빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 매개변수와 극좌표

매개변수 곡선의 미적분

매개변수 곡선의 접선, 넓이, 곡선의 길이, 회전면의 넓이를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

115문제 · 4 / 6쪽

61.OpenStax 2권 · 7.2절 · 63번대학 수준우리말 번역

x=t2,y=2t2,0≤t≤1x={t}^{2},y=2{t}^{2},0\le t\le 1 을 y축을 중심으로 회전시켜 생기는 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the surface area generated by revolving x=t2,y=2t2,0≤t≤1x={t}^{2},y=2{t}^{2},0\le t\le 1 about the y-axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 48번
# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
62.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

점 (4,5π6)\left(4,\frac{5\pi }{6}\right) 의 직교좌표는 (23,−2)\left(2\sqrt{3},-2\right) 이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

The rectangular coordinates of the point (4,5π6)\left(4,\frac{5\pi }{6}\right) are (23,−2).\left(2\sqrt{3},-2\right).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 30번
# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
63.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

방정식 x=cosh⁡(3t),x=\cosh (3t), y=2 sinh⁡(3t)y=2\,\sinh (3t) 는 쌍곡선을 나타낸다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

The equations x=cosh⁡(3t),x=\cosh (3t), y=2 sinh⁡(3t)y=2\,\sinh (3t) represent a hyperbola.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

True.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 38번
# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
64.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 3번대학 수준우리말 번역

0≤θ≤3π0\le \theta \le 3\pi 에서 r=θ2r=\frac{\theta }{2} 로 주어진 나선의 곡선의 길이는 94π3\frac{9}{4}{\pi }^{3} 이다.

영어 원문 보기

The arc length of the spiral given by r=θ2r=\frac{\theta }{2} for 0≤θ≤3π0\le \theta \le 3\pi is 94π3.\frac{9}{4}{\pi }^{3}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 28번
# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
65.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 4번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

x=f(t)x=f(t) 와 y=g(t)y=g(t) 가 주어질 때, dxdy=dydx\frac{dx}{dy}=\frac{dy}{dx} 이면 f(t)=g(t)+C,f(t)=g(t)+\text{C,} 이다. 여기서 C는 상수이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

Given x=f(t)x=f(t) and y=g(t),y=g(t), if dxdy=dydx,\frac{dx}{dy}=\frac{dy}{dx}, then f(t)=g(t)+C,f(t)=g(t)+\text{C,} where C is a constant.

정답·풀이 보기

거짓. y=t+1,y=t+1, x=−t+1x=-t+1 이라고 해 보자.

원본 교재 풀이(영어)

False. Imagine y=t+1,y=t+1, x=−t+1.x=-t+1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 2번
# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
66.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수 곡선의 그래프를 그리고, 매개변수를 소거하여 곡선의 직교좌표 방정식을 구하세요.

x=1+t,x=1+t, y=t2−1,y={t}^{2}-1, −1≤t≤1-1\le t\le 1

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric curve and eliminate the parameter to find the Cartesian equation of the curve.

x=1+t,x=1+t, y=t2−1,y={t}^{2}-1, −1≤t≤1-1\le t\le 1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 58번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
67.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수로 나타낸 곡선의 그래프를 그리고, 매개변수를 소거하여 곡선의 직교좌표 방정식을 구하세요.

x=et,x={e}^{t}, y=1−e3t,y=1-{e}^{3t}, 0≤t≤10\le t\le 1

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric curve and eliminate the parameter to find the Cartesian equation of the curve.

x=et,x={e}^{t}, y=1−e3t,y=1-{e}^{3t}, 0≤t≤10\le t\le 1

정답·풀이 보기

(1, 0)에서 시작하여 감소하면서 제4사분면으로 들어가는 곡선의 그래프.

y=1−x3y=1-{x}^{3}

원본 교재 풀이(영어)

Graph of a curve starting at (1, 0) and decreasing into the fourth quadrant.

y=1−x3y=1-{x}^{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 4번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
68.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수로 나타낸 곡선의 그래프를 그리고, 매개변수를 소거하여 곡선의 직교좌표 방정식을 구하세요.

x=sin⁡ θ,x=\sin \,\theta , y=1−csc⁡ θ,y=1-\csc \,\theta , 0≤θ≤2π0\le \theta \le 2\pi

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric curve and eliminate the parameter to find the Cartesian equation of the curve.

x=sin⁡ θ,x=\sin \,\theta , y=1−csc⁡ θ,y=1-\csc \,\theta , 0≤θ≤2π0\le \theta \le 2\pi

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 38번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
69.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 매개변수로 나타낸 곡선의 그래프를 그리고, 매개변수를 소거하여 곡선의 직교좌표 방정식을 구하세요.

x=4 cos⁡ ϕ,x=4\,\cos \,\phi , y=1−sin⁡ ϕ,y=1-\sin \,\phi , 0≤ϕ≤2π0\le \phi \le 2\pi

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the parametric curve and eliminate the parameter to find the Cartesian equation of the curve.

x=4 cos⁡ ϕ,x=4\,\cos \,\phi , y=1−sin⁡ ϕ,y=1-\sin \,\phi , 0≤ϕ≤2π0\le \phi \le 2\pi

정답·풀이 보기

중심이 (0, 1)이고, 장축은 가로 방향으로 길이가 8, 단축의 길이는 2인 타원의 그래프.

x216+(y−1)2=1\frac{{x}^{2}}{16}+{(y-1)}^{2}=1

원본 교재 풀이(영어)

Graph of an ellipse with center (0, 1), major axis horizontal and of length 8, and minor axis of length 2.

x216+(y−1)2=1\frac{{x}^{2}}{16}+{(y-1)}^{2}=1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 28번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
70.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 극곡선의 그래프를 그리고, 어떤 종류의 대칭이 있는지 (있다면) 판단하세요.

r=4 sin⁡(θ3)r=4\,\sin \left(\frac{\theta }{3}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the polar curve and determine what type of symmetry exists, if any.

r=4 sin⁡(θ3)r=4\,\sin \left(\frac{\theta }{3}\right)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 26번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
71.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 극곡선의 그래프를 그리고, 어떤 종류의 대칭이 있는지 (있다면) 판단하세요.

r=5 cos⁡(5θ)r=5\,\cos (5\theta )

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the polar curve and determine what type of symmetry exists, if any.

r=5 cos⁡(5θ)r=5\,\cos (5\theta )

정답·풀이 보기

첫 번째 꽃잎이 θ = 0에 있는 다섯 꽃잎 장미 곡선의 그래프.

극축에 대해 대칭이다

원본 교재 풀이(영어)

Graph of a five-petaled rose with initial petal at θ = 0.

Symmetric about polar axis

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 16번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
72.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 직교좌표 방정식으로 주어진 곡선의 극방정식을 구하세요.

x+y=5x+y=5

영어 원문 보기

For the following exercises, find the polar equation for the curve given as a Cartesian equation.

x+y=5x+y=5

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 62번
# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
73.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 직교좌표 방정식으로 주어진 곡선의 극방정식을 구하세요.

y2=4+x2{y}^{2}=4+{x}^{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find the polar equation for the curve given as a Cartesian equation.

y2=4+x2{y}^{2}=4+{x}^{2}

정답·풀이 보기

r2=4sin⁡2θ−cos⁡2θ{r}^{2}=\frac{4}{{\sin }^{2}\theta -{\cos }^{2}\theta }

원본 교재 풀이(영어)

r2=4sin⁡2θ−cos⁡2θ{r}^{2}=\frac{4}{{\sin }^{2}\theta -{\cos }^{2}\theta }

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 10번
# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
74.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 곡선의 접선의 방정식을 구하세요. 함수와 그 접선의 그래프를 모두 그리세요.

x=ln⁡(t),x=\ln (t), y=t2−1,y={t}^{2}-1, t=1t=1

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the given curve. Graph both the function and its tangent line.

x=ln⁡(t),x=\ln (t), y=t2−1,y={t}^{2}-1, t=1t=1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 2번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
75.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 곡선의 접선의 방정식을 구하세요. 함수와 그 접선의 그래프를 모두 그리세요.

r=3+cos⁡(2θ),r=3+\cos (2\theta ), θ=3π4\theta =\frac{3\pi }{4}

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the given curve. Graph both the function and its tangent line.

r=3+cos⁡(2θ),r=3+\cos (2\theta ), θ=3π4\theta =\frac{3\pi }{4}

정답·풀이 보기

땅콩 모양 도형의 그래프이다. y절편은 ±2이고 x절편은 ±4이다. 접선은 제2사분면에 나타난다.

y=322+15(x+322)y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)

원본 교재 풀이(영어)

Graph of a peanut-shaped figure, with y intercepts at ±2 and x intercepts at ±4. The tangent line occurs in the second quadrant.

y=322+15(x+322)y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 18번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
76.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 곡선의 접선의 방정식을 구하세요. 함수와 그 접선의 그래프를 모두 그리세요.

dydx,\frac{dy}{dx}, dxdy,\frac{dx}{dy}, d2xdy2\frac{{d}^{2}x}{d{y}^{2}} 를 구하세요. 단, y=(2+e−t),y=(2+{e}^{-t}), x=1−sin⁡(t)x=1-\sin (t)

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the given curve. Graph both the function and its tangent line.

Find dydx,\frac{dy}{dx}, dxdy,\frac{dx}{dy}, and d2xdy2\frac{{d}^{2}x}{d{y}^{2}} of y=(2+e−t),y=(2+{e}^{-t}), x=1−sin⁡(t)x=1-\sin (t)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 60번
# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
77.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 영역의 넓이를 구하세요.

x=t2,x={t}^{2}, y=ln⁡(t),y=\ln (t), 0≤t≤e0\le t\le e

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the region.

x=t2,x={t}^{2}, y=ln⁡(t),y=\ln (t), 0≤t≤e0\le t\le e

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

e22\frac{{e}^{2}}{2}

원본 교재 풀이(영어)

e22\frac{{e}^{2}}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 14번
# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
78.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 영역의 넓이를 구하세요.

r=1−sin⁡ θr=1-\sin \,\theta 의 제1사분면 부분

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area of the region.

r=1−sin⁡ θr=1-\sin \,\theta in the first quadrant

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 8번
# 매개변수 곡선의 미적분활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
79.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

x=3t+4,x=3t+4, y=9t−2,y=9t-2, 0≤t≤30\le t\le 3

영어 원문 보기

For the following exercises, find the arc length of the curve over the given interval.

x=3t+4,x=3t+4, y=9t−2,y=9t-2, 0≤t≤30\le t\le 3

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

9109\sqrt{10}

원본 교재 풀이(영어)

9109\sqrt{10}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 6번
# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
80.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

r=6 cos⁡ θ,r=6\,\cos \,\theta , 0≤θ≤2π0\le \theta \le 2\pi . 기하학적으로 답을 확인하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the arc length of the curve over the given interval.

r=6 cos⁡ θ,r=6\,\cos \,\theta , 0≤θ≤2π.0\le \theta \le 2\pi . Check your answer by geometry.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 34번
# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)