문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

입체도형의 부피

단면의 넓이를 적분해 부피를 구한다(원판·와셔로 회전체의 부피 포함)

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

84문제 · 3 / 5쪽

41.OpenStax 1권 · 6.2절 · 41번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 곡선으로 유계인 영역을 그리세요. 그런 다음, 와셔 방법을 사용하여 그 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=\sqrt{x},x=4,\,\text{그리고}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.

$y=\sqrt{x},x=4,\,\text{and}\,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 44번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

42.OpenStax 1권 · 6.2절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서, 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 워셔법을 이용하여 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=x+2,y=2x-1,\,\text{그리고}\,x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.

$y=x+2,y=2x-1,\,\text{and}\,x=0$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 있는 그래프이다. 색칠된 영역은 위쪽은 직선 y=x+2로, 아래쪽은 직선 y=2x-1로, 왼쪽은 y축으로 둘러싸여 있다.

$9\pi$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the line y=x+2, below by the line y=2x-1, and to the left by the y-axis.

$9\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.2절 · 2번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 6.2절 · 43번우리말 번역

다음 문제에서, 곡선으로 유계인 영역을 그리세요. 그런 다음, 와셔법을 이용하여 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=\sqrt[3]{x}\,\text{그리고}\,y={x}^{3}$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.

$y=\sqrt[3]{x}\,\text{and}\,y={x}^{3}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 22번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

44.OpenStax 1권 · 6.2절 · 44번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 와셔 방법으로 구하세요.

$x={e}^{2y},x={y}^{2},y=0,\,\text{그리고}\,y=\ln (2)$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.

$x={e}^{2y},x={y}^{2},y=0,\,\text{and}\,y=\ln (2)$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그려진 그래프이다. 색칠된 영역은 위쪽은 곡선 y=ln(2)로, 아래쪽은 x축으로, 왼쪽은 곡선 x=y^2로, 오른쪽은 곡선 x=e^(2y)로 둘러싸여 있다.

$\frac{\pi }{20}(75-4\,{\ln }^{5}(2))$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the curve y=ln(2), below by the x-axis, to the left by the curve x=y^2, and to the right by the curve x=e^(2y).

$\frac{\pi }{20}(75-4\,{\ln }^{5}(2))$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 20번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

45.OpenStax 1권 · 6.2절 · 45번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 와셔법을 이용하여 구하세요.

$x=\sqrt{9-{y}^{2}},x={e}^{-y},y=0,\,\text{그리고}\,y=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.

$x=\sqrt{9-{y}^{2}},x={e}^{-y},y=0,\,\text{and}\,y=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 40번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번우리말 번역

요거트 용기는 원뿔대 모양일 수 있습니다. 직선 $y=\frac{1}{m}x$ 를 y축을 중심으로 회전시켜 $y=a\,\text{와}\,y=b$ 사이의 부피를 구하세요.

이 그림은 두 부분으로 이루어져 있다. 첫 번째 부분은 속이 찬 원뿔이다. 원뿔의 밑면이 윗면보다 넓다. 원뿔은 3차원 상자 안에 그려져 있다. 원뿔 아래에는 이 그림과 같은 모양의 요거트 용기 사진이 있다.

영어 원문 보기

Yogurt containers can be shaped like frustums. Rotate the line $y=\frac{1}{m}x$ around the y-axis to find the volume between $y=a\,\text{and}\,y=b.$

This figure has two parts. The first part is a solid cone. The base of the cone is wider than the top. It is shown in a 3-dimensional box. Underneath the cone is an image of a yogurt container with the same shape as the figure.

정답·풀이 보기

$\frac{{m}^{2}\pi }{3}({b}^{3}-{a}^{3})$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{m}^{2}\pi }{3}({b}^{3}-{a}^{3})$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 26번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

47.OpenStax 1권 · 6.2절 · 47번우리말 번역

타원 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 을 x축을 중심으로 회전시켜, 그림과 같은 미식축구공의 부피를 어림하세요.

이 그림에는 미식축구공 사진과 거의 같은 모양의 타원이 있다.

영어 원문 보기

Rotate the ellipse $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ around the x-axis to approximate the volume of a football, as seen here.

This figure has an oval that is approximately equal to the image of a football.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

48.OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번우리말 번역

타원 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 을 y축을 중심으로 회전시켜 미식축구공의 부피를 어림하세요.

영어 원문 보기

Rotate the ellipse $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ around the y-axis to approximate the volume of a football.

정답·풀이 보기

$\frac{4{a}^{2}b\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4{a}^{2}b\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 50번

# 입체도형의 부피활용자동 분류

49.OpenStax 1권 · 6.2절 · 49번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\sin \,x$ 를 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 입체는 미식축구공의 부피에 대한 더 나은 근삿값을 줍니다. 그림과 같은 이 미식축구공 근사의 부피는 얼마인가요?

이 그림은 3차원 타원체 모양이다. 이 입체는 상자 안에 있으며, 상자 아래쪽 앞 모서리인 *x*축과 평행하게 놓여 있다. *y*축은 입체에 수직이다.

영어 원문 보기

A better approximation of the volume of a football is given by the solid that comes from rotating $y=\sin \,x$ around the x-axis from $x=0$ to $x=\pi .$ What is the volume of this football approximation, as seen here?

This figure has a 3-dimensional oval shape. It is inside of a box parallel to the x axis on the bottom front edge of the box. The y-axis is vertical to the solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.2절 · 8번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

50.OpenStax 1권 · 6.2절 · 50번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\sin \,x$ 를 y축을 중심으로 회전시켜 얻은 번트 케이크의 부피는 얼마인가요?

이 그림은 3차원 입체의 그래프이다. 입체는 둥글고 아래쪽으로 갈수록 더 크다. 가운데에 구멍이 있으며, 이 구멍은 아래쪽으로 갈수록 점점 작아진다. 그래프 옆에는 이 입체와 닮은 번트 케이크 사진이 있다.

영어 원문 보기

What is the volume of the Bundt cake that comes from rotating $y=\sin \,x$ around the y-axis from $x=0$ to $x=\pi ?$

This figure is a graph of a 3-dimensional solid. It is round, bigger towards the bottom. It has a hole in the center that progressively gets smaller towards the bottom. Next to the graph is an image of a bundt cake, resembling the solid.

정답·풀이 보기

$2{\pi }^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$2{\pi }^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

51.OpenStax 1권 · 6.2절 · 51번우리말 번역

밑면은 $y=x$ 와 $y={x}^{2}$ 사이의 영역이다. $x$ 축에 수직인 단면은 반원이다.

영어 원문 보기

The base is the region between $y=x$ and $y={x}^{2}.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

52.OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번우리말 번역

밑면은 일반적인 타원 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 로 둘러싸인 영역이다. $x$ 축에 수직인 단면은 반원이다.

영어 원문 보기

The base is the region enclosed by the generic ellipse $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

정답·풀이 보기

$\frac{2a{b}^{2}\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2a{b}^{2}\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 28번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

53.OpenStax 1권 · 6.2절 · 53번우리말 번역

다음 그림과 같이 높이가 $b$ 이고 반지름이 $b$ 인 직원뿔의 밑면을 통과하여, 원뿔의 축을 따라 반지름이 $a$ 인 구멍을 뚫으세요.

이 그림은 거꾸로 세워진 원뿔이다. 윗면의 반지름은 “b”, 중심은 “a”, 높이는 “b”이다.

영어 원문 보기

Bore a hole of radius $a$ down the axis of a right cone of height $b$ and radius $b$ through the base of the cone as seen here.

This figure is an upside down cone. It has a radius of the top as “b”, center at “a”, and height as “b”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

54.OpenStax 1권 · 6.2절 · 54번우리말 번역

다음 그림과 같이 반지름이 $r$ 이고 중심 사이의 거리가 $2h$ 인 두 구의 공통 부분의 부피를 구하세요.

이 그림에는 서로 겹치는 두 원이 있다. 두 원의 반지름은 모두 “r”이다. 한 원의 중심에서 다른 원의 중심까지 선분이 그어져 있다. 두 원이 겹치는 부분의 가운데에 점 “h”가 있고, 이 점은 그 선분 위에 있다.

영어 원문 보기

Find the volume common to two spheres of radius $r$ with centers that are $2h$ apart, as shown here.

This figure has two circles that intersect. Both circles have radius “r”. There is a line segment from one center to the other. In the middle of the intersection of the circles is point “h”. It is on the line segment.

정답·풀이 보기

$V=\frac{2\pi }{3}(2r+h){(r-h)}^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$V=\frac{2\pi }{3}(2r+h){(r-h)}^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 42번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

55.OpenStax 1권 · 6.2절 · 55번우리말 번역

다음 그림과 같이 높이가 $h$ 이고 반지름이 $r$ 인 구의 일부(구관)의 부피를 구하세요. 단, $h<r$ 이다.

이 그림은 구의 일부분이다. 이 구관의 반지름은 “r”이고 높이는 “h”이다.

영어 원문 보기

Find the volume of a spherical cap of height $h$ and radius $r$ where $h<r,$ as seen here.

This figure a portion of a sphere. This spherical cap has radius “r” and height “h”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 34번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

56.OpenStax 1권 · 6.2절 · 56번우리말 번역

다음 그림과 같이 반지름이 $R$ 인 구에서 위쪽의 높이 $h$ 인 부분(구관)을 잘라 낸 입체의 부피를 구하세요.

이 그림은 윗부분이 제거된 구이다. 구의 반지름은 “R”이다. 중심에서 윗부분이 제거된 곳까지의 거리는 “R-h”이다.

영어 원문 보기

Find the volume of a sphere of radius $R$ with a cap of height $h$ removed from the top, as seen here.

This figure is a sphere with a top portion removed. The radius of the sphere is “R”. The distance from the center to where the top portion is removed is “R-h”.

정답·풀이 보기

$\frac{\pi }{3}(h+R){(h-2R)}^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\pi }{3}(h+R){(h-2R)}^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 40번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

57.APEX · 7.2절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 회전체는 어떤 도형을 축을 중심으로 회전시켜 만들어진다.

영어 원문 보기

T/F: A solid of revolution is formed by revolving a shape around an axis.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 56번

# 입체도형의 부피개념 확인자동 분류

58.APEX · 7.2절 · 2번우리말 번역

디스크 방법과 와셔 방법이 어떻게 관련되어 있는지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, explain how the Disk and Washer Methods are related.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.2절 · 1번

# 입체도형의 부피개념 확인자동 분류

59.APEX · 7.2절 · 4번우리말 번역

이 절의 기본 원리는 “_____는 넓이 함수를 적분하여 구할 수 있다.”이다.

영어 원문 보기

A fundamental principle of this section is “_____ can be found by integrating an area function.”

정답·풀이 보기

부피

원본 교재 풀이(영어)

volume

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 16번

# 입체도형의 부피개념 확인자동 분류

60.APEX · 7.2절 · 5번우리말 번역

연습문제 5–8번에서 직교좌표평면의 어떤 영역이 색칠되어 있습니다. 원판/와셔 방법을 사용하여, 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Disk/Washer Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$48\pi\sqrt{3}/5$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$48\pi\sqrt{3}/5$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 40번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류