적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

441.CLP-2 · 1.1절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ 을 서로 다른 세 가지 방법으로 적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Express $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ as an integral in three different ways.

정답·풀이 보기

선택 1: $\Delta x = \frac{2}{n}$ , $x_i^*= \frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 2: $\Delta x = \frac{2}{n}$ , $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=1$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=1$ 이고 $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 3: $\Delta x = \frac{1}{n}$ , $x_i^*= \frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 4: $\Delta x = \frac{1}{n}$ , $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=\frac{1}{2}$ 일 때 $x_i = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=\frac{1}{2}$ 이고 $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Choice #1: If we set $\Delta x = \frac{2}{n}$ and $x_i^*= \frac{2i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=0$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #2: If we set $\Delta x = \frac{2}{n}$ and $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=1$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=1$ and $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #3: If we set $\Delta x = \frac{1}{n}$ and $x_i^*= \frac{i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=0$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=0$ and $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #4: If we set $\Delta x = \frac{1}{n}$ and $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ , i.e. $x_i = a + i\Delta x$ with $a=\frac{1}{2}$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=\frac{1}{2}$ and $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 47번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

442.CLP-2 · 1.1절 · 37번우리말 번역

(a) $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

을 정적분으로 나타내세요.

(b) (a)의 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Express

$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

as a definite integal.

(b) Evaluate the integral of part (a).

정답·풀이 보기

풀이 1: $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=-2$ , $b=x_n=0$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-x^2}$ 은 $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $x^2+y^2=4$ (반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $-2\le x\le 0$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

풀이 2: $x_i^*=\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=0$ , $b=x_n=2$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ 은 $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $(x-2)^2+y^2=4$ (중심이 $(2,0)$ 이고 반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $0\le x\le 2$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution #1: Set $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=-2$ and $b=x_n=0$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-x^2}$ is equivalent to $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $x^2+y^2=4$ (which has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $-2\le x\le 0$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

Solution #2: Set $x_i^*=\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ is equivalent to $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $(x-2)^2+y^2=4$ (which is centered at $(2,0)$ and has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $0\le x\le 2$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 3번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

443.CLP-2 · 1.1절 · 38번우리말 번역

다음 적분을 생각하세요.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) 구간의 수를 $n=3$ 으로 하여 왼쪽 리만 합으로 이 적분의 근삿값을 구하세요. (b) 구간의 수가 $n$ 일 때 오른쪽 리만 합을 식으로 나타내고, 그 합을 계산하세요. 이제 리만 합의 식에서 극한 $n \to \infty$ 를 취하여 적분 ( $*$ ) 의 값을 정확하게 구하세요.

다음 항등식을 이용해도 됩니다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Consider the integral:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) Approximate this integral using the left Riemann sum with $n=3$ intervals. (b) Write down the expression for the right Riemann sum with $n$ intervals and calculate the sum. Now take the limit $n \to \infty$ in your expression for the Riemann sum, to evaluate the integral ( $*$ ) exactly.

You may use the identity

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 왼쪽 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{여기서 }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

$n=3$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ 이고, $x_0=0$ , $x_1=1$ , $x_2=2$ 이다. 함수 $f(x) = 7 + x^3$ 의 값은 $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , $f(x_2) = 7+2^3=15$ 이므로 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) $n$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ 이다. 따라서 오른쪽 리만 합은 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

합을 계산하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

극한값을 정확하게 구하기 위해 $n \to \infty$ 를 취한다. $1/n$ 을 포함한 항은 0 으로 사라지므로 다음이 남는다.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The left Riemann sum is defined as

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{with }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

We subdivide into $n=3$ intervals, so that $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ , $x_0=0$ , $x_1=1$ and $x_2=2$ . The function $f(x) = 7 + x^3$ has the values $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , and $f(x_2) = 7+2^3=15$ , from which we evaluate

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) We divide into $n$ intervals so that $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ . The right Riemann sum is therefore:

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

To calculate the sum:

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

To evaluate the limit exactly, we take $n \to \infty$ . The expressions involving $1/n$ vanish leaving:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 39번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

444.CLP-2 · 1.1절 · 39번우리말 번역

오른쪽 끝점 리만 합의 극한을 이용하여 $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

공식 $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ 과 $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ 을 사용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Using a limit of right–endpoint Riemann sums, evaluate $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ .

You may use the formulas $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ and $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

일반적으로 $n$ 개의 직사각형을 사용하여 적분 $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 오른쪽 끝점 리만 합으로 근사한 값은

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

이다. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이다. 이 문제에서 $a=2$ , $b=4$ , $f(x)=x^2$ 이므로 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이고, 오른쪽 끝점 리만 합 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, the right–endpoint Riemann sum approximation to the integral $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ using $n$ rectangles is

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

where $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . In this problem, $a=2$ , $b=4$ , and $f(x)=x^2$ , so that $\Delta x=\frac{2}{n}$ and the right–endpoint Riemann sum approximation becomes

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.2절 · 10번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

445.CLP-2 · 1.1절 · 40번우리말 번역

정적분의 정의를 이용하여 $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. 합의 공식 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ 과 $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ 을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Find $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ using the definition of the definite integral. You may use the summation formulas $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ and $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$a=0$ , $b=2$ 인 오른쪽 리만 합을 이용한다. 직사각형이 $n$ 개일 때 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ 이다. 따라서 다음의 값을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We'll use right Riemann sums with $a=0$ and $b=2$ . When there are $n$ rectangles, $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ . So we need to evaluate

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 4번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

446.CLP-2 · 1.1절 · 42번우리말 번역

$n=10$ , $\Delta(x)=10$ , $a=-5$ 일 때 다음 식이 오른쪽 리만 합이 되도록 하는 함수 $f(x)$ 를 하나 구하세요: $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

영어 원문 보기

Give a function $f(x)$ that has the following expression as a right Riemann sum when $n=10$ , $\Delta(x)=10$ and $a=-5$ : $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

오른쪽 리만 합의 정의에 의해

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{$\Delta x = 10$ 이고 $a=-5$ 이므로,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{두 식을 모두 10으로 나누면,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{따라서 $f(-5+10i)$ 에 대한 식을 얻는다:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{$f(x)$ 를 구하기 위해 $x=-5+10i$ 로 놓으면 $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$ 이다.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of a right Riemann sum,

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{Since $\Delta x = 10$ and $a=-5$,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{Dividing both expressions by 10,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{So, we have an expression for $f(-5+10i)$:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{In order to find $f(x)$, let $x=-5+10i$. Then $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 40번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

447.CLP-2 · 1.1절 · 45번우리말 번역

$0 \leq a \leq 1$ 일 때, 기하를 이용하여 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x$ using geometry, if $0 \leq a \leq 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 $y=\sqrt{1-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원임에 주목한다. 0에서 $a$ 까지 곡선 아래의 넓이를 구하므로, 구하려는 영역은 아래 그림과 같다.

기하를 이용하여 이 넓이를 구하기 위해, 아래와 같이 원의 부채꼴과 삼각형, 두 부분으로 나눈다.

부채꼴의 넓이: 부채꼴은 반지름이 1인 원의 일부이고 중심각은 $\theta$ 이다. 따라서 그 넓이는 $\frac{\theta}{2\pi}\left(\text{원의 넓이}\right) = \frac{\theta}{2\pi}\left(\pi\right) = \frac{\theta}{2}$ 이다.

이제 $\theta$ 를 $a$ 에 대해 나타내야 한다. $\frac{\pi}{2}-\theta$ 는 단위원 안에 있는 빨간 삼각형의 한 내각임에 주목한다. 따라서 $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a$ 이다. 그러면 $\frac{\pi}{2}-\theta= \arccos(a)$ 이므로 $\theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(a)$ 이다.

그러므로 부채꼴의 넓이는 $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)$ 제곱단위이다.

삼각형의 넓이: 삼각형의 밑변은 $a$ 이다. 높이는 $x=a$ 일 때 함수의 $y$ 값이므로 $\sqrt{1-a^2}$ 이다. 그러면 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ 이다.

따라서 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} \arccos(a) + \frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we note $y=\sqrt{1-x^2}$ is the upper half of a circle of radius 1, centred at the origin. We're taking the area under the curve from 0 to $a$ , so the area in question is as shown in the picture below.

In order to use geometry to find this area, we break it up into two pieces: a sector of a circle, and a triangle, shown below.

Area of sector: The sector is a portion of a circle with radius 1, with inner angle $\theta$ . So, its area is $\frac{\theta}{2\pi}\left(\text{area of circle}\right) = \frac{\theta}{2\pi}\left(\pi\right) = \frac{\theta}{2}$ .

Our job now is to find $\theta$ in terms of $a$ . Note $\frac{\pi}{2}-\theta$ is the inner angle of the red triangle, which lies in the unit circle. So, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a$ . Then $\frac{\pi}{2}-\theta= \arccos(a)$ , and so $\theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(a)$ .

Then the area of the sector is $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)$ square units.

Area of triangle: The triangle has base $a$ . Its height is the $y$ -value of the function when $x=a$ , so its height is $\sqrt{1-a^2}$ . Then the area of the triangle is $\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ .

We conclude $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} \arccos(a) + \frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 42번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

448.CLP-2 · 1.4절 · 2번우리말 번역

다음 추론은 타당한가요? 타당하지 않다면 바로잡으세요.

문제: $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 치환 $u=2x+1$ 을 사용한다. 그러면:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}u^3+C\\ &=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

영어 원문 보기

Is the following reasoning sound? If not, fix it.

Problem: Evaluate $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ .

Work: We use the substitution $u=2x+1$ . Then:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}u^3+C\\ &=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

정답·풀이 보기

이 추론은 타당하지 않다. 치환을 할 때에는 미분 요소( $\mathrm{d}x$ )를 처리해야 한다. 치환적분법은 연쇄 법칙에서 나온 것임을 기억하자. 즉, 함수와 그 도함수가 함께 있어야 한다. 다음과 같이 하면 된다:

문제: $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 치환 $u=2x+1$ 을 사용한다. 그러면 $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$ 이므로 $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ 이다:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{6}u^3+C\\ &=\frac{1}{6}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The reasoning is not sound: when we do a substitution, we need to take care of the differential ( $\mathrm{d}x$ ). Remember the method of substitution comes from the chain rule: there should be a function and its derivative. Here's the way to do it:

Problem: Evaluate $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ .

Work: We use the substitution $u=2x+1$ . Then $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$ , so $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ :

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{6}u^3+C\\ &=\frac{1}{6}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 6번

# 치환적분법계산기본자동 분류

449.CLP-2 · 1.4절 · 4번우리말 번역

다음 추론이 타당한지 판단하세요. 타당하지 않다면 고치세요.

문제: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 먼저 치환 $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ 를 사용한다:

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u \\ \text{이제 치환 $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$ 를 사용한다:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\left[\log|v|\right]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right) \end{aligned}$

영어 원문 보기

Is the following reasoning sound? If not, fix it.

Problem: Evaluate $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ .

Work: We begin with the substitution $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ :

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u \\ \text{Now we use the substitution $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\left[\log|v|\right]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right) \end{aligned}$

정답·풀이 보기

더 짧은 방법이 있을 수도 있지만, 여기서의 추론은 타당하다.

문제: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 먼저 치환 $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ 를 사용한다:

$u=x^2$ 이면 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x$ 이므로 실제로 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ 이다.

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x&\text{식 정리}\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u \\ \text{\text{피적분함수, 미분소, 적분 구간의 모든 부분이 $x$ 에서 $u$ 로 바뀌었다.}} \\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u & \tan u = \frac{\sin u}{\cos u}\\ \\ \text{이제 치환 $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$ 를 사용한다:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v \\ \text{\text{피적분함수, 미분, 적분 구간의 모든 부분이 $u$ 에서 $v$ 로 바뀌었다.}} \\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v& \cos(0)=1\\ &=-\frac{1}{2}\bigg[\log|v|\bigg]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}&\text{미적분의 기본 정리 2부}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)& \log(1)=0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Perhaps shorter ways exist, but the reasoning here is valid.

Problem: Evaluate $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ .

Work: We begin with the substitution $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ :

If $u=x^2$ , then $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x$ , so indeed $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ .

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x&\text{algebra}\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u \\ \text{\text{Every piece is changed from $x$ to $u$: integrand, differential, limits.}} \\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u & \tan u = \frac{\sin u}{\cos u}\\ \\ \text{Now we use the substitution $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v \\ \text{\text{Every piece is changed from $u$ to $v$: integrand, differential, limits.}} \\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v& \cos(0)=1\\ &=-\frac{1}{2}\bigg[\log|v|\bigg]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}&\text{FTC Part 2}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)& \log(1)=0 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 4번

# 치환적분법계산기본자동 분류

450.CLP-2 · 1.4절 · 6번우리말 번역

$f$ 와 $g$ 가 모든 곳에서 연속이고 미분가능한 함수라 하자. $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))$ 를 간단히 하세요.

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be functions that are continuous and differentiable everywhere. Simplify $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x)).$

정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 이용하면 다음을 알 수 있다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(g(x))\}=f'(g(x))g'(x)$ 따라서 $f(g(x))$ 는 $f'(g(x))g'(x)$ 의 부정적분이다. $f'(g(x))g'(x)$ 의 모든 부정적분은 상수만큼만 차이가 나므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} \int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))&= f(g(x))+C-f(g(x))\\ &=C \end{aligned}$

즉, 주어진 식은 어떤 상수 $C$ 로 간단히 된다.

참고: $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t - f(g(x))=C$ 이므로 다음과 같이 결론짓는다. $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t = f(g(x))+C$ 이것이 바로 적분에서 치환을 하는 방법이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule, we see that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(g(x))\}=f'(g(x))g'(x)$ So, $f(g(x))$ is an antiderivative of $f'(g(x))g'(x)$ . All antiderivatives of $f'(g(x))g'(x)$ differ by only a constant, so:

$\begin{aligned} \int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}x - f(g(x))&= f(g(x))+C-f(g(x))\\ &=C \end{aligned}$

That is, our expression simplifies to some constant $C$ .

Remark: since $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t - f(g(x))=C$ we conclude $\int f'(g(x))g'(x)\ \mathrm{d}t = f(g(x))+C$ which is precisely how we perform substitution on integrals.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 7번

# 치환적분법계산기본자동 분류

451.CLP-2 · 1.4절 · 7번우리말 번역

치환을 이용하여 $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos (e^{x^2}) \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Use substitution to evaluate $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos (e^{x^2}) \,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$u(x) = e^{x^2}$ 이라 하면 $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x=2x e^{x^2}\mathrm{d}x$ 이다. $x=1$ 일 때 $u(1)=e^{1^2}=e$ 이고, $x=0$ 일 때 $u(0)=e^{0^2}=1$ 임에 주의한다. 따라서 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos ( e^{x^2}) \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\int_{x=0}^{x=1} \cos ( u(x)) u'(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int_{u=1}^{u=e} \cos({red}u)\,\mathrm{d}u\\ &= \frac{1}{2}\bigg[\sin(u) \bigg]_1^e = \frac{1}{2}\big( \sin(e) - \sin(1) \big). \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We write $u(x) = e^{x^2}$ and find $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x=2x e^{x^2}\mathrm{d}x$ . Note that $u(1)=e^{1^2}=e$ when $x=1$ , and $u(0)=e^{0^2}=1$ when $x=0$ . Therefore:

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos ( e^{x^2}) \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\int_{x=0}^{x=1} \cos ( u(x)) u'(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int_{u=1}^{u=e} \cos({red}u)\,\mathrm{d}u\\ &= \frac{1}{2}\bigg[\sin(u) \bigg]_1^e = \frac{1}{2}\big( \sin(e) - \sin(1) \big). \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 4번

# 치환적분법계산보통자동 분류

452.CLP-2 · 1.4절 · 8번우리말 번역

$f(t)$ 를 $\displaystyle\int_1^8 f(t)\,\mathrm{d}t=1$ 을 만족시키는 임의의 함수라 하자. 적분 $\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x^3)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(t)$ be any function for which $\displaystyle\int_1^8 f(t)\,\mathrm{d}t=1$ . Calculate the integral $\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x^3)\,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=x^3$ , $\mathrm{d}y=3x^2\ \mathrm{d}x$ 로 치환하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_1^2 x^2 f( x^3)\, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_1^8 f( y)\, \mathrm{d}y =\frac{1}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Substituting $y=x^3$ , $\mathrm{d}y=3x^2\ \mathrm{d}x$ :

$\begin{aligned} \int_1^2 x^2 f( x^3)\, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_1^8 f( y)\, \mathrm{d}y =\frac{1}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 9번

# 치환적분법계산보통자동 분류

453.CLP-2 · 1.4절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \int \frac{x^2}{{(x^3+1)}^{101}}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \int \frac{x^2}{{(x^3+1)}^{101}}\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$u=x^3+1$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = 3x^2\,\mathrm{d}x$ 이므로

$\begin{aligned} \int \frac{ x^2\,\mathrm{d}x}{{( x^3+1)}^{101}} &= \int \frac{ \mathrm{d}u/3}{ u^{101}}\\ &=\frac{1}{3}\int u^{-101}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{-100}}{-100}\\ &= -\frac{1}{3\times 100 u^{100}} + C\\ &=-\frac{1}{300{(x^3+1)}^{100}} + C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=x^3+1$ , we have $\mathrm{d}u = 3x^2\,\mathrm{d}x$ and so

$\begin{aligned} \int \frac{ x^2\,\mathrm{d}x}{{( x^3+1)}^{101}} &= \int \frac{ \mathrm{d}u/3}{ u^{101}}\\ &=\frac{1}{3}\int u^{-101}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}\cdot\dfrac{u^{-100}}{-100}\\ &= -\frac{1}{3\times 100 u^{100}} + C\\ &=-\frac{1}{300{(x^3+1)}^{100}} + C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 2번

# 치환적분법계산보통자동 분류

454.CLP-2 · 1.4절 · 10번우리말 번역

$\displaystyle \int_{e}^{e^4} \frac{\mathrm{d}x}{x\log x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \int_{e}^{e^4} \frac{\mathrm{d}x}{x\log x}$ .

정답·풀이 보기

$u=\log x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 이므로

$\int_{e}^{e^4} \frac{ \mathrm{d}x}{{blue}x\cdot \log x} = \int_{x=e}^{x=e^4} \frac1{ \log x} \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=4} \frac{1}{{red}u}\, \mathrm{d}u,$

이다. 이는 $x=e$ 일 때 $u=\log(e)=1$ 이고 $x=e^4$ 일 때 $u=\log(e^4)=4$ 이기 때문이다. 그러면 미적분의 기본정리 제2부에 의해

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u = \Big[\log |u| \Big]_{1}^{4} = \log 4 - \log 1 = \log 4.$

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=\log x$ , we have $\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ and so

$\int_{e}^{e^4} \frac{ \mathrm{d}x}{{blue}x\cdot \log x} = \int_{x=e}^{x=e^4} \frac1{ \log x} \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=4} \frac{1}{{red}u}\, \mathrm{d}u,$

since $u=\log(e)=1$ when $x=e$ and $u=\log(e^4)=4$ when $x=e^4$ . Then, by the Fundamental Theorem of Calculus Part 2,

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u = \Big[\log |u| \Big]_{1}^{4} = \log 4 - \log 1 = \log 4.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 13번

# 치환적분법계산보통자동 분류

455.CLP-2 · 1.4절 · 11번우리말 번역

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x} {1+\sin x}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x} {1+\sin x}\,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

$u=1+\sin x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = \cos x~\mathrm{d}x$ 이므로

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{ \cos x} { 1+\sin x} \mathrm{d}x = \int_{x=0}^{x=\pi/2} \frac{1}{ 1+\sin x}\, \cos x ~\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=2} \frac{ \mathrm{d}u}{{red}u}$

이다. 이는 $x=0$ 일 때 $u=1+\sin 0=1$ 이고 $x=\pi/2$ 일 때 $u=1+\sin(\pi/2)=2$ 이기 때문이다. 그러면 미적분의 기본정리 제2부에 의해

$\int_{u=1}^{u=2} \frac{\mathrm{d}u}{u} = \Big[\log|u| \Big]_{1}^{2} = \log 2$

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=1+\sin x$ , we have $\mathrm{d}u = \cos x~\mathrm{d}x$ and so

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{ \cos x} { 1+\sin x} \mathrm{d}x = \int_{x=0}^{x=\pi/2} \frac{1}{ 1+\sin x}\, \cos x ~\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=2} \frac{ \mathrm{d}u}{{red}u}$

since $u=1+\sin 0=1$ when $x=0$ and $u=1+\sin(\pi/2)=2$ when $x=\pi/2$ . Then, by the Fundamental Theorem of Calculus Part 2,

$\int_{u=1}^{u=2} \frac{\mathrm{d}u}{u} = \Big[\log|u| \Big]_{1}^{2} = \log 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 10번

# 치환적분법계산보통자동 분류

456.CLP-2 · 1.4절 · 12번우리말 번역

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x \cdot (1+\sin^2 x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x \cdot (1+\sin^2 x)\,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$u=\sin x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = \cos x~\mathrm{d}x$ 이므로

$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \cdot (1+ \sin^2 {red}x) \mathrm{d}x = \int_{x=0}^{x=\pi/2} (1+ \sin^2 x)\cdot \cos x ~\mathrm{d}x = \int_{u=0}^{u=1} (1+ u^2) \, \mathrm{d}u,$

이다. 이는 $x=0$ 일 때 $u=\sin 0=0$ 이고 $x=\pi/2$ 일 때 $u=\sin(\pi/2)=1$ 이기 때문이다. 그러면 미적분의 기본정리 제2부에 의해

$\int_{0}^{1} (1+u^2) \,\mathrm{d}u = \left[u+\frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} =\left(1+\frac{1}{3}\right) -0 = \frac{4}{3}.$

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=\sin x$ , we have $\mathrm{d}u = \cos x~\mathrm{d}x$ and so

$\int_{0}^{\pi/2} \cos x \cdot (1+ \sin^2 {red}x) \mathrm{d}x = \int_{x=0}^{x=\pi/2} (1+ \sin^2 x)\cdot \cos x ~\mathrm{d}x = \int_{u=0}^{u=1} (1+ u^2) \, \mathrm{d}u,$

since $u=\sin 0=0$ when $x=0$ and $u=\sin(\pi/2)=1$ when $x=\pi/2$ . Then, by the Fundamental Theorem of Calculus Part 2,

$\int_{0}^{1} (1+u^2) \,\mathrm{d}u = \left[u+\frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} =\left(1+\frac{1}{3}\right) -0 = \frac{4}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 5.3절 · 14번

# 치환적분법계산보통자동 분류

457.CLP-2 · 1.4절 · 13번우리말 번역

$\displaystyle\int_1^3(2x-1)e^{x^2-x}\ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_1^3(2x-1)e^{x^2-x}\ \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$t=x^2-x$ , $\mathrm{d}t = (2x-1)\,\mathrm{d}x$ 로 치환하고, $x=1$ 일 때 $t=0$ 이고 $x=3$ 일 때 $t=6$ 임에 주목하면

$\begin{aligned} \int_1^3 (2x-1)e^{ x^2-x} \mathrm{d}x &= \int_0^6 e^{{red}t}\ \mathrm{d}t =\big[e^t\big]_0^6 =e^6-1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Substituting $t=x^2-x$ , $\mathrm{d}t = (2x-1)\,\mathrm{d}x$ and noting that $t=0$ when $x=1$ and $t=6$ when $x=3$ ,

$\begin{aligned} \int_1^3 (2x-1)e^{ x^2-x} \mathrm{d}x &= \int_0^6 e^{{red}t}\ \mathrm{d}t =\big[e^t\big]_0^6 =e^6-1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 12번

# 치환적분법계산보통자동 분류

458.CLP-2 · 1.4절 · 14번우리말 번역

$\int \frac{(x^2-4)x}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\int \frac{(x^2-4)x}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

치환 $u=4-x^2$ 을 사용한다. 이때 $\mathrm{d}u=-2x\,\mathrm{d}x$ 이다.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2-4}{\sqrt{4-x^2}}\,x\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{2}\cdot\frac{ 4-x^2}{\sqrt{ 4-x^2}} ({-}2x)\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} \int \frac{{red}u}{\sqrt{{red}u}}\, \mathrm{d}u \\ &=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,\mathrm{d}u \\ &=\frac{1}{2}\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\ &=\frac{1}{3}(4-x^2)^{3/2}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $u=4-x^2$ , for which $\mathrm{d}u=-2x\,\mathrm{d}x$ :

$\begin{aligned} \int \frac{x^2-4}{\sqrt{4-x^2}}\,x\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{2}\cdot\frac{ 4-x^2}{\sqrt{ 4-x^2}} ({-}2x)\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} \int \frac{{red}u}{\sqrt{{red}u}}\, \mathrm{d}u \\ &=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,\mathrm{d}u \\ &=\frac{1}{2}\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\ &=\frac{1}{3}(4-x^2)^{3/2}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 11번

# 치환적분법계산보통자동 분류

459.CLP-2 · 1.4절 · 15번우리말 번역

$\displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt{\log x}}}{2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt{\log x}}}{2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

풀이 1: $u=\sqrt{\log x}$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\dfrac{1}{2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x$ 이므로,

$\begin{aligned} \int \dfrac{e^{ \sqrt{\log x}}}{ 2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x&=\int e^{{red}u}\ \mathrm{d}u=e^u+C=e^{\sqrt{\log x}}+C \end{aligned}$

풀이 2: 풀이 1에서는 꽤 영리한 치환을 택했다. 그보다 조금 덜 편리한 방법으로 풀 수도 있다. 예를 들어 $u=\log x$ , $\mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\ \mathrm{d}x$ 로 놓는 것이 좋은 선택이라고 생각하는 것도 자연스럽다. 이 경우:

$\begin{aligned} \int \dfrac{e^{\sqrt{ \log x}}}{2 x\sqrt{ \log x}}\ \mathrm{d}x&= \int \frac{e^{\sqrt{{red}u}}}{2\sqrt{{red}u}} \mathrm{d}u \\ \text{Now, we should be able to see that $ w=\sqrt{u}$, $ \mathrm{d}w = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\ \mathrm{d}u$ is a good choice:} \\ \int\frac{e^{ \sqrt{u}}}{ 2\sqrt{u}}\ \mathrm{d}u &=\int e^{{orange}w}\ \mathrm{d}w\\ &=e^{\sqrt{u}}+C\\ &=e^{\sqrt{\log x}}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: If we let $u=\sqrt{\log x}$ , then $\mathrm{d}u=\dfrac{1}{2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x$ , and:

$\begin{aligned} \int \dfrac{e^{ \sqrt{\log x}}}{ 2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x&=\int e^{{red}u}\ \mathrm{d}u=e^u+C=e^{\sqrt{\log x}}+C \end{aligned}$

Solution 2: In Solution 1, we made a pretty slick choice. We might have tried to work with something a little less convenient. For example, it's not unnatural to think that $u=\log x$ , $\mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\ \mathrm{d}x$ would be a good choice. In that case:

$\begin{aligned} \int \dfrac{e^{\sqrt{ \log x}}}{2 x\sqrt{ \log x}}\ \mathrm{d}x&= \int \frac{e^{\sqrt{{red}u}}}{2\sqrt{{red}u}} \mathrm{d}u \\ \text{Now, we should be able to see that $ w=\sqrt{u}$, $ \mathrm{d}w = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\ \mathrm{d}u$ is a good choice:} \\ \int\frac{e^{ \sqrt{u}}}{ 2\sqrt{u}}\ \mathrm{d}u &=\int e^{{orange}w}\ \mathrm{d}w\\ &=e^{\sqrt{u}}+C\\ &=e^{\sqrt{\log x}}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 14번

# 치환적분법계산보통자동 분류

460.CLP-2 · 1.5절 · 3번우리말 번역

$x\ge 0$ 에서 곡선 $y=x^3-x$ 와 $y=x$ 로 둘러싸인 유한한 넓이를 나타내는 정적분을 쓰세요. 정적분의 값을 직접 구하지는 마세요.

영어 원문 보기

Write down a definite integral that represents the finite area bounded by the curves $y=x^3-x$ and $y=x$ for $x\ge 0$ . Do not evaluate the integral explicitly.

정답·풀이 보기

두 곡선은 $y=x$ 이고 $y=x^3-x$ 인 점에서 만난다. 이 점들을 구하기 위해 다음과 같이 놓는다.

$\begin{aligned} x&=x^3-x\\ 0&=x^3-2x\\ 0&=x(x^2-2)\\ 0&= x \quad\text{또는}\quad 0=x^2-2 \end{aligned}$

$x\ge 0$ 에서 두 곡선은 $(0,0)$ 과 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 에서 만난다.

유용한 관찰로, 두 곡선이 모두 연속이고 $x=0$ 과 $x=\sqrt{2}$ 사이에서 서로 만나지 않으므로, 넓이를 두 영역으로 나누는 것을 걱정할 필요가 없다. 한 함수가 항상 위에 있고, 다른 함수가 항상 아래에 있기 때문이다.

수직 띠를 사용하면:

주어진 영역의 위쪽 경계와 아래쪽 경계는 각각 $y=T(x)=x$ 와 $y=B(x)=x^3-x$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} {\rm Area} = \int_0^{\sqrt{2}}\big[T(x)-B(x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}}\big[x-(x^3-x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}} 2x-x^3 \ \mathrm{d}x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The curves intersect when $y=x$ and $y=x^3-x$ . To find these points, we set:

$\begin{aligned} x&=x^3-x\\ 0&=x^3-2x\\ 0&=x(x^2-2)\\ 0&= x \quad\text{or}\quad 0=x^2-2 \end{aligned}$

For $x\ge 0$ , the curves intersect at $(0,0)$ and $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ .

A handy observation is that, since both curves are continuous and they do not meet each other between $x=0$ and $x=\sqrt{2}$ , we don't have to worry about dividing our area into two regions: one of the functions is always on the top, and the other is always on the bottom.

Using vertical strips:

The top and bottom boundaries of the specified region are $y=T(x)=x$ and $y=B(x)=x^3-x$ , respectively. So,

$\begin{aligned} {\rm Area} = \int_0^{\sqrt{2}}\big[T(x)-B(x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}}\big[x-(x^3-x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}} 2x-x^3 \ \mathrm{d}x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 3번

# 넓이(여러 가지 함수)계산기본자동 분류

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