삼중적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 3권 · 5.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

$E$ 는 ${y}^{2}+{z}^{2}=9,z=0,x=0$ , 및 $x=5$ 로 유계인 입체이며 다음 그림과 같습니다. 적분 $\iiint_{E}z\,dV$ 의 값을, 먼저 $z$ , 그다음 $y,\,\text{그리고 그다음}\,x$ 의 순서로 차례로 적분하여 구하세요.

y 축을 따라 z = 3 에서 최댓값에 이르는 아치 모양의 입체이다. 이 모양은 y = ±3 에서 높이가 0이 되고, x = 0 과 x = 5 에서 잘려 있다.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by ${y}^{2}+{z}^{2}=9,z=0,x=0,$ and $x=5$ is shown in the following figure. Evaluate the integral $\iiint_{E}z\,dV$ by integrating first with respect to $z,$ then $y,\,\text{and then}\,x.$

A solid arching shape that reaches its maximum along the y axis with z = 3. The shape reach zero at y = plus or minus 3, and the graph is truncated at x = 0 and 5.

정답·풀이 보기

$\int_{0}^{5}\,\int_{-3}^{3}\,\int_{0}^{\sqrt{9-{y}^{2}}}z\,dz\,dy\,dx=90$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{0}^{5}\,\int_{-3}^{3}\,\int_{0}^{\sqrt{9-{y}^{2}}}z\,dz\,dy\,dx=90$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 41번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 5.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

$y=\sqrt{x},$ $x=4,$ $y=0,$ $z=-2$ , 그리고 $z=1$ 로 둘러싸인 입체 $E$ 가 다음 그림에 주어져 있다. $x$ 에 대해 먼저 적분하고, 그다음 $y$ 에 대해, 마지막으로 $z$ 에 대해 적분하여 적분 $\iiint_{E}xyz\,dV$ 의 값을 구하세요.

타원 기둥을 4분의 1만 잘라 낸 모양의 입체로, z 는 -2 부터 1 까지이다. 이 입체는 y = 0 과 x = 4 로 둘러싸여 있으며, 윗면의 모서리는 (0, 0, 1) 에서 (4, 2, 1) 까지 완만한 곡선을 그리며 이어진다.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by $y=\sqrt{x},$ $x=4,$ $y=0,$ $z=-2$ , and $z=1$ is given in the following figure. Evaluate the integral $\iiint_{E}xyz\,dV$ by integrating first with respect to $x,$ then $y,$ and then $z.$

A quarter section of an oval cylinder with z from negative 2 to positive 1. The solid is bounded by y = 0 and x = 4, and the top of the shape runs from (0, 0, 1) to (4, 2, 1) in a gentle arc.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 1번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 5.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 입체 $E$ 의 부피가 적분 $\int_{-2}^{0}\,\int_{x}^{0}\,\int_{0}^{{x}^{2}+{y}^{2}}dz\,dy\,dx$ 로 주어져 있습니다. 컴퓨터 대수 시스템을 이용하여 $E$ 의 그래프를 그리고 부피를 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] The volume of a solid $E$ is given by the integral $\int_{-2}^{0}\,\int_{x}^{0}\,\int_{0}^{{x}^{2}+{y}^{2}}dz\,dy\,dx.$ Use a computer algebra system (CAS) to graph $E$ and find its volume. Round your answer to two decimal places.

정답·풀이 보기

$V=5.33$

원점에서 시작하여 (-2, -2, 8)에서 최댓값에 이르는 복잡한 모양의 입체이다. 이 입체는 평면 x = y, 평면 x = 0, 평면 y = -2, 평면 z = 0으로 잘려 있고, 곡선 모양의 모서리와 면을 가진 삼각형 비슷한 복잡한 모양의 면이 있으며, 그 꼭짓점은 (-2, -2, 8), (0, 0, 0), (0, -2, 4)이다.

원본 교재 풀이(영어)

$V=5.33$

A complex shape that starts at the origin and reaches its maximum at (negative 2, negative 2, 8). The shape is truncated by the x = y plane, the x = 0 plane, the y = negative 2 plane, the z = 0 plane, and a complex triangular-like shape with curved edges and sides (negative 2, negative 2, 8), (0, 0, 0), and (0, negative 2, 4).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 43번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 3권 · 5.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 입체 $E$ 의 부피는 적분 $\int_{-1}^{0}\,\int_{-{x}^{2}}^{0}\,\int_{0}^{1+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dz\,dy\,dx$ 로 주어진다. 컴퓨터 대수 시스템을 이용하여 $E$ 의 그래프를 그리고 부피 $V$ 를 구하세요. 답을 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] The volume of a solid $E$ is given by the integral $\int_{-1}^{0}\,\int_{-{x}^{2}}^{0}\,\int_{0}^{1+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dz\,dy\,dx.$ Use a CAS to graph $E$ and find its volume $V.$ Round your answer to two decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 17번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 3권 · 5.4절 · 47번대학 수준우리말 번역

방정식 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={r}^{2}$ (단, $r>0$ ) 의 구로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 나타나 있다.

원점이 중심이고 반지름이 2인 구의, x, y, z 가 양수인 부분인 8분의 1 구.

a. 먼저 $z$ 에 대해, 다음에 $y$ 에 대해, 그다음에 $x$ 에 대해 적분하여 $E$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 쓰세요. b. a의 적분을 다른 다섯 가지 순서의 같은 값을 갖는 적분으로 다시 쓰세요.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by the sphere of equation ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={r}^{2}$ with $r>0$ and located in the first octant is represented in the following figure.

The eighth of a sphere of radius 2 with center at the origin for positive x, y, and z.

a. Write the triple integral that gives the volume of $E$ by integrating first with respect to $z,$ then with $y,$ and then with $x.$ b. Rewrite the integral in part a. as an equivalent integral in five other orders.

정답·풀이 보기

a. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dy\,dx;$ b. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dx\,dy,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dx\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dz\,dx,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dy\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dz\,dy$

원본 교재 풀이(영어)

a. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dy\,dx;$ b. $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}dz\,dx\,dy,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dx\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}}dy\,dz\,dx,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{z}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dy\,dz,$ $\int_{0}^{r}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}}}\,\int_{0}^{\sqrt{{r}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}}dx\,dz\,dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.6절 · 3번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 3권 · 5.4절 · 48번대학 수준우리말 번역

방정식 $9{x}^{2}+4{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 나타나 있다.

제1팔분공간에 있는 복잡한 모양의 도형으로, 원점이 중심이고 높이가 1, 폭이 0.5, 길이가 0.35인 대략 달걀 모양의 입체이다.

a. 먼저 $z$ 에 대해, 다음에 $y$ 에 대해, 그다음에 $x$ 에 대해 적분하여 $E$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 쓰세요. b. a의 적분을 다른 다섯 가지 순서의 같은 값을 갖는 적분으로 다시 쓰세요.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by the equation $9{x}^{2}+4{y}^{2}+{z}^{2}=1$ and located in the first octant is represented in the following figure.

In the first octant, a complex shape is shown that is roughly a solid ovoid with center the origin, height 1, width 0.5, and length 0.35.

a. Write the triple integral that gives the volume of $E$ by integrating first with respect to $z,$ then with $y,$ and then with $x.$ b. Rewrite the integral in part a. as an equivalent integral in five other orders.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 22번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 3권 · 5.4절 · 51번대학 수준우리말 번역

$z=10-2x-y$ 로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 주어져 있습니다. 이 입체의 부피를 구하세요.

xy 평면, yz 평면, xz 평면과 꼭짓점이 (0, 0, 10), (5, 0, 0), (0, 10, 0)인 삼각형으로 둘러싸인 사면체.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by $z=10-2x-y$ and situated in the first octant is given in the following figure. Find the volume of the solid.

A tetrahedron bounded by the x y, y z, and x z planes and a triangle with vertices (0, 0, 10), (5, 0, 0), and (0, 10, 0).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{250}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{250}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 53번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 3권 · 5.4절 · 52번대학 수준우리말 번역

$z=1-{x}^{2}$ 과 $y=5$ 로 둘러싸이고 제1팔분공간에 놓인 입체 $E$ 가 다음 그림에 주어져 있습니다. 이 입체의 부피를 구하세요.

높이 1, 폭 5, 길이 1인 제1팔분공간 안의 복잡한 모양. 이 모양은 반지름이 1이고 폭이 5인 원기둥의 4분의 1이 약간 찌그러진 것처럼 보인다.

영어 원문 보기

The solid $E$ bounded by $z=1-{x}^{2}$ and $y=5$ and situated in the first octant is given in the following figure. Find the volume of the solid.

A complex shape in the first octant with height 1, width 5, and length 1. The shape appears to be a slightly deformed quarter of a cylinder of radius 1 and width 5.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 21번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

9.APEX · 13.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 영역 $D$ 가 그것을 둘러싸는 곡면들과 그래프로 주어져 있다. 6가지 적분 순서 모두에 대하여 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 좌표평면과

$z=2-2x/3-2y$

로 둘러싸여 있다.

적분 순서 $dz\ dy\ dx$ 로 삼중적분을 계산하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the coordinate planes and

$z=2-2x/3-2y$ .

Evaluate the triple integral with order $dz\ dy\ dx$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{1-x/3}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{3-3y}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{2-2x/3}\int_0^{1-x/3-z/2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{3-3z/2}\int_0^{1-x/3-z/2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{2-2y}\int_0^{3-3y-3z/2}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{1-z/2}\int_0^{3-3y-3z/2}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^3\int_0^{1-x/3}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dy\ dx =1.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{1-x/3}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{3-3y}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{2-2x/3}\int_0^{1-x/3-z/2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{3-3z/2}\int_0^{1-x/3-z/2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{2-2y}\int_0^{3-3y-3z/2}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{1-z/2}\int_0^{3-3y-3z/2}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^3\int_0^{1-x/3}\int_0^{2-2x/3-2y}\ dz\ dy\ dx =1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.6절 · 3번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

10.APEX · 13.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 영역 $D$ 가 그것을 둘러싸는 곡면들과 그래프로 주어져 있다. 6가지 적분 순서 모두에 대하여 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $y=0$ , $y=2$ , $x=1$ , $z=0$ 과

$z=(3-x)/2$

로 둘러싸여 있다.

적분 순서 $dx\ dy\ dz$ 로 삼중적분을 계산하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the planes $y=0$ , $y=2$ , $x=1$ , $z=0$ and

$z=(3-x)/2$ .

Evaluate the triple integral with order $dx\ dy\ dz$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_1^3\int_0^{2}\int_0^{(3-x)/2}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_0^2\int_1^{3}\int_0^{(3-x)/2}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_1^3\int_0^{(3-x)/2}\int_0^{2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_1^{3-2z}\int_0^{2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{1}\int_1^{3-2z}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{2}\int_1^{3-2z}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^1\int_0^{2}\int_1^{3-2z}\ dx\ dy\ dz =2.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_1^3\int_0^{2}\int_0^{(3-x)/2}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_0^2\int_1^{3}\int_0^{(3-x)/2}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_1^3\int_0^{(3-x)/2}\int_0^{2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_1^{3-2z}\int_0^{2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{1}\int_1^{3-2z}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_0^{2}\int_1^{3-2z}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^1\int_0^{2}\int_1^{3-2z}\ dx\ dy\ dz =2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 25번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

11.APEX · 13.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서는 영역 $D$ 가 그것을 둘러싼 곡면들과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대하여 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지시된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $x=0$ , $x=2$ , $z=-y$ 와

$z=y^2/2$ 로 둘러싸여 있다.

적분 순서 $dy\ dz\ dx$ 인 삼중적분을 계산하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the planes $x=0$ , $x=2$ , $z=-y$ and by

$z=y^2/2$ .

Evaluate the triple integral with the order $dy\ dz\ dx$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{-2}^{0}\int_{y^2/2}^{-y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{-2}^0\int_0^{2}\int_{y^2/2}^{-y}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{-2}^0\int_{y^2/2}^{-y}\int_0^{2}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\int_0^{2}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dz\ dx =4/3.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{-2}^{0}\int_{y^2/2}^{-y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{-2}^0\int_0^{2}\int_{y^2/2}^{-y}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{-2}^0\int_{y^2/2}^{-y}\int_0^{2}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\int_0^{2}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^2\int_0^{2}\int_{-\sqrt{2z}}^{-z}\ dy\ dz\ dx =4/3.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 21번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

12.APEX · 13.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서는 영역 $D$ 가 그것을 둘러싼 곡면들과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대하여 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지시된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $z=0$ , $y=9$ , $x=0$ 과

$z=\sqrt{y^2-9x^2}$ 로 둘러싸여 있다.

어떤 삼중적분도 계산하지 마세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the planes $z=0$ , $y=9$ , $x=0$ and by

$z=\sqrt{y^2-9x^2}$ .

Do not evaluate any triple integral.

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_{3x}^{9}\int_{0}^{\sqrt{y^2-9x^2}}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^9\int_0^{y/3}\int_{0}^{\sqrt{y^2-9x^2}}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{\sqrt{81-9x^2}}\int_{\sqrt{z^2+9x^2}}^{9}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^9\int_0^{\sqrt{9-z^2/9}}\int_{\sqrt{z^2+9x^2}}^{9}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^9\int_{0}^{y}\int_0^{\frac13\sqrt{y^2-z^2}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^9\int_{z}^{9}\int_0^{\frac13\sqrt{y^2-z^2}}\ dx\ dy\ dz$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_{3x}^{9}\int_{0}^{\sqrt{y^2-9x^2}}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^9\int_0^{y/3}\int_{0}^{\sqrt{y^2-9x^2}}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^3\int_0^{\sqrt{81-9x^2}}\int_{\sqrt{z^2+9x^2}}^{9}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^9\int_0^{\sqrt{9-z^2/9}}\int_{\sqrt{z^2+9x^2}}^{9}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^9\int_{0}^{y}\int_0^{\frac13\sqrt{y^2-z^2}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^9\int_{z}^{9}\int_0^{\frac13\sqrt{y^2-z^2}}\ dx\ dy\ dz$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 27번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

13.APEX · 13.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서, 정의역 $D$ 가 경계가 되는 곡면과 그래프로 주어집니다. 6가지 적분 순서 모두에 대해 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분의 값을 구하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $x=2$ , $y=1$ , $z=0$ 및

$z=2x+4y-4$ 로 유계입니다.

적분 순서가 $dx\ dy\ dz$ 인 삼중적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the planes $x=2$ , $y=1$ , $z=0$ and

$z=2x+4y-4$ .

Evaluate the triple integral with the order $dx\ dy\ dz$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{1-x/2}^{1}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{2-2y}^{2}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2x}\int_{z/4-x/2+1}^{1}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^4\int_{z/2}^{2}\int_{z/4-x/2+1}^{1}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{4y}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^4\int_{z/4}^{1}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^4\int_{z/4}^{1}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dy\ dz = 4/3.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_{1-x/2}^{1}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{2-2y}^{2}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2x}\int_{z/4-x/2+1}^{1}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^4\int_{z/2}^{2}\int_{z/4-x/2+1}^{1}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{4y}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^4\int_{z/4}^{1}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^4\int_{z/4}^{1}\int_{z/2-2y+2}^2\ dx\ dy\ dz = 4/3.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 29번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

14.APEX · 13.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 정의역 $D$ 가 그것을 둘러싸는 곡면들과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대해 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지시된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 평면 $z=2y$ 와 $y=4-x^2$ 으로 유계이다.

적분 순서 $dz\ dy\ dx$ 로 삼중적분을 계산하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the plane $z=2y$ and by $y=4-x^2$ .

Evaluate the triple integral with the order $dz\ dy\ dx$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{-2}^2\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{2y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^4\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{-2}^2\int_0^{8-2x^2}\int_{z/2}^{4-x^2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^8\int_{-\sqrt{4-z/2}}^{\sqrt{4-z/2}}\int_{z/2}^{4-x^2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^4\int_{0}^{2y}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^8\int_{z/2}^{4}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_{-2}^2\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{2y}\ dz\ dy\ dx = 512/15.$

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{-2}^2\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{2y}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^4\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\int_{0}^{2x+4y-4}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{-2}^2\int_0^{8-2x^2}\int_{z/2}^{4-x^2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^8\int_{-\sqrt{4-z/2}}^{\sqrt{4-z/2}}\int_{z/2}^{4-x^2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^4\int_{0}^{2y}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^8\int_{z/2}^{4}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_{-2}^2\int_{0}^{4-x^2}\int_{0}^{2y}\ dz\ dy\ dx = 512/15.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 21번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

15.APEX · 13.6절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 9~16에서 정의역 $D$ 는 경계가 되는 곡면과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대해 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 좌표평면과

$y=1-x^2$ 및 $y=1-z^2$ 으로 유계이다.

삼중적분을 계산하지 마세요. $dz\ dy\ dx$ 와 $dy\ dz\ dx$ 중 어느 순서가 계산하기 더 쉬운지 쓰고, 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the coordinate planes and by

$y=1-x^2$ and $y=1-z^2$ .

Do not evaluate any triple integral. Which order is easier to evaluate: $dz\ dy\ dx$ or $dy\ dz\ dx$ ? Explain why.

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{1-x^2}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_0^{x}\int_{0}^{1-x^2}\ dy\ dz\ dx + \int_{0}^1\int_x^{1}\int_{0}^{1-z^2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{z}\int_{0}^{1-z^2}\ dy\ dx\ dz+\int_0^1\int_{z}^{1}\int_{0}^{1-x^2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{1-z^2}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dx\ dy\ dz$

답은 다양할 수 있다. 어느 순서도 특별히 “어렵다”고 할 수는 없다. $dz\ dy\ dx$ 순서는 제곱근을 적분해야 하므로 거듭제곱 계산이 복잡해질 수 있다. $dy\ dz\ dx$ 순서는 삼중적분이 두 개 필요하지만, 각각 다항식만 사용한다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{1-x^2}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_0^{x}\int_{0}^{1-x^2}\ dy\ dz\ dx + \int_{0}^1\int_x^{1}\int_{0}^{1-z^2}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{z}\int_{0}^{1-z^2}\ dy\ dx\ dz+\int_0^1\int_{z}^{1}\int_{0}^{1-x^2}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{1-z^2}\int_{0}^{\sqrt{1-y}}\ dx\ dy\ dz$

Answers will vary. Neither order is particularly “hard.” The order $dz\ dy\ dx$ requires integrating a square root, so powers can be messy; the order $dy\ dz\ dx$ requires two triple integrals, but each uses only polynomials.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 25번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

16.APEX · 13.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 9~16에서 정의역 $D$ 는 경계가 되는 곡면과 그래프로 주어진다. 6가지 적분 순서 모두에 대해 $D$ 의 부피를 나타내는 삼중적분을 세우고, 지정된 삼중적분을 계산하여 $D$ 의 부피를 구하세요.

$D$ 는 좌표평면과

$z=1-y/3$ 및 $z=1-x$ 로 유계이다.

적분 순서가 $dx\ dy\ dz$ 인 삼중적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ is described by its bounding surfaces, along with a graph. Set up the triple integrals that give the volume of $D$ in all 6 orders of integration, and find the volume of $D$ by evaluating the indicated triple integral.

$D$ is bounded by the coordinate planes and by

$z=1-y/3$ and $z=1-x$ .

Evaluate the triple integral with order $dx\ dy\ dz$ .

정답·풀이 보기

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{3x}\int_{0}^{1-x}\ dz\ dy\ dx+\int_{0}^1\int_{3x}^{3}\int_{0}^{1-y/3}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^3\int_{0}^{y/3}\int_{0}^{1-y/3}\ dz\ dy\ dx+\int_{0}^3\int_{y/3}^{1}\int_{0}^{1-x}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_0^{1-x}\int_{0}^{3-3z}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{1-z}\int_{0}^{3-3z}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^3\int_{0}^{1-y/3}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{3-3z}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^1\int_{0}^{3-3z}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dy\ dz = 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dz\ dy\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{3x}\int_{0}^{1-x}\ dz\ dy\ dx+\int_{0}^1\int_{3x}^{3}\int_{0}^{1-y/3}\ dz\ dy\ dx$

$dz\ dx\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^3\int_{0}^{y/3}\int_{0}^{1-y/3}\ dz\ dy\ dx+\int_{0}^3\int_{y/3}^{1}\int_{0}^{1-x}\ dz\ dx\ dy$

$dy\ dz\ dx$ : $\displaystyle \int_{0}^1\int_0^{1-x}\int_{0}^{3-3z}\ dy\ dz\ dx$

$dy\ dx\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{1-z}\int_{0}^{3-3z}\ dy\ dx\ dz$

$dx\ dz\ dy$ : $\displaystyle \int_{0}^3\int_{0}^{1-y/3}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dz\ dy$

$dx\ dy\ dz$ : $\displaystyle \int_0^1\int_{0}^{3-3z}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dy\ dz$

$\displaystyle V = \int_0^1\int_{0}^{3-3z}\int_{0}^{1-z}\ dx\ dy\ dz = 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 5번

# 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

17.CLP-3 · 3.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

삼중적분 $\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V$ 가 다음과 같은 반복적분 꼴로 주어져 있다.

$J = \int_0^1 \int_0^{1-\frac{x}{2}} \int_0^{4-2x-4z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x$

(a) 3차원에서 정의역 $E$ 의 그림을 그리세요. (b) 이 적분을 다음 꼴의 하나 이상의 반복적분으로 다시 나타내세요.

$J = \int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

영어 원문 보기

A triple integral $\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V$ is given in the iterated form

$J = \int_0^1 \int_0^{1-\frac{x}{2}} \int_0^{4-2x-4z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x$

(a) Sketch the domain $E$ in 3–dimensions. (b) Rewrite the integral as one or more iterated integrals in the form

$J = \int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

정답·풀이 보기

(a) 주어진 적분 $J$ 에서

$x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 0 에서 $1-\frac{x}{2}$ 까지 변하며,
위와 같은 각 고정된 $x$ 와 $z$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 에서 $4-2x-4z$ 까지 변한다.

따라서

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1-\tfrac{x}{2},\ 0 \le y\le 4-2x-4z\ \big\} \end{aligned}$

이다.

조건 $y\le 4-2x-4z$ 는 $z\le 1-\frac{x}{2} -\frac{y}{4}$ 로 다시 쓸 수 있다. $y\ge 0$ 일 때 이로부터 $z\le 1-\frac{x}{2}$ 가 성립하므로, $E$ 의 기술에서 조건 $z\le 1-\frac{x}{2}$ 를 뺄 수 있다.

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0 \le y\le 4-2x-4z,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

먼저 $E$ 가 어떤 모양인지 알아보자. 평면 $2x+y+4z=4$ 는 $x$ 축, $y$ 축, $z$ 축과 각각 $(2,0,0)$ , $(0,4,0)$ , $(0,0,1)$ 에서 만난다. 이 평면은 아래 왼쪽 그림에 나타나 있다. 점들의 집합 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ y\le 4-2x-4z\ \big\}$ 은 굵은 선으로 윤곽이 그려져 있다.

따라서 이제 조건 $x\le 1$ 만 더하면 되는데, 이 조건은 사면체의 앞부분을 잘라낸다. 이것은 위 오른쪽 그림에 나타나 있다. 다음은 $E$ 를 깔끔하게 정리한 그림이다.

(b) 바깥쪽 적분은 $y$ 에 대해, 가운데 적분은 $x$ 에 대해, 안쪽 적분은 $z$ 에 대해 하도록 적분 순서를 바꾸어야 한다. 아래 그림을 보면

다음을 알 수 있다.

$y$ 는 $0$ 에서 $4$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $(x,z)$ 는 다음 집합 위를 움직인다.

$\big\{ \ (x,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 2x+4z\le 4-y,\ z\ge 0\ \big\}$

$0$ 과 $2$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 (위 그림에서 왼쪽 색칠된 부분)
$x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고, 그다음
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-2x-y}{4}$ 까지 변한다.
$2$ 와 $4$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 (위 그림에서 오른쪽 색칠된 부분)
$x$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-y}{2}$ 까지 변하고 (평면 $2x+y+4z=4$ 와 $xy$ 평면의 교선은 $z=0$ , $2x+y=4$ 이다), 그다음
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-2x-y}{4}$ 까지 변한다.

따라서 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} J = \int_{y=0}^{y=2} \int_{x=0}^{x=1} \int_{z=0}^{z=\frac{4-2x-y}{4}} \!\!\!\! f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y +\int_{y=2}^{y=4} \int_{x=0}^{x=\frac{4-y}{2}} \int_{z=0}^{z=\frac{4-2x-y}{4}} \!\!\!\! f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) In the given integral $J$ ,

$x$ runs from $0$ to $1$ ,
for each fixed $x$ in that range, $z$ runs from 0 to $1-\frac{x}{2}$ , and
for each fixed $x$ and $z$ as above, $y$ runs from $0$ to $4-2x-4z$ .

So

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1-\tfrac{x}{2},\ 0 \le y\le 4-2x-4z\ \big\} \end{aligned}$

Notice that the condition $y\le 4-2x-4z$ can be rewritten as $z\le 1-\frac{x}{2} -\frac{y}{4}$ . When $y\ge 0$ , this implies that $z\le 1-\frac{x}{2}$ , so that we can drop the condition $z\le 1-\frac{x}{2}$ from our description of $E$ :

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0 \le y\le 4-2x-4z,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

First, we figure out what $E$ looks like. The plane $2x+y+4z=4$ intersects the $x$ –, $y$ – and $z$ –axes at $(2,0,0)$ , $(0,4,0)$ and $(0,0,1)$ , respectively. That plane is shown in the sketch on the left below. The set of points $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ y\le 4-2x-4z\ \big\}$ is outlined with heavy lines.

So it only remains to impose the condtion $x\le 1$ , which chops off the front bit of the tetrahedron. This is done in the sketch on the right above. Here is a cleaned up sketch of $E$ .

(b) We are to reorder the integration so that the outside integral is over $y$ , the middle integral is over $x$ , and the inside integral is over $z$ . Looking at the figure below,

we see that

$y$ runs from $0$ to $4$ , and
for each fixed $y$ in that range, $(x,z)$ runs over

$\big\{ \ (x,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 2x+4z\le 4-y,\ z\ge 0\ \big\}$

for each fixed $y$ between $0$ and $2$ (as in the left hand shaded bit in the figure above)
$x$ runs from $0$ to $1$ , and then
for each fixed $x$ in that range, $z$ runs from $0$ to $\frac{4-2x-y}{4}$ .
for each fixed $y$ between $2$ and $4$ (as in the right hand shaded bit in the figure above)
$x$ runs from $0$ to $\frac{4-y}{2}$ (the line of intersection of the plane $2x+y+4z=4$ and the $xy$ –plane is $z=0$ , $2x+y=4$ ), and then
for each fixed $x$ in that range, $z$ runs from $0$ to $\frac{4-2x-y}{4}$ .

So the integral

$\begin{aligned} J = \int_{y=0}^{y=2} \int_{x=0}^{x=1} \int_{z=0}^{z=\frac{4-2x-y}{4}} \!\!\!\! f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y +\int_{y=2}^{y=4} \int_{x=0}^{x=\frac{4-y}{2}} \int_{z=0}^{z=\frac{4-2x-y}{4}} \!\!\!\! f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 16번

# 삼중적분그래프·표 해석보통자동 분류

18.CLP-3 · 3.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

(a) 방정식 $z = 1 - x^2$ 으로 주어진 곡면의 개형을 그리세요. (b) $E$ 를 평면 $y = 0$ , 기둥면 $z = 1 - x^2$ , 평면 $y = z$ 로 둘러싸인 입체라 하자. 적분

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V$

을 반복적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

(a) Sketch the surface given by the equation $z = 1 - x^2$ . (b) Let $E$ be the solid bounded by the plane $y = 0$ , the cylinder $z = 1 - x^2$ , and the plane $y = z$ . Set up the integral

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V$

as an iterated integral.

정답·풀이 보기

(a) $z=1-x^2$ 의 $y$ 가 상수인 각 단면은 뒤집힌 포물선이다. 따라서 이 곡면은 뒤집힌 포물선을 나란히 쌓아 놓은 모양이다. 아래 왼쪽 그림은 이 곡면 중 $y\ge 0$ 이고 $z\ge 0$ 인 부분의 개형이다(두 조건은 모두 (b)에서 필요하다).

(b) 위 오른쪽 그림은 평면 $y=z$ 의 개형이다. 이 평면은 곡면 $z=1-x^2$ 과 만나며, 그 교선은 아래 그림에서 파란 실선으로 그려진 비스듬한 포물선 모양의 곡선이다.

곡선 $z=1-x^2$ , $z=y$ 위에서는 $y=1-x^2$ 임에 주목하자. 그러므로 입체 $E$ 를 $z$ 축 위쪽 높은 곳에서 내려다보면 다음 영역이 보인다.

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1-x^2\ \big\}$

이 영역의 경계 $y=1-x^2$ 은 위 그림에서 $xy$ 평면 위의 파란 점선이다. 따라서

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x^2,\ y\le z\le 1-x^2\ \big\}$

이고 적분은 다음과 같다.

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V =\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}y\int_y^{1-x^2}\mathrm{d}z\ f(x,y,z)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Each constant $y$ cross section of $z=1-x^2$ is an upside down parabola. So the surface is a bunch of upside down parabolas stacked side by side. The figure on the left below is a sketch of the part of the surface with $y\ge 0$ and $z\ge 0$ (both of which conditions will be required in part (b)).

(b) The figure on the right above is a sketch of the plane $y=z$ . It intersects the surface $z=1-x^2$ in the solid blue sloped parabolic curve in the figure below.

Observe that, on the curve $z=1-x^2$ , $z=y$ , we have $y=1-x^2$ . So that when one looks at the solid $E$ from high on the $z$ –axis, one sees

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1-x^2\ \big\}$

The $y=1-x^2$ boundary of that region is the dashed blue line in the $xy$ –plane in the figure above. So

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x^2,\ y\le z\le 1-x^2\ \big\}$

and the integral

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V =\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}y\int_y^{1-x^2}\mathrm{d}z\ f(x,y,z)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 2번

# 삼중적분그래프·표 해석보통자동 분류