이며, $P(x)=a{e}^{-b\cdot {e}^{-cx}}$ 로 주어진다. 여기서 $a,b$ 와 $c$ 는 상수이다.

a. 일반적인 곰퍼츠 함수의 상대변화율 공식을 구하세요. b. a를 이용하여 $a=204,b=0.0198$ 이고 $c=0.15$ 일 때, $x=20$ 개월 후 인구의 상대변화율을 구하세요. c. b의 결과가 무엇을 의미하는지 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] The relative rate of change of a differentiable function $y=f(x)$ is given by $\frac{100\cdot {f}^{'}(x)}{f(x)}\%.$ One model for population growth is a Gompertz growth function, given by $P(x)=a{e}^{-b\cdot {e}^{-cx}}$ where $a,b,$ and $c$ are constants.

a. Find the relative rate of change formula for the generic Gompertz function. b. Use a. to find the relative rate of change of a population in $x=20$ months when $a=204,b=0.0198,$ and $c=0.15.$ c. Briefly interpret what the result of b. means.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 19번

# 지수함수와 로그함수의 미분활용자동 분류

22.OpenStax 1권 · 4.1절 · 6번우리말 번역

길이가 25 ft인 사다리가 벽에 기대어 있습니다. 사다리를 벽 쪽으로 1 ft/sec의 속도로 밀고, 처음에 사다리의 아랫부분이 벽에서 $20\,\text{ft}$ 떨어져 있었다면, 밀기 시작한 지 $5\,\sec$ 후에 사다리는 벽을 따라 얼마나 빠르게 올라가는지 구하세요.

영어 원문 보기

A 25-ft ladder is leaning against a wall. If we push the ladder toward the wall at a rate of 1 ft/sec, and the bottom of the ladder is initially $20\,\text{ft}$ away from the wall, how fast does the ladder move up the wall $5\,\sec$ after we start pushing?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 27번

# 관련 변화율활용자동 분류

23.OpenStax 1권 · 4.1절 · 9번우리말 번역

버스 두 대가 $5\,\text{mi}$ 떨어진 평행한 고속도로를 따라 달리고 있는데, 한 대는 동쪽으로, 다른 한 대는 서쪽으로 향하고 있다. 각 버스가 일정한 속력 $55\,\text{mph,}$ 로 달린다고 할 때, 두 버스가 서로를 향해 가며 $13\,\text{mi}$ 떨어져 있는 순간에 두 버스 사이의 거리가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Two buses are driving along parallel freeways that are $5\,\text{mi}$ apart, one heading east and the other heading west. Assuming that each bus drives a constant $55\,\text{mph,}$ find the rate at which the distance between the buses is changing when they are $13\,\text{mi}$ apart, heading toward each other.

정답·풀이 보기

두 버스 사이의 거리는 $\frac{1320}{13}\approx 101.5\,\text{mph}$ 의 비율로 줄어든다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance between them shrinks at a rate of $\frac{1320}{13}\approx 101.5\,\text{mph}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번

# 관련 변화율활용자동 분류

24.OpenStax 1권 · 4.1절 · 11번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 사람이 기둥에서 10 ft 떨어져 있을 때 그림자 끝이 사람에게서 멀어지는 속력(또는 변화율)은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the tip of the shadow moves away from the person when the person is 10 ft from the pole?

정답·풀이 보기

$\frac{9}{2}$ ft/sec

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{9}{2}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 3번

# 관련 변화율활용자동 분류

25.OpenStax 1권 · 4.1절 · 13번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 사람이 2 ft/sec의 속력으로 벽에서 멀어지고 있을 때, 벽에서 10 ft 떨어진 순간 그림자가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the shadow changes when the person is 10 ft from the wall, if the person is walking away from the wall at a rate of 2 ft/sec?

정답·풀이 보기

$\frac{4}{9}$ ft/sec의 비율로 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

It grows at a rate $\frac{4}{9}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 39번

# 관련 변화율활용자동 분류

26.OpenStax 1권 · 4.1절 · 15번우리말 번역

앞의 문제를 이용하여, 처음에 헬리콥터가 당신의 30 ft 위에 있었다고 할 때, 헬리콥터가 지상 60 ft 높이까지 올라간 순간 당신과 헬리콥터 사이의 거리가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Using the previous problem, what is the rate at which the distance between you and the helicopter is changing when the helicopter has risen to a height of 60 ft in the air, assuming that, initially, it was 30 ft above you?

정답·풀이 보기

거리는 $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/sec의 비율로 증가하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance is increasing at $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 25번

# 관련 변화율활용자동 분류

27.OpenStax 1권 · 4.1절 · 16번우리말 번역

정육면체의 한 모서리의 길이가 $\frac{1}{2}$ m/sec의 비율로 증가한다. 모서리의 길이가 4 m일 때, 정육면체의 부피가 증가하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The side of a cube increases at a rate of $\frac{1}{2}$ m/sec. Find the rate at which the volume of the cube increases when the side of the cube is 4 m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 7번

# 관련 변화율활용자동 분류

28.OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번우리말 번역

정육면체의 부피가 10 m³/s 의 비율로 감소합니다. 정육면체의 한 모서리의 길이가 2 m 일 때, 그 모서리의 길이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The volume of a cube decreases at a rate of 10 m³/s. Find the rate at which the side of the cube changes when the side of the cube is 2 m.

정답·풀이 보기

$-\frac{5}{6}$ m/sec

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{5}{6}$ m/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 27번

# 관련 변화율활용자동 분류

29.OpenStax 1권 · 4.1절 · 18번우리말 번역

원의 반지름이 $2$ m/sec 의 비율로 증가합니다. 반지름이 5 m 일 때, 원의 넓이가 증가하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a circle increases at a rate of $2$ m/sec. Find the rate at which the area of the circle increases when the radius is 5 m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 5번

# 관련 변화율활용자동 분류

30.OpenStax 1권 · 4.1절 · 19번우리말 번역

구의 반지름이 $3$ m/sec 의 비율로 감소합니다. 반지름이 10 m 일 때, 겉넓이가 감소하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere decreases at a rate of $3$ m/sec. Find the rate at which the surface area decreases when the radius is 10 m.

정답·풀이 보기

$240\pi$ m²/sec

원본 교재 풀이(영어)

$240\pi$ m²/sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 31번

# 관련 변화율활용자동 분류

31.OpenStax 1권 · 4.1절 · 20번우리말 번역

구의 반지름이 $1$ m/sec 의 비율로 증가합니다. 반지름이 $20$ m 일 때, 부피가 증가하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere increases at a rate of $1$ m/sec. Find the rate at which the volume increases when the radius is $20$ m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 39번

# 관련 변화율활용자동 분류

32.OpenStax 1권 · 4.1절 · 22번우리말 번역

삼각형의 밑변의 길이는 1 cm/min 의 변화율로 줄어들고 있고, 높이는 5 cm/min 의 비율로 늘어나고 있습니다. 높이가 22 cm이고 밑변의 길이가 10 cm일 때, 삼각형의 넓이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

The base of a triangle is shrinking at a rate of 1 cm/min and the height of the triangle is increasing at a rate of 5 cm/min. Find the rate at which the area of the triangle changes when the height is 22 cm and the base is 10 cm.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.2절 · 1번

# 관련 변화율활용자동 분류

33.OpenStax 1권 · 4.1절 · 23번우리말 번역

한 삼각형의 두 변의 길이는 각각 3 ft, 5 ft 로 일정합니다(상수). 이 두 변 사이의 끼인각은 0.1 rad/sec 의 변화율로 증가하고 있습니다. 두 변 사이의 끼인각이 $\pi /6$ 일 때, 삼각형의 넓이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A triangle has two constant sides of length 3 ft and 5 ft. The angle between these two sides is increasing at a rate of 0.1 rad/sec. Find the rate at which the area of the triangle is changing when the angle between the two sides is $\pi /6.$

정답·풀이 보기

넓이는 $\frac{\left(3\sqrt{3}\right)}{8}\,{\text{ft}}^{2}\text{/sec.}$ 의 비율로 증가한다.

원본 교재 풀이(영어)

The area is increasing at a rate $\frac{\left(3\sqrt{3}\right)}{8}\,{\text{ft}}^{2}\text{/sec.}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 19번

# 관련 변화율활용자동 분류

34.OpenStax 1권 · 4.1절 · 24번우리말 번역

한 삼각형의 높이는 초당 2 cm의 비율로 증가하고 있고, 넓이는 4 cm²/sec 의 비율로 증가하고 있습니다. 삼각형의 높이가 4 cm이고 넓이가 20 cm²일 때, 삼각형의 밑변의 길이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A triangle has a height that is increasing at a rate of 2 cm/sec and its area is increasing at a rate of 4 cm²/sec. Find the rate at which the base of the triangle is changing when the height of the triangle is 4 cm and the area is 20 cm².

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 1번

# 관련 변화율활용자동 분류

35.OpenStax 1권 · 4.1절 · 25번우리말 번역

원뿔에서 물이 분당 10 ft³의 비율로 새고 있을 때, 물의 높이가 10 ft 이면 물의 깊이는 얼마나 빠르게 변합니까?

영어 원문 보기

How fast does the depth of the water change when the water is 10 ft high if the cone leaks water at a rate of 10 ft³/min?

정답·풀이 보기

물의 깊이는 $\frac{128}{125\pi }$ ft/min 의 비율로 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

The depth of the water decreases at $\frac{128}{125\pi }$ ft/min.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 39번

# 관련 변화율활용자동 분류

36.OpenStax 1권 · 4.1절 · 26번우리말 번역

원뿔에서 물이 10 ft³/min 의 비율로 새고 있을 때, 물의 높이가 10 ft 일 때 물의 겉넓이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the rate at which the surface area of the water changes when the water is 10 ft high if the cone leaks water at a rate of 10 ft³/min.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 23번

# 관련 변화율활용자동 분류

37.OpenStax 1권 · 4.1절 · 27번우리말 번역

수심이 8 ft일 때 수면의 높이가 분당 3 in의 비율로 감소하고 있다면, 원뿔에서 물이 새어 나가는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

If the water level is decreasing at a rate of 3 in/min when the depth of the water is 8 ft, determine the rate at which water is leaking out of the cone.

정답·풀이 보기

부피는 $\frac{(25\pi )}{16}{\text{ft}}^{3}\text{/min}$ 의 비율로 감소하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The volume is decreasing at a rate of $\frac{(25\pi )}{16}{\text{ft}}^{3}\text{/min}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 25번

# 관련 변화율활용자동 분류

38.OpenStax 1권 · 4.1절 · 28번우리말 번역

수직으로 세워진 원기둥에서 물이 1 ft³/sec 의 비율로 새고 있다. 원기둥의 높이가 10 ft이고 반지름이 1 ft라고 할 때, 물의 높이가 6 ft인 순간에 물의 높이는 어떤 비율로 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A vertical cylinder is leaking water at a rate of 1 ft³/sec. If the cylinder has a height of 10 ft and a radius of 1 ft, at what rate is the height of the water changing when the height is 6 ft?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 2번

# 관련 변화율활용자동 분류

39.OpenStax 1권 · 4.1절 · 29번우리말 번역

수직으로 세워진 원기둥에서 물이 새고 있지만 그 변화율은 알 수 없다. 원기둥의 높이는 2 m이고 반지름은 2 m이다. 높이가 1 m일 때 높이가 감소하는 비율이 10 cm/min이라면, 원기둥에서 물이 새어 나가는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

A vertical cylinder is leaking water but you are unable to determine at what rate. The cylinder has a height of 2 m and a radius of 2 m. Find the rate at which the water is leaking out of the cylinder if the rate at which the height is decreasing is 10 cm/min when the height is 1 m.

정답·풀이 보기

물은 $\frac{(2\pi )}{5}\,{\text{m}}^{3}\text{/min.}$ 의 비율로 흘러나간다.

원본 교재 풀이(영어)

The water flows out at rate $\frac{(2\pi )}{5}\,{\text{m}}^{3}\text{/min.}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 35번

# 관련 변화율활용자동 분류

40.OpenStax 1권 · 4.1절 · 32번우리말 번역

물의 깊이가 5 ft일 때, 물의 깊이가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the rate at which the depth of the water is changing when the water has a depth of 5 ft.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 9번

# 관련 변화율활용자동 분류

미분법 전체 문제