정적분과 급수(구분구적법) 연습문제

81.APEX · 5.3절 · 31번우리말 번역

연습문제 29–34에서 정적분

$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ 이 주어져 있다.

(a) $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 주어진 방법을 사용하여 그래프에 직사각형을 그려 넣으세요. (c) 직사각형들의 넓이를 합하여 $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ 의 값을 어림하세요.

$\displaystyle \int_{0}^\pi \sin x\ dx$ , 오른쪽 끝점 방법을 사용하여 직사각형 6개로 어림한다.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, a definite integral

$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ is given.

(a) Graph $f(x)$ on $[a,b]$ . (b) Add to the sketch rectangles using the provided rule. (c) Approximate $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ by summing the areas of the rectangles.

$\displaystyle \int_{0}^\pi \sin x\ dx$ , with 6 rectangles using the Right Hand Rule.

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$\pi/3+\pi/(2\sqrt{3}) \approx 1.954$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi/3+\pi/(2\sqrt{3}) \approx 1.954$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 5번

# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류

82.APEX · 5.3절 · 32번우리말 번역

연습문제 29–34에서 정적분

$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ 이 주어져 있다.

(a) $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 주어진 방법을 사용하여 그래프에 직사각형을 그려 넣으세요. (c) 직사각형들의 넓이를 합하여 $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ 의 값을 어림하세요.

$\displaystyle \int_{0}^3 2^x\ dx$ , 왼쪽 끝점 방법을 사용하여 직사각형 5개로 어림한다.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, a definite integral

$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ is given.

(a) Graph $f(x)$ on $[a,b]$ . (b) Add to the sketch rectangles using the provided rule. (c) Approximate $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ by summing the areas of the rectangles.

$\displaystyle \int_{0}^3 2^x\ dx$ , with 5 rectangles using the Left Hand Rule.

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$8.144$

원본 교재 풀이(영어)

$8.144$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번

# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류

83.APEX · 5.3절 · 33번우리말 번역

연습문제 29–34에서 정적분

$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ 이 주어져 있다.

(a) $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 주어진 규칙을 사용하여 그래프에 직사각형을 추가하세요. (c) 직사각형의 넓이를 합하여 $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ 의 값을 어림하세요.

$\displaystyle \int_{1}^2 \ln x\ dx$ , 중점 규칙을 사용하여 3개의 직사각형으로 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, a definite integral

$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ is given.

(a) Graph $f(x)$ on $[a,b]$ . (b) Add to the sketch rectangles using the provided rule. (c) Approximate $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ by summing the areas of the rectangles.

$\displaystyle \int_{1}^2 \ln x\ dx$ , with 3 rectangles using the Midpoint Rule.

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$0.388584$

원본 교재 풀이(영어)

$0.388584$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 47번

# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류

84.APEX · 5.3절 · 34번우리말 번역

연습문제 29–34에서 정적분

$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ 이 주어져 있다.

(a) $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. (b) 주어진 규칙을 사용하여 그래프에 직사각형을 추가하세요. (c) 직사각형의 넓이를 합하여 $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ 의 값을 어림하세요.

$\displaystyle \int_{1}^9 \frac1x\ dx$ , 오른쪽 끝점 규칙을 사용하여 4개의 직사각형으로 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, a definite integral

$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ is given.

(a) Graph $f(x)$ on $[a,b]$ . (b) Add to the sketch rectangles using the provided rule. (c) Approximate $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx$ by summing the areas of the rectangles.

$\displaystyle \int_{1}^9 \frac1x\ dx$ , with 4 rectangles using the Right Hand Rule.

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$496/315\approx 1.5746$

원본 교재 풀이(영어)

$496/315\approx 1.5746$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 3번

# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류

85.CLP-2 · 1.1절 · 19번우리말 번역

직사각형 세 개와 왼쪽 끝점을 이용하여 $\displaystyle\int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Estimate $\displaystyle\int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x$ using three approximating rectangles and left hand end points.

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정답·풀이 보기

주어진 적분의 적분 구간은 $a=-1$ 에서 $b=5$ 까지이다. 따라서 너비가 모두 같은 직사각형 세 개를 사용하면 공통 너비는 $\Delta x=\frac{b-a}{n} = 2$ 이다. 첫 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_0=a=-1$ 이고, 두 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_1=a+\Delta x=1$ 이며, 세 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_2=a+2\Delta x=3$ 이다. 그러므로

$\begin{aligned} \int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x \approx \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x =\big[(-1)^3+1^3+3^3\big]\times2 =54 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The given integral has interval of integration going from $a=-1$ to $b=5$ . So when we use three approximating rectangles, all of the same width, the common width is $\Delta x=\frac{b-a}{n} = 2$ . The first rectangle has left endpoint $x_0=a=-1$ , the second has left hand endpoint $x_1=a+\Delta x=1$ , and the third has left hand end point $x_2=a+2\Delta x=3$ . So

$\begin{aligned} \int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x \approx \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x =\big[(-1)^3+1^3+3^3\big]\times2 =54 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 5번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

86.CLP-2 · 1.1절 · 20번우리말 번역

$f$ 를 실수 전체에서 정의된 함수라 하자. 오른쪽 끝점을 이용하여 $\displaystyle\int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 리만 합의 극한으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $f$ be a function on the whole real line. Express $\displaystyle\int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x$ as a limit of Riemann sums, using the right endpoints.

정답·풀이 보기

주어진 적분에서 적분 구간은 $a=-1$ 에서 $b=7$ 까지이다. 따라서 $\Delta x = \frac{(b-a)}{n}= \frac{(7-(-1))}{n} = \frac{8}{n}$ 이다. 첫 번째 부분구간의 왼쪽 끝점은 $x_0=a=-1$ 이다. 따라서 $i^{\rm th}$ 번째 구간의 오른쪽 끝점은 $x_i^* = -1+\frac{8i}{n}$ 이다. 그러므로:

$\begin{aligned} \int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left(-1+\frac{8i}{n}\right)\frac{8}{n} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In the given integral, the domain of integration runs from $a=-1$ to $b=7$ . So, we have $\Delta x = \frac{(b-a)}{n}= \frac{(7-(-1))}{n} = \frac{8}{n}$ . The left-hand end of the first subinterval is at $x_0=a=-1$ . So, the right-hand end of the $i^{\rm th}$ interval is at $x_i^* = -1+\frac{8i}{n}$ . So:

$\begin{aligned} \int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left(-1+\frac{8i}{n}\right)\frac{8}{n} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 25번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

87.CLP-2 · 1.1절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ 을 서로 다른 세 가지 방법으로 적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Express $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ as an integral in three different ways.

정답·풀이 보기

선택 1: $\Delta x = \frac{2}{n}$ , $x_i^*= \frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 2: $\Delta x = \frac{2}{n}$ , $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=1$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=1$ 이고 $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 3: $\Delta x = \frac{1}{n}$ , $x_i^*= \frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 4: $\Delta x = \frac{1}{n}$ , $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=\frac{1}{2}$ 일 때 $x_i = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=\frac{1}{2}$ 이고 $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Choice #1: If we set $\Delta x = \frac{2}{n}$ and $x_i^*= \frac{2i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=0$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #2: If we set $\Delta x = \frac{2}{n}$ and $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=1$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=1$ and $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #3: If we set $\Delta x = \frac{1}{n}$ and $x_i^*= \frac{i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=0$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=0$ and $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #4: If we set $\Delta x = \frac{1}{n}$ and $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ , i.e. $x_i = a + i\Delta x$ with $a=\frac{1}{2}$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=\frac{1}{2}$ and $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 47번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

88.CLP-2 · 1.1절 · 37번우리말 번역

(a) $\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

을 정적분으로 나타내세요.

(b) (a)의 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Express

$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2}$

as a definite integal.

(b) Evaluate the integral of part (a).

정답·풀이 보기

풀이 1: $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=-2$ , $b=x_n=0$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-x^2}$ 은 $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $x^2+y^2=4$ (반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $-2\le x\le 0$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

풀이 2: $x_i^*=\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=0$ , $b=x_n=2$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

적분 $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ 은 $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $(x-2)^2+y^2=4$ (중심이 $(2,0)$ 이고 반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $0\le x\le 2$ 에서의 $x$ 축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution #1: Set $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=-2$ and $b=x_n=0$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-x^2}$ is equivalent to $x^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $x^2+y^2=4$ (which has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $-2\le x\le 0$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

Solution #2: Set $x_i^*=\frac{2i}{n}$ . Then $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$ and $\Delta x=\frac{2}{n}$ . So

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

For the integral $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ , $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ is equivalent to $(x-2)^2+y^2=4$ , $y\ge 0$ . So the integral represents the area between the upper half of the circle $(x-2)^2+y^2=4$ (which is centered at $(2,0)$ and has radius $2$ ) and the $x$ -axis with $0\le x\le 2$ , which is a quarter circle with area $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 3번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

89.CLP-2 · 1.1절 · 38번우리말 번역

다음 적분을 생각하세요.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) 구간의 수를 $n=3$ 으로 하여 왼쪽 리만 합으로 이 적분의 근삿값을 구하세요. (b) 구간의 수가 $n$ 일 때 오른쪽 리만 합을 식으로 나타내고, 그 합을 계산하세요. 이제 리만 합의 식에서 극한 $n \to \infty$ 를 취하여 적분 ( $*$ ) 의 값을 정확하게 구하세요.

다음 항등식을 이용해도 됩니다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Consider the integral:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) Approximate this integral using the left Riemann sum with $n=3$ intervals. (b) Write down the expression for the right Riemann sum with $n$ intervals and calculate the sum. Now take the limit $n \to \infty$ in your expression for the Riemann sum, to evaluate the integral ( $*$ ) exactly.

You may use the identity

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 왼쪽 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{여기서 }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

$n=3$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ 이고, $x_0=0$ , $x_1=1$ , $x_2=2$ 이다. 함수 $f(x) = 7 + x^3$ 의 값은 $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , $f(x_2) = 7+2^3=15$ 이므로 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) $n$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ 이다. 따라서 오른쪽 리만 합은 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

합을 계산하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

극한값을 정확하게 구하기 위해 $n \to \infty$ 를 취한다. $1/n$ 을 포함한 항은 0 으로 사라지므로 다음이 남는다.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The left Riemann sum is defined as

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{with }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

We subdivide into $n=3$ intervals, so that $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ , $x_0=0$ , $x_1=1$ and $x_2=2$ . The function $f(x) = 7 + x^3$ has the values $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , and $f(x_2) = 7+2^3=15$ , from which we evaluate

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) We divide into $n$ intervals so that $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ . The right Riemann sum is therefore:

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

To calculate the sum:

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

To evaluate the limit exactly, we take $n \to \infty$ . The expressions involving $1/n$ vanish leaving:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 39번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

90.CLP-2 · 1.1절 · 39번우리말 번역

오른쪽 끝점 리만 합의 극한을 이용하여 $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

공식 $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ 과 $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ 을 사용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Using a limit of right–endpoint Riemann sums, evaluate $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ .

You may use the formulas $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ and $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

일반적으로 $n$ 개의 직사각형을 사용하여 적분 $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 오른쪽 끝점 리만 합으로 근사한 값은

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

이다. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이다. 이 문제에서 $a=2$ , $b=4$ , $f(x)=x^2$ 이므로 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이고, 오른쪽 끝점 리만 합 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, the right–endpoint Riemann sum approximation to the integral $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ using $n$ rectangles is

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

where $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . In this problem, $a=2$ , $b=4$ , and $f(x)=x^2$ , so that $\Delta x=\frac{2}{n}$ and the right–endpoint Riemann sum approximation becomes

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

So

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.2절 · 10번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

91.CLP-2 · 1.1절 · 40번우리말 번역

정적분의 정의를 이용하여 $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. 합의 공식 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ 과 $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ 을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Find $\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\mathrm{d}x$ using the definition of the definite integral. You may use the summation formulas $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4$ and $\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$a=0$ , $b=2$ 인 오른쪽 리만 합을 이용한다. 직사각형이 $n$ 개일 때 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ 이다. 따라서 다음의 값을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We'll use right Riemann sums with $a=0$ and $b=2$ . When there are $n$ rectangles, $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x=2i/n$ . So we need to evaluate

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( (x_i)^3 + x_i\right) \Delta x\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 + \frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ & = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{2i}{n}\right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \right) \\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16(n^4+2n^3+n^2)}{n^4 \cdot 4} + \frac{4(n^2+n)}{n^2 \cdot 2} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{16}{4}\left(1+\frac{2}{n} + \frac1{n^2} \right) + \frac{4}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \\ & = \frac{16}{4} + \frac{4}{2} = 6. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 4번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

92.CLP-2 · 1.1절 · 42번우리말 번역

$n=10$ , $\Delta(x)=10$ , $a=-5$ 일 때 다음 식이 오른쪽 리만 합이 되도록 하는 함수 $f(x)$ 를 하나 구하세요: $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

영어 원문 보기

Give a function $f(x)$ that has the following expression as a right Riemann sum when $n=10$ , $\Delta(x)=10$ and $a=-5$ : $\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

오른쪽 리만 합의 정의에 의해

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{$\Delta x = 10$ 이고 $a=-5$ 이므로,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{두 식을 모두 10으로 나누면,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{따라서 $f(-5+10i)$ 에 대한 식을 얻는다:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{$f(x)$ 를 구하기 위해 $x=-5+10i$ 로 놓으면 $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$ 이다.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of a right Riemann sum,

$\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \Delta x f(a+i\Delta x) \\ \text{Since $\Delta x = 10$ and $a=-5$,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10 f(-5+10i) \\ \text{Dividing both expressions by 10,} \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{10} \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) &= \displaystyle\sum_{i=1}^{10} f(-5+10i) \\ \text{So, we have an expression for $f(-5+10i)$:} \\ f(-5+10i) &= \frac{3}{10}(7+2i)^2\sin(4i) \\ \text{In order to find $f(x)$, let $x=-5+10i$. Then $i=\frac{x}{10}+\frac{1}{2}$.} \\ f(x) &= \frac{3}{10}\left(7+2\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)^2\sin\left(4\left(\frac{x}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\\ &=\frac{3}{10}\left(\frac{x}{5}+8\right)^2\sin\left(\frac{2x}{5}+2\right)\ . \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 40번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

93.CLP-2 · 1.1절 · 45번우리말 번역

$0 \leq a \leq 1$ 일 때, 기하를 이용하여 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x$ using geometry, if $0 \leq a \leq 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 $y=\sqrt{1-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원임에 주목한다. 0에서 $a$ 까지 곡선 아래의 넓이를 구하므로, 구하려는 영역은 아래 그림과 같다.

기하를 이용하여 이 넓이를 구하기 위해, 아래와 같이 원의 부채꼴과 삼각형, 두 부분으로 나눈다.

부채꼴의 넓이: 부채꼴은 반지름이 1인 원의 일부이고 중심각은 $\theta$ 이다. 따라서 그 넓이는 $\frac{\theta}{2\pi}\left(\text{원의 넓이}\right) = \frac{\theta}{2\pi}\left(\pi\right) = \frac{\theta}{2}$ 이다.

이제 $\theta$ 를 $a$ 에 대해 나타내야 한다. $\frac{\pi}{2}-\theta$ 는 단위원 안에 있는 빨간 삼각형의 한 내각임에 주목한다. 따라서 $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a$ 이다. 그러면 $\frac{\pi}{2}-\theta= \arccos(a)$ 이므로 $\theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(a)$ 이다.

그러므로 부채꼴의 넓이는 $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)$ 제곱단위이다.

삼각형의 넓이: 삼각형의 밑변은 $a$ 이다. 높이는 $x=a$ 일 때 함수의 $y$ 값이므로 $\sqrt{1-a^2}$ 이다. 그러면 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ 이다.

따라서 $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} \arccos(a) + \frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we note $y=\sqrt{1-x^2}$ is the upper half of a circle of radius 1, centred at the origin. We're taking the area under the curve from 0 to $a$ , so the area in question is as shown in the picture below.

In order to use geometry to find this area, we break it up into two pieces: a sector of a circle, and a triangle, shown below.

Area of sector: The sector is a portion of a circle with radius 1, with inner angle $\theta$ . So, its area is $\frac{\theta}{2\pi}\left(\text{area of circle}\right) = \frac{\theta}{2\pi}\left(\pi\right) = \frac{\theta}{2}$ .

Our job now is to find $\theta$ in terms of $a$ . Note $\frac{\pi}{2}-\theta$ is the inner angle of the red triangle, which lies in the unit circle. So, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=a$ . Then $\frac{\pi}{2}-\theta= \arccos(a)$ , and so $\theta = \frac{\pi}{2} - \arccos(a)$ .

Then the area of the sector is $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)$ square units.

Area of triangle: The triangle has base $a$ . Its height is the $y$ -value of the function when $x=a$ , so its height is $\sqrt{1-a^2}$ . Then the area of the triangle is $\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ .

We conclude $\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} -\frac{1}{2} \arccos(a) + \frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 42번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류

94.CLP-2 · 1.1절 · 47번우리말 번역

$f(x)$ 를 일차함수, $a<b$ 를 정수, $n$ 을 0 이상의 정수라고 하자. 참 또는 거짓: $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ 에 대해 직사각형 $n$ 개를 사용한 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 구하면, 직사각형 $n$ 개를 사용한 중점 리만 합과 같은 값이 된다.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a linear function, let $a<b$ be integers, and let $n$ be a whole number. True or false: if we average the left and right Riemann sums for $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ using $n$ rectangles, we get the same value as the midpoint Riemann sum using $n$ rectangles.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 일차함수이므로 $f(x)=mx+c$ 를 만족시키는 실수 $m$ , $c$ 가 존재한다. 이제 계산해 보자. 리만 합의 직사각형 하나가 구간 $[x,x+w]$ 를 차지한다고 하자.

왼쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x)=mx+c$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c)$ 이다.
오른쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c+mw)$ 이다.
중점 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ 이다.

그러므로 각 직사각형마다 중점 직사각형의 넓이는 왼쪽 직사각형과 오른쪽 직사각형 넓이의 평균과 같다. $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ 따라서 중점 리만 합의 값은 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 값의 평균과 같다. 이를 확인하기 위해, 중점 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $M_1,M_2,\ldots,M_n$ 이라 하고, 왼쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $L_1,L_2,\ldots,L_n$ 이라 하며, 오른쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $R_1,R_2,\ldots,R_n$ 이라 하자. 그러면 중점 리만 합의 값은 $M_1+M_2+\cdots+M_n$ 이고,

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.

(그러나 일차함수가 아닌 많은 함수 $f(x)$ 에 대해서는 거짓이다.)

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is linear, there exist real numbers $m$ and $c$ such that $f(x)=mx+c$ . Now we can do some calculations. Suppose we have a rectangle in our Riemann sum that takes up the interval $[x,x+w]$ .

If we are using a left Riemann sum, our rectangle has height $f(x)=mx+c$ . Then it has area $w(mx+c)$ .
If we are using a right Riemann sum, our rectangle has height $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ . Then it has area $w(mx+c+mw)$ .
If we are using a midpoint Riemann sum, our rectangle has height $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ . Then it has area $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ .

So, for each rectangle in our sums, the midpoint rectangle has the same area as the average of the left and right rectangles: $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ It follows that the midpoint Riemann sum has a value equal to the average of the values of the left and right Riemann sums. To see this, let the rectangles in the midpoint Riemann sum have areas $M_1,M_2,\ldots,M_n$ , let the rectangles in the left Riemann sum have areas $L_1,L_2,\ldots,L_n$ , and let the rectangles in the right Riemann sum have areas $R_1,R_2,\ldots,R_n$ . Then the midpoint Riemann sum evaluates to $M_1+M_2+\cdots+M_n$ , and:

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

So, the statement is true.

(Note, however, it is false for many non-linear functions $f(x)$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 45번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인도전자동 분류

95.Active Calculus · 4.2절 · 8번우리말 번역

함수 $f(x) = 3x + 4$ 를 생각하세요.

(a) 구간 $[2,5]$ 에서 $y=f(x)$ 에 대한 $M_4$ 를 구하세요. $\Delta x$ 의 값과 $x_0, x_1, \ldots, x_4$ 의 위치를 분명하게 밝히세요. 함수의 그래프와 합에 사용된 직사각형들을 정확하게 그려 넣으세요. (b) 익숙한 기하 공식을 사용하여, $[2,5]$ 에서 $y = f(x)$ 와 $x$ 축으로 유계인 영역의 넓이의 정확한 값을 구하세요. (c) (a)와 (b)에서 구한 값이 같게 나오는 이유를 설명하세요. $n = 4$ 가 아닌 다른 수를 사용하여 $M_n$ 을 구해도 이것이 참일까요? $L_4$ 나 $R_4$ 는 (b)에서 구한 영역의 정확한 넓이와 같은 값을 가질까요? (d) 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $g$ 와 $x$ 축 사이에 유계인 부호 있는 순넓이를, $n$ 의 값에 상관없이 $M_n$ 이 항상 정확하게 주는 함수 $g$ 들의 모임을 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the function $f(x) = 3x + 4$ .

(a) Compute $M_4$ for $y=f(x)$ on the interval $[2,5]$ . Be sure to clearly identify the value of $\Delta x$ , as well as the locations of $x_0, x_1, \ldots, x_4$ . Include a careful sketch of the function and the corresponding rectangles being used in the sum. (b) Use a familiar geometric formula to determine the exact value of the area of the region bounded by $y = f(x)$ and the $x$ -axis on $[2,5]$ . (c) Explain why the values you computed in (a) and (b) turn out to be the same. Will this be true if we use a number different than $n = 4$ and compute $M_n$ ? Will $L_4$ or $R_4$ have the same value as the exact area of the region found in (b)? (d) Describe the collection of functions $g$ for which it will always be the case that $M_n$ , regardless of the value of $n$ , gives the exact net signed area bounded between the function $g$ and the $x$ -axis on the interval $[a,b]$ .

정답·풀이 보기

(a) $[2,5]$ 에서 부분구간을 $4$ 개 사용하므로 $\triangle x = \frac{5-2}{4} = 0.75$ 이다. 따라서 $x_0 = 2$ , $x_1 = 2.75$ , $x_2 = 3.5$ , $x_3 = 4.25$ , 그리고 $x_4 = 5$ 이다. 각 부분구간의 중점은 $\overline{x_1} = \frac{2+2.75}{2} = 2.375$ , $\overline{x_2} = 3.125$ , $\overline{x_3} = 3.875$ , 그리고 $\overline{x_4} = 4.625$ 이다. 그러므로 $\begin{aligned}M_4 &= f(\overline{x_1}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_2}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_3}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_4}) \cdot \triangle x \\ &= \left(f(2.375) + f(3.125) + f(3.875) + f(4.625) \right) \cdot (0.75) \\ &= \left(11.125 + 13.375 + 15.625 + 17.875 \right) \cdot (0.75) \\ &= 58 \cdot 0.75 \\ &= 43.5\end{aligned}$ $M_4$ 의 핵심 부분을 나타낸 전체 그림은 아래 그림과 같다. 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요 (b) $f(2) = 10$ 이고 $f(5) = 19$ 임을 알 수 있다. 함수, $x$ 축, 그리고 양 끝점으로 유계인 영역은 사다리꼴이다. 사다리꼴의 넓이는 두 밑변의 평균에 높이를 곱한 것임을 떠올리면, 이 유계인 영역의 넓이는 $A = \frac{1}{2}(10 + 19)(5-2) = \frac{87}{2}\,$ 이다. (c) $M_4$ 가 직선과 $x$ 축 사이의 정확한 넓이를 주는 이유는, 중점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형이 각 부분구간의 두 끝점에서의 함숫값으로 만들어지는 사다리꼴과 넓이가 같기 때문이다. 다음 그림에서 보듯이, 중점 직사각형이 둘러싸는 "넘치는 넓이"가 중점 직사각형에서 빠져 있는 "모자란 넓이"와 정확히 일치한다는 점에서도 이를 알 수 있다. 이 두 양이 서로 상쇄되므로, 중점 직사각형들의 넓이는 곡선 아래의 정확한 넓이를 준다. 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요 실제로 $M_n$ 의 값은 $n$ 의 어떤 값에 대해서도 $[2,5]$ 에서 $g$ 아래의 정확한 넓이를 준다. 그러나 $L_n$ 과 $R_n$ 은 정확하지 않다. $L_n$ 은 모든 직사각형이 함수 $g$ 의 아래에 완전히 놓이므로 실제 넓이보다 작게 어림하고, $R_n$ 은 모든 직사각형이 함수 위에 놓이므로 실제 넓이보다 크게 어림한다. (d) $g(x) = mx + b$ 꼴의 일차함수 $g$ 중에서, 다루는 구간에서 $g(x) \ge 0$ 이면 중점 법칙은 함수와 $x$ 축으로 유계인 영역의 넓이의 정확한 값을 준다. 이는 주어진 부분구간에서 두 끝점으로 만들어지는 사다리꼴의 넓이가, 그 부분구간의 중점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이와 같기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since we are using $4$ subintervals on $[2,5]$ , it follows that $\triangle x = \frac{5-2}{4} = 0.75$ . Thus, $x_0 = 2$ , $x_1 = 2.75$ , $x_2 = 3.5$ , $x_3 = 4.25$ , and $x_4 = 5$ . The midpoints of the respective subintervals are thus $\overline{x_1} = \frac{2+2.75}{2} = 2.375$ , $\overline{x_2} = 3.125$ , $\overline{x_3} = 3.875$ , and $\overline{x_4} = 4.625$ . Thus, $\begin{aligned}M_4 &= f(\overline{x_1}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_2}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_3}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_4}) \cdot \triangle x \\ &= \left(f(2.375) + f(3.125) + f(3.875) + f(4.625) \right) \cdot (0.75) \\ &= \left(11.125 + 13.375 + 15.625 + 17.875 \right) \cdot (0.75) \\ &= 58 \cdot 0.75 \\ &= 43.5\end{aligned}$ An overall sketch of the key parts of $M_4$ is seen in the figure below. ADD ALT TEXT TO THIS IMAGE (b) Observe that $f(2) = 10$ and $f(5) = 19$ . The region bounded by the function, the $x$ -axis, and the endpoints is a trapezoid. Recalling that the area of a trapezoid is the average of the bases times the height, we see that the bounded region has area $A = \frac{1}{2}(10 + 19)(5-2) = \frac{87}{2}\,.$ (c) The reason that $M_4$ gives the exact area between the line and the $x$ -axis is the rectangles with heights that come from the midpoint have the same area as the trapezoids that are formed by the function values at the two endpoints of each subinterval. We can also see this by observing that the “extra area” bounded by the midpoint rectangle exactly matches the “missing area” that is absent from the midpoint rectangle, as seen in the following figure. Since these two quantities balance out, the areas of the midpoint rectangles give us the exact area under the curve. ADD ALT TEXT TO THIS IMAGE Indeed, the value of $M_n$ will give the exact area under $g$ on $[2,5]$ for any value of $n$ . But neither $L_n$ nor $R_n$ will be exact: $L_n$ will underestimate the true area since every rectangle will lie completely under the function $g$ , whereas $R_n$ will overestimate because every rectangle lies above the function. (d) For any linear function $g$ of the form $g(x) = mx + b$ such that $g(x) \ge 0$ on the interval of interest, the midpoint rule will give the exact value of the area bounded by the function and the $x$ -axis. This is true because the area of the trapezoid formed by the two endpoints on a given subinterval will be the same as the area of the rectangle whose height is given by the function at the midpoint of the subinterval.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 11번

# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류

96.Active Calculus · 4.2절 · 9번우리말 번역

$S$ 를 다음과 같은 합이라고 하자.

$S = ((1.4)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((1.8)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.2)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.6)^2 + 1) \cdot 0.4 +((3.0)^2 + 1) \cdot 0.4\,.$

(a) $S$ 가 오른쪽 리만 합이라고 가정하세요. $S$ 가 어떤 함수 $f$ 와 어떤 구간 $[a,b]$ 에 대한 이 함수의 리만 합인지 구하고, 그 이유를 설명하세요. (b) $S$ 가 왼쪽 리만 합이라면 (a)의 답은 어떻게 달라지는지 설명하세요. 중점 리만 합이라면 어떻게 달라지는지 설명하세요. (c) $S$ 가 정말로 오른쪽 리만 합이라고 하세요. $S$ 는 어떤 기하학적 양을 근사하는지 구하세요. (d) 시그마 기호를 사용하여, 같은 함수에 대한 오른쪽 리만 합이면서 $S$ 보다 부분구간의 개수가 두 배인 새로운 합 $R$ 을 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $S$ be the sum given by

$S = ((1.4)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((1.8)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.2)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.6)^2 + 1) \cdot 0.4 +((3.0)^2 + 1) \cdot 0.4\,.$

(a) Assume that $S$ is a right Riemann sum. For what function $f$ and what interval $[a,b]$ is $S$ this function's Riemann sum? Why? (b) How does your answer to (a) change if $S$ is a left Riemann sum? a middle Riemann sum? (c) Suppose that $S$ really is a right Riemann sum. What is geometric quantity does $S$ approximate? (d) Use sigma notation to write a new sum $R$ that is the right Riemann sum for the same function, but that uses twice as many subintervals as $S$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수는 $x_1 = 1.4$ , $x_2 = 1.8$ , $x_3 = 2.2$ , $x_4 = 2.6$ , $x_5 = 3.0$ 에서 계산되고 있다. 따라서 이것이 오른쪽 리만 합이므로 부분구간은 $5$ 개이고 $\triangle x = 0.4$ 이며 $x_0 = 1.0$ 이다. 이 규칙으로부터 함수는 구간 $[1,3]$ 에서 $f(x) = x^2 + 1$ 이어야 함을 알 수 있다. (b) 대신 $S$ 가 왼쪽 리만 합이라면 $x_i$ 들이 왼쪽으로 이동하여 $x_0 = 1.4$ , $x_1 = 1.8$ , $\ldots$ , $x_5 = 3.4$ 가 된다. 이 경우 함수는 같지만 구간은 $[1.4, 3.4]$ 이다. $S$ 가 중점 리만 합이라면, 예를 들어 $1.4$ 는 길이가 $\triangle x = 0.4$ 인 구간의 중점이므로 $x_0 = 1.2$ , $x_1 = 1.6$ 이다. 이 규칙을 계속 적용하면 함수 $f(x) = x^2 + 1$ 을 구간 $[1.2, 3.2]$ 에서 생각하게 된다. (c) $S$ 는 $[1,3]$ 에서 $f(x) = x^2 + 1$ 의 그래프 아래쪽에 놓인 넓이를 근사한 값이다. (d) 부분구간을 두 배로 하려면 $\triangle x = 0.2$ 로 바꾸므로 $x_1 = 1.2$ , $x_2 = 1.4$ , …이고, 일반적인 오른쪽 끝점은 $x_i = 1 + 0.2 \cdot i$ 이다. 또한 $n = 10$ 이므로 $R_{10} = \sum_{i=1}^{10} \left( (1+0.2i)^2 + 1 \right) \cdot 0.2\,.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function is being evaluated at $x_1 = 1.4$ , $x_2 = 1.8$ , $x_3 = 2.2$ , $x_4 = 2.6$ , and $x_5 = 3.0$ . Thus, since we know this is a right Riemann sum, we are using $5$ subintervals with $\triangle x = 0.4$ , and $x_0 = 1.0$ . From the pattern, we observe that the function must be $f(x) = x^2 + 1$ on the interval $[1,3]$ . (b) If $S$ is a left Riemann sum instead, then the $x_i$ 's shift left: $x_0 = 1.4$ , $x_1 = 1.8$ , $\ldots$ , $x_5 = 3.4$ . In this setting, the function is identical, but we are considering it on the interval $[1.4, 3.4]$ . If $S$ is a middle Riemann sum, then (for example) $1.4$ is the midpoint of an interval $\triangle x = 0.4$ units long, so $x_0 = 1.2$ and $x_1 = 1.6$ . Continuing that trend, we'd be considering the function $f(x) = x^2 + 1$ on the interval $[1.2, 3.2]$ . (c) $S$ is an approximation of the area that lies under $f(x) = x^2 + 1$ on $[1,3]$ . (d) To use twice as many subintervals, we move to $\triangle x = 0.2$ and thus $x_1 = 1.2$ , $x_2 = 1.4$ , and so on, with the general right endpoint being given by $x_i = 1 + 0.2 \cdot i$ . We'll also have $n = 10$ , so $R_{10} = \sum_{i=1}^{10} \left( (1+0.2i)^2 + 1 \right) \cdot 0.2\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.2절 · 8번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

97.Active Calculus · 4.2절 · 10번우리말 번역

직선 도로를 달리는 자동차가 브레이크를 밟고 있으며, 여러 시각에서 자동차의 속도를 측정하여 다음 표와 같은 값을 얻었습니다.

브레이크를 밟는 자동차의 자료

시간(초), $t$	$0$	$0.3$	$0.6$	$0.9$	$1.2$	$1.5$	$1.8$
속도(ft/sec), $v(t)$	$100$	$88$	$74$	$59$	$40$	$19$	$0$

(a) 가로축을 시간, 세로축을 속도로 하여 주어진 자료를 좌표평면에 나타내세요. (b) 3개의 부분구간으로 나눈 중점 리만 합을 사용하여, 자동차가 브레이크를 밟는 동안 이동한 총 거리를 어림하세요. (c) $L_6$ , $R_6$ , $\frac{1}{2}(L_6 + R_6)$ 을 계산하여 $[0,1.8]$ 에서 이동한 총 거리를 어림하세요. (d) $v(t)$ 가 $[0,1.8]$ 에서 항상 감소한다고 가정할 때, 자동차가 멈추기 전까지 이동했을 수 있는 최대 거리는 얼마입니까? 그 이유는 무엇입니까?

영어 원문 보기

A car traveling along a straight road is braking and its velocity is measured at several different points in time, as given in the following table.

Data for the braking car.

seconds, $t$	$0$	$0.3$	$0.6$	$0.9$	$1.2$	$1.5$	$1.8$
Velocity in ft/sec, $v(t)$	$100$	$88$	$74$	$59$	$40$	$19$	$0$

(a) Plot the given data on a set of axes with time on the horizontal axis and the velocity on the vertical axis. (b) Estimate the total distance traveled during the car the time brakes using a middle Riemann sum with 3 subintervals. (c) Estimate the total distance traveled on $[0,1.8]$ by computing $L_6$ , $R_6$ , and $\frac{1}{2}(L_6 + R_6)$ . (d) Assuming that $v(t)$ is always decreasing on $[0,1.8]$ , what is the maximum possible distance the car traveled before it stopped? Why?

정답·풀이 보기

(a) 주어진 자료를 그래프로 나타내면 아래 그림과 같다. 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요. (b) 주어진 자료로 $M_3$ 을 구하면, 중점은 $\overline{x_1} = 0.3$ , $\overline{x_2} = 0.9$ , $\overline{x_3} = 1.5$ 이고 $\triangle t = 0.6$ 이므로 $M_3 = f(0.3) \cdot 0.6 + f(0.9) \cdot 0.6 + f(1.5) \cdot 0.6 = 166 \cdot 0.6 = 99.6\,.$ 따라서 자동차는 브레이크를 밟는 $1.8$ 초 동안 약 $99.6$ 피트를 이동한다. (c) 기본 공식을 사용하면 $L_6 = f(0) \cdot 0.3 + f(0.3) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.5) \cdot 0.3 = 380 \cdot 0.3 = 114$ 이고 $R_6 = f(0.3) \cdot 0.3 + f(0.6) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.8) \cdot 0.3 = 280 \cdot 0.3 = 84\,.$ 이므로 $\frac{1}{2}(L_6 + R_6) = \frac{114+84}{2} = 99\,.$ 이 세 값은 각각 이동한 총 거리의 어림값이며, $L_6$ 은 과대추정이고 $R_6$ 은 과소추정이다. (d) 자동차가 멈추기 전까지 이동했을 수 있는 최대 거리는 $114$ 피트이다. 이는 함수가 구간에서 감소하는 경우 $L_n$ 은 항상 과대추정이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A plot of the given data is shown in the figure below. ADD ALT TEXT TO THIS IMAGE (b) For $M_3$ with the given data, the midpoints are $\overline{x_1} = 0.3$ , $\overline{x_2} = 0.9$ , and $\overline{x_3} = 1.5$ , and $\triangle t = 0.6$ , so $M_3 = f(0.3) \cdot 0.6 + f(0.9) \cdot 0.6 + f(1.5) \cdot 0.6 = 166 \cdot 0.6 = 99.6\,.$ Therefore, the car travels approximately $99.6$ feet over the $1.8$ second interval it brakes. (c) Using the standard formulas, $L_6 = f(0) \cdot 0.3 + f(0.3) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.5) \cdot 0.3 = 380 \cdot 0.3 = 114$ and $R_6 = f(0.3) \cdot 0.3 + f(0.6) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.8) \cdot 0.3 = 280 \cdot 0.3 = 84\,.$ Thus, $\frac{1}{2}(L_6 + R_6) = \frac{114+84}{2} = 99\,.$ Each of these three quantities is an estimate of the total distance traveled: $L_6$ is an overestimate and $R_6$ is an underestimate. (d) The maximum possible distance the car traveled before it stopped is $114$ feet. This is because $L_n$ is always an overestimate when the function is decreasinging on the interval.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.2절 · 9번

# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류