매개변수 곡선의 미적분 연습문제

101.APEX · 9.3절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24번에서, 주어진 매개변수 방정식의 그래프가 매끄럽지 않은 $t=t_0$ 을 구한 다음 $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$x=-t^3+7t^2-16t+13$ , $y=t^3-5t^2+8t-2$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find $t=t_0$ where the graph of the given parametric equations is not smooth, then find $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ .

$x=-t^3+7t^2-16t+13$ , $y=t^3-5t^2+8t-2$

정답·풀이 보기

$t_0=2$ ; $\lim_{t\to 2} \frac{dy}{dx} = 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$t_0=2$ ; $\lim_{t\to 2} \frac{dy}{dx} = 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 46번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

102.APEX · 9.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24번에서, 주어진 매개변수 방정식의 그래프가 매끄럽지 않은 $t=t_0$ 을 구한 다음 $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$x=t^3-3t^2+3t-1$ , $y=t^2-2t+1$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find $t=t_0$ where the graph of the given parametric equations is not smooth, then find $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ .

$x=t^3-3t^2+3t-1$ , $y=t^2-2t+1$

정답·풀이 보기

$t_0=1$ ; $\lim_{t\to 1} \frac{dy}{dx} = \infty$ .

원본 교재 풀이(영어)

$t_0=1$ ; $\lim_{t\to 1} \frac{dy}{dx} = \infty$ .

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# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

103.APEX · 9.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 주어진 매개변수방정식의 그래프가 매끄럽지 않은 $t=t_0$ 를 구한 다음, $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$\displaystyle x=\cos^2t$ , $y=1-\sin^2t$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find $t=t_0$ where the graph of the given parametric equations is not smooth, then find $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ .

$\displaystyle x=\cos^2t$ , $y=1-\sin^2t$

정답·풀이 보기

$t_0=\ldots,-\pi/2,0,\pi/2,\pi,\ldots$ ; $\lim_{t\to 0} \frac{dy}{dx} = 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$t_0=\ldots,-\pi/2,0,\pi/2,\pi,\ldots$ ; $\lim_{t\to 0} \frac{dy}{dx} = 1$ .

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# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

104.APEX · 9.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 매개변수방정식의 그래프의 곡선의 길이를 구하세요.

$x=-3\sin(2t)$ , $y=3\cos(2t)$ ( $[0,\pi]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 33–36, find the arc length of the graph of the parametric equations on the given interval(s).

$x=-3\sin(2t)$ , $y=3\cos(2t)$ on $[0,\pi]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$L=6\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$L=6\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 6번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

105.APEX · 9.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 매개변수방정식으로 나타낸 곡선의 길이를 구하세요.

$x=e^{t/10}\cos t$ , $y=e^{t/10}\sin t$ ( $[0,2\pi]$ 와 $[2\pi,4\pi]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 33–36, find the arc length of the graph of the parametric equations on the given interval(s).

$x=e^{t/10}\cos t$ , $y=e^{t/10}\sin t$ on $[0,2\pi]$ and $[2\pi,4\pi]$

정답·풀이 보기

$[0,2\pi]$ 에서 곡선의 길이는 $L = \sqrt{101}(e^{\pi/5}-1)$ 이고, $[2\pi,4\pi]$ 에서는 $L =\sqrt{101}(e^{2\pi/5}-1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

On $[0,2\pi]$ , arc length is $L = \sqrt{101}(e^{\pi/5}-1)$ ; on $[2\pi,4\pi]$ , $L =\sqrt{101}(e^{2\pi/5}-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 46번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

106.APEX · 9.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 매개변수방정식으로 나타낸 곡선의 길이를 구하세요.

$x=5t+2$ , $y=1-3t$ ( $[-1,1]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 33–36, find the arc length of the graph of the parametric equations on the given interval(s).

$x=5t+2$ , $y=1-3t$ on $[-1,1]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$L=2\sqrt{34}$

원본 교재 풀이(영어)

$L=2\sqrt{34}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 40번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

107.APEX · 9.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 매개변수방정식의 그래프의 곡선의 길이를 구하세요.

$x=2t^{3/2}$ , $y=3t$ ( $[0,1]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 33–36, find the arc length of the graph of the parametric equations on the given interval(s).

$x=2t^{3/2}$ , $y=3t$ on $[0,1]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$L=4\sqrt{2}-2$

원본 교재 풀이(영어)

$L=4\sqrt{2}-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 2번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

108.APEX · 9.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–40에서, 주어진 호의 길이를 수치적으로 어림하세요.

심프슨 법칙과 $n=4$ 를 사용하여 장미 곡선 $x=\cos t\cos(2t)$ , $y=\sin t\cos(2t)$ 의 꽃잎 하나의 호의 길이를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, numerically approximate the given arc length.

Approximate the arc length of one petal of the rose curve $x=\cos t\cos(2t)$ , $y=\sin t\cos(2t)$ using Simpson's Rule and $n=4$ .

정답·풀이 보기

$L\approx 2.4416$ (실제 값: $L=2.42211$ )

원본 교재 풀이(영어)

$L\approx 2.4416$ (actual value: $L=2.42211$ )

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 12번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

109.APEX · 9.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–40에서, 주어진 호의 길이를 수치적으로 어림하세요.

심프슨 법칙과 $n=6$ 을 사용하여 "나비넥타이 곡선" $x=\cos t$ , $y=\sin (2t)$ 의 호의 길이를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, numerically approximate the given arc length.

Approximate the arc length of the “bow tie curve” $x=\cos t$ , $y=\sin (2t)$ using Simpson's Rule and $n=6$ .

정답·풀이 보기

$L\approx 9.73004$ (실제 값: $L=9.42943$ )

원본 교재 풀이(영어)

$L\approx 9.73004$ (actual value: $L=9.42943$ )

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 62번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

110.APEX · 9.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–40에서, 주어진 호의 길이를 수치적으로 어림하세요.

심프슨 법칙과 $n=4$ 를 사용하여 구간 $[-1,1]$ 에서 포물선 $x=t^2-t$ , $y=t^2+t$ 의 호의 길이를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, numerically approximate the given arc length.

Approximate the arc length of the parabola $x=t^2-t$ , $y=t^2+t$ on $[-1,1]$ using Simpson's Rule and $n=4$ .

정답·풀이 보기

$L\approx 4.19216$ (실제 값: $L=4.18308$ )

원본 교재 풀이(영어)

$L\approx 4.19216$ (actual value: $L=4.18308$ )

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 26번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

111.APEX · 9.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–40에서, 주어진 호의 길이를 수치적으로 어림하세요.

$x=a\cos t$ , $y=b\sin t$ 로 주어진 타원의 둘레에 대한 흔한 근삿값은 $\displaystyle C\approx 2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}$ 이다. 이 공식을 사용하여 $x=5\cos t$ , $y=3\sin t$ 의 둘레를 어림하고, 이를 심프슨 법칙과 $n=6$ 으로 얻은 근삿값과 비교하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, numerically approximate the given arc length.

A common approximate of the circumference of an ellipse given by $x=a\cos t$ , $y=b\sin t$ is $\displaystyle C\approx 2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}$ . Use this formula to approximate the circumference of $x=5\cos t$ , $y=3\sin t$ and compare this to the approximation given by Simpson's Rule and $n=6$ .

정답·풀이 보기

공식: $C\approx 25.9062$ ; 심프슨 법칙: $C\approx 25.4786$ (실제 값: $C=25.527$ )

원본 교재 풀이(영어)

Formula: $C\approx 25.9062$ ; Simpson's Rule: $C\approx 25.4786$ (actual value: $C=25.527$ )

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 8번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

112.APEX · 9.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

연습문제 41–44에서 회전체가 주어져 있다. 지시에 따라 그 겉넓이를 구하거나 어림하세요.

원 $x=2\cos t$ , $y=2\sin t$ 를 다음을 축으로 회전시켜 만들어지는 구의 겉넓이를 구하세요.

(a) $x$ 축 (b) $y$ 축

영어 원문 보기

In Exercises 41–44, a solid of revolution is described. Find or approximate its surface area as specified.

Find the surface area of the sphere formed by rotating the circle $x=2\cos t$ , $y=2\sin t$ about:

(a) the $x$ -axis and (b) the $y$ -axis.

정답·풀이 보기

답은 (당연히) 둘 다 $16\pi$ 이지만, 적분식은 서로 다르다.

원본 교재 풀이(영어)

The answer is $16\pi$ for both (of course), but the integrals are different.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 22번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

113.APEX · 9.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

연습문제 41–44에서는 회전체가 주어집니다. 지정된 대로 그 겉넓이를 구하거나 어림하세요.

원 $x=\cos t+2$ , $y=\sin t$ 를 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 토러스(또는 "도넛")의 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 41–44, a solid of revolution is described. Find or approximate its surface area as specified.

Find the surface area of the torus (or “donut”) formed by rotating the circle $x=\cos t+2$ , $y=\sin t$ about the $y$ -axis.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8\pi^2$ .

원본 교재 풀이(영어)

$8\pi^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 18번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

114.APEX · 9.3절 · 43번대학 수준우리말 번역

연습문제 41–44에서는 회전체가 주어집니다. 지정된 대로 그 겉넓이를 구하거나 어림하세요.

구간 $[0,\pi/2]$ 에서 나비넥타이 곡선 $x=\cos t$ , $y=\sin(2t)$ 의 "오른쪽 위 절반"을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 회전체의 겉넓이를 심프슨 공식과 $n=4$ 를 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 41–44, a solid of revolution is described. Find or approximate its surface area as specified.

Approximate the surface area of the solid formed by rotating the “upper right half” of the bow tie curve $x=\cos t$ , $y=\sin(2t)$ on $[0,\pi/2]$ about the $x$ -axis, using Simpson's Rule and $n=4$ .

정답·풀이 보기

$SA\approx 8.50101$ (실제 값 $SA = 8.02851$ )

원본 교재 풀이(영어)

$SA\approx 8.50101$ (actual value $SA = 8.02851$ )

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 42번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류

115.APEX · 9.3절 · 44번대학 수준우리말 번역

연습문제 41–44에서는 회전체가 주어집니다. 지정된 대로 그 겉넓이를 구하거나 어림하세요.

구간 $[0,\pi/4]$ 에서 장미 곡선 $x=\cos t\cos(2t)$ , $y=\sin t\cos(2t)$ 의 꽃잎 하나를 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 회전체의 겉넓이를 심프슨 공식과 $n=4$ 를 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 41–44, a solid of revolution is described. Find or approximate its surface area as specified.

Approximate the surface area of the solid formed by rotating the one petal of the rose curve $x=\cos t\cos(2t)$ , $y=\sin t\cos(2t)$ on $[0,\pi/4]$ about the $x$ -axis, using Simpson's Rule and $n=4$ .

정답·풀이 보기

$SA\approx 1.36751$ (실제 값 $SA = 1.36707$

원본 교재 풀이(영어)

$SA\approx 1.36751$ (actual value $SA = 1.36707$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 4번

# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류