빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

지수함수와 로그함수의 미분

eˣ, aˣ, ln x, logₐx의 도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

55문제 · 3 / 3쪽

41.CLP-1 · 2.10절 · 9번우리말 번역

ddθlog⁡(sec⁡θ)\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ddθlog⁡(sec⁡θ)\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta).

정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 사용하면

ddθlog⁡(sec⁡θ)=1sec⁡θ⋅(sec⁡θ⋅tan⁡θ)=tan⁡θ\begin{aligned} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta)&=\frac{1}{\sec \theta}\cdot (\sec \theta \cdot \tan \theta)\\ &=\tan\theta \end{aligned}

참고: 함수 log⁡(sec⁡θ)\log(\sec \theta) 의 정의역은 sec⁡θ\sec\theta 가 양수가 되는 θ\theta 의 값들이다. 따라서 nn 이 임의의 정수일 때 구간 ((2n−12)π,(2n+12)π)\left(\left(2n-\frac{1}{2}\right)\pi,\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi\right) 가 정의역이다. 탄젠트 함수의 정의역은 분명 이보다 넓지만, log⁡(sec⁡θ)\log(\sec \theta) 의 정의역 밖에서는 tan⁡θ\tan \theta 가 log⁡(sec⁡θ)\log(\sec \theta) 의 도함수가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule,

ddθlog⁡(sec⁡θ)=1sec⁡θ⋅(sec⁡θ⋅tan⁡θ)=tan⁡θ\begin{aligned} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta)&=\frac{1}{\sec \theta}\cdot (\sec \theta \cdot \tan \theta)\\ &=\tan\theta \end{aligned}

Remark: the domain of the function log⁡(sec⁡θ)\log(\sec \theta) is those values of θ\theta for which sec⁡θ\sec\theta is positive: so, the intervals ((2n−12)π,(2n+12)π)\left(\left(2n-\frac{1}{2}\right)\pi,\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi\right) where nn is any integer. Certainly the tangent function has a larger domain than this, but outside the domain of log⁡(sec⁡θ)\log(\sec \theta), tan⁡θ\tan \theta is not the derivative of log⁡(sec⁡θ)\log(\sec \theta).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 12번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
42.CLP-1 · 2.10절 · 10번우리말 번역

함수 f(x)=ecos⁡(log⁡x)f(x)=e^{\cos\left(\log x\right)} 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate the function f(x)=ecos⁡(log⁡x)f(x)=e^{\cos\left(\log x\right)}.

정답·풀이 보기

먼저 연쇄 법칙을 적용하자.

f′(x)=ecos⁡(log⁡x)⋅ddx{cos⁡(log⁡x)}연쇄 법칙이 다시 필요하다:=ecos⁡(log⁡x)(−sin⁡(log⁡x))⋅ddx{log⁡x}=ecos⁡(log⁡x)(−sin⁡(log⁡x))⋅1x=−ecos⁡(log⁡x)sin⁡(log⁡x)x\begin{aligned} f'(x) &= e^{ \cos\left(\log x\right)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \cos\left( \log x \right)\right\} \\ \text{연쇄 법칙이 다시 필요하다:} \\ &= e^{\cos\left(\log x\right)} (-\sin( \log x)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \log x \}\\ &= e^{\cos\left(\log x\right)} (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x}\\ &=\frac{-e^{\cos(\log x)}\sin(\log x)}{x} \end{aligned}

참고: 지수에 로그가 있지만 약분할 수는 없다. 식 ecos⁡(log⁡x)e^{\cos (\log x)} 은 식 xcos⁡xx^{\cos x} 또는 cos⁡x\cos x 와 같지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's start in with the chain rule.

f′(x)=ecos⁡(log⁡x)⋅ddx{cos⁡(log⁡x)}We’ll need the chain rule again:=ecos⁡(log⁡x)(−sin⁡(log⁡x))⋅ddx{log⁡x}=ecos⁡(log⁡x)(−sin⁡(log⁡x))⋅1x=−ecos⁡(log⁡x)sin⁡(log⁡x)x\begin{aligned} f'(x) &= e^{ \cos\left(\log x\right)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \cos\left( \log x \right)\right\} \\ \text{We'll need the chain rule again:} \\ &= e^{\cos\left(\log x\right)} (-\sin( \log x)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \log x \}\\ &= e^{\cos\left(\log x\right)} (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x}\\ &=\frac{-e^{\cos(\log x)}\sin(\log x)}{x} \end{aligned}

Remark: Although we have a logarithm in the exponent, we can't cancel. The expression ecos⁡(log⁡x)e^{\cos (\log x)} is not the same as the expression xcos⁡xx^{\cos x}, or cos⁡x\cos x.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 29번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
43.CLP-1 · 2.10절 · 11번우리말 번역

도함수를 구하세요. 답을 간단히 하지 않아도 됩니다. y=log⁡(x2+x4+1)y=\log(x^2+\sqrt{x^4+1})

영어 원문 보기

Evaluate the derivative. You do not need to simplify your answer. y=log⁡(x2+x4+1)y=\log(x^2+\sqrt{x^4+1})

정답·풀이 보기

y=log⁡(x2+x4+1)So, we’ll need the chain rule:y′=ddx{x2+x4+1}x2+x4+1=2x+ddx{x4+1}x2+x4+1We need the chain rule again:=2x+ddx{x4+1}2x4+1x2+x4+1=2x+4x32x4+1x2+x4+1.\begin{aligned} y&=\log(x^2+\sqrt{x^4+1}) \\ \text{So, we'll need the chain rule:} \\ y'&=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+\sqrt{x^4+1}\right\}}{ x^2+\sqrt{x^4+1}}\\ &=\frac{2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^4+1}\right\}}{x^2+\sqrt{x^4+1}} \\ \text{We need the chain rule again:} \\ &=\frac{2x+\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^4+1\right\}}{2\sqrt{ x^4+1}}}{x^2+\sqrt{x^4+1}}\\ &=\frac{2x+\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}}{x^2+\sqrt{x^4+1}}. \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

y=log⁡(x2+x4+1)So, we’ll need the chain rule:y′=ddx{x2+x4+1}x2+x4+1=2x+ddx{x4+1}x2+x4+1We need the chain rule again:=2x+ddx{x4+1}2x4+1x2+x4+1=2x+4x32x4+1x2+x4+1.\begin{aligned} y&=\log(x^2+\sqrt{x^4+1}) \\ \text{So, we'll need the chain rule:} \\ y'&=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+\sqrt{x^4+1}\right\}}{ x^2+\sqrt{x^4+1}}\\ &=\frac{2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^4+1}\right\}}{x^2+\sqrt{x^4+1}} \\ \text{We need the chain rule again:} \\ &=\frac{2x+\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^4+1\right\}}{2\sqrt{ x^4+1}}}{x^2+\sqrt{x^4+1}}\\ &=\frac{2x+\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}}{x^2+\sqrt{x^4+1}}. \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 5번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
44.CLP-1 · 2.10절 · 12번우리말 번역

−log⁡(cos⁡x)\sqrt{-\log(\cos x)} 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate −log⁡(cos⁡x)\sqrt{-\log(\cos x)}.

정답·풀이 보기

이 문제는 연쇄 법칙을 두 번 적용해야 한다.

ddx{−log⁡(cos⁡x)}=12−log⁡(cos⁡x)⋅ddx{−log⁡(cos⁡x)}=−12−log⁡(cos⁡x)⋅1cos⁡xddx{cos⁡x}=−12−log⁡(cos⁡x)⋅1cos⁡x⋅(−sin⁡x)=tan⁡x2−log⁡(cos⁡x)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \sqrt{-\log(\cos x)} \right\} &= \frac{1}{2\sqrt{ -\log(\cos x)}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ -\log\left(\cos x\right) \right\}\\ &= -\frac{1}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \cdot \frac{1}{ \cos x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \cos x \right\}\\ &= -\frac{1}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \left(-\sin x\right)\\ &=\frac{\tan x}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \end{aligned}

참고: 제곱근 안에 음의 부호가 있는 것이 이상해 보일 수 있다. 코사인 함수의 값은 항상 1 이하이므로, log⁡(cos⁡x)\log(\cos x) 는 정의역 전체에서 항상 음수이거나 0이다. 따라서 log⁡(cos⁡x)\sqrt{\log(\cos x)} 는 cos⁡x=1\cos x=1 인 점에서만 정의된다(그러면 log⁡(cos⁡x)=0\log(\cos x) = 0 이다. 이는 별로 흥미로운 함수가 아니다! 반면 −log⁡(cos⁡x)-\log(\cos x) 는 정의역 전체에서 항상 양수이거나 0이므로, 언제나 제곱근을 취할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

This requires us to apply the chain rule twice.

ddx{−log⁡(cos⁡x)}=12−log⁡(cos⁡x)⋅ddx{−log⁡(cos⁡x)}=−12−log⁡(cos⁡x)⋅1cos⁡xddx{cos⁡x}=−12−log⁡(cos⁡x)⋅1cos⁡x⋅(−sin⁡x)=tan⁡x2−log⁡(cos⁡x)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \sqrt{-\log(\cos x)} \right\} &= \frac{1}{2\sqrt{ -\log(\cos x)}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ -\log\left(\cos x\right) \right\}\\ &= -\frac{1}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \cdot \frac{1}{ \cos x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \cos x \right\}\\ &= -\frac{1}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \left(-\sin x\right)\\ &=\frac{\tan x}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \end{aligned}

Remark: it looks strange to see a negative sign in the argument of a square root. Since the cosine function always gives values that are at most 1, log⁡(cos⁡x)\log(\cos x) is always negative or zero over its domain. So, log⁡(cos⁡x)\sqrt{\log(\cos x)} is only defined for the points where cos⁡x=1\cos x=1 (and so log⁡(cos⁡x)=0\log(\cos x) = 0–this isn't a very interesting function! In contrast, −log⁡(cos⁡x)-\log(\cos x) is always positive or zero over its domain – and therefore we can always take its square root.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 8번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
45.CLP-1 · 2.10절 · 13번우리말 번역

log⁡(x+x2+4)\log\big(x+\sqrt{x^2+4}\big) 의 도함수를 계산하고 간단히 하세요.

영어 원문 보기

Calculate and simplify the derivative of log⁡(x+x2+4)\log\big(x+\sqrt{x^2+4}\big).

정답·풀이 보기

연쇄 법칙(합성함수의 미분법)에 의해 ddxlog⁡f(x)=1f(x)f′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log f(x)=\frac{1}{f(x)}f'(x) 이다. 따라서

ddx{log⁡(x+x2+4)}=1x+x2+4⋅ddx{x+x2+4}=1x+x2+4⋅(1+2x2x2+4)=1x+x2+4⋅(2x2+4+2x2x2+4)=1x2+4\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log\big(x+\sqrt{x^2+4}\big)\right\} &=\frac{1}{ x+\sqrt{x^2+4}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x+\sqrt{x^2+4}\right\} \\ &=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+4}}\cdot\left(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}\right)\\ &=\frac{1}{ x+\sqrt{x^2+4}}\cdot \left(\frac{ 2 \sqrt{x^2+4} + 2 x} { 2\sqrt{x^2+4}}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Under the chain rule, ddxlog⁡f(x)=1f(x)f′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log f(x)=\frac{1}{f(x)}f'(x). So

ddx{log⁡(x+x2+4)}=1x+x2+4⋅ddx{x+x2+4}=1x+x2+4⋅(1+2x2x2+4)=1x+x2+4⋅(2x2+4+2x2x2+4)=1x2+4\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log\big(x+\sqrt{x^2+4}\big)\right\} &=\frac{1}{ x+\sqrt{x^2+4}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x+\sqrt{x^2+4}\right\} \\ &=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+4}}\cdot\left(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}\right)\\ &=\frac{1}{ x+\sqrt{x^2+4}}\cdot \left(\frac{ 2 \sqrt{x^2+4} + 2 x} { 2\sqrt{x^2+4}}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 10번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
46.CLP-1 · 2.10절 · 14번우리말 번역

g(x)=log⁡(ex2+1+x4)g(x)=\log (e^{x^2}+\sqrt{1+x^4}) 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the derivative of g(x)=log⁡(ex2+1+x4)g(x)=\log (e^{x^2}+\sqrt{1+x^4}).

정답·풀이 보기

연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용하면

g′(x)=ddx{ex2+1+x4}ex2+1+x4=2xex2+4x321+x4ex2+1+x4(1+x41+x4)=2xex21+x4+2x3ex21+x4+1+x4\begin{aligned} g'(x)&=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{x^2}+\sqrt{1+x^4}\}}{e^{x^2}+\sqrt{1+x^4}}\\ &=\frac{2xe^{x^2}+\frac{4x^3}{2\sqrt{1+x^4}}}{e^{x^2}+\sqrt{1+x^4}}\left(\frac{\sqrt{1+x^4}}{\sqrt{1+x^4}}\right)\\ &=\frac{2xe^{x^2}\sqrt{1+x^4}+2x^3}{e^{x^2}\sqrt{1+x^4}+1+x^4} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule,

g′(x)=ddx{ex2+1+x4}ex2+1+x4=2xex2+4x321+x4ex2+1+x4(1+x41+x4)=2xex21+x4+2x3ex21+x4+1+x4\begin{aligned} g'(x)&=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{x^2}+\sqrt{1+x^4}\}}{e^{x^2}+\sqrt{1+x^4}}\\ &=\frac{2xe^{x^2}+\frac{4x^3}{2\sqrt{1+x^4}}}{e^{x^2}+\sqrt{1+x^4}}\left(\frac{\sqrt{1+x^4}}{\sqrt{1+x^4}}\right)\\ &=\frac{2xe^{x^2}\sqrt{1+x^4}+2x^3}{e^{x^2}\sqrt{1+x^4}+1+x^4} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 6번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
47.CLP-1 · 2.10절 · 15번우리말 번역

다음 함수의 x=1x=1 에서의 미분계수의 값을 구하세요: g(x)=log⁡(2x−12x+1)g(x)=\log\Big(\dfrac{2x-1}{2x+1}\Big).

영어 원문 보기

Evaluate the derivative of the following function at x=1x=1: g(x)=log⁡(2x−12x+1)g(x)=\log\Big(\dfrac{2x-1}{2x+1}\Big).

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

로그의 성질을 이용하면 더 쉬운 문제가 된다:

g(x)=log⁡(2x−1)−log⁡(2x+1)따라서,  g′(x)=22x−1−22x+1그리고  g′(1)=21−23=43\begin{aligned} g(x) &= \log(2x-1) -\log(2x+1)\\ \text{따라서, }~ g'(x) &= \dfrac{2}{2x-1} -\dfrac{2}{2x+1}\\ \text{그리고 }~ g'(1) &= \dfrac{2}{1} -\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Using logarithm rules makes this an easier problem:

g(x)=log⁡(2x−1)−log⁡(2x+1)So,  g′(x)=22x−1−22x+1and  g′(1)=21−23=43\begin{aligned} g(x) &= \log(2x-1) -\log(2x+1)\\ \text{So, }~ g'(x) &= \dfrac{2}{2x-1} -\dfrac{2}{2x+1}\\ \text{and }~ g'(1) &= \dfrac{2}{1} -\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 1번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
48.CLP-1 · 2.10절 · 16번우리말 번역

함수 f(x)=log⁡((x2+5)3x4+10)f(x) = \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the derivative of the function f(x)=log⁡((x2+5)3x4+10)f(x) = \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right).

정답·풀이 보기

먼저 간단히 하면 다음과 같다:

f(x)=log⁡((x2+5)3x4+10)=log⁡(((x2+5)3x4+10)1/2)=12log⁡((x2+5)3x4+10)=12[log⁡((x2+5)3)−log⁡(x4+10)]=12[3log⁡((x2+5))−log⁡(x4+10)]이제 연쇄법칙을 이용하여 미분한다:f′(x)=12[32xx2+5−4x3x4+10]=3xx2+5−2x3x4+10\begin{aligned} f(x) &= \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)\\ &=\log\left(\left({\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)^{1/2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\log\left(\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left[\log\left({(x^2+5)^3}\right)-\log({x^4+10})\right] \\ &=\frac{1}{2}\left[3\log\left({(x^2+5)}\right)-\log({x^4+10})\right] \\ \text{이제 연쇄법칙을 이용하여 미분한다:} \\ f'(x)&=\frac{1}{2}\left[ 3\frac{2x}{x^2+5}-\frac{4x^3}{x^4+10} \right]\\ &=\frac{3x}{x^2+5}-\frac{2x^3}{x^4+10} \end{aligned}

참고: log⁡(x2+4)\log(x^2+4)를 log⁡(x2)+log⁡(4)\log(x^2)+\log(4)로 쓰는 것은 흔한 실수이다. 이 두 식은 서로 같지 않다!

원본 교재 풀이(영어)

We begin by simplifying:

f(x)=log⁡((x2+5)3x4+10)=log⁡(((x2+5)3x4+10)1/2)=12log⁡((x2+5)3x4+10)=12[log⁡((x2+5)3)−log⁡(x4+10)]=12[3log⁡((x2+5))−log⁡(x4+10)]Now, we differentiate using the chain rule:f′(x)=12[32xx2+5−4x3x4+10]=3xx2+5−2x3x4+10\begin{aligned} f(x) &= \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)\\ &=\log\left(\left({\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)^{1/2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\log\left(\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left[\log\left({(x^2+5)^3}\right)-\log({x^4+10})\right] \\ &=\frac{1}{2}\left[3\log\left({(x^2+5)}\right)-\log({x^4+10})\right] \\ \text{Now, we differentiate using the chain rule:} \\ f'(x)&=\frac{1}{2}\left[ 3\frac{2x}{x^2+5}-\frac{4x^3}{x^4+10} \right]\\ &=\frac{3x}{x^2+5}-\frac{2x^3}{x^4+10} \end{aligned}

Remark: it is a common mistake to write log⁡(x2+4)\log(x^2+4) as log⁡(x2)+log⁡(4)\log(x^2)+\log(4). These expressions are not equivalent!

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 4번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
49.CLP-1 · 2.10절 · 17번우리말 번역

f(x)=log⁡(g(xh(x)))f(x) = \log\big(g\big(xh(x)\big)\big), h(2)=2h(2) = 2, h′(2)=3h'(2) = 3, g(4)=3g(4) = 3, g′(4)=5g'(4) = 5 일 때 f′(2)f'(2) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate f′(2)f'(2) if f(x)=log⁡(g(xh(x)))f(x) = \log\big(g\big(xh(x)\big)\big), h(2)=2h(2) = 2, h′(2)=3h'(2) = 3, g(4)=3g(4) = 3, g′(4)=5g'(4) = 5.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

합성함수의 미분법을 두 번 쓴 다음 곱의 미분법을 쓴다:

f′(x)=1g(xh(x))⋅ddx{g(xh(x))}=1g(xh(x))⋅g′(xh(x))⋅ddx{xh(x)}=1g(xh(x))⋅g′(xh(x))⋅[h(x)+xh′(x)]특히, x=2 일 때:f′(2)=1g(2h(2))⋅g′(2h(2))⋅[h(2)+2h′(2)]=g′(4)g(4)[2+2×3]=53[2+2×3]=403\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{ g(xh(x))}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ g(xh(x))\}\\ &=\frac{1}{g(xh(x))}\cdot g'( xh(x))\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ xh(x)\} \\ &=\dfrac{1}{g\big(xh(x)\big)}\cdot g'\big(xh(x)\big)\cdot\big[h(x)+xh'(x)\big] \\ \text{특히, $x=2$ 일 때:} \\ f'(2) &= \dfrac{1}{g\big(2h(2)\big)}\cdot g'\big(2h(2)\big)\cdot \big[h(2)+2h'(2)\big]\\ &= \dfrac{g'(4)}{g(4)}\big[2+2\times 3\big] = \dfrac{5}{3}\big[2+2\times 3\big]\\ &=\dfrac{40}{3} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We use the chain rule twice, followed by the product rule:

f′(x)=1g(xh(x))⋅ddx{g(xh(x))}=1g(xh(x))⋅g′(xh(x))⋅ddx{xh(x)}=1g(xh(x))⋅g′(xh(x))⋅[h(x)+xh′(x)]In particular, when x=2:f′(2)=1g(2h(2))⋅g′(2h(2))⋅[h(2)+2h′(2)]=g′(4)g(4)[2+2×3]=53[2+2×3]=403\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{ g(xh(x))}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ g(xh(x))\}\\ &=\frac{1}{g(xh(x))}\cdot g'( xh(x))\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ xh(x)\} \\ &=\dfrac{1}{g\big(xh(x)\big)}\cdot g'\big(xh(x)\big)\cdot\big[h(x)+xh'(x)\big] \\ \text{In particular, when $x=2$:} \\ f'(2) &= \dfrac{1}{g\big(2h(2)\big)}\cdot g'\big(2h(2)\big)\cdot \big[h(2)+2h'(2)\big]\\ &= \dfrac{g'(4)}{g(4)}\big[2+2\times 3\big] = \dfrac{5}{3}\big[2+2\times 3\big]\\ &=\dfrac{40}{3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 7번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
50.CLP-1 · 2.10절 · 18번우리말 번역

함수 g(x)=πx+xπg(x)=\pi^x+x^\pi 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate the function g(x)=πx+xπ.g(x)=\pi^x+x^\pi.

정답·풀이 보기

교재에서 상수 aa 에 대해 ddx{ax}=axlog⁡a\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{a^x\right\}=a^x\log a 임을 보았다. 따라서 ddx{πx}=πxlog⁡π\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\pi^x\right\}=\pi^x\log \pi 이다.

거듭제곱의 미분법에 의해 ddx{xπ}=πxπ−1\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{\pi}\right\}=\pi x^{\pi-1} 이다.

그러므로 g′(x)=πxlog⁡π+πxπ−1g'(x)=\pi^x\log \pi+\pi x^{\pi-1} 이다.

참고: g(x)g(x) 의 두 항에는 서로 다른 두 가지 법칙을 써야 했다. 함수 πx\pi^x 와 xπx^\pi 는 겉보기에 비슷하지만, 두 함수와 그 도함수는 서로 다르게 행동한다. (상수)x(\text{상수})^{x} 꼴의 함수는 지수함수이며 거듭제곱의 미분법을 쓸 수 없다. 반면 x상수x^{\text{상수}} 꼴의 함수는 바로 거듭제곱의 미분법이 적용되는 함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the text, we saw that ddx{ax}=axlog⁡a\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{a^x\right\}=a^x\log a for any constant aa. So, ddx{πx}=πxlog⁡π\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\pi^x\right\}=\pi^x\log \pi.

By the power rule, ddx{xπ}=πxπ−1\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{x^{\pi}\right\}=\pi x^{\pi-1}.

Therefore, g′(x)=πxlog⁡π+πxπ−1g'(x)=\pi^x\log \pi+\pi x^{\pi-1}.

Remark: we had to use two different rules for the two different terms in g(x)g(x). Although the functions πx\pi^x and xπx^\pi look superficially the same, they behave differently, as do their derivatives. A function of the form (constant)x(\text{constant})^{x} is an exponential function and not eligible for the power rule, while a function of the form xconstantx^{\text{constant}} is exactly the class of function the power rule applies to.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 19번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
51.CLP-1 · 2.10절 · 19번우리말 번역

f(x)=xxf(x)=x^x 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate f(x)=xxf(x)=x^x.

정답·풀이 보기

nn 이 상수일 때 xnx^n 꼴 함수의 도함수는 거듭제곱의 미분법으로 알 수 있다. 그러나 여기서는 지수가 상수가 아니다. 마찬가지로 이 절에서 aa 가 상수일 때 axa^x 꼴 함수의 도함수를 배웠지만, 이번에도 밑이 상수가 아니다! 결과 ddxax=axlog⁡a\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x=a^x\log a 는 우리에게 필요한 것이 아니지만, axa^x 을 미분할 때 쓴 방법은 xxx^x 의 도함수를 알려 줄 것이다.

g(x)=log⁡(xx)g(x)=\log(x^x) 으로 놓자. 이제 로그의 성질을 써서 간단히 할 수 있기 때문이다:

g(x)=log⁡(f(x))=xlog⁡x이제 오른쪽 변은 곱의 미분법으로, log⁡(f(x)) 는 합성함수의 미분법으로 미분할 수 있다:g′(x)=f′(x)f(x)=log⁡x+x1x=log⁡x+1마지막으로 f′(x) 에 대해 푼다:f′(x)=f(x)(log⁡x+1)=xx(log⁡x+1)\begin{aligned} g(x)=\log(f(x))&=x\log x \\ \text{이제 오른쪽 변은 곱의 미분법으로, $\log(f(x))$ 는 합성함수의 미분법으로 미분할 수 있다:} \\ g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}&=\log x +x\frac{1}{x}=\log x +1 \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 푼다:} \\ f'(x)&=f(x)(\log x + 1) = x^x(\log x + 1) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We have the power rule to tell us the derivative of functions of the form xnx^n, where nn is a constant. However, here our exponent is not a constant. Similarly, in this section we learned the derivative of functions of the form axa^x, where aa is a constant, but again, our base is not a constant! Although the result ddxax=axlog⁡a\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x=a^x\log a is not what we need, the method used to differentiate axa^x will tell us the derivative of xxx^x.

We'll set g(x)=log⁡(xx)g(x)=\log(x^x), because now we can use logarithm rules to simplify:

g(x)=log⁡(f(x))=xlog⁡xNow, we can use the product rule to differentiate the right side, and the chain rule to differentiate log⁡(f(x)):g′(x)=f′(x)f(x)=log⁡x+x1x=log⁡x+1Finally, we solve for f′(x):f′(x)=f(x)(log⁡x+1)=xx(log⁡x+1)\begin{aligned} g(x)=\log(f(x))&=x\log x \\ \text{Now, we can use the product rule to differentiate the right side, and the chain rule to differentiate $\log(f(x))$:} \\ g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}&=\log x +x\frac{1}{x}=\log x +1 \\ \text{Finally, we solve for $f'(x)$:} \\ f'(x)&=f(x)(\log x + 1) = x^x(\log x + 1) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 9번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
52.CLP-1 · 2.10절 · 23번우리말 번역

f(x)=(5x2+10x+153x4+4x3+5)(110(x+1))f(x) = \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right) 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate f(x)=(5x2+10x+153x4+4x3+5)(110(x+1))f(x) = \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right).

정답·풀이 보기

몫의 미분법과 곱의 미분법으로 풀 수도 있지만 매우 번거롭다. 대신 로그를 이용하자.

f(x)=(5x2+10x+153x4+4x3+5)(110(x+1))=(x2+2x+33x4+4x3+5)(12(x+1))log⁡(f(x))=log⁡[(x2+2x+33x4+4x3+5)(12(x+1))]=log⁡(x2+2x+33x4+4x3+5)+log⁡(12(x+1))=log⁡(x2+2x+3)−log⁡(3x4+4x3+5)−log⁡(x+1)−log⁡(2)이제 처음 함수보다 훨씬 간단하게 미분할 수 있는 함수가 되었다.ddx{log⁡(f(x))}=ddx{log⁡(x2+2x+3)−log⁡(3x4+4x3+5)−log⁡(x+1)−log⁡(2)}f′(x)f(x)=2x+2x2+2x+3−12x3+12x23x4+4x3+5−1x+1=2(x+1)x2+2x+3−12x2(x+1)3x4+4x3+5−1x+1마지막으로 f(x) 에 대해 정리한다:f′(x)=f(x)(2(x+1)x2+2x+3−12x2(x+1)3x4+4x3+5−1x+1)=(x2+2x+33x4+4x3+5)(12(x+1))(2(x+1)x2+2x+3−12x2(x+1)3x4+4x3+5−1x+1)=(x2+2x+33x4+4x3+5)(1x2+2x+3−6x23x4+4x3+5−12(x+1)2)\begin{aligned} f(x) &= \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right) = \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\ \log(f(x)) &= \log\left[\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\right]\\ &=\log\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right) + \log\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\&=\log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) -\log(x+1)-\log(2) \\ \text{이제 처음 함수보다 훨씬 간단하게 미분할 수 있는 함수가 되었다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(f(x))\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) - \log\left({x+1}\right)- \log\left({2}\right) \right\}\\ \frac{f'(x)}{f(x)}&=\frac{2x+2}{x^2+2x+3}-\frac{12x^3+12x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\\ &=\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1} \\ \text{마지막으로 $f(x)$ 에 대해 정리한다:} \\ f'(x)&=f(x)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\frac{1}{x^2+2x+3}-\frac{6x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{2(x+1)^2}\right) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We could do this with quotient and product rules, but it would be pretty painful. Insteady, let's use a logarithm.

f(x)=(5x2+10x+153x4+4x3+5)(110(x+1))=(x2+2x+33x4+4x3+5)(12(x+1))log⁡(f(x))=log⁡[(x2+2x+33x4+4x3+5)(12(x+1))]=log⁡(x2+2x+33x4+4x3+5)+log⁡(12(x+1))=log⁡(x2+2x+3)−log⁡(3x4+4x3+5)−log⁡(x+1)−log⁡(2)Now we have a function that we can differentiate more cleanly than our original function.ddx{log⁡(f(x))}=ddx{log⁡(x2+2x+3)−log⁡(3x4+4x3+5)−log⁡(x+1)−log⁡(2)}f′(x)f(x)=2x+2x2+2x+3−12x3+12x23x4+4x3+5−1x+1=2(x+1)x2+2x+3−12x2(x+1)3x4+4x3+5−1x+1Finally, we solve for f(x):f′(x)=f(x)(2(x+1)x2+2x+3−12x2(x+1)3x4+4x3+5−1x+1)=(x2+2x+33x4+4x3+5)(12(x+1))(2(x+1)x2+2x+3−12x2(x+1)3x4+4x3+5−1x+1)=(x2+2x+33x4+4x3+5)(1x2+2x+3−6x23x4+4x3+5−12(x+1)2)\begin{aligned} f(x) &= \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right) = \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\ \log(f(x)) &= \log\left[\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\right]\\ &=\log\left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right) + \log\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right) \\&=\log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) -\log(x+1)-\log(2) \\ \text{Now we have a function that we can differentiate more cleanly than our original function.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(f(x))\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \log\left({x^2+2x+3}\right)- \log\left({3x^4+4x^3+5}\right) - \log\left({x+1}\right)- \log\left({2}\right) \right\}\\ \frac{f'(x)}{f(x)}&=\frac{2x+2}{x^2+2x+3}-\frac{12x^3+12x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\\ &=\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1} \\ \text{Finally, we solve for $f(x)$:} \\ f'(x)&=f(x)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{2(x+1)}\right)\left(\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}-\frac{12x^2(x+1)}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= \left(\dfrac{x^2+2x+3}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\frac{1}{x^2+2x+3}-\frac{6x^2}{3x^4+4x^3+5}-\frac{1}{2(x+1)^2}\right) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 18번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
53.CLP-1 · 2.10절 · 27번우리말 번역

f(x)=(x2+1)sin⁡(x)f(x)= (x^2+1)^{\sin(x)} 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate f(x)=(x2+1)sin⁡(x)f(x)= (x^2+1)^{\sin(x)}.

정답·풀이 보기

로그미분법을 이용한다. 함수를 다음과 같이 바꾸어 생각한다.

log⁡f(x)=log⁡(x2+1)⋅sin⁡x곱의 미분법과 합성함수의 미분법으로 미분한다:f′(x)f(x)=ddx{log⁡(x2+1)⋅sin⁡x}=cos⁡x⋅log⁡(x2+1)+2xsin⁡xx2+1마지막으로 f′(x) 에 대해 정리한다f′(x)=f(x)⋅(cos⁡x⋅log⁡(x2+1)+2xsin⁡xx2+1)=(x2+1)sin⁡(x)⋅(cos⁡x⋅log⁡(x2+1)+2xsin⁡xx2+1)\begin{aligned} \log f(x) &= \log(x^2+1) \cdot \sin x \\ \text{곱의 미분법과 합성함수의 미분법으로 미분한다:} \\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \log(x^2+1) \cdot \sin x \right\} = \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 정리한다} \\ f'(x) &= f(x) \cdot \left( \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \right) \\ &= (x^2+1)^{\sin(x)} \cdot \left( \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \right) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We use logarithmic differentiation: we modify our function to consider

log⁡f(x)=log⁡(x2+1)⋅sin⁡xWe differentiate using the product and chain rules:f′(x)f(x)=ddx{log⁡(x2+1)⋅sin⁡x}=cos⁡x⋅log⁡(x2+1)+2xsin⁡xx2+1Finally, we solve for f′(x)f′(x)=f(x)⋅(cos⁡x⋅log⁡(x2+1)+2xsin⁡xx2+1)=(x2+1)sin⁡(x)⋅(cos⁡x⋅log⁡(x2+1)+2xsin⁡xx2+1)\begin{aligned} \log f(x) &= \log(x^2+1) \cdot \sin x \\ \text{We differentiate using the product and chain rules:} \\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \log(x^2+1) \cdot \sin x \right\} = \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \\ \text{Finally, we solve for $f'(x)$} \\ f'(x) &= f(x) \cdot \left( \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \right) \\ &= (x^2+1)^{\sin(x)} \cdot \left( \cos x \cdot \log(x^2+1) + \frac{2x\sin x}{x^2+1} \right) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 23번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
54.CLP-1 · 2.10절 · 28번우리말 번역

f(x)=xcos⁡3(x)f(x)= x^{\cos^3(x)} 이라 하자. 단, 정의역은 (0,∞)(0,\infty) 이다. f′(x)f'(x) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let f(x)=xcos⁡3(x)f(x)= x^{\cos^3(x)}, with domain (0,∞)(0,\infty). Find f′(x)f'(x).

정답·풀이 보기

로그미분법을 사용한다. 따라서 함수를 다음과 같이 바꾸어 생각한다.

log⁡f(x)=log⁡(x)⋅cos⁡3(x)미분하면 다음을 얻는다:f′(x)f(x)=ddx{log⁡(x)⋅cos⁡3(x)}=3cos⁡2(x)⋅(−sin⁡(x))⋅log⁡(x)+cos⁡3(x)x마지막으로 f′(x) 에 대해 풀면:f′(x)=f(x)⋅(−3cos⁡2(x)sin⁡(x)log⁡(x)+cos⁡3(x)x)=xcos⁡3(x)⋅(−3cos⁡2(x)sin⁡(x)log⁡(x)+cos⁡3(x)x)\begin{aligned} \log f(x) &= \log(x) \cdot \cos^3(x) \\ \text{미분하면 다음을 얻는다:} \\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \log(x) \cdot \cos^3(x) \right\} = 3\cos^2(x)\cdot (-\sin(x)) \cdot \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 풀면:} \\ f'(x) &= f(x) \cdot \left( -3\cos^2(x)\sin(x) \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \right) \\ &= x^{\cos^3(x)} \cdot \left( -3\cos^2(x)\sin(x) \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \right) \end{aligned}

참고: 음수가 지수식의 밑일 때에는 복잡하게 행동한다. 예를 들어 식 (−1)x(-1)^x 은 xx 가 홀수의 역수일 때(예: x=15x=\frac{1}{5} 또는 x=17x=\frac{1}{7})는 정의되지만, xx 가 짝수의 역수일 때(예: x=12x=\frac{1}{2})는 정의되지 않는다. f(x)f(x) 의 정의역을 xx 가 항상 양수가 되도록 제한했으므로 이러한 복잡한 문제를 피할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

We use logarithmic differentiation; so we modify our function to consider

log⁡f(x)=log⁡(x)⋅cos⁡3(x)Differentiating, we find:f′(x)f(x)=ddx{log⁡(x)⋅cos⁡3(x)}=3cos⁡2(x)⋅(−sin⁡(x))⋅log⁡(x)+cos⁡3(x)xFinally, we solve for f′(x):f′(x)=f(x)⋅(−3cos⁡2(x)sin⁡(x)log⁡(x)+cos⁡3(x)x)=xcos⁡3(x)⋅(−3cos⁡2(x)sin⁡(x)log⁡(x)+cos⁡3(x)x)\begin{aligned} \log f(x) &= \log(x) \cdot \cos^3(x) \\ \text{Differentiating, we find:} \\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \log(x) \cdot \cos^3(x) \right\} = 3\cos^2(x)\cdot (-\sin(x)) \cdot \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \\ \text{Finally, we solve for $f'(x)$:} \\ f'(x) &= f(x) \cdot \left( -3\cos^2(x)\sin(x) \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \right) \\ &= x^{\cos^3(x)} \cdot \left( -3\cos^2(x)\sin(x) \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \right) \end{aligned}

Remark: negative numbers behave in a complicated manner when they are the base of an exponential expression. For example, the expression (−1)x(-1)^x is defined when xx is the reciprocal of an odd number (like x=15x=\frac{1}{5} or x=17x=\frac{1}{7}), but not when xx is the reciprocal of an even number (like x=12x=\frac{1}{2}). Since the domain of f(x)f(x) was restricted so that xx is always positive, we avoid these complications.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 16번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류
55.CLP-1 · 2.10절 · 29번우리말 번역

f(x)=(3+sin⁡(x))x2−3f(x)= (3+\sin(x))^{x^2-3} 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate f(x)=(3+sin⁡(x))x2−3f(x)= (3+\sin(x))^{x^2-3}.

정답·풀이 보기

로그미분법을 사용한다. 따라서 함수를 바꾸어 다음을 생각한다.

log⁡f(x)=(x2−3)⋅log⁡(3+sin⁡(x)) .미분하면:f′(x)f(x)=ddx{(x2−3)⋅log⁡(3+sin⁡(x))}=2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)마지막으로 f′(x) 에 대해 풀면:f′(x)=f(x)⋅[2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)]=(3+sin⁡(x))x2−3⋅[2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)]\begin{aligned} \log f(x) &= (x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x))\,. \\ \text{미분하면:} \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{(x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x)) \right\}\\ &=2x\log(3+\sin(x)) + (x^2-3)\frac{\cos(x)}{3+\sin(x)} \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 풀면:} \\ f'(x)&= f(x)\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right]\\ &= (3+\sin(x))^{x^2-3}\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right] \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We use logarithmic differentiation. So, we modify our function and consider

log⁡f(x)=(x2−3)⋅log⁡(3+sin⁡(x)) .We differentiate:f′(x)f(x)=ddx{(x2−3)⋅log⁡(3+sin⁡(x))}=2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)Finally, we solve for f′(x):f′(x)=f(x)⋅[2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)]=(3+sin⁡(x))x2−3⋅[2xlog⁡(3+sin⁡(x))+(x2−3)cos⁡(x)3+sin⁡(x)]\begin{aligned} \log f(x) &= (x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x))\,. \\ \text{We differentiate:} \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{(x^2-3)\cdot \log(3+\sin(x)) \right\}\\ &=2x\log(3+\sin(x)) + (x^2-3)\frac{\cos(x)}{3+\sin(x)} \\ \text{Finally, we solve for $f'(x)$:} \\ f'(x)&= f(x)\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right]\\ &= (3+\sin(x))^{x^2-3}\cdot \left[ 2x\log(3+\sin(x)) + \frac{(x^2-3)\cos(x)}{3+\sin(x)}\right] \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 11번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류