다변수 미분 전체 연습문제

441.CLP-3 · 2.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

어떤 두 번 미분가능한 함수 $u = u(x, y)$ 에 대하여 $w(s,t) = u(2s + 3t, 3s - 2t)$ 라 하자.

(a) $w_{ss}$ 를 $u_{xx}$ , $u_{xy}$ , $u_{yy}$ 로 나타내세요 ( $u_{xy} = u_{yx}$ 라고 가정해도 됩니다). (b) $u_{xx} + u_{yy} = 0$ 이라 하자. 상수 $A$ 가 얼마일 때 $w_{ss} = Aw_{tt}$ 가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $w(s,t) = u(2s + 3t, 3s - 2t)$ for some twice differentiable function $u = u(x, y)$ .

(a) Find $w_{ss}$ in terms of $u_{xx}$ , $u_{xy}$ , and $u_{yy}$ (you can assume that $u_{xy} = u_{yx}$ ). (b) Suppose $u_{xx} + u_{yy} = 0$ . For what constant $A$ will $w_{ss} = Aw_{tt}$ ?

정답·풀이 보기

(a) 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} w_s(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}\big[u(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial s}\big(2s + 3t\big) +u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial s}\big(3s - 2t\big) \\ &= 2\,u_x(2s + 3t, 3s - 2t) +3\,u_y(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} w_{ss}(s,t) &= 2\frac{\partial }{\partial s}\big[u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\big] + 3\frac{\partial }{\partial s}\big[u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= \big[4u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) +6u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\& + \big[6u_{yx}(2s + 3t, 3s - 2t) +9u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\ &=4\,u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) +12\,u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) +9\,u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

이다.

(b) 다시 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} w_t(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}\big[u(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial t}\big(2s + 3t\big) +u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial t}\big(3s - 2t\big) \\ &= 3\,u_x(2s + 3t, 3s - 2t) -2\, u_y(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} w_{tt}(s,t) &= 3\frac{\partial }{\partial t}\big[u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\big] - 2\frac{\partial }{\partial t}\big[u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= \big[9u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) -6u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\& - \big[6u_{yx}(2s + 3t, 3s - 2t) -4u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\ &=9\,u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) -12\,u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) +4\,u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

이다.

따라서 임의의 상수 $A$ 에 대해

$\begin{aligned} w_{ss} - Aw_{tt} &= (4-9A) u_{xx} +(12+12A) u_{xy} + (9-4A) u_{yy} \end{aligned}$

이다.

$u_{xx} + u_{yy}=0$ 이 주어졌으므로, $A=-1$ 이면 이 값은 원하는 대로 0이 된다. (이때 $(4-9A)=(9-4A)=13$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

(a) By the chain rule

$\begin{aligned} w_s(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}\big[u(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial s}\big(2s + 3t\big) +u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial s}\big(3s - 2t\big) \\ &= 2\,u_x(2s + 3t, 3s - 2t) +3\,u_y(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} w_{ss}(s,t) &= 2\frac{\partial }{\partial s}\big[u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\big] + 3\frac{\partial }{\partial s}\big[u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= \big[4u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) +6u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\& + \big[6u_{yx}(2s + 3t, 3s - 2t) +9u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\ &=4\,u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) +12\,u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) +9\,u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

(b) Again by the chain rule

$\begin{aligned} w_t(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}\big[u(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial t}\big(2s + 3t\big) +u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial t}\big(3s - 2t\big) \\ &= 3\,u_x(2s + 3t, 3s - 2t) -2\, u_y(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} w_{tt}(s,t) &= 3\frac{\partial }{\partial t}\big[u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\big] - 2\frac{\partial }{\partial t}\big[u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= \big[9u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) -6u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\& - \big[6u_{yx}(2s + 3t, 3s - 2t) -4u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\ &=9\,u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) -12\,u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) +4\,u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

Consquently, for any constant $A$ ,

$\begin{aligned} w_{ss} - Aw_{tt} &= (4-9A) u_{xx} +(12+12A) u_{xy} + (9-4A) u_{yy} \end{aligned}$

Given that $u_{xx} + u_{yy}=0$ , this will be zero, as desired, if $A=-1$ . (Then $(4-9A)=(9-4A)=13$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 15번

# 다변수 연쇄법칙계산보통자동 분류

442.CLP-3 · 2.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

정의에 따르면, 미분가능한 함수 $f(x,y)$ 의 점 $\big( x_0\,,\,y_0\big)$ 에서의 기울기 벡터는 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x_0,y_0) =\left< \frac{\partial f}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\big)\,,\, \frac{\partial f}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\big)\right>$

다음을 알고 있다고 하자.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(3,6)=\left< 7,8\right>$

또한

${ \boldsymbol{\nabla} } g(1,2)=\left< -1,4\right>,$

이고

${ \boldsymbol{\nabla} } h(1,2)=\left< -5,10\right>.$

이라고 하자.

$g(1,2)=3$ , $h(1,2)=6$ 이고 $z(s,t)=f\big(g(s,t),h(s,t)\big)$ 일 때, 다음을 구하세요.

${ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)$

영어 원문 보기

By definition, the gradient of the differentiable function $f(x,y)$ at the point $\big( x_0\,,\,y_0\big)$ is

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x_0,y_0) =\left< \frac{\partial f}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\big)\,,\, \frac{\partial f}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\big)\right>$

Suppose that we know

${ \boldsymbol{\nabla} } f(3,6)=\left< 7,8\right>$

Suppose also that

${ \boldsymbol{\nabla} } g(1,2)=\left< -1,4\right>,$

and

${ \boldsymbol{\nabla} } h(1,2)=\left< -5,10\right>.$

Assuming $g(1,2)=3$ , $h(1,2)=6$ , and $z(s,t)=f\big(g(s,t),h(s,t)\big)$ , find

${ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)$

정답·풀이 보기

연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(s,t) \\ \frac{\partial z}{\partial t}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(s,t) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}(3,6) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}(3,6)) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=7\times(-1)+8\times(-5) =-47\\ \frac{\partial z}{\partial t}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(1,2) \\ &=7\times4+8\times 10 =108 \end{aligned}$

따라서 ${ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)=\left< -47,108\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the chain rule

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(s,t) \\ \frac{\partial z}{\partial t}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(s,t) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}(3,6) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}(3,6)) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=7\times(-1)+8\times(-5) =-47\\ \frac{\partial z}{\partial t}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(1,2) \\ &=7\times4+8\times 10 =108 \end{aligned}$

Hence ${ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)=\left< -47,108\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 23번

# 다변수 연쇄법칙계산보통자동 분류

443.CLP-3 · 2.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

방정식

$\begin{aligned} x^2-y\cos(uv)&=v\\ x^2+y^2-\sin(uv)&=\frac{4}{\pi}u \end{aligned}$

은 $(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ 일 때의 점 $(x,y)=(1,1)$ 근처에서 $x$ 와 $y$ 를 $u$ 와 $v$ 의 함수로 암시적으로 정의한다(즉, $x=x(u,v)$ , $y=y(u,v)$ ).

(a) $(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ 에서

$\frac{\partial x}{\partial u}\text{ 와 } \frac{\partial y}{\partial u}$

의 값을 구하세요. (b) $z=x^4+y^4$ 일 때, 점 $(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

The equations

$\begin{aligned} x^2-y\cos(uv)&=v\\ x^2+y^2-\sin(uv)&=\frac{4}{\pi}u \end{aligned}$

define $x$ and $y$ implicitly as functions of $u$ and $v$ (i.e. $x=x(u,v)$ , and $y=y(u,v)$ ) near the point $(x,y)=(1,1)$ at which $(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ .

(a) Find

$\frac{\partial x}{\partial u}\text{ and } \frac{\partial y}{\partial u}$

at $(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ . (b) If $z=x^4+y^4$ , determine $\frac{\partial z}{\partial u}$ at the point $(u,v)=\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ .

정답·풀이 보기

(a) 주어진 식은

$x(u,v)^2-y(u,v)\cos(uv)=v\qquad x(u,v)^2+y(u,v)^2-\sin(uv)=\frac{4}{\pi}u$

이다. 두 방정식에 $\frac{\partial }{\partial u}$ 를 적용하면

$\begin{aligned} 2x(u,v)\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) -\frac{\partial y}{\partial u}(u,v)\cos(uv)+v\,y(u,v)\sin(uv)&=0 \\ 2x(u,v)\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) +2y(u,v)\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) -v\cos(uv)&=\frac{4}{\pi} \end{aligned}$

이다. $u=\frac{\pi}{2}$ , $v=0$ , $x\big(\frac{\pi}{2},0\big)=1$ , $y\big(\frac{\pi}{2},0\big)=1$ 을 대입하면

$\begin{aligned} 2\frac{\partial x}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right) -\frac{\partial y}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right)&=0 \\[0.1in] 2\frac{\partial x}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right) +2\frac{\partial y}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right) &=\frac{4}{\pi} \end{aligned}$

이다. 첫째 방정식에서 얻은 $\frac{\partial y}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)=2\frac{\partial x}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ 를 둘째 방정식에 대입하면 $6\frac{\partial x}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)=\frac{4}{\pi}$ 이므로 $\frac{\partial x}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)=\frac{2}{3\pi}$ 이고 $\frac{\partial y}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)=\frac{4}{3\pi}$ 이다.

(b) $z(u,v)=x(u,v)^4+y(u,v)^4$ 으로 주어져 있다. 따라서

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u}(u,v) &=4x(u,v)^3\ \frac{\partial x}{\partial u}(u,v) +4y(u,v)^3\ \frac{\partial y}{\partial u}(u,v) \end{aligned}$

이다. $u=\frac{\pi}{2}$ , $v=0$ , $x\big(\frac{\pi}{2},0\big)=1$ , $y\big(\frac{\pi}{2},0\big)=1$ 을 대입하고 (a)의 결과를 이용하면

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right) &=4\,x\!\left(\frac{\pi}{2},0\right)^3\ \frac{\partial x}{\partial u}\!\left(\frac{\pi}{2},0\right) +4\,y\!\left(\frac{\pi}{2},0\right)^3\ \frac{\partial y}{\partial u}\!\left(\frac{\pi}{2},0\right) \\ &=4\left(\frac{2}{3\pi}\right) +4\left(\frac{4}{3\pi}\right) \\ &=\frac{8}{\pi} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that

$x(u,v)^2-y(u,v)\cos(uv)=v\qquad x(u,v)^2+y(u,v)^2-\sin(uv)=\frac{4}{\pi}u$

Applying $\frac{\partial }{\partial u}$ to both equations gives

$\begin{aligned} 2x(u,v)\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) -\frac{\partial y}{\partial u}(u,v)\cos(uv)+v\,y(u,v)\sin(uv)&=0 \\ 2x(u,v)\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) +2y(u,v)\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) -v\cos(uv)&=\frac{4}{\pi} \end{aligned}$

Setting $u=\frac{\pi}{2}$ , $v=0$ , $x\big(\frac{\pi}{2},0\big)=1$ , $y\big(\frac{\pi}{2},0\big)=1$ gives

$\begin{aligned} 2\frac{\partial x}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right) -\frac{\partial y}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right)&=0 \\[0.1in] 2\frac{\partial x}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right) +2\frac{\partial y}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right) &=\frac{4}{\pi} \end{aligned}$

Substituting $\frac{\partial y}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)=2\frac{\partial x}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ , from the first equation, into the second equation gives $6\frac{\partial x}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)=\frac{4}{\pi}$ so that $\frac{\partial x}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)=\frac{2}{3\pi}$ and $\frac{\partial y}{\partial u}\big(\frac{\pi}{2},0\big)=\frac{4}{3\pi}$ .

(b) We are told that $z(u,v)=x(u,v)^4+y(u,v)^4$ . So

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u}(u,v) &=4x(u,v)^3\ \frac{\partial x}{\partial u}(u,v) +4y(u,v)^3\ \frac{\partial y}{\partial u}(u,v) \end{aligned}$

Substituting in $u=\frac{\pi}{2}$ , $v=0$ , $x\big(\frac{\pi}{2},0\big)=1$ , $y\big(\frac{\pi}{2},0\big)=1$ and using the results of part (a),

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u}\left(\frac{\pi}{2},0\right) &=4\,x\!\left(\frac{\pi}{2},0\right)^3\ \frac{\partial x}{\partial u}\!\left(\frac{\pi}{2},0\right) +4\,y\!\left(\frac{\pi}{2},0\right)^3\ \frac{\partial y}{\partial u}\!\left(\frac{\pi}{2},0\right) \\ &=4\left(\frac{2}{3\pi}\right) +4\left(\frac{4}{3\pi}\right) \\ &=\frac{8}{\pi} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 15번

# 다변수 연쇄법칙계산보통자동 분류

444.CLP-3 · 2.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

$f(u,v)$ 를 미분가능한 함수라 하고, $u=x+y$ , $v=x-y$ 라 하자. 다음을 만족하는 상수 $\alpha$ 를 구하세요.

$\begin{aligned} (f_x)^2+(f_y)^2=\alpha \big((f_u)^2+(f_v)^2\big) \end{aligned}$

영어 원문 보기

Let $f(u,v)$ be a differentiable function, and let $u=x+y$ and $v=x-y$ . Find a constant, $\alpha$ , such that

$\begin{aligned} (f_x)^2+(f_y)^2=\alpha \big((f_u)^2+(f_v)^2\big) \end{aligned}$

정답·풀이 보기

이 문제는 나쁜(그러나 흔히 쓰는) 표기를 사용하고 있다. 하나의 기호 $f$ 가 서로 다른 두 함수, 즉 $f(u,v)$ 와 $f(x,y)=f(u,v)\big|_{u=x+y,v=x-y}$ 에 쓰였기 때문이다. 더 나은 표현은 다음과 같다.

$f(u,v)$ 와 $F(x,y)$ 를 $F(x,y)=f(x+y,x-y)$ 를 만족하는 미분가능한 함수라 하자. 다음을 만족하는 상수 $\alpha$ 를 구하세요.

$F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2=\alpha \big\{f_u(x+y,x-y)^2+f_v(x+y,x-y)^2\big\}$

연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) &=f_u(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x+y) +f_v(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x-y) \\ &=f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\\ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) &=f_u(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x+y) +f_v(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x-y) \\ &=f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y) \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2 &=\Big[f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\Big]^2 \\ & +\Big[f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y)\Big]^2\\ &=2f_u(x+y,x-y)^2+2f_v(x+y,x-y)^2 \end{aligned}$

그러므로 $\alpha =2$ 이면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

This question uses bad (but standard) notation, in that the one symbol $f$ is used for two different functions, namely $f(u,v)$ and $f(x,y)=f(u,v)\big|_{u=x+y,v=x-y}$ . A better wording is

Let $f(u,v)$ and $F(x,y)$ be differentiable functions such that $F(x,y)=f(x+y,x-y)$ . Find a constant, $\alpha$ , such that

$F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2=\alpha \big\{f_u(x+y,x-y)^2+f_v(x+y,x-y)^2\big\}$

By the chain rule

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) &=f_u(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x+y) +f_v(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x-y) \\ &=f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\\ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) &=f_u(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x+y) +f_v(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x-y) \\ &=f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y) \end{aligned}$

Hence

$\begin{aligned} F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2 &=\Big[f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\Big]^2 \\ & +\Big[f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y)\Big]^2\\ &=2f_u(x+y,x-y)^2+2f_v(x+y,x-y)^2 \end{aligned}$

So $\alpha =2$ does the job.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 14번

# 다변수 연쇄법칙계산보통자동 분류

445.CLP-3 · 2.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 과 $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ 이 $(0,0,0)$ 에서 서로 접한다고 말하는 것이 타당한가요?

영어 원문 보기

Is it reasonable to say that the surfaces $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ and $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ are tangent to each other at $(0,0,0)$ ?

정답·풀이 보기

$F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ , $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ 이라 하자. 곡면 $F(x,y,z)=0$ 을 $S_1$ , 곡면 $G(x,y,z)=0$ 을 $S_2$ 라 하자. 먼저 $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ 이므로 점 $(0,0,0)$ 은 $S_1$ 과 $S_2$ 위에 모두 있다. $F$ 와 $G$ 의 그래디언트는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) &=\left<\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z-1)\right> \\ { \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) &=\left<\frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z+1)\right> \end{aligned}$

특히,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left< 0,0,-2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left< 0,0,2\right>$

이므로 벡터 $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ 은 $(0,0,0)$ 에서 두 곡면에 모두 수직이다. 따라서 $(0,0,0)$ 에서 $S_1$ 과 $S_2$ 의 접평면은 모두

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left< x-0,y-0,z-0\right>=0\qquad\text{또는}\qquad z=0$

이다.

평면 $z=0$ 을 $P$ 라 하자. 그러면 $S_1$ 은 $(0,0,0)$ 에서 $P$ 에 접하고, $P$ 는 $(0,0,0)$ 에서 $S_2$ 에 접한다. 따라서 $S_1$ 과 $S_2$ 가 $(0,0,0)$ 에서 접한다고 말하는 것은 타당하다.

원본 교재 풀이(영어)

Write $F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ and $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ . Let $S_1$ denote the surface $F(x,y,z)=0$ and $S_2$ denote the surface $G(x,y,z)=0$ . First note that $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ so that the point $(0,0,0)$ lies on both $S_1$ and $S_2$ . The gradients of $F$ and $G$ are

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) &=\left<\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z-1)\right> \\ { \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) &=\left<\frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z+1)\right> \end{aligned}$

In particular,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left< 0,0,-2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left< 0,0,2\right>$

so that the vector $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ is normal to both surfaces at $(0,0,0)$ . So the tangent plane to both $S_1$ and $S_2$ at $(0,0,0)$ is

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left< x-0,y-0,z-0\right>=0\qquad\text{or}\qquad z=0$

Denote by $P$ the plane $z=0$ . Thus $S_1$ is tangent to $P$ at $(0,0,0)$ and $P$ is tangent to $S_2$ at $(0,0,0)$ . So it is reasonable to say that $S_1$ and $S_2$ are tangent at $(0,0,0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 2번

# 접평면과 선형근사계산기본자동 분류

446.CLP-3 · 2.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 위의 점 중에서 접평면이 평면 $x - 8z = 0$ 과 평행한 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all the points on the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ where the tangent plane is parallel to the plane $x - 8z = 0$ .

정답·풀이 보기

곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 의 점 $(x,y,z)$ 에서의 법선벡터는 $\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right>$ 이다. 평면 $x - 8z = 0$ 의 법선벡터는 $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ 이다. 따라서 $\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right>$ 가 $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ 과 평행해야 하며, 즉 $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ 의 0이 아닌 상수배여야 한다. 이는 $x\ne 0$ 이고 $y=0$ , $z=-2x$ 일 때마다 성립한다. 또한 $(x,y,z)$ 가 곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 위에 있어야 한다. 따라서 $y=0$ , $z=-2x$ 이고

$\begin{aligned} 17= x^2 + 9y^2 + 4z^2 =x^2 +4(-2x)^2=17x^2 \implies x=\pm 1 \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 조건을 만족하는 점은 $\pm(1,0,-2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

A normal vector to the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ at the point $(x,y,z)$ is $\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right>$ . A normal vector to the plane $x - 8z = 0$ is $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ . So we want $\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right>$ to be parallel to $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ , i.e. to be a nonzero constant times $\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right>$ . This is the case whenever $y=0$ and $z=-2x$ with $x\ne 0$ . In addition, we want $(x,y,z)$ to lie on the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ . So we want $y=0$ , $z=-2x$ and

$\begin{aligned} 17= x^2 + 9y^2 + 4z^2 =x^2 +4(-2x)^2=17x^2 \implies x=\pm 1 \end{aligned}$

So the allowed points are $\pm(1,0,-2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.7절 · 2번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

447.CLP-3 · 2.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

쌍곡면 $z^2=4x^2+y^2-1$ 위의 점 중에서 접평면이 평면 $2x-y+z=0$ 과 평행한 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all points on the hyperboloid $z^2=4x^2+y^2-1$ where the tangent plane is parallel to the plane $2x-y+z=0$ .

정답·풀이 보기

$(x_0,y_0,z_0)$ 을 쌍곡면 $z^2=4x^2+y^2-1$ 위의 점으로서 접평면이 평면 $2x-y+z=0$ 과 평행한 점이라 하자. 평면 $2x-y+z=0$ 의 법선벡터는 $\left< 2,-1,1\right>$ 이다. 쌍곡면은 $G(x,y,z)=4x^2+y^2-z^2-1$ 이고 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) = \left< 8x,2y,-2z\right>$ 이므로, $(x_0,y_0,z_0)$ 에서 쌍곡면의 법선벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)=\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right>$ 이다. 따라서 $(x_0,y_0,z_0)$ 이 주어진 조건을 만족할 필요충분조건은 다음을 만족하는 0이 아닌 $t$ 가 존재하는 것이다.

$\begin{aligned} &\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right> =t\left< 2,-1,1\right> \text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff \frac{t^2}{4}= \frac{t^2}{4}+ \frac{t^2}{4}-1\text{ 그리고 } x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\\ & \iff t=\pm 2\qquad (x_0,y_0,z_0)=\pm \big(\tfrac{1}{2},-1,-1\big) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Let $(x_0,y_0,z_0)$ be a point on the hyperboloid $z^2=4x^2+y^2-1$ where the tangent plane is parallel to the plane $2x-y+z=0$ . A normal vector to the plane $2x-y+z=0$ is $\left< 2,-1,1\right>$ . Because the hyperboloid is $G(x,y,z)=4x^2+y^2-z^2-1$ and ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) = \left< 8x,2y,-2z\right>$ , a normal vector to the hyperboloid at $(x_0,y_0,z_0)$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)=\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right>$ . So $(x_0,y_0,z_0)$ satisfies the required conditions if and only if there is a nonzero $t$ obeying

$\begin{aligned} &\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right> =t\left< 2,-1,1\right> \text{ and } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\text{ and } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff \frac{t^2}{4}= \frac{t^2}{4}+ \frac{t^2}{4}-1\text{ and } x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\\ & \iff t=\pm 2\qquad (x_0,y_0,z_0)=\pm \big(\tfrac{1}{2},-1,-1\big) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 11번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

448.CLP-3 · 2.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

두 곡면 $\ z^2=4x^2+9y^2\$ 과 $\ 6x+3y+2z=5\$ 의 교선에 접하고 길이가 $\sqrt{3}$ 인 벡터를 점 $\ (2,1,-5)$ 에서 구하세요.

영어 원문 보기

Find a vector of length $\sqrt{3}$ which is tangent to the curve of intersection of the surfaces $\ z^2=4x^2+9y^2\$ and $\ 6x+3y+2z=5\$ at $\ (2,1,-5)$ .

정답·풀이 보기

점 $(2,1,-5)$ 에서 곡면 $F(x,y,z)=4x^2+9y^2-z^2=0$ 에 수직인 벡터 하나는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(2,1,-5) = \left< 8x,18y,-2z\right>\Big|_{(2,1,-5)}=\left< 16,18,10\right> \end{aligned}$

점 $(2,1,-5)$ 에서 곡면 $G(x,y,z)=6x+3y+2z=5$ 에 수직인 벡터 하나는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(2,1,-5) = \left< 6,3,2\right> \end{aligned}$

이제

곡선은 곡면 $z^2=4x^2+9y^2$ 위에 있다. 따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 법선벡터 $\frac{1}{2}\left< 16,18,10\right>=\left< 8,9,5\right>$ 에 수직이다.
곡선은 곡면 $6x+3y+2z=5$ 위에도 있다. 따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 법선벡터 $\left< 6,3,2\right>$ 에도 수직이다.
따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 다음 벡터와 평행하다.

$\begin{aligned} \left< 8,9,5\right>\times \left< 6,3,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 8 & 9 & 5 \\ 6 & 3 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3,14,-30\right> \end{aligned}$

구하는 벡터는 다음과 같다.

$\pm\sqrt{3}\frac{\left< 3,14,-30\right>}{|\left< 3,14,-30\right>|} =\pm\sqrt{\frac{3}{1105}}\left< 3,14,-30\right>$

원본 교재 풀이(영어)

One vector normal to the surface $F(x,y,z)=4x^2+9y^2-z^2=0$ at $(2,1,-5)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(2,1,-5) = \left< 8x,18y,-2z\right>\Big|_{(2,1,-5)}=\left< 16,18,10\right> \end{aligned}$

One vector normal to the surface $G(x,y,z)=6x+3y+2z=5$ at $(2,1,-5)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(2,1,-5) = \left< 6,3,2\right> \end{aligned}$

Now

The curve lies in the surface $z^2=4x^2+9y^2$ . So the tangent vector to the curve at $(2,1,-5)$ is perpendicular to the normal vector $\frac{1}{2}\left< 16,18,10\right>=\left< 8,9,5\right>$ .
The curve also lies in the surface $6x+3y+2z=5$ . So the tangent vector to the curve at $(2,1,-5)$ is also perpendicular to the normal vector $\left< 6,3,2\right>$ .
So the tangent vector to the curve at $(2,1,-5)$ is parallel to

$\begin{aligned} \left< 8,9,5\right>\times \left< 6,3,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 8 & 9 & 5 \\ 6 & 3 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3,14,-30\right> \end{aligned}$

The desired vectors are

$\pm\sqrt{3}\frac{\left< 3,14,-30\right>}{|\left< 3,14,-30\right>|} =\pm\sqrt{\frac{3}{1105}}\left< 3,14,-30\right>$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 15번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

449.CLP-3 · 2.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

방정식이

$z=xy e^{-(x^2+y^2)/2}$

인 곡면에 접하는 수평 평면을 모두 구하세요.

이 곡면 위에서 $z$ 의 최댓값과 최솟값은 각각 얼마입니까?

영어 원문 보기

Find all horizontal planes that are tangent to the surface with equation

$z=xy e^{-(x^2+y^2)/2}$

What are the largest and smallest values of $z$ on this surface?

정답·풀이 보기

$(x_0,y_0,z_0)$ 을 곡면 위의 임의의 점이라 하자. $(x_0,y_0,z_0)$ 에서 곡면에 수직인 벡터는

$\begin{aligned} &{ \boldsymbol{\nabla} }\Big(xy e^{-(x^2+y^2)/2}-z\Big)\bigg|_{(x_0,y_0,z_0)} \\& =\left< y_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}-x_0^2y_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}, x_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}-x_0y_0^2 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2},-1\right> \end{aligned}$

이다.

$(x_0,y_0,z_0)$ 에서 곡면의 접평면이 수평이 될 필요충분조건은 이 벡터가 수직인 것이고, 이는 이 벡터의 $x$ 성분과 $y$ 성분이 모두 0인 것과 같으며, 이는 다시 다음과 같다.

$\begin{aligned} &y_0(1-x_0^2)=0\text{ 그리고 }x_0(1-y_0^2)=0\\ &\iff\big\{y_0=0\text{ 또는 }x_0=1\text{ 또는 }x_0=-1\big\} \text{ 그리고 }\big\{x_0=0\text{ 또는 }y_0=1\text{ 또는 }y_0=-1\big\}\\ &\iff (x_0,y_0)=(0,0)\text{ 또는 }(1,1)\text{ 또는 }(1,-1) \text{ 또는 }(-1,1)\text{ 또는 }(-1,-1) \end{aligned}$

이 점들에서 $z_0$ 의 값은 각각 $0$ , $e^{-1}$ , $-e^{-1}$ , $-e^{-1}$ , $e^{-1}$ 이다. 따라서 수평인 접평면은 $z=0$ , $z=e^{-1}$ , $z=-e^{-1}$ 이다. 곡면의 가장 높은 점과 가장 낮은 점에서는 접평면이 수평이다. 따라서 $z$ 의 최댓값과 최솟값은 각각 $e^{-1}$ 과 $-e^{-1}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $(x_0,y_0,z_0)$ be any point on the surface. A vector normal to the surface at $(x_0,y_0,z_0)$ is

$\begin{aligned} &{ \boldsymbol{\nabla} }\Big(xy e^{-(x^2+y^2)/2}-z\Big)\bigg|_{(x_0,y_0,z_0)} \\& =\left< y_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}-x_0^2y_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}, x_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}-x_0y_0^2 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2},-1\right> \end{aligned}$

The tangent plane to the surface at $(x_0,y_0,z_0)$ is horizontal if and only if this vector is vertical, which is the case if and only if its $x$ - and $y$ -components are zero, which in turn is the case if and only if

$\begin{aligned} &y_0(1-x_0^2)=0\text{ and }x_0(1-y_0^2)=0\\ &\iff\big\{y_0=0\text{ or }x_0=1\text{ or }x_0=-1\big\} \text{ and }\big\{x_0=0\text{ or }y_0=1\text{ or }y_0=-1\big\}\\ &\iff (x_0,y_0)=(0,0)\text{ or }(1,1)\text{ or }(1,-1) \text{ or }(-1,1)\text{ or }(-1,-1) \end{aligned}$

The values of $z_0$ at these points are $0$ , $e^{-1}$ , $-e^{-1}$ , $-e^{-1}$ and $e^{-1}$ , respectively. So the horizontal tangent planes are $z=0$ , $z=e^{-1}$ and $z=-e^{-1}$ . At the highest and lowest points of the surface, the tangent plane is horizontal. So the largest and smallest values of $z$ are $e^{-1}$ and $-e^{-1}$ , respectively.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 20번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

450.CLP-3 · 2.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

$S$ 를 곡면

$xy-2x+yz+x^2+y^2+z^3=7$

이라고 하자.

(a) 점 $(0,2,1)$ 에서 곡면 $S$ 의 접평면과 법선을 구하세요. (b) $S$ 를 정의하는 방정식은 $(x,y,z)$ 가 $(0,2,1)$ 근처에 있을 때 $z$ 를 $x$ 와 $y$ 의 함수로 음함수 꼴로 정의한다. $\frac{\partial z}{\partial x}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 에 대한 식을 구하세요. $(x,y,z)=(0,2,1)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요. (c) $\frac{\partial^2 z\,}{\partial x\partial y}$ 에 대한 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $S$ be the surface

$xy-2x+yz+x^2+y^2+z^3=7$

(a) Find the tangent plane and normal line to the surface $S$ at the point $(0,2,1)$ . (b) The equation defining $S$ implicitly defines $z$ as a function of $x$ and $y$ for $(x,y,z)$ near $(0,2,1)$ . Find expressions for $\frac{\partial z}{\partial x}$ and $\frac{\partial z}{\partial y}$ . Evaluate $\frac{\partial z}{\partial y}$ at $(x,y,z)=(0,2,1)$ . (c) Find an expression for $\frac{\partial^2 z\,}{\partial x\partial y}$ .

정답·풀이 보기

(a) 점 $(0,2,1)$ 에서 곡면의 법선벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\big(xy-2x+yz+x^2+y^2+z^3-7\big)\big|_{(0,2,1)} &=\left< y-2+2x\,,\,x+z+2y\,,\,y+3z^2\right>\big|_{(0,2,1)}\\ &=\left< 0, 5, 5\right> \end{aligned}$

이다. 따라서 접평면은

$\begin{aligned} 0(x-0)+5(y-2)+5(z-1)=0\text{ 또는 }y+z=3 \end{aligned}$

이다. 법선의 벡터 매개변수 방정식은

$\mathbf{r}(t)=\left< 0,2,1\right>+t\left< 0,5,5\right>$

이다.

(b)

$xy-2x+y\,z(x,y)+x^2+y^2+z(x,y)^3=7$

을 미분하면

$\begin{aligned} y-2+y\,z_x(x,y)+2x+3z(x,y)^2z_x(x,y)&=0 & &\implies & z_x(x,y)&=\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2}\\ x+z(x,y)+y\,z_y(x,y)+2y+3z(x,y)^2z_y(x,y)&=0 & &\implies & z_y(x,y)&=-\frac{x+2y+z(x,y)}{y+3z(x,y)^2} \end{aligned}$

이다. 특히 $(0,2,1)$ 에서 $z_y(0,2)=-\frac{4+1}{2+3}=-1$ 이다.

(c) $z_x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} z_{xy}(x,y) &=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2} -\frac{2-2x-y}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}\big(1+6z(x,y)z_y(x,y)\big)\\ &=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2} -\frac{2-2x-y}{{[y+3z(x,y)^2]}^2} \left(1-6z(x,y)\frac{x+2y+z(x,y)}{y+3z(x,y)^2}\right) \end{aligned}$

이다.

다른 풀이로, $z_y$ 를 $x$ 에 대해 미분할 수도 있다. 그러면

$\begin{aligned} z_{yx}(x,y) &=-\frac{1+z_x(x,y)}{y+3z(x,y)^2} +\frac{x+2y+z(x,y)}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}6z(x,y)z_x(x,y)\\ &=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2}\left(1+\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2}\right) +\frac{x+2y+z(x,y)}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}6z(x,y)\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A normal vector to the surface at $(0,2,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\big(xy-2x+yz+x^2+y^2+z^3-7\big)\big|_{(0,2,1)} &=\left< y-2+2x\,,\,x+z+2y\,,\,y+3z^2\right>\big|_{(0,2,1)}\\ &=\left< 0, 5, 5\right> \end{aligned}$

So the tangent plane is

$\begin{aligned} 0(x-0)+5(y-2)+5(z-1)=0\text{ or }y+z=3 \end{aligned}$

The vector parametric equations for the normal line are

$\mathbf{r}(t)=\left< 0,2,1\right>+t\left< 0,5,5\right>$

(b) Differentiating

$xy-2x+y\,z(x,y)+x^2+y^2+z(x,y)^3=7$

gives

$\begin{aligned} y-2+y\,z_x(x,y)+2x+3z(x,y)^2z_x(x,y)&=0 & &\implies & z_x(x,y)&=\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2}\\ x+z(x,y)+y\,z_y(x,y)+2y+3z(x,y)^2z_y(x,y)&=0 & &\implies & z_y(x,y)&=-\frac{x+2y+z(x,y)}{y+3z(x,y)^2} \end{aligned}$

In particular, at $(0,2,1)$ , $z_y(0,2)=-\frac{4+1}{2+3}=-1$ .

(c) Differentiating $z_x$ with respect to $y$ gives

$\begin{aligned} z_{xy}(x,y) &=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2} -\frac{2-2x-y}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}\big(1+6z(x,y)z_y(x,y)\big)\\ &=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2} -\frac{2-2x-y}{{[y+3z(x,y)^2]}^2} \left(1-6z(x,y)\frac{x+2y+z(x,y)}{y+3z(x,y)^2}\right) \end{aligned}$

As an alternate solution, we could also differentiate $z_y$ with respect to $x$ . This gives

$\begin{aligned} z_{yx}(x,y) &=-\frac{1+z_x(x,y)}{y+3z(x,y)^2} +\frac{x+2y+z(x,y)}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}6z(x,y)z_x(x,y)\\ &=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2}\left(1+\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2}\right) +\frac{x+2y+z(x,y)}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}6z(x,y)\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.7절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

451.CLP-3 · 2.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

(a) 방정식이 $x^2+z^2=10$ 인 곡면에 수직이고 점 $(1,1,3)$ 에서의 벡터를 구하세요. (b) (a)의 곡면과 곡면 $y^2+z^2=10$ 의 교선인 곡선에 접하고 같은 점에서의 벡터를 구하세요. (c) 그 점에서 그 곡선에 접하는 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find a vector perpendicular at the point $(1,1,3)$ to the surface with equation $x^2+z^2=10$ . (b) Find a vector tangent at the same point to the curve of intersection of the surface in part (a) with surface $y^2+z^2=10$ . (c) Find parametric equations for the line tangent to that curve at that point.

정답·풀이 보기

(a) 점 $(1,1,3)$ 에서 $x^2+z^2=10$ 에 수직인 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(x^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ 또는 } \frac{1}{2} \left< 2,0,6\right>=\left< 1,0,3\right>$

이다.

(b) 점 $(1,1,3)$ 에서 $y^2+z^2=10$ 에 수직인 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(y^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ 또는 }\frac{1}{2} \left< 0,2,6\right>=\left< 0,1,3\right>$

이다.

벡터가 주어진 점에서 주어진 곡선에 접하기 위한 필요충분조건은 그 벡터가 $(1,0,3)$ 과 $(0,1,3)$ 에 모두 수직인 것이다. 그러한 벡터 하나는

$\left< 0,1,3\right>\times\left<1,0,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 3,3,-1\right>$

이다.

(c) 구하는 접선은 점 $(1,1,3)$ 을 지나고 방향벡터가 $\left< 3,3,-1\right>$ 이므로 벡터 매개변수 방정식은

$\mathbf{r}(t)=\left< 1,1,3\right>+t\left< 3,3,-1\right>$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A vector perpendicular to $x^2+z^2=10$ at $(1,1,3)$ is

${ \boldsymbol{\nabla} }(x^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ or } \frac{1}{2} \left< 2,0,6\right>=\left< 1,0,3\right>$

(b) A vector perpendicular to $y^2+z^2=10$ at $(1,1,3)$ is

${ \boldsymbol{\nabla} }(y^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ or }\frac{1}{2} \left< 0,2,6\right>=\left< 0,1,3\right>$

A vector is tangent to the specified curve at the specified point if and only if it perpendicular to both $(1,0,3)$ and $(0,1,3)$ . One such vector is

$\left< 0,1,3\right>\times\left<1,0,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 3,3,-1\right>$

(c) The specified tangent line passes through $(1,1,3)$ and has direction vector $\left< 3,3,-1\right>$ and so has vector parametric equation

$\mathbf{r}(t)=\left< 1,1,3\right>+t\left< 3,3,-1\right>$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 14번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

452.CLP-3 · 2.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

곡선

$\mathbf{r}(t) = t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad (0 \le t <\infty)$

이 곡면

$z^3 + xyz -2 = 0$

과 만나는 점을 $P$ 라 합시다. $P$ 에서 곡선과 곡면이 이루는 (예각의) 각을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $P$ be the point where the curve

$\mathbf{r}(t) = t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad (0 \le t <\infty)$

intersects the surface

$z^3 + xyz -2 = 0$

Find the (acute) angle between the curve and the surface at $P$ .

정답·풀이 보기

$\mathbf{r}(t)=\left< x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\right>$ 가 $z^3 + xyz -2 = 0$ 과 만나는 경우는

$z(t)^3+x(t)\,y(t)\,z(t)-2=0\iff \big(t^2\big)^3 + \big(t^3)(t)\big(t^2\big)-2=0 \iff 2t^6=2\iff t=1$

이다. $t$ 는 양수여야 하기 때문이다. $t=1$ 에서 곡선의 방향 벡터는

$\mathbf{r}'(1)=3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}$

이다.

$\mathbf{r}(1)=\left< 1,1,1\right>$ 에서 곡면의 법선 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(z^3+xyz)\big|_{(1,1,1)}=[yz\hat{\boldsymbol{\imath}}+xz\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3z^2+xy)\hat{\mathbf{k}}]_{(1,1,1)} =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\hat{\mathbf{k}}$

이다.

곡선과 곡면의 법선 벡터가 이루는 각 $\theta$ 는 다음으로 결정된다.

$\begin{aligned} \big|\left< 3,1,2\right>\big|\,\big|\left< 1,1,4\right>\big|\cos\theta =\left< 3,1,2\right> \cdot\left< 1,1,4\right> &\iff \sqrt{14}\sqrt{18}\cos\theta=12 \\ &\iff \sqrt{7\times 36}\cos\theta=12 \\ &\iff \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{7}} \\ &\iff \theta=40.89^\circ \end{aligned}$

따라서 곡선과 곡면이 이루는 각은 $90-40.89=49.11^\circ$ (소수 둘째 자리까지)이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\mathbf{r}(t)=\left< x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\right>$ intersects $z^3 + xyz -2 = 0$ when

$z(t)^3+x(t)\,y(t)\,z(t)-2=0\iff \big(t^2\big)^3 + \big(t^3)(t)\big(t^2\big)-2=0 \iff 2t^6=2\iff t=1$

since $t$ is required to be positive. The direction vector for the curve at $t=1$ is

$\mathbf{r}'(1)=3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}$

A normal vector for the surface at $\mathbf{r}(1)=\left< 1,1,1\right>$ is

${ \boldsymbol{\nabla} }(z^3+xyz)\big|_{(1,1,1)}=[yz\hat{\boldsymbol{\imath}}+xz\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3z^2+xy)\hat{\mathbf{k}}]_{(1,1,1)} =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\hat{\mathbf{k}}$

The angle $\theta$ between the curve and the normal vector to the surface is determined by

$\begin{aligned} \big|\left< 3,1,2\right>\big|\,\big|\left< 1,1,4\right>\big|\cos\theta =\left< 3,1,2\right> \cdot\left< 1,1,4\right> &\iff \sqrt{14}\sqrt{18}\cos\theta=12 \\ &\iff \sqrt{7\times 36}\cos\theta=12 \\ &\iff \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{7}} \\ &\iff \theta=40.89^\circ \end{aligned}$

The angle between the curve and the surface is $90-40.89=49.11^\circ$ (to two decimal places).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.7절 · 4번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

453.CLP-3 · 2.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

계산기나 컴퓨터를 사용하지 않고 $f(x,y)=\sin(\pi xy+\ln y)$ 의 $(0.01,1.05)$ 에서의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an approximate value for $f(x,y)=\sin(\pi xy+\ln y)$ at $(0.01,1.05)$ without using a calculator or computer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

선형 근사 $f(0.01,1.05)\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05)$ 를 적용한다. 이때

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sin(\pi xy+\ln y) & f(0,1)&=\sin 0=0\\ f_x(x,y)&=\pi y\cos(\pi xy+\ln y) & f_x(0,1)&=\pi\cos 0=\pi\\ f_y(x,y)&=\left(\pi x+\frac{1}{y}\right)\cos(\pi xy+\ln y) & f_y(0,1)&=\cos 0=1 \end{aligned}$

이다. 따라서

$\begin{aligned} f(0.01,1.05)&\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05) =0+\pi(0.01)+1(0.05) \\ &=0.01\,\pi + 0.05 \approx 0.0814 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Apply the linear approximation $f(0.01,1.05)\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05)$ , with

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sin(\pi xy+\ln y) & f(0,1)&=\sin 0=0\\ f_x(x,y)&=\pi y\cos(\pi xy+\ln y) & f_x(0,1)&=\pi\cos 0=\pi\\ f_y(x,y)&=\left(\pi x+\frac{1}{y}\right)\cos(\pi xy+\ln y) & f_y(0,1)&=\cos 0=1 \end{aligned}$

This gives

$\begin{aligned} f(0.01,1.05)&\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05) =0+\pi(0.01)+1(0.05) \\ &=0.01\,\pi + 0.05 \approx 0.0814 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 39번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

454.CLP-3 · 2.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}$ 라 하자. 계산기나 컴퓨터를 사용하지 않고 $f (-0.9\,,\, 1.1)$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}$ . Find an approximate value for $f (-0.9\,,\, 1.1)$ without using a calculator or computer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(x,y)=(-1,1)$ 에서 $f(x,y)$ 의 1계 미분계수가 필요하다. 그래서 먼저 이를 구한다.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=\frac{2xy}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4x^3)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_x(-1,1)&=-\frac{2}{3} +\frac{4}{3^2}=-\frac{2}{9} \\ f_y(x,y)&=\frac{x^2}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4y)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_y(-1,1)&=\frac{1}{3} -\frac{4}{3^2}=-\frac{1}{9} \end{aligned}$

$(-1,1)$ 근처에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y)\approx=f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) =\frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(x+1) -\frac{1}{9}\,(y-1) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} f(-0.9,1.1)\approx \frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(0.1) -\frac{1}{9}\,(0.1) =\frac{27}{90}=0.3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need the first order derivatives of $f(x,y)$ at $(x,y)=(-1,1)$ . So we find them first.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=\frac{2xy}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4x^3)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_x(-1,1)&=-\frac{2}{3} +\frac{4}{3^2}=-\frac{2}{9} \\ f_y(x,y)&=\frac{x^2}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4y)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_y(-1,1)&=\frac{1}{3} -\frac{4}{3^2}=-\frac{1}{9} \end{aligned}$

The linear approximation to $f(x,y)$ about $(-1,1)$ is

$\begin{aligned} f(x,y)\approx=f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) =\frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(x+1) -\frac{1}{9}\,(y-1) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} f(-0.9,1.1)\approx \frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(0.1) -\frac{1}{9}\,(0.1) =\frac{27}{90}=0.3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

455.CLP-3 · 2.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

직각삼각형의 한 변의 길이를 측정했더니 $3$ 이고 최대 오차는 $\pm 0.1$ 이며, 다른 한 변의 길이는 $4$ 이고 최대 오차는 $\pm 0.2$ 이다. 선형 근사를 이용하여 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 계산할 때 생길 수 있는 최대 오차를 어림하세요.

영어 원문 보기

One side of a right triangle is measured to be $3$ with a maximum possible error of $\pm 0.1$ , and the other side is measured to be $4$ with a maximum possible error of $\pm 0.2$ . Use the linear approximation to estimate the maximum possible error in calculating the length of the hypotenuse of the right triangle.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

두 변의 길이를 $x$ , $y$ 라 하면 $x=3\pm 0.1$ , $y=4\pm 0.2$ 이다. 그러면 빗변의 길이는 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 이다. 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2} & f(3,4)&=5 \\ f_x(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad & f_x(3,4)&=\frac{3}{5} \\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_y(3,4)&=\frac{4}{5} \end{aligned}$

선형 근사에 의해

$\begin{aligned} f(x,y)\approx f(3,4) + f_x(3,4)\,(x-3) + f_y(3,4)\,(y-4) =5 +\frac{3}{5}\,(x-3) +\frac{4}{5}\,(y-4) \end{aligned}$

따라서 빗변의 길이를 계산할 때 생기는 최대 오차의 근삿값은

$\begin{aligned} \frac{3}{5}\,(0.1) +\frac{4}{5}\,(0.2) =\frac{1.1}{5} = 0.22 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote by $x$ and $y$ the lengths of sides with $x=3\pm 0.1$ and $y=4\pm 0.2$ . Then the length of the hypotenuse is $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ . Note that

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2} & f(3,4)&=5 \\ f_x(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad & f_x(3,4)&=\frac{3}{5} \\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_y(3,4)&=\frac{4}{5} \end{aligned}$

By the linear approximation

$\begin{aligned} f(x,y)\approx f(3,4) + f_x(3,4)\,(x-3) + f_y(3,4)\,(y-4) =5 +\frac{3}{5}\,(x-3) +\frac{4}{5}\,(y-4) \end{aligned}$

So the approximate maximum error in calculating the length of the hypotenuse is

$\begin{aligned} \frac{3}{5}\,(0.1) +\frac{4}{5}\,(0.2) =\frac{1.1}{5} = 0.22 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

456.CLP-3 · 2.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

저항이 $R_1$ , $R_2$ 인 두 저항을 병렬로 연결하면, 합성 저항 R 은 방정식 $\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ 을 만족시킨다. 선형 근사를 이용하여 $R_1$ 이 $2$ 옴에서 $1.9$ 옴으로 감소하고 $R_2$ 가 8 옴에서 8.1 옴으로 증가할 때 $R$ 의 변화량을 어림하세요.

영어 원문 보기

If two resistors of resistance $R_1$ and $R_2$ are wired in parallel, then the resulting resistance R satisfies the equation $\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ . Use the linear approximation to estimate the change in $R$ if $R_1$ decreases from $2$ to $1.9$ ohms and $R_2$ increases from 8 to 8.1 ohms.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

함수 $R(R_1,R_2)$ 는 다음 식으로 음함수로 정의된다.

$\frac{1}{R(R_1,R_2)} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \tag{$*$}$

특히

$\frac{1}{R(2,8)} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \implies R(2,8) = \frac{8}{5}$

다음 선형 근사를 이용하고자 한다.

$R(R_1,R_2) \approx R(2,8) + \frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)\,(R_1-2) + \frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)\,(R_2-8)$

그러기 위해서는 편도함수 $\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)$ 와 $\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)$ 가 필요하다. 이를 구하기 위해 $(*)$ 를 $R_1$ 과 $R_2$ 에 대해 각각 미분한다.

$\begin{aligned} -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_1^2} \\ -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_2^2} \\ \end{aligned}$

$R_1=2$ , $R_2=8$ 을 대입하면

$\begin{aligned} -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &= -\frac{1}{4} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &=\frac{16}{25} \\ -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &= -\frac{1}{64} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &=\frac{1}{25} \end{aligned}$

따라서 $R$ 의 변화량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} R(1.9,8.1)-R(2,8) \approx \frac{16}{25} (-0.1) + \frac{1}{25}(0.1) =-\frac{15}{250} = -0.06 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The function $R(R_1,R_2)$ is defined implictly by

$\frac{1}{R(R_1,R_2)} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \tag{$*$}$

In particular

$\frac{1}{R(2,8)} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \implies R(2,8) = \frac{8}{5}$

We wish to use the linear approximation

$R(R_1,R_2) \approx R(2,8) + \frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)\,(R_1-2) + \frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)\,(R_2-8)$

To do so, we need the partial derivatives $\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)$ and $\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)$ . To find them, we differentiate $(*)$ with respect to $R_1$ and $R_2$ :

$\begin{aligned} -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_1^2} \\ -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_2^2} \\ \end{aligned}$

Setting $R_1=2$ and $R_2=8$ gives

$\begin{aligned} -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &= -\frac{1}{4} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &=\frac{16}{25} \\ -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &= -\frac{1}{64} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &=\frac{1}{25} \end{aligned}$

So the specified change in $R$ is

$\begin{aligned} R(1.9,8.1)-R(2,8) \approx \frac{16}{25} (-0.1) + \frac{1}{25}(0.1) =-\frac{15}{250} = -0.06 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 4번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

457.CLP-3 · 2.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

고체 내부의 압력은

$P(s,r) = sr(4s^2 - r^2 - 2)$

로 주어진다. 여기서 $s$ 는 비열이고 $r$ 는 밀도이다. $(s,r)$ 를 측정하면 대략 $(2,2)$ 일 것으로 예상하며, $P$ 의 값을 가장 정확하게 얻고자 한다. $s$ 와 $r$ 를 측정하는 방법은 두 가지가 있다. 방법 $1$ 은 $s$ 의 오차가 $\pm 0.01$ 이고 $r$ 의 오차가 $\pm 0.1$ 이며, 방법 2 는 $s$ 와 $r$ 모두 오차가 $\pm 0.02$ 이다.

방법 1 과 방법 2 중 어느 것을 사용해야 하는지 판단하세요. 이유를 자세히 설명하세요.

영어 원문 보기

The pressure in a solid is given by

$P(s,r) = sr(4s^2 - r^2 - 2)$

where $s$ is the specific heat and $r$ is the density. We expect to measure $(s,r)$ to be approximately $(2,2)$ and would like to have the most accurate value for $P$ . There are two different ways to measure $s$ and $r$ . Method $1$ has an error in $s$ of $\pm 0.01$ and an error in $r$ of $\pm 0.1$ , while method 2 has an error of $\pm 0.02$ for both $s$ and $r$ .

Should we use method 1 or method 2? Explain your reasoning carefully.

정답·풀이 보기

$(2,2)$ 에서 $P(s,r)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} P(s,r)\approx P(2,2) +P_s(2,2)\,(s-2) + P_r(2,2)\,(r-2) \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} P(2,2) &= (2)(2)\big[4(2)^2-(2)^2-2\big] = 40 \qquad\text{(which we don't actually need) } \\ P_s(2,2) &= \Big[12s^2r-r^3-2r\Big]_{s=r=2} = 84 \\ P_r(2,2) &= \Big[4s^3-3sr^2-2s\Big]_{s=r=2} = 4 \end{aligned}$

이므로 선형 근사는

$\begin{aligned} P(s,r)\approx 40 +84\,(s-2) + 4\,(r-2) \end{aligned}$

이다.

방법 1에서 $P$ 의 최대 오차의 크기는 (근사적으로) 많아야

$\begin{aligned} 84(0.01) + 4(0.1) = 1.24 \end{aligned}$

이다.

방법 2에서 $P$ 의 최대 오차의 크기는 (근사적으로) 많아야

$\begin{aligned} 84(0.02) + 4(0.02) = 1.76 \end{aligned}$

이다.

따라서 방법 1이 더 좋다.

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation to $P(s,r)$ at $(2,2)$ is

$\begin{aligned} P(s,r)\approx P(2,2) +P_s(2,2)\,(s-2) + P_r(2,2)\,(r-2) \end{aligned}$

As

$\begin{aligned} P(2,2) &= (2)(2)\big[4(2)^2-(2)^2-2\big] = 40 \qquad\text{(which we don't actually need) } \\ P_s(2,2) &= \Big[12s^2r-r^3-2r\Big]_{s=r=2} = 84 \\ P_r(2,2) &= \Big[4s^3-3sr^2-2s\Big]_{s=r=2} = 4 \end{aligned}$

the linear approximation is

$\begin{aligned} P(s,r)\approx 40 +84\,(s-2) + 4\,(r-2) \end{aligned}$

Under method 1, the maximum error in $P$ will have magnitude at most (approximately)

$\begin{aligned} 84(0.01) + 4(0.1) = 1.24 \end{aligned}$

Under method 2, the maximum error in $P$ will have magnitude at most (approximately)

$\begin{aligned} 84(0.02) + 4(0.02) = 1.76 \end{aligned}$

Method 1 is better.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 13번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

458.CLP-3 · 2.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 이라 하자. $f(-0.8,2.1)$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ . Find an approximate value for $f(-0.8,2.1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f$ 의 1계 편도함수는

$\begin{aligned} f_x(x,y) & = -\frac{4xy}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_x(-1,2) & = \frac{8}{25} \\ f_y(x,y) & = \frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_y(-1,2) & = \frac{2}{5}-\frac{16}{25} =-\frac{6}{25} \\ \end{aligned}$

이다.

$(-1,2)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} f(x,y)&\approx f(-1,2) + f_x(-1,2)\,(x+1) + f_y(-1,2)\,(y-2) \\ &=\frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(x+1) - \frac{6}{25}\,(y-2) \end{aligned}$

이다.

특히 $x=-0.8$ , $y=2.1$ 일 때,

$\begin{aligned} f(-0.8,2.1)&\approx \frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(0.2) - \frac{6}{25}\,(0.1) \\ &=0.84 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The first order partial derivatives of $f$ are

$\begin{aligned} f_x(x,y) & = -\frac{4xy}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_x(-1,2) & = \frac{8}{25} \\ f_y(x,y) & = \frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_y(-1,2) & = \frac{2}{5}-\frac{16}{25} =-\frac{6}{25} \\ \end{aligned}$

The linear approximation of $f(x,y)$ about $(-1,2)$ is

$\begin{aligned} f(x,y)&\approx f(-1,2) + f_x(-1,2)\,(x+1) + f_y(-1,2)\,(y-2) \\ &=\frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(x+1) - \frac{6}{25}\,(y-2) \end{aligned}$

In particular, for $x=-0.8$ and $y=2.1$ ,

$\begin{aligned} f(-0.8,2.1)&\approx \frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(0.2) - \frac{6}{25}\,(0.1) \\ &=0.84 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 15번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

459.CLP-3 · 2.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

함수 $z = f (x, y)$ 가 다음 방정식으로 음함수로 정의되어 있다고 하자.

$xyz + x + y^2 + z^3 = 0$

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ 를 구하세요. (b) $f(-1, 1) < 0$ 일 때, 함수 $z = f (x, y)$ 의 $(-1, 1)$ 에서의 선형 근사를 구하세요. (c) $f(-1, 1) < 0$ 일 때, (b)의 선형 근사를 이용하여 $f(-1.02, 0.97)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a function $z = f (x, y)$ is implicitly defined by an equation:

$xyz + x + y^2 + z^3 = 0$

(a) Find $\frac{\partial z}{\partial x}$ . (b) If $f(-1, 1) < 0$ , find the linear approximation of the function $z = f (x, y)$ at $(-1, 1)$ . (c) If $f(-1, 1) < 0$ , use the linear approximation in (b) to approximate $f(-1.02, 0.97)$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수 $f(x,y)$ 는 ( $(-1,1)$ 에 충분히 가까운) 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해

$xy\,f(x,y) + x + y^2 + f(x,y)^3 =0 \tag{$*$}$

을 만족시킨다. $(*)$ 의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} y\,f(x,y) +xy\,f_x(x,y) + 1 + 3f(x,y)^2 f_x(x,y) = 0 \implies f_x(x,y) = -\frac{y\,f(x,y) +1}{3f(x,y)^2 +xy} \end{aligned}$

이다. $f(x,y)$ 를 명시적으로 모르면 이 이상은 할 수 있는 것이 많지 않다.

(b) $f(-1,1)$ 은

$(-1)(1)\,f(-1,1) + (-1) + (1)^2 + f(-1,1)^3 =0 \iff f(-1,1)^3 -f(-1,1) =0$

을 만족시킨다. $f(-1, 1) < 0$ 이므로 이 식의 양변을 $f(-1, 1) < 0$ 으로 나눌 수 있고, $f(-1,1)^2 - 1=0$ 을 얻는다. $f(-1, 1) < 0$ 이므로 $f(-1, 1)=-1$ 이어야 한다. (a)에 의해

$\begin{aligned} f_x(-1, 1) = -\frac{(1)\,f(-1, 1) +1}{3f(-1, 1)^2 +(-1)(1)} = 0 \end{aligned}$

이다. 선형 근사를 구하려면 $f_y(-1,1)$ 도 필요하다. $(*)$ 의 양변을 $y$ 에 대해 미분하면

$x\,f(x,y) + xy\,f_y(x,y) + 2y + 3f(x,y)^2 f_y(x,y) =0$

이다. 여기에 $x=-1$ , $y=1$ , $f(-1,1)=-1$ 을 대입하면

$(-1)\,(-1) + (-1)(1)\,f_y(-1,1) + 2(1) + 3(-1)^2 f_y(-1,1) =0 \implies f_y(-1,1) =-\frac{3}{2}$

이다. 따라서 선형 근사는

$f(x,y) \approx f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) = -1 -\frac{3}{2} (y-1)$

이다.

(c) (b)에 의해

$\begin{aligned} f(-1.02,0.97) \approx -1 -\frac{3}{2} (0.97-1) =-0.955 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $f(x,y)$ obeys

$xy\,f(x,y) + x + y^2 + f(x,y)^3 =0 \tag{$*$}$

for all $x$ and $y$ (sufficiently close to $(-1,1)$ ). Differentiating $(*)$ with respect to $x$ gives

$\begin{aligned} y\,f(x,y) +xy\,f_x(x,y) + 1 + 3f(x,y)^2 f_x(x,y) = 0 \implies f_x(x,y) = -\frac{y\,f(x,y) +1}{3f(x,y)^2 +xy} \end{aligned}$

Without knowing $f(x,y)$ explicitly, there's not much that we can do with this.

(b) $f(-1,1)$ obeys

$(-1)(1)\,f(-1,1) + (-1) + (1)^2 + f(-1,1)^3 =0 \iff f(-1,1)^3 -f(-1,1) =0$

Since $f(-1, 1) < 0$ we may divide this equation by $f(-1, 1) < 0$ , giving $f(-1,1)^2 - 1=0$ . Since $f(-1, 1) < 0$ , we must have $f(-1, 1)=-1$ . By part (a)

$\begin{aligned} f_x(-1, 1) = -\frac{(1)\,f(-1, 1) +1}{3f(-1, 1)^2 +(-1)(1)} = 0 \end{aligned}$

To get the linear approximation, we still need $f_y(-1,1)$ . Differentiating $(*)$ with respect to $y$ gives

$x\,f(x,y) + xy\,f_y(x,y) + 2y + 3f(x,y)^2 f_y(x,y) =0$

Then setting $x=-1$ , $y=1$ and $f(-1,1)=-1$ gives

$(-1)\,(-1) + (-1)(1)\,f_y(-1,1) + 2(1) + 3(-1)^2 f_y(-1,1) =0 \implies f_y(-1,1) =-\frac{3}{2}$

So the linear approximation is

$f(x,y) \approx f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) = -1 -\frac{3}{2} (y-1)$

(c) By part (b),

$\begin{aligned} f(-1.02,0.97) \approx -1 -\frac{3}{2} (0.97-1) =-0.955 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 12번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

460.CLP-3 · 2.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

$z = f(x,y)$ 가 다음 식으로 음함수로 주어져 있다고 하자.

$e^z + yz = x + y.$

(a) 전미분 $\mathrm{d}z$ 를 구하세요. (b) 점 $(1,0)$ 에서의 선형 근사를 이용하여 $f(0.99,0.01)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Let $z = f(x,y)$ be given implicitly by

$e^z + yz = x + y.$

(a) Find the differential $\mathrm{d}z$ . (b) Use linear approximation at the point $(1,0)$ to approximate $f(0.99,0.01)$ .

정답·풀이 보기

정의에 따라 $x=a$ , $y=b$ 에서의 전미분은

$f_x(a,b)\,\mathrm{d}x + f_y(a,b)\,\mathrm{d}y$

이므로 편도함수 $f_x(a,b)$ 와 $f_y(a,b)$ 를 구해야 한다. 주어진 조건에서

$e^{f(x,y)} + y\,f(x,y) = x + y$

가 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 성립한다. 이 등식의 양변을 $x$ 에 대해, 그리고 $y$ 에 대해 각각 미분하면 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} e^{f(x,y)}f_x(x,y) + y\,f_x(x,y) = 1 \\ e^{f(x,y)}f_y(x,y) + f(x,y) +y\,f_y(x,y) = 1 \end{aligned}$

을 얻는다. 첫째 식을 $f_x$ 에 대해, 둘째 식을 $f_y$ 에 대해 풀면

$\begin{aligned} f_x(x,y) &= \frac{1}{e^{f(x,y)}+y} \\ f_y(x,y) &= \frac{1-f(x,y)}{e^{f(x,y)}+y} \end{aligned}$

이다. 따라서 $x=a$ , $y=b$ 에서의 전미분은

$\frac{\mathrm{d}x}{e^{f(a,b)}+b} + \frac{1-f(a,b)}{e^{f(a,b)}+b} \,\mathrm{d}y$

이다. 일반적인 $a$ 와 $b$ 에 대해서는 $f(a,b)$ 를 명시적으로 구할 수 없으므로, 이 이상 할 수 있는 것은 많지 않다.

(b) 특히 $a=1$ , $b=0$ 일 때

$e^{f(1,0)} + 0\,f(1,0) = 1 + 0 \implies e^{f(1,0)} = 1 \implies f(1,0)=0$

이고, 선형 근사는 다음과 같이 간단해진다.

$f\big(1+\mathrm{d}x\,,\,\mathrm{d}y\big) \approx f(1,0) + \frac{\mathrm{d}x}{e^{f(1,0)}+0} + \frac{1-f(1,0)}{e^{f(1,0)}+0} \,\mathrm{d}y = \mathrm{d}x +\mathrm{d}y$

$\mathrm{d}x = -0.01$ , $\mathrm{d}y = 0.01$ 로 잡으면

$f\big(0.99\,,\,0.01\big) \approx -0.01 + 0.01 =0$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition, the differential at $x=a$ , $y=b$ is

$f_x(a,b)\,\mathrm{d}x + f_y(a,b)\,\mathrm{d}y$

so we have to determine the partial derivatives $f_x(a,b)$ and $f_y(a,b)$ . We are told that

$e^{f(x,y)} + y\,f(x,y) = x + y$

for all $x$ and $y$ . Differentiating this equation with respect to $x$ and with respect to $y$ gives, by the chain rule,

$\begin{aligned} e^{f(x,y)}f_x(x,y) + y\,f_x(x,y) = 1 \\ e^{f(x,y)}f_y(x,y) + f(x,y) +y\,f_y(x,y) = 1 \end{aligned}$

Solving the first equation for $f_x$ and the second for $f_y$ gives

$\begin{aligned} f_x(x,y) &= \frac{1}{e^{f(x,y)}+y} \\ f_y(x,y) &= \frac{1-f(x,y)}{e^{f(x,y)}+y} \end{aligned}$

So the differential at $x=a$ , $y=b$ is

$\frac{\mathrm{d}x}{e^{f(a,b)}+b} + \frac{1-f(a,b)}{e^{f(a,b)}+b} \,\mathrm{d}y$

Since we can't solve explicitly for $f(a,b)$ for general $a$ and $b$ . There's not much more that we can do with this.

(b) In particular, when $a=1$ and $b=0$ , we have

$e^{f(1,0)} + 0\,f(1,0) = 1 + 0 \implies e^{f(1,0)} = 1 \implies f(1,0)=0$

and the linear approximation simpifies to

$f\big(1+\mathrm{d}x\,,\,\mathrm{d}y\big) \approx f(1,0) + \frac{\mathrm{d}x}{e^{f(1,0)}+0} + \frac{1-f(1,0)}{e^{f(1,0)}+0} \,\mathrm{d}y = \mathrm{d}x +\mathrm{d}y$

Choosing $\mathrm{d}x = -0.01$ and $\mathrm{d}y = 0.01$ , we have

$f\big(0.99\,,\,0.01\big) \approx -0.01 + 0.01 =0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 17번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

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