넓이(여러 가지 함수)

11:02 a.m.

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두 곡선이 만나는 점을 구해야 한다.

$$\begin{aligned} \frac{x^2}{4}=y^2&=6-\dfrac{5x}{4}\\ \frac{1}{4}x^2+\frac{5}{4}x-6&=0\\ x^2+5x-24&=0\\ (x+8)(x-3)&=0\\ x=-8,\quad x&=3 \end{aligned}$$

두 곡선은 $(-8,4)$ 와 $(3,-\frac{3}{2})$ 에서 만난다. 수평 띠를 이용하면:

다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} \text{Area} = \int_{-3/2}^{4}\Big[\frac{4}{5}(6-y^2)+2y\Big]\ \mathrm{d}y \end{aligned}$$

두 곡선이 $(x,y)$ 에서 만나면

$$\begin{aligned} \left(x^2\right)^2&=\left(4a\right)^2y^2 = (4a)^24ax\\ x^4&=(4a)^3 x\\ x^4&-(4a)^3x=0\\ x(&x^3-(4a)^3)=0\\ x&= 0 \quad\text{또는}\quad x^3=(4a)^3 \end{aligned}$$

이다. 두 곡선은 $(0,0)$ 과 $(4a,4a)$ 에서 만난다. (이 점들은 관찰만으로도 구할 수 있다.) 수직 띠를 사용하면 다음과 같다.

각 함수의 $y$ 값이 필요하다. 위쪽 함수는 $y =\sqrt{4ax}$ 로 쓰고(음의 제곱근이 아니라 양의 제곱근을 택한다), 아래쪽 함수는 $y=\frac{x^2}{4a}$ 로 쓴다. 그러면

$$\begin{aligned} \text{넓이} = \int_0^{4a}\left[\sqrt{4ax}-\frac{x^2}{4a}\right]\ \mathrm{d}x \end{aligned}$$

이다.

두 곡선은 $x=4y^2$ 이고 $0=4y^2+12y+5 =(2y+5)(2y+1)$ 일 때 만난다. 따라서 두 곡선은 $(1,-\tfrac{1}{2})$ 과 $(25,-\frac{5}{2})$ 에서 만난다. 세로 띠를 이용하면:

다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} \text{Area} = \int_1^{25}\left[-\frac{1}{12}(x+5)+\frac{1}{2}\sqrt{x}\right]\ \mathrm{d}x \end{aligned}$$

두 곡선 $y=f(x)=x$ 와 $y=g(x)=3x-x^2$ 이 $(x,y)$ 에서 만난다면,

$$\begin{aligned} 3x-x^2&=y=x\\ x^2-2x&=0\\ x(x-2)&=0\\ x=0 \quad &\text{또는} \quad x=2 \end{aligned}$$

또한 $g(x)-f(x) = 2x-x^2 = x(2-x)$ 는 모든 $0\le x\le 2$ 에 대해 양수이다. 즉, 곡선 $y=3x-x^2$ 은 모든 $0\le x\le 2$ 에 대해 직선 $y=x$ 보다 위쪽에 있다.

따라서 다음 적분의 값을 구한다.

$$\begin{aligned} \int_0^2 \big[ (3x-x^2) - x \big] \,\mathrm{d}x = \int_0^2 [2x-x^2]\,\mathrm{d}x = \bigg[x^2 - \frac{x^3}{3}\bigg]^{2}_{0} = \bigg[ 4-\frac{8}{3} \bigg] -0 = \frac{4}{3} \end{aligned}$$

계산을 위해서는 $x^2\sqrt{x^3+1}$ 의 부정적분이 필요한데, 이는 치환 $u=x^3+1$, $\mathrm{d}u = 3x^2\,\mathrm{d}x$ 를 이용하여 구할 수 있다:

$$\begin{aligned} \int x^2\sqrt{x^3+1} \, \mathrm{d}x = \int \sqrt u \cdot \frac13\,\mathrm{d}u = \frac13\int u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac13\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac29(x^3+1)^{3/2} + C. \end{aligned}$$

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서 분명히 같다. $x\ne0$ 이면, 두 함수는 다음과 같을 때 같아진다:

$$\begin{aligned} 3x^2 &= x^2\sqrt{x^3+1} \\ 3 &= \sqrt{x^3+1} \\ 9 &= x^3+1 \\ 8 &= x^3 \\ 2 &= x. \end{aligned}$$

구간 $[0,2]$ 에서는 두 함수 중 $g(x)=3x^2$ 이 더 크다. 이는 예를 들어 $x=1$ 을 대입해 보거나, $x$ 가 매우 작을 때 $f(x)=x^2\sqrt{x^3+1}\approx x^2$ 이고 $g(x)=3x^2$ 임을 관찰하면 알 수 있다.

따라서 구하는 넓이는 다음과 같다:

$$\begin{aligned} \int_0^2 \big( 3x^2 - x^2\sqrt{x^3+1} \big) \, \mathrm{d}x &= \bigg( {x^3} - \frac29(x^3+1)^{3/2} \bigg) \bigg|_0^2 \\ &= \bigg( 2^3 - \frac2 9(2^3+1)^{3/2} \bigg) - \bigg( 0^3 - \frac29(0^3+1)^{3/2} \bigg) \\ &= \bigg( 8 - 6 \bigg) - \bigg( 0 - \frac 2 9 \bigg) =\frac{20}9. \end{aligned}$$

먼저 영역을 그려 보자. $y=\sqrt{1-x^2}$ 과 $y=\sqrt{9-x^2}$ 은 각각 원점을 중심으로 하고 반지름이 1, 3 인 원의 위쪽 절반임에 주의하자.

이 영역은 두 사분원의 차이므로, 기하를 이용해 넓이를 구한다. $$\text{Area}=\frac{1}{4}\left(\pi\cdot 3^2\right)-\frac{1}{4}\left(\pi\cdot 1^2\right)=2\pi$$

먼저 영역의 개형은 다음과 같다. 개형을 그리라는 요구는 없었지만, 문제를 이해하는 데 매우 중요하다.

두 곡선 $y=x+2$ 와 $y=x^2$ 은 $(2,4)$ 에서 만난다. $0\le x\le 2$ 에서 두 곡선 사이 부분의 넓이는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \int_0^2 \big[x+2-x^2\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{2} x^2+2x-\frac{1}{3}x^3\Big]_0^2 =2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3} \end{aligned}$$

$2\le x\le 3$ 에서 두 곡선 사이 부분의 넓이는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \int_2^3 \big[x^2-(x+2)\big]\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2} x^2-2x\Big]_2^3 =9-\frac{9}{2}-6-\frac{8}{3}+2+4=\frac{11}{6} \end{aligned}$$

전체 넓이는 $\dfrac{10}{3}+\dfrac{11}{6}=\dfrac{31}{6}$ 이다.

먼저 영역을 그려 보자. $y=\sqrt{9-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원의 위쪽 반원이고, $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 은 $(1,0)$ 을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원이다.

$y=x$ 는 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 과 $(1,1)$ 에서 만나며, 이 점은 작은 반원의 가장 높은 점이다.

삼각형과 원의 부채꼴의 넓이는 쉽게 구할 수 있다. 이를 염두에 두고 영역을 다음과 같이 나눈다.

• 구하는 넓이는 $A_3-(A_1+A_2)$ 이다.
• $A_1$ 은 밑변의 길이가 1이고 높이가 1인 직각삼각형의 넓이이므로 $A_1 = \frac{1}{2}$ 이다.
• $A_2$ 는 반지름이 1인 원의 사분원의 넓이이므로 $A_2=\frac{\pi}{4}$ 이다.
• $A_3$ 은 반지름이 3인 원의 8분의 1의 넓이이므로 $A_3 = \frac{9\pi}{8}$ 이다.

따라서 이 영역의 넓이는 $\dfrac{9\pi}{8} - \dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{8}-\dfrac{1}{2}$ 이다.

첫 번째 함수는 삼차함수이며, $x=0,\pm2$ 에서 축과 만난다. 두 번째 함수는 기울기가 양수인 직선이다.

이 함수들이 서로 어떤 위치 관계에 있는지 알아야 하므로, 교점을 구한다.

$$\begin{aligned} x(x^2-4)&=x-2\\ x(x+2)(x-2)&=x-2\\ \boxed{x-2=0} \quad\text{또는}\quad x(x+2)&=1\\ x^2+2x-1&=0\\ x &= \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}\\ x&=\boxed{-1\pm \sqrt{2}} \end{aligned}$$

따라서 세 교점은 $x=2$ 일 때와 ${x=-1\pm\sqrt{2}}$ 일 때이다. 다음이 성립한다. $$-1-\sqrt{2} < -1+\sqrt{2} < -1+\sqrt{4}< 2\ .$$ 그러므로 두 구간 $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ 와 $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ 에서 각각 어느 함수가 위에 있는지 알아보아야 한다. 각 구간의 한 점에서 확인하면 충분하다.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & x(x^2-4) & x-2 & \text{위쪽 함수:} \\ \hline \text{0} & \text{0} & -2 & x(x^2-4) \\ \hline \text{1} & \text{-3} & -1 & x-2 \\ \hline \end{array}$$

0 은 구간 $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ 에 속하므로, 이 구간에서는 $x(x^2-4)$ 가 위쪽 함수이다. 1 은 구간 $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ 에 속하므로, 이 구간에서는 $x-2$ 가 위쪽 함수이다. 이제 넓이를 구하는 적분을 세울 수 있다.

$$\begin{aligned} \text{넓이}&=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x(x^2-4) - (x-2)\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[(x-2)-x(x^2-4)\right]\ \mathrm{d}x\\ &=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x^3-5x+2\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[-x^3+5x-2\right]\ \mathrm{d}x \\&=\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2+2x\right]_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}} \quad&&+ \quad &&\left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{2}x^2-2x\right]_{-1+\sqrt{2}}^{2} \\ \text{번거롭지만 기초적인 대수 계산을 하면:} \\ &=\left(8\sqrt{2}\right)+\left(4\sqrt{2}-\frac{13}{4}\right)=12\sqrt{2}-\frac{13}{4} \end{aligned}$$

(a) 두 그래프의 교점은 $y(y - 2) = -(y - 1)(y - 3)$ 일 때 생기므로, $y^2 - 2y = -(y^2 - 4y + 3)$ 즉 $2y^2 - 6y + 3 = 0$ 을 만족하는 $y$ 를 구해야 한다. 근의 공식에 의해 $$y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - (4)(2)(3)}}{(2)(2)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\,.$$ 아래 그림과 같이 $y = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \approx 0.63$ 과 $y = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \approx 2.37$ 사이에서 곡선 $x = -(y - 1)(y - 3)$ 이 $x = y(y - 2)$ 의 오른쪽에 있으므로($x$ 값이 더 크므로), 두 곡선 사이의 넓이는 다음 적분으로 주어진다. $$\int_{\frac{3 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} -(y - 1)(y - 3) - y(y - 2) \ dy\,.$$ 이 적분의 값을 구하면 $$\begin{aligned}A &= \int_{\frac{3 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} -2y^2 + 6y - 3 \ dy \\ &= \left. \left(-\frac{2}{3}y^3 + 3y^2 - 3y \right) \right|_{\frac{3 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} \\ &= \left[-\frac{2}{3} \left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)\right] \\ &\qquad - \left[-\frac{2}{3} \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)\right] \\ &= -\frac{1}{12}(54+30\sqrt{3}) + \frac{1}{12}(54-30\sqrt{3}) + \frac{3}{4}(12+6\sqrt{3}) \\ &\qquad - \frac{3}{4}(12-6\sqrt{3}) - \frac{3}{2}(3+\sqrt{3}) + \frac{3}{2}(3-\sqrt{3}) \\ &= -5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}\,.$$ (b) 아래 그림에서 보듯이, 이 구간에서 $y = \sin(x)$ 의 그래프가 $y = \cos(x)$ 의 그래프보다 위에 있다. 따라서 두 곡선 사이의 넓이는 다음과 같다. $$\begin{aligned}A &= \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin(x) - \cos(x) \ dx \\ &= \left. \left(-\cos(x) - \sin(x) \right) \right|_{\pi/4}^{3\pi/4} \\ &= \left[-\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] - \left[-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right] \\ &= \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right] + \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right] \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}\,.$$ (c) $y = 2x - 1$ 을 $x = \frac{y+1}{2}$ 로 고쳐 쓸 수 있다. 두 곡선은 $y^2 - y - 2 = \frac{y+1}{2}$ 일 때 만난다. 따라서 $2y^2 - 2y - 4 = y+1$ 이므로 $2y^2 - 3y - 5 = 0$ 이고, 인수분해하면 $(2y-5)(y+1) = 0$ 이다. 그러므로 두 곡선은 $y = -1$ 또는 $y = \frac{5}{2}$ 에서 만난다. 아래 그림에서 보듯이 이 구간에서 $x = \frac{y+1}{2}$ 이 $x = y^2 - y - 2$ 의 오른쪽에 있으므로, 두 곡선 사이 영역의 넓이는 다음과 같다. $$\begin{aligned}A &= \int_{-1}{5/2} \frac{y+1}{2} - (y^2-y-2) \ dy \\ &= \int_{-1}{5/2} -y^2 + \frac{3}{2}y + \frac{5}{2} \ dy \\ &= \left. \left( -\frac{y^3}{3} + \frac{3}{4}y^2 + \frac{5}{2}y \right) \right|_{-1}{5/2} \\ &= -\frac{1}{3}\left[\left(\frac{5}{2}\right)^3 + 1 \right] + \frac{3}{4}\left[\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 1 \right] + \frac{5}{2}\left[\left(\frac{5}{2}\right) + 1 \right] \\ &= -\frac{133}{24} + \frac{63}{16} + \frac{35}{4} \\ &= \frac{343}{48}\end{aligned}\,.$$ (d) 대표적인 그림($m = 2$ 인 경우)이 아래에 있다. 두 곡선은 $x^2 - 1 = mx$ 일 때, 즉 $x^2 - mx - 1 = 0$ 일 때 만난다. 근의 공식에 의해 $$x = \frac{m \pm \sqrt{m^2-4(1)(-1)}}{2} = \frac{m \pm \sqrt{m^2+4}}{2}\,.$$ 세로로 자른 조각으로 적분하면, $y = mx$ 의 그래프가 항상 $y = x^2 - 1$ 의 그래프보다 위에 있으므로 두 그래프 사이 영역의 넓이는 다음과 같다. $$\begin{aligned}A &= \int_{\frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2}}^{\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2}} mx - \left(x^2-1\right) \ dx \\ &= \left. \left(-\frac{x^3}{3} + m\frac{x^2}{2} + x\right) \right|_{\frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2}}^{\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2}} \\ &= - \frac{1}{3}\left(\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2}\right)^3 - \frac{1}{3}\left(\frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2}\right)^3 + \frac{m}{2}\left(\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2}\right)^2 \\ &\qquad - \frac{m}{2}\left(\frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2}\right)^2 + \left(\frac{m + \sqrt{m^2+4}}{2} - \frac{m - \sqrt{m^2+4}}{2} \right)\end{aligned}\,.$$